PRINCIPIO DE DETERMINISMO DE SCHWINGER

• Document Type: CREST
• Collection: General CIA Records
• Document Number (FOIA) /ESDN (CREST): CIA-RDP78-03425A002100020007-0
• Release Decision: RIFPUB
• Original Classification: K
• Document Page Count: 13
• Document Creation Date: December 23, 2016
• Document Release Date: August 6, 2013
• Sequence Number: 7
• Publication Date: June 1, 1961
• Content Type: REPORT

Declassified and Approved For Release 2013/08/06: 61A-RDP78-03425A002100020007-0
-
P R CI PI DE
DETERMHNI$M0
DENSCHWINGER
\,
\t
L. M. GARRlDO 11
Facultad de Ciencias de la Universicicid de Zatiggo
1,
Trabajo pubIlCado en la Revista
Energia Nucfearz. N.? 18) Abril-mayo-jonio 1961
N /
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i.=Dinetivica_relcbtivista.
Suponemos conocidas las caracteristicas cinerna-
ticas de la MecaniCa Cuantica en su formulaciOn
covariante relativista y la forma cOmo se obtiene
informacion del sistema fisico mediante un algebra
de la niedida coriStruida de acuerdo con los hechos
experimentales. propios del mierocosmos. La eine-
matica eita referida a una sola superficie espa-
cial a en el espacio 'de Minkowski.
Exarninernos la manera cOmo el sistema fisico es-
ta en a. En realidad a es un espac- io tridimensional
que en et caso que la reduzcamOs a t = constante
sera el volumen V de dimensiones xi, x2, x,, con el
que tan familiariados estamos. Aunque el concep-
to de sistema en un instante de tiempo no es lo
,
suficientemente general respecto a la covariancia re-
lativista que .exigimos a las leyes de la Fisica, usare-
mos esta Situacion particular para, ayudados por
nuestra intuiciOn, entender cOmo describir el movi-
miento. Sin embargo, aun en el caso m?general, po-
demos suponer que la superficie espacial a es plana,
ya clue este Ultimo concepto es invariante relativista.
Consideremos el caso de un electron en la su-
perficie t = constante. A partir de su estado vec-
tor cc), t> calcularemos la funcion de onda en
representaciOn de coordenadas (x? x2, x,), la
cual dara la probabilidad de que tal sistema
fisicc; este en el punto x1, .v2, x, en el instante
t = constante. Por consiguiente, no podemos ima-
ginar tal electron como. un cuerpo de dimensiones
hien definidas ?de forma tal vez esferica?, sino
como "extendido" por todo el espacio tridimensio-
nal en cualquier instante de tiempo. No podemos ya
m?atribuirle las propiedades del cuerpo solid?, si-
no mas bien las de un "campo" que se encuentra
en todas partes, o sea, hablando relativisticamente,
Ilenando toda la superficie espacial a.
En la Mecanica Clasica no Relativista, donde el
electron es un cuerpo sOlido, el movimiento del mis-
mo es muy facil de estudiar. Las ecuaciones dif eren-
ciales del movimiento dan la variaciOn de las coor-
denadas de este .cuerpo solid? respecto a las varia-
ciones del parametro tiempo t. Sus soluciones
Z1 (t) x2 = X2 (t) ; X3 = X3 (0; son las tra-
yectprias del electron. Ahora bien, desde otro punto
de vista, este proceso puede ser considerado como
una variaciOn en la distribuciOn del electron, en todo
el volumen V. En un instante t, toda la masa del
electron esta en xi (t), .x, (t), x, (t), y no hay masa
2
del electron en cualquier otro punto. Un instante
despues, t", la distribuciOn anterior ha cambiado;
toda la masa esta en el punto xi (e), x2 (t'), z3(0,
mientras que el rest? de V esta vacio.
Este Ultimo punto de vista es el mas apropiado
para introducir el movimiento en la Mecanica Cuanti-
ca Relativista. En todo instante el electrOn tendra una
cierta probabilidad ?que podra ser nula? de es-
tar en cualquier punto de V. El movimiento consis-
tira en que tal probabilidad ?la distribucion de la
masa del electron en todo V? vaya cambiando en
el tiempo.
Si aplicamos esta idea de distribuciOn, en el caso
relativista hemos de considerar tambien otras clases
de variaciones que no correspondan a cambios del
valor del p,arametro tiempo; es decir, tendremos que
incluir variaciones respecto a cualquier de las cuatro
coordenadas xa de un punto universo, mientras las
otras tres estan fijas. Al hacer esto hemos generali-
zado l concept? de movimiento identificandolo con
la evolucion del sistema cuando varia un parametro
cualquiera.
Aclaremos el significado de estas Variaciones. Se-
grin la idea intuitiva del movimiento suponernos que
la superficie tridimensional V = V4 que corresponde
a x4 = constante, es decir, a cualquier valor de las
coordenadas xi, x2, x,, esta ocupada por una distri-
buciOn de la masa del electron. En la evoluciOn tern-
poral variamos x4, o sea, el tiempo. Pero si estas
evoluciones han de tener pleno sentido relativista, ha
de ser posible tarnbien considerar la superficie tri-
dimensional x, = constante formada por los pun-
tos universo que tienen ese valor de xi y cualquier
valor para las coordenadas x2, x3, x4. (Ciertamente no
podrernos utilizar nuestra intuiciOn para imaginar-
la ; sera el espacio formado por el plano ?de dos
dimensiones? cubierto por las coordenadas x2 y
en cualquier instante de tiempo x4. Para construirlo,
veremos cOmo la masa del electron esta distribuida
en el piano x2, x,, en el instante x'4, y luego en el
instante y asi para todo valor ?positivo y
negativo? de x4. Es decir, la s.uperficie tridimensio-
nal V, esta formada por toda la historia del piano
bidimensional X2; X3. Variar x1 es pasar a otra su-
perficie tridimensional V1 formada por toda la his-
toria de un piano bidimensional paralelo al que con-
siderabamos antes.
Nos ayudara, a comprender la idea relativista de
la., evoluciOn del sistema reducir, aunque sOlo sea
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para comprender mejor el contenido fisico de la
dinamica relativista, las dimensiones del espacio de
Minkowski a tres, que llamaremos Y1, Y2, Y4, donde
Y4 es la coordenada correspondiente al tiempo..Esto
es valid? para la dinamica que apareceria en caso
de (pie los sistemas fisicos tuvieran solamente dos
dimensiones en lugar de tres que de hecho tienen.
La clinamiCa no relativista consistiria en estudiar la
evolucion -del sistema fisico ?que se hallaria todo
el 'en el piano bidimensional Y2, Yi (correspondien-
te a V4)? cuando variamos Y4. Pero si quisieramos
construir la dinamica relativista de este nmndo fic-
ticio deberiamos tambi-en consiclerar. las variaciones
del piano bidimensional Y2, respecto a Y? etc.
LONGITUD
Sea OA la variacion de Y4; dinamicamente pasa-
mos del piano Y? Y2, que pasa por 0, al piano Y2,
que pasa por A. Sea OB la variaciOn de Y1; dina-
micamente tambien pasamos del piano Y2, Y4, que pa-
-sa por 0, al piano Y2, Y4, que pasa por B.
Consideremos de nuevo el espacio de Minkowski
real, de cuatro dimensiones. El principio dinamico tie-
ne que dar los operadores que realizan cualquiera de
las cuatro traslaciones, es decir, tiene que propor-
cionar expresiones para los cuatro operadores mo-
mentos lineales Pp, de los sistemas fisicos.
Ahora bien, la imagen anterior no es totalmente
covariante relativista, pues si bien hemos considera-
.
do variaciones respecto a cualquier coordenada
las superficies tridimensionales V no son covarian-
te-relativistas. En su lugar hay que considerar su-
perficies espaciales (5.
? Las variaciones m?generales de sistema fisico
no son las traslaciones respecto a una coorde-
P-
nada x sino qUe caben traslaciones 61- en la di-
1)- ti-
recciOn e incluso rotaciones totalmente arbi-
trarias.
Las variaciones dinamicas del sistema respecto a
cualquier parametro ?y no solo respecto a giros y
traslaciones en el espacio de Minkowski? las de-
signamos con el nombre generico de evolucion.
2.-D eterminismo dincimico.
Un sistema sometido a la accion de ciertas fuer-
zas evoluciona de una forma perfectamente defini-
da. La dinamica estudia la relacion existente entre
la acciOn a que sometemos el sistema y la evoluciOn
fisica del rnismo. Por consiguiente, al comenzar el
estudio de la Dinamica Cuantica hemos de introdu-
cir un nuevo- operador W, al que llamaremos acciOn
del sistema y que habra de ser dado en cada caso
particular. Para determinarlo hacemos uso del Prin-
cipio de Correspondencia; pero esto en muchos casos
no sera suficiente, ya que el orden en que aparecen
los operadores no compatibles contenidos en W no
vendra determinado por la acciOn de la Mecanica Cla-
sica.
Es m?practico no utilizar el Principio de Co-
rrespondencia e introducir la accion W fenomeno-
lOgicamente justificando la elecciOn particular hecha
en cada case por el ,exito en reproducir los datos ex-
perimentales. M?adelante estudiaremos algunas
propiedades generales de W. El valor del concept?
de aociOn: W radica en que a partir de el podemos
determinar- cualquier evolucion del sistema'
- Para describir la evoluciOn del sistema hacemos
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corresponder a cada una de las situaciones un valor
de un parametro continuo X. Asi, por ejemplo,X pue-
de ser el tiempo t y entonces tendremos el movi-
miento temporal. Pero* X es cualquier parametro
que figure en la accion W, Introducimos una fa-
milia de superficies espaciales ax en cada una de
las cuales vainos obteniendo la maxima informacion
posible acerca del sistema fisico de acuerdo con el
algebra de la medida. Tal familia corresponde, en
la aproximacion no relativista, al espacio tridimen-
sional V para los distintos valores del tiempo.
Todo el espacio de Minkowski entre una super-
ficie inicial ci, donde la evoluciOn del sisterna co-
mienza, y otra final a? debe ser cubierto por esta
familia ak de superficies espaciales.
La Dinamica Relativista relaciona las propieda-
des del sistema fisico en a, con las propiedades del
mismo en a?, cuando la evolucion tiene lugar bajo
una cierta accion W.
Cuando realicemos una medicion de las propie-
dades del sistema en a, y sen a, este sufre, segrin
vimos en el Algebra de la medida, modificaciones
que no podemos conocen, per?, entre las observacio-
nes el principio de casualidad es valid?, tanto en
Mecanica .Clasica como en Cuantica. Con esto afir-
mamos la existencia de ecuaciones que relacionan
univocamente las propiedades del sistema en dos
superficies cualesquiera de la familia. Este es el prin-
cipio de .determinismo, el cual implica causalidad di-
namica. De el deducimos tambien que, dada una cier-
4
ta accion W, nos es permitido considerar el concept?
de evolucion independientemente del' sistema que
evoluciona,, es decir, la evolucion estara determinada
completamente por W 'y no condicionada por las
propiedades particulares del sistema en. al. Veamos
ahora la forma como Schwinger formula, este prin-
ciplo de determinism?.
Designarernos la; evoluciOn que relaciona laS pro-
piedades de un sistema en ar con las del mismo
sistema en ak, mediante el simbolo E (X", X') simbolo
al que no atribuimos significado nratematico algu-
no, por ahora.
La propiedad fundamental dc. las evoluciones es
la de formar un grupo continuo respect? a la opera-
cion de realizacien sucesiva de las mismas.. Si cier-
ta evolucion, E (X", X') corresponde a la variacibn
del parametro desde un valor X' a otro valor X",
y otra evolucion,E (X", X") nos lleva de la situaciOn
correspondiente al valor X" hasta la correspondien-
te a;,),.", la realizacien sucesiva de ambas evolucio-
nes es otra evolucion
E (X"', X") E (A.", X') E (X", X') .(1)
product? que evidentemente verifica la ley asocia-
tiva. Para cada evolucion del sistema existe otra
evolucion reciproca de la anterior
[E (X", V)1 I E X") (2)
consistente en deshacer cuanto hizo la primera.
Tambien tenemos la evolucion unidad que corres-
ponde a no evolucionar en labsoluto
E (V, X') = I (3)
El g-rupo es continuo, puesto que lo es X. Las
relaciones anteriores son consecuencia directa del
significado fisico de evoluciOn; pero su importancia
para presentar matematicamente la dinamica es
grande. Pues de la relacion (I) deducirnos que p0-
demos considerar una evoluciOn finita cualquiera
como el product? sucesivo de evoluciones infinite-
simas, es decir, evoluciones en las que el parame-
tro vane muy poco ; y ademas afirmar que es-
tudiando imicamente las evoluciones correspon-
dientes + cuando 6), --> o obtenemos
stificiente informacion para generar ciralquier otra
evolucion. Ahora bien, el estudio de Is 'evoluciones
infinitesirnas simplifica mucho los calculos, pues
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permite despreciar potencias de 4. superiores a la
primera.
For consiguiente, nos limitaremos a estudiar evo-
luciones infinitesimas.
3.?Imo genes de la evolucion
Volvamos a exponer el contenido de principio de
determinism() en mecanica. Cuando hacemos una
observacion, o sea cuando medimos el valor de los
observables en un sistema fisico, el estado del sistema
cambia de una manera desconocida como consecuen-
cia de su interacciCm con el aparato de medida. Pero
entre observac:ones, el principio de causalidad es v?
lido, y asi podemos calcular el valor esperado de un
observable en cualquier superficie a a la que, en su
eVolucion dinamica, llega el sistema.
El valor esperado de un observable permite rela-
cionar la teoria- con el experimento. EsencialMente,
el problema de la evoluciOn del sistema en la Me-
canica Cuantica ouedara resuelto cuando veamos
c6mo cambian los valores esperados a lo largo de la
evolucion dinamica.
Ahora bien, en el calculo del valor esperado de un
observable Ai en un estado cp> figuran dos clases
de elementos del Algebra de la Medida: los obser-
vables y los estados. Por consiguiente, conven-
dra determinar que requisitos generales habran de
satisfacer las variaciones de los mismos. Tales va-
riaciones daran la ecuacion de evolucion o movi-
miento de los observables y de los estados, que serail
validas en tanto que el sistema fisico no sea per-
turbado por una observaciem o proceso semejante.
Se,a un observable de un conjunto corn-
pleto de observables compatibles A que dan la ma-
xima informacion posible del sistema fisico que se
encuentra en la situacion. caracterizada por el va-
lor X' del parametro X; por ejemplo, puede hallarse
en la super ficie espacial . El observable corres-
pondiente a otro valor de X, Ai(X"), debe tambien
formar parte de la misma representaciOn A y ade-
mas 'ha de ser esencialmente el mismo observable,
es decir, si Ai(V) era, por ejemplo, el momento
angular de una particula, Ai(X") debe ser tambien
el moment? angular de la misma particula en, otra
situacion. De aqui deducimos que Ai(V) y AA")
deben ser .ambos autohermiticos y poseer globalmen-
te, in toto, el mismo espectro de valores propios.
Por consiguiente, segim sabemos, h,an de estar re-
lacionados por medio de una transformaciOn uni-
taria
A i(X") Uo (X", X') A i(V) Uo-1 (X", X'); U-=-Uo
(4)
Los estados vectores tambien pueden cambiar
cuando varia el valor de X. Han de hacerlo de forma
que pued,an, tambien globalmente, ser estados pro-
pios de los observables en la nueva situacion, es
decir, su evolucion vendra dada por una transfor-
maciOn unitaria
'9, CA- > = U1 QL", ?L') I P, ?'> U11 = Ui.+ (5)
pero U1 (X", )J) ha de ser distinta de Uo (X'', X') en
general. Aunque ni el espectro de valores propios
de los observables ni las relaciones de normalizacion
?Si un estado estaba normalizado en X' debe estarlo
en y ortogonalidad entre los estados sean modi-
ficadas durante la evolucion dinamica del sistema, el
valor esperado de los observables varia.
Puesto que es suficiente considerar evoluciones
infinitesimas, manejaremos operadores unitarios in-
finitesimales, los cuales daran las ecuaciones dife-
renciales dc l,a evolucion.
Un observable puede variar de dos formas cuan-
do cambia el parametro X. Consideremos el obser-
vable coordenada X, cuando X es el tiempo: si
esta definido con relacion al sistema de ejes en mo-
vimiento, dependera explicitamente del tiempo y va-
riara aunque no cambie la situacion del sistema. Tal
variacion explicita, A, correspondiente ala derivada
parcial, no sera generada por el operador unitario
infinitesimal de evoluciem. El principio dinamico se
refiere a las variaciones inducidas en los observables
como consecuencia de que la situackm del sistema
vane bajo la acciOn dinamica W. Estas filtimas va-
riaciones, llamadas dinamicas, son designadas por
de forma que la variaciem total del observable
ligada al concepto de derivada total, es la suma de
las variaciones explicit,a y dinamica.
(6)
Consideremos exclusiv,amente variaciones dinami-
cas de los observables y estados respecto al para.-
metro X. Llamaremos imagenes de la evolucion di-
namica las formas equivalentes de expresaria, es
decir, las distintas formas de combinar la variacion
dinamica de observables y estados para obtener los
valores esperados correspondientes a cada valor del
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parametro X. El valor esperado en A." del ob
servable Ai.
I Ai()") (f), > =
= < 1U1 QL", V) U. (A." ).') Ai()c')
111 (k", V) Ip1, av> (7)
puede ser calculado en funciOn de los estados y
observables en k = repartiendo arbitrariamente
la acciOn dinamica para Mover los observables ?es
decir incluyendola en U.? o para mover los esta-
dos, en U1.
El pa,so de una imagen de evolucion a otra se
hace mediante un operador unitario que se aplica a
los estados y a los observables.
De todas las imagenes posibles, las m?impor-
tantes y unicas que estudiaremos detenidamente son
las que corresponden a la evoluciOn temporal del
sistema.
Ha de quedar bien establecido que la acciOn W
puede causar Unicamente las variaciones dinarnicas
de los observables y estados. En lo sucesivo, a ellas
nos referiremos exclusivamente.
Segun lo que acabamos de ver, antes de presen-
tar las ecuaciones de la evolucion hemos de fijar la
imagen en que queramos expresarla. Para pasar de
una imagen a otra lo hacemos mediante un operador
unitario con el cual cambiamos simultaneamente los
estados y los observables. Este operador unitario de
cambio de imagen no debe ser confundido concep-
tualmente con el que nos da la evoluciOn, el cual
corresponde m?bien, segin veremos, al que cambia
o los estados, o los observables, o ambos elementos
parcialmente.
4.?Variaciones de la funciOn de transformaciOn.
? Todos los operadores y vectores estado manejados
en la Cinematica Cuantica estan particularizados
para una super ficie espacial en la cual se realizan
los procesos de medida. Introduciendo el producto
escalar entre dos estados en a, I pi, a > y(P2, a >,
obtuvimos la funciOn de transformacion
que es el elemento de matriz del operador que nos
lleva de una representacion a otra. Para construirla
tenemos que establecer arbitrariamente una corres-
pondencia biunivoca entre los estados unidad de
ambas representaciones.
6
Tal correspondencia biunivoca queda automatica-
mente establecida cuando intentamos representar un
estado en cv, p , v>por medio del estado I cp,
a que el estado anterior llega en su evolucion dina-
mica. Generalizando el concept? de producto escalar
para el caso en que los estados est?particulariza-
dos en distintas superficies espaciales, introducimos
una funciOn de transformacion
1 P, csx'?
(8)
cuyo calculo es equivalente a conocer los elementos
de matriz del operador que nos lleva de I cp, aA, >
a I p, aX >, y, por consiguiente, la evoluciOn del sis-
tema. La funcion de transformacion es tambien el
element? de matriz del operador que modifica los
operadores cuando los estados queden fijos; por con-
siguiente, si calculamos tendremos la
evolucion del sistema en las distintas imagenes se-
pin el uso que demos a la funcion de transfor-
macion.
Para determinar la funciOn de transformaciOn que
genera la evoluciOn dinamica del sistema emplea-
mos un principio diferencial. Definiremos la varia-
ciOn de la funcion de transformacion por medio de
6 = a2, p1 6 W21 I y, GI> (9)
donde W21 es un operador infinitesimal de di-
mensiones de accion cuyas propiedades vamos a in-
vestigar. Por el principio de determinismo deduci-
mos que 6W21, es independiente del estado I cp, a>.
La propiedad de grupo de la funciOn de trans-
f ormacion
wx 1 aa al>
E
6W31 I aa, al>
) ?
(12)
de donde deducimos (II), expresion del catheter de
grupo continuo de la evolucion dinamica.
Puesto que a? c.p, 01 > = I se ha de verificar
6Wit =0
(1Z.)
para una superficie o cualquiera. El contenido fi-
sico de (13) es facil de obtener ; no es sino una forma
de expresar que bajo una transformacion infini-
tesimal Jos operadores unidad ban de conservar su
ortonormalidad. Consecuencia importante de (13) es
6 w23 ? w32
(14)
que se obtiene utilizando la propiedad de grupo. De
todo esto se deduce que mientras las funciones de
transformacion forman grupo respecto a la multi-
plicaciOn, los operadores 6W lo forman respecto a
la adicion.
La propiedad de realidad de la funciOn de trans-
formacion se expresa en este caso mediante
(6 )* -= 6
(15)
lo cual implica que el operador OW sea hermitico
6W2+1 = 6W2i,
(16)
Los operadores 6W poseen otra propiedad aditi-
va relacionada con la composiciOn de sistemas di-
namicamente independie'ntes. Y asi, si llamamos I
y II a tales sistemas, se verifica
02, pi, it I pi, pi], Cl> =

(17)
y si 6 W21 y 6W11 son los operadores que caracte-
21
rizan las variaciones infinitesimales de cada una de
las funciones de transformacien, los correspondien-
tes al sistema compuesto se construyen a partir de
6W21 = 6W1 6W11
2 21
(18)
entendida como suma directa, segtan se explico en el
capitulo anterior.
Cabe todavia presentar una funciOn de transfor-
maciOn aOn m?general que simultaneamente de la
evoluciOn del sistema y un cambio en la represen-
tacion del mismo. Tales funciones de transformacion
pueden ser tambien caracterizadas
por sus variaciones infinitesimales de la forma (9).
Los operadores 6W cotrespondientes satisfacen. tarn-
bien (it), (i3) y (16).
Observemos que hasta ahora 6W son operadores
infinitesimales, lo cual no implica ,que sean varia-
ciones de un solo operador, aunque, evidentemente,
la notacion puede hacernos creer esto
5.?Principio de detenninisnw de Schwinger.
El principio dinamico fundamental dado por
Schwinger esta contenido en tin postulado que da
los operadores 6WI como ciertas variaciones de un
solo operador W 21 el cual coincide con la accien del
sistema entre las superficies al y C. El principio de
determinism? de Schwitiger se expone asi :
6W2t = 6 (W21)
(1 9)
donde W21 es el operador acciOn entre CI y C.
Las propiedades de grupo de la evolucion del sis-
tema estan incluidas en el hecho ?de que haya que
definir la acciOn por medio de una integral de un
operador (x), al que llamaremos densidad lagran-.
giana, extendida a todo el volumen entre las super-
ficies espaciales, cuya funciOn de transformacion es-
tudiamos.
W21 =
f 02
Cl
dix) (x) (x) ?e (x1, X2, X3, x4)
(26)
El requisito de hermeticidad de 6 W21 esta satis-
fecho si Wa es hermitico, lo cual implica la misma
propiedad para el operador (x). ?Para que las re-
laciones entre los estados en al y en 02 est?carac-
terizadas de una forma. invariante, es decir, para
poder hablar de estados inicial y final, la densidad
lagrangiana ha de ser un escalar respecto a las trans-
formaciones propias de Lorentz, que preservan la
ordenaciOn temporal de al, inicial, y 02, final.
En el caso mas general ..e(x) se escribe por medio
de operadores de creacion y de aniquilaciOn en el
espacio de Fok. Tal densidad lagrangiana determina
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las condiciofies- dinamicaS del sistema en cada uno
de los puntos universo (x) entre las superficies espa-
ciales Oj y cs2- y depende explicitamente no sola-
mente de las coordenadas del punto, sin? tambien de
otros parametros necesarios para determinar com-
pletamente estas "condiciones dinamicas. Por ejem-
plo (x) puede ser una suma
E (x) = L (x) (x)
(21)
de dos ,densidades lagrangianas acopladas por medio
de un parametro g.
El- principio dinamico de Schwinger (I) se escribe
asi
< a2, I 6 f dx4 (x)
C/Q' 61> (22)
Tal.principio da ecuaciones covariantes relativis-
tas cuando calculemos variaciones respecto a para.-
metros cuyas propiedades en relaciem con las trans-
formaciones de Lorentz est?perfectamente defi-
nidas, es decir, que sean escalares, vectores... uni-
verso.
Para obtener la variaciem dinamica de la funciOn
de transformaciOn 6 segtin (22), helms
de definir la clase de variaciones a las que se refiere
el postulado fundamental (i9). La integral (20) se
extiende a todo el espacio de Minkowski entre las
superficies inicial ci y final 02 Tal volumen tetra-
dimensional esta limitado por un cilindro de bases
ci y 02 y tiene una superficie lateral E en el
inf inito.
Las variaciones con relaciOn a un parametro de
la acciOn Wi2han de calcularse con respecto a "toda"
apariciOn del parametro en la definiciOn de la mis-
ma (20). Asi, por ejemplo, si el parametro g entra
nnicamente como parametro de acoplamiento en la
forma (21), es decir, y no contienen g, de-
beremos escribir (22) asi
? (23)
. ? 02 0
at
expresiOn que da la derivada dinamica de la fun-
cion de transformaci6n respecto al parametro de
(1) J. Schwinger.?Phys. Rev., 82, 914, 1951.
acoplamiento. El operador accion' W12 debe"Ser con-
siderado funcional ?y no funciOn? de los para.-
metros que contiene.
La coordenada x del punto universo x figura
en (20) en la ecuaciOn de las superficies espaciales
01 y 02 La densidad lagrangiana (x) contiene
operadores ?a los que llamarernos campos cuan-
ticos?, y sus derivadas, todos formados a partir
de los de creaci6n y aniquilaciem. En general, debe-
remos variar infinitesimamente las superficies inicial y
final de forma ,que la acciOn no se calcula en la
misma parte del espacio de Minkowski, sino en una
region ligeramente modificada limitada por 601
Y Pm' 02 ? 6u2. Esto corresponde a una traslaciOn o
rotaciOn rigida de la regi6n donde se calcula la in-
tegral en (20). Simultaneamente debemos tambien
modificar los operadores de campo. El procedimien-
to es igual al que se sigue en la Mecanica Clasica.
Para el caso en oue solo variemos las superficies
ci y cs2 respecto a una coordenada xp. se obtiene
una expresien de esta forma .
6xtt W21 = 1)(u2 6X(2
r II IL
(24)
donde P(I es el momento canonic? conjugado de
xv. en la superficie
Esto puede servir para definir operadores canO-
nicos conjugados. Pues si solo modificamos la su-
perficie 02 se tiene
6xp. W21.= P 6x1,12 (25)
cuando 6x1). en csi es nula. Esta definicion es corn-
pletamente general.
Observese que al estudiar las relaciones de incer-
tidumbre no pudimos dar una estructura dinamica
a Pp. ni a Xp.. Ahora definimos Pp. por medio de
las variaciones de la acciOn del sistema, lo cual le
hace peculiar de cada sistema fisico. Pp. aparecera
asi escrito en funciOn de los operadores de creacion
y aniquilaciOn. En cambio, no podemos dar la estruc-
tura de X p.; y esto es asi por haber definido la ac-
ciOn (20) en el espacio de Minkowski por medio del
soporte continuo de espacio-tiempo.
No queremos profundizar m?en estas materias
sobre las que volveremos al estudiar la formulacion
relativista de la Dinamica ,Cuantica. En los aparta-
dos siguientes estudiaremos la aproxirnaciOn no re-
lativista en la que el tiempo y su variable canOnica
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conjugada, el hamiltoniano, Fntran de manera pre- velocidad universo. Integrando por partes iguales se
ponderante.
A fin de aclarar las ideas anteriores vamos a apli-
car el principio dinamico de Schwinger a una par-
ticula material de masa en repos? mo no sometida
a la influencia de fuerza externa alguna, es decir,
para un sistema formado por una sola particula ma-
terial libre. Evidenternente, nunca podremos tener un
sistema relativista con una, sola particula, pues eli-
minamos asi la posibilidad esencial para los feno-
menos de alias energias de creacion y aniquilaciOn
de particulas. Este ejemplo, pues, representara la
realidad fisica cuando estos Ultimos fenOmenos sean
despreciables.
Puesto que W21 ha de ser un escalar y el Unico
escalar que podemos constituir en este caso es el
intervalo ds dada la propiedad de grupo (II) de
la acciOn deducimos que
X (2
W21 = + MOC ds
x(1
/I
ds = 11+ (dx)2 (26)
integral a lo largo de la linea universo de la particu-
la. Se introduce la velocidad de la luz para que W91
tenga las dimensiones de la accion. La integral se
extiende desde un punto universo inicial x(1 hasta
un punto universo final x(2.
Consideremos el cambio rigido en la regi6n de
integracion; el nuevo dominio de integracion se ex-
tendera desde x(1 6x(' hasta x12 6x(2. Por con-
siguiente
fx ( 2 + 6x(2
W2i, = + moc ds
x(1+ 6x(1
x(2
f
--= + moc 6 v-? dx'2,, .? (27)
x(2
? moc f ds
xi'
x('
I
x(11 x(2
x(2+ dx.p.. 6dxp.
= + moc _ , . = mc up. d6xp.
V.+ dx2
ti x(1
dxp,
puesto que ? up. son los componentes de la
ds
tiene
6 W21 = MoCUp. X IL
= mocup 6x1i
X(2 x(2
? moc 6x, dup.=
x(i Jx(i
x(2 x(2
? moc 6x w ds
x(1 1 x(I
(28)
donde hemos utilizado la definicion de la acelera-
cion universo cop. .= dup. El principio de determi-
d s
nismo requiere que todas los propiedades dinamicas
de la particula en un punto universo cualquiera est?
detenninadas por cantidades que solo dependen de
las coordenadas de ese punto. Por consiguiente, la
integral en (28) ha de ser nula, de donde deducimos
que cop. = 0 para toda particula libre. Entonces (28)
se convierte en
6W21 = MCU (26 X MCUI` X('
(29)
de donde deducimos que el vector universo de una
particula de masa en repos? mo es 13,. mocut
expresiOn bien conocida.
La ecuacion (25) da la estructura dinamica de los
operadores Pp. que mueven el sistema en la direc-
ciOn X. Para obtenerlos hemos producido una tras-
laciOn rigida de la accion del sistema; si hubieramos
realizado una rotacion rigida de la acciOn, hubiera-
mos obtenido los operadores ?moment? angular?
que generan las rotaciones.
Es conveniente aclarar el nuevo aspect? de las
variables canonicas conjugadas definidas por me-
ciio de las variaciones de la accion, como consecuen-
ca de las relaciones de conmutaciOn (20) que ban de
satisfacer. A fin de incluir en la Mecanica Cuan-
tica un bectio experimental, virnos que, por ej em-
plo, Pp. podia realizar traslaciones, no del sistema,
sino de los ejes I x> en los cuales representamos
el estado del sistema. Pero al obtener la estructura
dinamica de Pp. como consecuencia del principio de
accion, es decir, al escribir Pi, en funciOn de otros
operadores tales como los de creacion y aniquila-
cion directamente ligados a la forma particular como
hemos definido la accion de un sistema determina-
do, el operador P. genera traslaciones dinamicas
del sistema fisico y no de los ejes. Es decir, si p,a >
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es et estado del sistema en la superficie espacial a,
el vector (1 Pp. ) I 5), a> es el estado del
mismo sistema en una superficie infinitamente prO-
xima obtenida de la anterior por medio de la tras-
laciOn 6xp, en _la evoluciOn dinamica causada por
la acciOn de donde .hemos obtenido los operadores P.
Los operadores Pp. no son independientes; entre
ellos existe una relaciOn como consecuencia de que
se definen como variaciones de un mismo operador,
la acciOn.
Para introducir la dinamica manejamos el espacio
de Minkowski y una familia dada aA de superficies es-
paciales del mismo. Al hacer esto damos a las coor-
denadas distinto cometido dinamico que a los momen-
tos Pp., a pesar de que cinematicamente la tienen
igual. Lo cual hace que no podamos dar una estruc-
tura dinamica del espacio, es decir, no podemos es-
cribir el operador X11 por medio de otros operadores
m?elementales ; las coordenadas solo adquieren sen-
tido a traves de su soporte.
Pero las cuatro coordenadas x1 tampoco son inde-
pendientes ; pues conocidas tres de ellas y la superfi-
cie espacial en que realizamos las medidas, la cuarta
esti determinada. De todo lo anterior se desprende
que las cuatro cantidades XII son cinematicamente
dependientes, rnientras que los cuatro momentos Pp.
son dinamicamente dependientes.
Si Pp. son los generadores de los movimientos de
traslaciOn del sistema, se ha de verificar
Pt, 0> =
(30)
puesto que el vacio no puede depender de la superficie
espacial.
6.?Evolucion temporal.
Al no exigir la condiciOn de covariancia relativista
para la Mecanica Cuantica, es decir, al restringir la
aplicaci6n de esta mecanica a sistemas fisicos en que
las particulas se muevan a velocidades mucho me-
nores que las de la luz, podemos limitarnos a estu-
diar la evoluciOn temporal del sistema, idea que coin-
cide con la que ordinariamene llamamos movimiento.
Queremos ver cOmo un sistema evoluciona en el
tiempo. Para ello orientamos los procesos de medi-
da describiendo los que son "anteriores" o "poste-
riores", mediante un parametro t que nos permite
distinguir entre estos conceptos de una forma cuan-
10
titativa. De hecho, puesto que tales mediciones siem-
pre tienen lugar en un interval? finito de tiempo, no
es razonable fisica,mente decir que tales procesos son
realizados en un instante t, pero, como en Mecanica
Clasica, esta es una idealizaciOn conveniente. Sin em-
bargo, tal idealizaciOn puede, al menos aparentemente,
estar en contradiciOn con el principio de indetermi-
naciOn de Heisenberg
At.
2
(31)
que exigiria en este caso una incertidumbre infi-
nita en el conocimiento del valor de la energia.
Las superficies que en la aproximaciOn no relati-
vista corresponden a la familia a)., son las t = =
En este caso consideramos las tres varia-
bles xi, x2, x3 como arbritrarias, mientras que la cuar-
ta x, esta fijada por la familia de superficie t =
= constante.
Para estudiar la evoluciOn temporal sera sufi-
ciente presentar la acciOn de la siguiente forma:
t2
W21 = f dtL (i)
donde
(32)
L (t) --- d'x ..e (x) ,,(i
co. .. dx, x, cbc, (33)
f
V
integral extendida a todo el volumen V tridimen-
sional en que se halla el sistema. El operador L (t)
se llama lagrangiano.
La definiciOn (32) de la acciOn para los sis-
temas no relativistas permite calcular la estructura
dinamica de P4., pero no de Pi, P2, P3.
La dinamica del sistema estara expresada en la
relaciOn
P4 = P4 (P1, P2, P3)
(34)
entre el operador P4 y los otros tres cuya estructura
desconocemos; esta relaciOn sera precisamente la es-
tructura de P4.
A si como hemos elegido la coordenada tiempo t en
lugar de la x4 en la Mecanica Cuantica no relativista
utilizaremos el hamiltoniano H, operador correspon-
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diente a la energia del sistema cuya relacion con
P, es
P4 =
Por consiguiente, el tiempo es la variable can&
nica conjugada de ?H.
En la Mecanica Cuantica no relativista no es pre-
cis? conocer la densidad lagrangiana; generalmente
se nos da el lagrangiano, del cual construimos el
hamiltoniano mediante la relacion
at H
(35)
segtin (25). Pero en muchos casos es suficiente
eseribir directamente el hamiltoniano como la ener-
gia del sistema. Asi, para una particula de masa m
y moviendose en un potencial V (x), el hamiltonia-
no es
H==P P: 13; + V (X) (36)
? 2 m
suma de las energias cinetica y potencial.
En la aproximaciOn no relativista pueden no exis-
tir los feneimenos de creacion-aniquilacion de par-
ticulas, por lo que en algunos casos el lagrangiano
no contendra operadores de creaciOn y aniquilacion;
entonces el mamero de componentes del sistema es
constante en el movimiento.
El principio de accion en este caso es
t2
1>= < t2, cp dt L (t) Ip, ti>
(37)
principio dinamico diferencial que caracteriza la
evolucion temporal del sistema.
Advirtamos que H en (35) puede depender ex-
plicitamente del tiempo; en tal caso nos hallamos an-
te un sistema no conservativo.
7.?Imagenes de la evolucion temporal.
Llaniabamos i,magenes de la evoluciOn dinamica de
un sistema fisico respecto a un parametro A. a las
distintas formas equivalentes de presentar tal evolu-
ciOn. La equivalencia entre las imagenes es debida
al hecho de que los valores esperados de un obser-
vable son las cantidades ,que tienen sentido fisico;
ahora bien, para calcular tales .valores manejamos los
conceptos de vector estado y operador observable;
y, por consiguiente, se puede distribuir la accion di-
namica de una forma arbitraria entre los estados y los
observables si, al hacer esta. distribucion arbitraria,
mantenemos constante el valor esperado.
Las imagenes temporales del movimiento surgen
al considerar la evolucion temporal del sistema. En
particular, llamamos imagen de Schrodinger aquella
en que toda la acciOn dinamica del sistema actiaa so-
bre los estados mientras que los observables per-
manecen dinamicamente constantes. En la imagen
de Heisenberg son los observables los que varian di-
namicamente en el tiempo mientras que los estados
permanecen constantes. Intermedia entre las dos an-
teriores es la imagen de Tomonaga (I), que distri,
buye la accion dinamica entre los observables y los
estados; los observables son movidos por parte de
la accion; los estados, por el resto. La imagen de To-
monaga es la que mas aplicaciones tiene; incluso ha
sido posible introducirla en la Mecanica Clasica (2).
Es conveniente adquirir una idea clara del signifi-
cado fisico de cada una de estas imagenes. Suponga-
mos que tratamos de representar el movimiento de
una particula en Mecanica'Clasica respecto a tres ejes
de coordenadas cartesianas. El observador, que mide
las distancias de los ejes a la particula durante el mo-
vilmiento, permanece inmOvil. A fin de traducir este
ejemplo al lenguaje de la Mecanica ,Cuantica supon-
dremos que la posiciOn de la particula respecto al
observador corresponde a los observable's, mientras
que los ejes de coordenadas representan los estados.
El observador obtendra el mismo movimiento de la
particula reSpecto a los ejes: a) cuando sea la par-
ticula la que se mueve ?respecto al observador?,
mientras que los ejes permanecen fijos (imagen de
Heisenberg); b) cuando scan los ejes los que se
mueven ?respecto al observador, pero 'en sentido
contrario al movimiento de In particula en el caso an-
terior?, mientras que la posicion de la particula es
constante (imagen de Schrodinger); c) cuando los
ejes y la particula se muevan respecto del observa-
dor en sentido contrario, aunque con menos energia
que en los casos anteriores (imagen, de Tomonaga).
Pasemos ahora a describir matematicamente estas
tres imagenes del movimiento. Partiremos, desde lue-
go, del principio variacional de acciOn dado por
(I) S. TOMONAGA : Prog. Timor. Phys., vol. I, 1946.
(2) L. M. GARRIDO: Perturbations in Classical Mech-
anics. Proc. Phys. Soc., A, 76, 33, (1960).
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Schwinger (22). Sea Ai un observable cualquiera ; es-
cribamos Ai Ai (t) para indicar que vamos a con-
siderar la evoluciOn temporal del n-iismo. Sea
cp, t> un estado en el que tambien hacemos
patente su posible dependencia dinamka del tiempo.
El valor esperado del observable es
= Cr? I Ai (t)
t>
(38)
el cual ira variando conforme la evoluciOn temporal
del sistema tenga lugar. Obtendremos las imagenes
del movimiento al atribuir la variaciOn temporal de
(38), bien sobre los estados, bien sobre los obser-
vables ; observemos que aunque hemos escrito ex-
plicitamente en (39) la posible dependencia dina-
mica de Ai y de I p> de la variable tiempo V. tal de-
pendencia existira segtin la imagen del movimiento
que elijamos.
En el ejemplo presentado para ilustrar graficamen-
te el significado fisico de imagen del movimiento es-
tudiamos el movimiento de una particula respecto
a unos ejes coordenados ; pero el Unico que podria
darse cuenta de la posibilidad de describir este movi-
miento de las distintas formas que llamamos image-
nes era el observador, al cual suponiamos inmOvil. Un
observador rigidamente unido a la particula o a los
ejes coordenados es incapaz de apreciar las ima-
genes del movimiento.
Tambien ahora necesitamos introducir un observa-
dor inmovil respecto al movimiento cuyas imagenes
tratamos de describir. El observador dispondra de
aparatos de medida con los que podra apreciar cuan-
to ocurra en su derredor. Tales aparatos mediran los
valores de un conjunto completo de observables B,
y, por consiguiente, el observador podra representar
el movimiento mediante los vectores unidad I ba, to >
inmoviles, como el, en el tiempo. Es decir, to sera fijo
El observador calculara el valor esperado de Ai en
el estado Ip > con el uso de sus aparatos de la
siguiente forma
p=E
a,p
(39)
donde hicimos uso de la relacion de totalidad. Al
escribir 1>ba ,to>suponemos que to no puede variar,
pues el observador dispone de los ,mismos estados
unidad en cualquier instante de tiempo.
Veamos ahora cual es la variacion de ( ob-
P
12
tenida a partir del principio dinamico de Schwinger.
6p =. (0, cp I ba, to>)
< to, bri3 17, t>
E
a,
()
(40)
Al calcular6para variaciones del tiem-
po obtenemos
< t,' cp I ba , to > -= at --hi < t, cp I H (t) I ba , to > (41)
puesto que ba , to > ha de permanecer constante en
el tiempo. Antes de pasar adelante queremos aclarar
14a diferencia que existe entre los conceptos implica-
dos en la notacion H (t), donde el parametro t se
refiere a la posible dependencia exp/icita en el
tiempo del hamiltoniano, y la notacion A, (t), en
que el misrno parametro exprese en este caso la po-
sible dependencia total ?dinamica y explicita? del
operador Ai respecto al tiempo.
Sustituyendo (41) en la relacion (40) tendremos
la expresion para 6 que medira el ob-
servador que estudia el movimiento del sistema fisi-
co. A partir de esta expresion para la variaciOn del
valor esperado obtendra el observador las imagenes
del movimiento
?i at
p h (42)
?
La imagen de Schrodinger aparecer?l conside-
rar que (42) es generada por la variacion dinami-
ca de los ,estados mientras que los observadores satis-
f acen
Ai (t) = 0
(43)
ecuaciOn que llamaremos de Heisenberg en la ima-
gen de Schrodinger. En este caso hemos de inter-
pretar (40) de la siguiente forma
6 p ,pp (44)
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1
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lo cual equivale a escribir
6 = to; lyi3 I (6
t
(45)
y, por consiguiente, considerando que < to, 1313 I es un
estado unidad cualquiera, ya que nuestra teoria es
independiente de los estados unidad utilizados por el
observador para representar sus mediciones, apa-
rece la ecuaciOn Hamada de Schrodinger en imagen
de Sthrodinger, a saber:
ih t> H (t) ?, t>
6t
(46)
Generalmente, los estados cp, t> no contienen de-
pendencia explicita en el tiempo. A partir de aho-
ra consideraremos que asi ocurre siempre.
Para obtener la imagen de Heisenberg, el obser-
vador debera considerar que (42) ?es producida en
su totalidad por la variation de los observab16. En
primer lugar establecera la etuacion de Schrodinger
en imagen de Heisenberg.
t> = 0 (47)
En la imagen de Heisenberg los estados son cons-
tantes. Para obtener la ecuatiOn del movimiento de
los ?observables escribiremos
6?,,f,
lo cual nos da
A (t) = [H (t), Ai (t)] (48)
6t
que frecuentemente es presentada de la siguiente
forma:
d Ai (t) 6Ai (t)
dt = 6t
[H (t), Ai (t) (49)
Esta es la ecuacion de Heisenberg en la imagen de
Heisenberg. Ecuacion (49) no introduce dependencia
dinamica en H (t)
-61-I (t) = [1-1 (t), I-1 (t)} -= 0
6t
Por eso, si el hamiltoniano depende del tiempo
lo hace explicitamente.
La imagen del movimiento que tiene mayor na-
rnero de aplicaciones es la de Tomonaga, la cual dis-
tribuye la acciOn dinamica sabre los estados y sobre
los observables de una manera arbitraria. Dividamos
en dos partes VI? y W1 el operador acciOn W
W Wo Wi (50)
Una separation semejante tendra lugar en los ope-
radores lagrangiano y hamiltoniano
L = Lo -I--
H = Ho +
(51)
Aunque esta division de la action puede ser total-
mente arbitraria, generalmente suele hacerse de for-
ma que Ho genera la evolution temporal de un mo-
vimiento perfectamente conocido, y H1 es considera-
da entonces coma una perturbation.
Los observables en este caso son movidos por H0
y los estados por H,.. De (42) deduciremos en es-
te caso las siguientes ectiaciones
zh -6T p,t> Hi[t] p,t>
Ai[t] _= [1-10 [t], Ai[t]]
(52)
(53)
donde ponemos parentesis cuadrados para indicar que
los hamiltonianos H, [t] y Ho [t], ademas de con-
teller la dependencia explicita en el tiempo, pueden
tambien tener una dependencia dinamica, ya que estos
hamiltonianos, por ser operadores, tambien han de
satisfacer la ecuaciOn (53).
De hecho, Ho [t] = Ho (t), ya que la ecuaciOn de
Heisenberg en la imagen de TomOnaga no genera va-
riation temporal dinamiCa para Ho [t], puesto que
6
- H [t] ? [H0 H [t]] = 0 (54)
h
En la imagen de Heisenberg el estado es constante,
no depende dinamicamente del tiempo, cuando la in-
teraction EI, [t] es nula.
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