SCIENTIFIC JOURNALS PUBLISHED BY HOCHSCHULE FUER ELEKTROTECHNIK, ILMENAU (INSTITUTE FOR ELEKTROTECHNIK IN ILMENAU

• Document Type: CREST
• Collection: General CIA Records
• Document Number (FOIA) /ESDN (CREST): CIA-RDP80T00246A036900380001-1
• Release Decision: RIPPUB
• Original Classification: C
• Document Page Count: 598
• Document Creation Date: December 22, 2016
• Document Release Date: February 26, 2010
• Sequence Number: 1
• Publication Date: August 30, 1957
• Content Type: REPORT

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18. U.S.O. Sea. 7!U and M. the USUMMleelon or revelation of which In any manner to an unauthorized person Is prohibited. by law.
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seven issues of Wissenacbaf
Zeitschrift published by the Hochschule fuer El.ektrotechnik> Ilmenau.
These journals give an overall picture of reaear of the
Ilalanau institute in the past. Thei journals iclaasified hen
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Hochachule fuer Slektrotechnik, Ilmenau
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18. V.S.C. Secs. 70.1 and 754, the transmission or revelation of which in any manner to an unauthorised person is prohibited by law.
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Hochschule fuer Elektrotechnik, Ilmenau
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8006
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Zeitschrift published by the Hochschule fuer Elektrotechniki Ilmenau.
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18, U.S.C. Sow. 793 and 794, the transmipion or revelation of which In any manner to an unauthorlsed person Is prohibited by law.
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SUBJECT Scientific JournalsPublished by.
Hochschule fuer Elektrotechniky Ilmenau
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gochschule fuer Elektrotechnik, Ilmenau
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Zeitschrift published by the gochschule fuer Elektrotechniki Ilmenau.
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SUBJECT Scientific JournalsPublished by
Hochachule fuer Elektrotechnik, Ilmenau
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chschule fuer Elektrotechnik, Ilmenau.
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WISSENSCHAFTLICHE
ZEITSCHRIFT
DER HOCHSCHULE FUR ELEKTROTECHNIK
ILMENAU
JAHRGANG 2 1956 HEFT 1
WISS. Z. HOCHSCH. F. ELEKTROTECHN. ILMENAU 2 (1956) H. 1
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Herausgeber: Der Rektor der Hochschule, Professor Dr. phi]. nat. H. Stamm
ie , Wissenscha ftlichen Zeitschriften" der Universitdten and Hochschulen
haben die Aufgabe, der breiten Entfaltung des wissenschaftlichen Lebens an
den Universitdten and Hochschulen der Deutschen Demokratischen Republik
zu dienen and das besondere Geprage der wissensdhaftlidhen Tatigkeit an
der jeweiligen Universitdt oder Hochschule widerzuspiegeln. Dieser Bestimmung
entsprechend sind die ?Wissenschaftlichen Zeitschriften" ausschlieilich der
Veroffentlichung von tvissensdraftlichen Arbeiten alter an den Universitdten
and Hochschulen vertretenen Fachgebiete vorbehalten. Arbeiten von Wissen-
schaftlern, die nicht an der betreffenden Universitdt oder Hodhsdiule tatig sind,
sollen nur dann in die,, Wissenschaftlichen Zeitschriften" aufgenommen werden,
wean es sich um Gastvorlesungen oder Gastvortriige handelt. Die ? Wissen-
schaftlichen Zeitschriften" sind fur Personlidhkeiten and wissenschaftliche
Einrichtungen auf erhalb der Universitaten and Hochschulen, die sie heraus-
geben, nur auf deco Tausdhwege erhdltlich.
Die in der Wissenschaftlichen Zeitschrift der Hochschule fiir Elektrotechnik mit dem Vermerk ?Als Manuskript gedruckt"!
erschienenen Arbeiten diirfen an anderer Stelle nur mit Genehmigung des Autors abgedruckt werden.
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Wiseeosehafdiche Zeitachrift der Hoehechule far Elektrotechnik llmman ? 2 (1956/ Heft 1 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultit fdr Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenachaften / Publ. Nr. 16
Institut fiir Mathematik and Mechanik, Direktor: Prof. Dr. Karl Bogel
Ala Manuakript gedruckt! DK 512.393 (084.2)
Eingang: 14. 3. 1956
"Ober ein fair Stabilitatsuntersuchungen
geeignetes Normdiagramm der Gleichungen dritten Grades
Von. Prof. Dr. rer. nat. Karl Bogel
1. Zur Leung der Gleichungen dritten Grades von
der Form
(1) As+a2A2+a1A+ao=0
mit reellen Koeffizienten ao, a1, a2 verwendet man im
allgemeinen die Transformation
(2) A=? - 3
durch welche (1) ubergeht in
(3) ?e+ plA+q0
mit
(4) P=a1-3a22; q=ao-a3a2+27a23.
Zur raschen Auflosung von (3) dient dann ein Norm-
diagramm, das alle Gleichungen der Form (3) ale
Punkte in einem ebenen rechtwinkligen Koordinaten-
system (p, q) daretelltt).
2. Diese Losungemethode fihrt zwar immer zum
Ziele, hat Aber fur die Praxis gewisse Nachteile.
Eretens let die Berechnung von p and q nach (4) recht
schwerfallig; zweitens aber fiihrt die Transformation
(2) die Gleichung (1) stets in eine vom mechanischen
Standpunkt aue gesehen ,instabile" Gleichung fiber,
namlioh in die Gleichung (3), die mindestens eine
Wurzel mit niohtnegativem Realteil besitst. In der
vorliegenden Arbeit warden wir daher eine Trans-
formation angeben, die
eretens, ebenso wie (2), die Gleichungen (1) in Glei-
chungen mit nur zwei Parametern iiberfiihrt, wobei
sweitens die neuen Parameter sich einfacher berechnen
laseen ale p and q in (4), und
drittens stabile Gleichungen (1) in stabile Gleichungen
ilbergefuhrt werden.
3. Die Bezeichnung ?stabile" Gleichung fiir eine
Gleichung, deren eamtliche Wurzeln negative Real-
teile besitzen, rechtfertigt rich bekanntlich durch den
Zueammenhang der linearen Schwingungsgleichung
n-ter Ordnung mit der zugehorigen charakteristischen
Gleichung n-ten Grades.
Im Falls n = 3 sei
(5) x+a2x+alx+ao=0
die vorgegebene Schwingungegleichung, wobei ao, a 1,
as Konstanten sind (beispielsweise die Bewegungs-
gleiohung eines RegIers ohne suBere Storungskraft).
Dann jet die Bewegung des Reglers durch die Funktion
(6) x (t) = C ,e it + C 2e t,t + Cie t,t
1) Vg1. etwa: R. Rothe, Hohere Mathematik, Tell 1, 2. Aufl.
(Leipzig 1953), S. 110.
beschrieben, wobei die (im allgemeinen komplexen)
Parameter Cl. C21 C3 von den Randbedingungen ab-
hangen, die drei Parameter A 1, A 2, A3 aber die Wurzeln
eben der Gleichung (1) sind.
Der durch (6) beschriebene Vorgang heiBt stabil, wenn
or allmahlich zur Ruhe kommt, wenn also
(7)
lim x (t) = 0
t-1 CO
ist. Das jet offensichtlich dann and nur dann der Fall,
wenn die Realteile von A 1, A 2, 23 negativ sind. Gleich-
zeitig ist (1) die zu (5) gehdrige charakteristische
Gleichung.
4. Die in Abschnitt 2 gesteckten Ziele erreichen wir
mit Hilfe der Transformation
(8) A = a 2c
immer dann, wenn
(9) a2*0
iet. Denn (8) fiihrt (1) fiber in
(10)
c3+c2+A1c+Ao=0
(11)
A O a2 a2
Erstens enthalt ni mlich die Gleichung (10) nur zwei
Parameter, and zwar AO and A1;
aweitens sind AO and Al aus ao, a1, a2 nach (11)
leichter zu berechnen als p and q nach (4), and
drittens beweisen wir: ist (1) stabil, so such (10). lot
namlich (1) stabil, so sind die drei Koeffizienten
ao, a1, a2 positiv. Die Nullstellen 11+ 12, A3 von (1)
gehen daher nach (8) in Nullstellen c1, c2, 03 von (10)
ohne Anderung des Vorzeichens der Realteile fiber.
Bemerkung: Per Sinn der Transformation (8) liegt
darin, daB der Koeffizient des quadratischen Gliedes
den vorgeschriebenen Wert 1 erhiilt. Es erfiillt aber
jede andere Transformation, die einem der Koeffi-
zienten einen beliebig vorgeschriebenen positiven
Wert erteilt, ebenfalls die erste and die dritte Be-
dingung. Die von uns verwandte Transformation (8)
let unter ihnen die einfachste.
5. Das gewunschte Normdiagramm erhalten wir nun
dadurch, daB wir die Gleichungen von der Form (10)
ale Punkte in einem rechtwinkligen Koordinaten-
system (AO, A1) auffassen. Betrachten wir in dieser
Darstellung alle Gleichungen mit einer gemeinsamen
reellen Wurzel c, so sind these Gleichungen durch die
in AO and Al lineare Beziehung
(12) As = - c Al - c2 (e +
bestimmt; ihre Bildpunkte liegen also auf einer
Geraden. Wir nennen these Gerade die c-Gerade
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Bogel: Ober ein fur Stabilitat suntersuchungen geeignetes Normdiagramm der Gleichungen dritten Grades
unseres Normdiagramms, das wir nun dadurch er-
halten, daB wir eine groBe Anzahl von c-Geraden
zeichnen and diese mit den zugehorigen Werten c
beziffern (s. die Diagramme 1-4).
Es zeigt sich, daB ein Teil I der Ebene von diesen
c-Geraden dreifach, der restliche Teil II einfach
uberdeckt wird; in Teil I liegen die Gleichungen mit
drei reellen, in Teil II die Gleichungen mit einer
reellen and zwei komplex konjugierten Wurzeln.
Die Grenzkurve zwischen beiden Bereichen wird
durch die Gleichungen snit einer (stets reellen) Doppel-
wurzel gebildet; die Gleichung dieser Grenzkurve er-
halten wir aus der Diskriminante von (10); sie lautet
(13) 4A,3--A12-18A,A0+27A02+4A0=0.
Diese Kurve bietet sich im Diagramm, ohne gezeichnet
zu sein, dem Auge von selbst dar, da sie die Um-
hilllende der Geradenschar (10) mit c als Parameter
1 1
ist. Sie hat im Punkte AO = 27 , Al = 3 einen sin-
gularen Punkt (eine Spitze) ; dieser Punkt stellt die
Gleichung (c } 3)3 = 0 dar, die einzige Gleichung
der Form (10) mit einer dreifachen Wurzel.
6. In der vorlaufigen Form liefert das Normdiagramm
nur die reellen Wurzeln der Gleichungen (10). Die-
jenigen Gleichungen (8), deren Bildpunkt in dem
einfach iiberdeckten Teil II der (A0, A1)-Ebene liegen,
haben auBer einer reellen Wurzel c noch ein komplex
konjugiertes Wurzelpaar d ? iv. Mechanisch bedeutet
dies eine gedampfte (d0) oder eine stationare (d = 0) Schwingung mit
der Kreisfrequenz v.
Nach den Koeffizientensatzen ist
(14)
c + 2 d = - 1, also
1
-4 c
(14a)
d
2
Das bedeutet, das im Bereich II Tangs einer c-Geraden
auch die Dampfung (Aufsehaukelung) d konstant
bleibt. Wir merken daher an jeder c-Geraden nicht nur
den c-Wert, sondern auch den nach (14) zugehorigen
d-Wert an; wir konnen diese Geraden im Bereich II
auch als ?Geraden konstanter Dampfung (Aufschau-
kelung)" bezeichnen.
Zur Berechnung der Kreisfrequenz v betrachten wir
die aus den Koeffizientensatzen folgende Gleichung
(15) 2cd+d2+v2-=A?
also
(15a) P2 = Al - d (2 c + d),
oder auch
(16) - (d2 + v2) c = AO ,
also
(16a)
v2=-A_-d2.
c
Um die Kreisfrequenz auch unmittelbar aus dem
Normdiagramm ablesen zu konnen, zeichnen wir in
ihm die Linien konstanter Kreisfrequenz v, die wir
,,die v-Linien" nennen.
lot v ein Festwert von v, so erhalten wir die Linie
e = v punktweise dadurch, daB wir auf einer (c, d)-
Geraden den Punkt mit der durch (15) bestimmten
Koordinate Al aufsuchen; zur Kontrolle dient dann,
daB dieser Punkt auch die durch (16) bestimmte
Koordinate AO besitzt.
Selbstverstandlich verlaufen alle v-Linien vollstandig
im Bereich II (s. die Diagramme 5-7).
7. Wir sind nunmehr in der Lage, in jedem Fall aus
dem Normdiagramm alle drei Wurzeln der Gleichung
(10) abzulesen, gleichgiiltig, ob alle drei reell sind oder
ob sich zwei komplex konjugierte unter ihnen be-
finden. Die Wurzeln von (1) liefert uns sodann die
Transformationsformel (2); ist D + i N eine komplexe
Wurzel von (1), so ist D = a2 d and N = a2 v.
Das Rezept zur Auflosung einer Gleichung (1), in
welcher a2 - 0 ist, ergibt sich damit aus allem Vorher-
gehenden.
8. Auch der Fall a2 = 0 last sich mittels des Norm-
diagramms losen. Verschwindet auBer a2 auch noch
a1, so ist die Losung von (1) ganz elementar. Es sei
also a2=0, a1$0, ao40.
In diesem Falle setzen wir
(17)
damit geht (1) allgemein in die Gleichung
(18) i3+b,X2+b,x+bo=0
fiber, mit
(19) bo= ;. b1b2
ao ao ao
die sich wegen b2 t- 0 auf die Form
(20) C3+C2+B,C+Bo=0
transformieren and somit durch das Normdiagramm
auflosen laBt.
Der Transformation (17) kommt noch eine andere
praktische Bedeutung zu. Es sei in (1) nicht a2 = 0
and mindestens einer der Parameter A. and A, der
Gleichung (10) so groB, das ihr Bildpunkt auBerhalb
des gezeichneten Teiles des Normdiagrammes fallt.
Dann kann immerhin der Bildpunkt der Gleichung (20)
in diesen gezeichneten TO fallen.
9. Wir stellen nun fest, wo irn Normdiagramm die
stabilen Gleichungen der Form (10) zu finden sind.
Die Hunoitzschen notwendigen and hinreichenden
Bedingungen fiir die Stabilitat sind in diesem Falle
sehr einfach, sie lauten
(21) 0 AO A1.
Diesen Bedingungen genilgen alle inneren Punkte des
ersten Oktanten unseres (Ao, A 1)-Koordinatensystems,
and nur diese Punkte. Wir sind daher berechtigt,
diesen Oktanten als den ?Stabilitatsoktanten" der
Gleichungen (10) zu bezeichnen.
Wir konnen damit auch leicht fiber die Stabilitat einer
Gleichung von der Form (1) entscheiden: diese ist
stabil, wenn
erstens a2 >0 ist,
zweitens der Bildpunkt der transformierten Glei-
chung (10) im Stabilitatsoktanten liegt.
10. In unserem Normdiagramm gehort, wie der erste
Blick zeigt, der Stabilitatsoktant (his auf einen
kleinen Teil in der Nahe des Nullpunktes), zum
Bereich II. Wir suchen nun die Gleichungen (10),
fiir welche der Gesamtvorgang (6) am schnellsten
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Bagel: Dber ein fiir Stabilititsuntersuchungen geeignetes Normdiagramm der Gleichungen dritten Grades
abklingt. Das ist offenbar dann der Fall, wens die
Realteile aller drei Wurzeln von (10) untereinander
gleich, jeder also gleich - 1 ist. Die drei Wurzeln
haben darn die Form
1 1
(22) c1=-3; c2.3 =-3?iv (v 0),
(23) A?=3(9+v2),
(24) Al=(9 +v2)+9
ergibt, and hieraus die Gleichung
(25) A1=3Ao+9,
welch letztere eine durch die Spitze der Diskrimi-
nantenkurve gehende c-Kurve darstellt, die keinen
Punkt im Bereich I enthalt. Die Riicktransformation
(8) wandelt (25) in Bedingungen fur die Koeffizienten
von (1) um:
(26) a? > 0, a1 > 0, a2 > 0 ; alas = 3 ao + 9 a2$?
11. Haben wir im Stabilitatsoktanten eine Gleichung
(10) mit grolem Parameter A1, so haben wir es nicht
notig, die Transformation (17) anzuwenden. Wie das
Normdiagramm zeigt, sind die im Stabilitatsoktanten
verlaufenden c-Geraden nahezu Nullpunktgeraden
and lassen sich daher approximativ durch die Null-
punktsgeraden
(27) A,c+A0=0
ersetzen. Das ergibt als Naherungslosung von (10) fur
die reelle Wurzel c die Beziehung
(28) c r*" - AO = - ao
Al at a2
and fur die beiden komplex konjugierten Wurzeln
d ? iv zunichst die Beziehung
(Z9) d=-1-ccv-1(1-A)=-1(I- a0 )-
2 Al 2 a1 a2
Die v-Linien sind im Stabilitatsoktanten nahezu
Geraden, die zur A?-Achse im Abstand v2 parallel ver-
laufen, so daB wir
(30)
2 a1
V2 ~,A1=a2 2
erhalten. Vergleichen wir die approximativen Werte
(28)-(30) mit den wahren Werten, so erhalten wir fur
c den Feller
(31)f --A - c =cA1--c2+ (1 { c) -c-c2(1 +C)
Al Al Al
also den prozentualen Fehler
(31a)
pe =100? c (1 + c)
A ,
1
and auf ahnlichem Wege die prozentualen Fehler fur
d and v2 :
(32) Pa = 100 c2
A ,
1
d (2 c + d)
(33) p,2=100 A1-d(2c+d)
Die Formeln (31)-(33) gelten in allen Oktanten. Im
Stabilitatsoktanten ist stets - 1 < c < 0, woraus sich
die Abschatzungen
(34)
and
(35)
1
c(1+c)Ichinen
im Auswechseln von Zahnriidern, bei Automaton in
der Nacharbeit ganzer Elemente bestehen. Bei der-
artigen Gesamtbauteilreparaturen ist mit hohen Kosten
and einem liingeren Produktionsausfall der Maschine
in der Fertigung an rechnen. Aus diesem Grunde ist
die Bereitstellung von Reservemaschinen notwendig.
Sind mehrere Gesamtbauteilreparaturen an den Ma-
schinen vorzunehmen, so kann dies zum Ausfall gan-
zer Fertigungsabteilungen and . zum Absinken der
Produktion des Betriebes fiihren. Es ist deshalb ein
planmiiBiges Erfassen der Gesamtbauteilreparaturen
unerliBlich.
Grundreparaturen bezwecken eine systematische Re-
paratur aller Teile. Auch sie rind zu erfassen, um
Schwierigkeiten jeglicher Art im Betrieb an be-
gegnen, zumal dieselben im allgemeinen eine be-
deutend langere Reparaturzeit and hohere Kosten
als die Gesamtteilreparaturen an Maschinen erfordern.
Bei der Entscheidung fiber die Reparaturbediirftig-
keit einer Maschine sind folgende Faktoren in Be-
tracht zu ziehen:
die Art der zu reparierenden Maschinenelemente,
die kalkulierten Kosten der Reparatur,
der Umfang der Fertigung,
die Einschaltung der Maschine in die Fertigung,
die vorhandenen Vorrichtungen der Maschine,
der Reservewert der Maschine.
Der Zustand der reparierten Maschine hat in der Prilf-
genauigkeit einwandfrei arbeitenden Werkzeug-
maschinen zu entsprechen. (Werden konstruktive
Verbesserungen bei der Reparatur an den Maschinen
vorgenommen, wird der Betriebswert derselben na-
turgemaB fiber den Neuwert hinaus erhoht.)
Grundreparaturen sind im allgemeinen
a) wegen schlechter Behandlung oder
b) infolge VerschleiBes erforderlich.
(Unfallbeschadigung ist verhaltnismaRig selten.)
Zu a) :
Uberhbhte Arbeitsgeschwindigkeit, zu schwere Ferti-
gungsteile, mangelhafte Maschinenfundamente, Uber-
beanspruchung der Maschine beim Anfahren, nach-
lassige Wartung, Schmierung and Reinigung, Bruch
and stumpfe Werkzeuge fiihren in kurzer Zeit an
ausgedehnten Reparaturen. Auch die Verwendung
des Hammers beim Einspannen and Richten zerstdrt
die empfindlichsten Teile der Werkzeugmaschinen.
Zu b) :
Unter oft rauhen Betriebsbedingungen hat die Maschine
wahrend einer angemessenen Lebensdauer zu arbeiten.
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Es ist daher verstandlich, daB ihre Bauteile dem
VerschleiB unterworfen sind. VerschleiBerscheinungen
and Instandhaltungskosten hangen naturgemaB eng
zusammen. Beides moglichst niedrig zu halten, ist so-
mit eine vordringliche Aufgabe der Wirtschaftlichkeit.
Da VerschleiB nicht nur Verlust an Werkstoffen,
sondern auch an aufgewendeter Arbeitskraft and
-zeit bedeutet, sind seine Ursachen im Betrieb standig
zu uberpriifen. Durch Verschleierung der Betriebs-
vorfalle wird einer ungeniigenden Kontrolle Vor-
schub geleistet.
Es seien nur die zwei markantesten Formen des Ver-
schleiBes angefuhrt :
a) Gerausche wie Pfeifen, Singen u. A. an Verspa-
nungsmaschinen deuten auf zerstorende Schwin-
gungen hin;
~B) Drehspane, GuB- and Schmirgelstaub verun-
reinigen bei der Zerspanung das Schmierol. Ihre
durch die Laufzeit, Drehzahl and Belastung be-
dingte Einwirkung ist an den Gleitflachen der Ma-
schinen festzustellen. Auch die Schmierfahigkeit
des Oles laBt im Laufe der Zeit nach.
Die Abnutzung ist vor allem ein Oberflachenvorgang.
Dabei ist der Abnutzungswiderstand der einzelnen
Bauteile kein eindeutiger Begriff. Seine EinheitsgroBe
ist vielmehr je nach der Art der Beanspruchung ver-
schieden, wie uberhaupt die GroBe des VerschleiBes
vom Material, der Pflege der Maschinen and der Be-
schaffenheit der Schmierstoffe abhangt.
Die an den betreffenden Teilen bewirkten fortschrei-
tenden Formveranderungen fiihren allmahlich zu
Storungen verschiedenster Art in ihrer Arbeitsweise.
Fur jedes Bauelement ist nur ein ganz bestimmtes
HochstmaB an VerschleiB zulassig, bei dessen Vber-
schreitung seine ordnungsgemaBe Funktion in Frage
gestellt ist. Hochwertige, arbeitsintensive Maschinen-
elemente miissen eine langere Lebensdauer besitzen
als Teile, deren Herstellung and Auswechselung keine
langen Stillstandszeiten verursachen. Sobald ein
einzelnes Maschinenelement das zulassige hochste
AbnutzungsmaB erreicht hat, sind an ihm die er-
forderlichen Reparatur- oder Ersatzarbeiten vor-
zunehmen.
Jede Instandsetzung and Vberholung bedeutet Still-
stand der betreffenden Maschine and Produktions-
ausfall. Demontage- and Montagekosten ziehen auBer-
dem Aufwendungen an Werkzeugen and Verlust an
Hilfsmaterial nach sich and binden Arbeitskrafte,
Werkzeuge and Einrichtungen.
Die Wirtschaftlichkeit einer Werkzeugmaschine wird
durch die Anlage-, Betriebs- and Instandhaltungs-
kosten sowie die Betriebssicherheit der Anlage durch
die Ausnutzungsmoglichkeit im weitesten Sinne be-
einfluBt. Wahrend die letzteren Umstande, obwohl
sie fur die ZweckmaBigkeit and Bewahrung einer An-
lage bestimmend sein konnen, sich ziffernmaBig kaum
erfassen lassen, ist dies bei den Anlage-, Betriebs- and
Instandhaltungskosten moglich. Diese Kosten sind
sowohl zur Vorherbestimmung als auch zur Uber-
wachung der Wirtschaftlichkeit der Anlage notwendig.
Eine Wirtschaftlichkeitsberechnung wird fur jede
einzelne Maschine getrennt durchgefiihrt.
Die Hohe der auflaufenden Instandhaltungskosten
wird nicht nur durch das Erfassen der Betriebsein-
wirkungen auf die einzelnen Bauteile beeinfluBt; auf-
merksame iiberwachung and Beobachtung der Ma-
schine, Priifung der Beschaffenheit der Betriebsmittel
and Verfolgen der Betriebsergebnisse sind ebenso
wichtig. Neben den Kosten fur Reparaturen, Ersatz-
teile and Nacharbeiten kommen noch die Kosten fur
die Demontage and Montage hinzu. Leichte Zugang-
lichkeit der erfahrungsgemaB haufig zu iiberholenden
Teile and ein ubersichtlicher Aufbau der Maschine
ebenso wie der Gesamtanlage sind daher anzustreben
and konnen sich auf den Ertrag der Anlage durch
ihren EinfluB auf die Lange von Stillstandszeiten sehr
fuhlbar machen.
Stillstande der Anlage belasten die Gesamtwirtschaft-
lichkeit unmittelbar als Verluste (Bild 1).
Masdwre
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DM
1000 -
1000. -
S86. -
586. -
224-
224 -
Gesamtkosten
13164.-
2414. -
1142. -
980--
456.-
600. -
fAlshvldskosten
1,58
1,21
0,57
0,49
0,23
0,30
Statistiken enthalten meist eine Ubersicht fiber die
in verschiedenen Zeitabstanden an den Maschinen
vorzunehmenden Instandhaltungsarbeiten, aus denen
die notwendigen Stillstandszeiten abgeschatzt werden
konnen. Solche Unterlagen geben einen ersten An-
halt fiir die Vberwachung der Maschine. Die Erfah-
rungen des Betriebes werden in jedem einzelnenFall
bald jene Zeitabstande erkennen lassen, innerhalb
deren die einzelnen Bauteile einer lJberpriifung be-
diirfen bzw. ihre Uberholung notwendig wird. Im
Interesse moglichst kurzer Stillstandszeiten werden
die Bauteile in Gruppen von zeitlich gleichen Uber-
holungsabstanden zusammenzufassen sein, so daB
sich ein genaues Programm fur die Arbeiten aufstellen
laBt.
Die Arbeiten selbst konnen entweder wahrend der
Betriebspausen oder wahrend vorher festzulegender
Stillstandszeiten ausgefiihrt werden.
Die Betriebssicherheit der Werkzeugmaschinen wird
durch die Hohe der den Maschinen zuzumutenden
Normalleistung and der zulassigen Uberlastbarkeit
begrenzt. Sic bestimmt auch die Zahl der zur Auf-
stellung gelangenden Reserveaggregate.
Die Organisation der Reparaturarbeiten
Die Zusammenfassung der Reparaturwerkstatten unter
einer Leitung ist nicht nur wirtschaftlicher, sondern
setzt auch die Betriebsleitung in die Lage, den Ein-
fluB der Storungen auf den Gesamtbetrieb zu iiber-
blicken and danach die MaBnahmen zu treffen. In der
Regel wird eine Zentralwerkstatt errichtet, die die
laufenden Reparaturen aller Werkstatten auszu-
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fiihren hat. Ihr stehen fur den AuBendienst fliegende
Arbeitskolonnen zu Montagearbeiten u. dgl. zur Ver-.
fugung. Neben der Zentralwerkstatt bestehen Werk-
statten, die in erster Linie die schnell zu beseitigenden
Reparaturen zu bearbeiten haben. Diesen Werkstatten
obliegen vor alien Dingen die Betriebswachen, die bei
Storungen selbstandig eingreifen, ehe die Werkleitung
benachrichtigt ist and nahere Anweisung geben kann.
Wenn auch die Reparaturwerkstatten mit guten
Werkzeugmaschinen ausgeriistet werden sollen, so
sind these nur an solchen Stellen mit wirtschaftlichem
Vorteil anzuwenden, wo sie genugend ausgenutzt wer-
den konnen. Dieser Umstand zwingt vielfach zur Zu-
sammenziehung der Reparaturwerkstatten.
Reparaturzeichnungen dienen der Instandsetzung von
Einzelteilen, Baugruppen, Untergruppen and such
fur die Anfertigung von neuen Einzeiteiien mit den
Reparaturabmessungen der einzelnen Elemente. Sie
werden in den Fallen ausgearbeitet, wo der bei der In-
standsetzung vorzunehmende Austausch eines ab-
genutzten Einzelteiles durch ein neues technisch nicht
moglich, unwirtschaftlich oder unzweckmaBig ist. Um
die Austauschmoglichkeit zu erhaiten, sind die Einzel-
teile in ihren urspriinglichen Abmessungen wieder-
herzustellen, and nur in Sonderfallen, die z. B. durch
technische oder wirtschaftliche Erwagungen bedingt
werden, ist die Verwendung der Reparaturabmes-
sungen zuzulassen.
Als Reparaturabmessung wird die von der urspriing-
lichen Abmessung abweichende, fur die Instandsetzung
des Einzelteiles oder fur die Anfertigung eines neuen
Einzelteiles zum Austausch gegen ein unbrauchbar
gewordenes Einzelteil festgesetzte Abmessung be-
zeichnet.
Bei der Fertigung der Reparaturzeichnungen sind als
Unterlagen zu verwenden:
a) die Arbeitszeichnungen, die neben den tech-
nischen Bedingungen alle fur die Produktion, Re-
paratur and Kontrolle der Erzeugnisse notwendigen
Angaben enthalten (Analyse oder Toleranzen),
b) Instandhaltungskarten mit Nachweisen der Man-
gel, typischen Fehlerquellen oder Angaben fiber
die GrOBe des VerschleiBes der einzelnen Teile in
Abhangigkeit von der Arbeitsdauer, die auf Grund
der Beobachtung der Erzeugnisse unter Betriebs-
bedingungen aufgestellt werden, sowie technischen
Angaben fiber die praktisch durchgeffihrten Re-
paraturverfahren.
Die Uberwachung der Reparaturarbeiten kann nur
von einer Stelle aus erfolgen, die sowohl fiber die zur
Verfiigung stehenden Werkstatten als auch fiber die
voraussichtiiche Dauer der einzelnen Arbeiten orien-
tiert ist.
Reparaturen an Werkzeugmaschinen, deren Kosten
an Material and Lohn fiber die regularen Gemein-
kosten hinausgehen, sind von der Betriebsleitung zu
genehmigen. Diese Vorschrift gilt ffir samtliche Werk-
zeuge, Werkstatteinrichtungen u. dgl. einschlieBlich
Instandhaltung bzw. Reparatur.
Reparaturen von Maschinen Sind vor Beginn der Ar-
beit bei der Werkleitung zu beantragen (Bild 2). Erst
nach Genehmigung darf mit der Reparatur der Werk-
zeugmaschine begonnen werden.
AnMag f. Msfandha/f
v. YWrkse schin.
Mr.
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Genehmigung:
Abwicklun
Ab enommen
8 fr.-
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Die statistische Erfassung der Reparaturen
Eine der wichtigsten Aufgaben der ,Betriebsiiber-
wachung" and der ihr unterstehenden Betriebs-
abteilungen besteht darin, durch vorbeugende MaB-
nahmen das Auftreten von Betriebsstorungen mog-
lichst zu vermindern. Die Maschinen sind in bestimm-
ten Zeitabstanden zu iiberpriifen.
Die Uberwachung der Instandhaltung and Instand-
setzung hat die Aufgabe, eine Kostensenkung herbei-
zufiihren. Jeder Schaden an einer Werkzeugmaschine
verursacht Zeitverluste and Kosten, d. h. der Betrieb
erleidet eine Leistungsminderung. Es mfissen die Vor-
aussetzungen geschaffen werden, daB die Werkzeug-
maschinen stets einsatzbereit sind. Dies kann ge-
schehen:
1. durch Ausarbeitung geeigneter Bedienungsvor-
schriften mit Hinweisen auf die speziellen Ver-
wendungszwecke and die Pflege der Maschine;
2. durch rechtzeitige Meldung and Ausbesserung
kleinerer Schaden;
3. durch richtige Auswahl geeigneter Maschinen;
4. durch Feststellung des fur die einzelnen Repara-
turen notwendigen Materials, um Materialver-
schwendung zu vermeiden;
5. durch Vberwachung der Belastung and Leistung
der einzelnen Maschinen.
Die statistische Erfassung der Haufigkeit der er-
forderlichen Reparaturen der Werkzeugmaschinen,
der Art der dabei hervortretenden Mengel and der er-
forderlichen Reparaturdauer gibt erst die Moglichkeit
fur eine Beurteilung der Brauchbarkeit der Maschine
Bowie der Vorzuge bzw. Schwachen ihrer Konstruk-
tion. Die Statistik spiegelt die Beanspruchung der
Maschinen durch die Betriebsverhaltnisse and durch
die Bedienung wider; sie zeigt ferner dieEignung der
Maschinen fur den Betrieb. Neben der Haufigkeit
sind die Art, die Dauer and die Kosten (Lohn and
Material) der Reparatur je Maschine and Konstruk-
tionsteil zu ermitteln. Auger der Ermittlung des Zeit-
aufwandes and der Transportkosten der zu repa-
rierenden Maschinen zur Werkstatt and zum Betrieb
zuriick sowie der Anzahl and durchschnittlichen Dauer
der hierdurch bewirkten Betriebsstorungen and des
damit zusammenhangenden Leistungsausfalles rind
die Kosten der Reparaturen festzustellen je gleich-
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artige Maschine, je Konstruktionsteil, ausgedriickt in
der absoluten Zahl der Leistungseinheit usw.
Die Ergebnisse dieser statistischen Untersuchungen
bilden die Grundlage fur eine systematische Verbesse-
rung der Konstruktionseinzelheiten, da die Reparatur-
anfalligkeit der einzelnen Maschinenteile I.ierdurch klar
in Erscheinung tritt. Aus der Ubersicht fiber die Ge-
setzmaBigkeiten der Reparaturbediirftigkeit ergeben
sich ferner Unterlagen fiber die voraussichtliche Be-
lastung der Grundreparaturwerkstatt, insbesondere
fiber die benotigte Arbeitszeit, fur die Beurteilung
der Ausfiihrung der Reparaturen (d. h. der Leistungs-
fahigkeit der Reparaturwerkstatt) and der Behand-
lung der Maschinen im Betrieb sowie ffir die Verbesse-
rung der Arbeitsmethoden.
Von wesentlicher Bedeutung ffir die Kostengestaltung
and den Zeitbedarf der Reparaturen ist der Aus-
tauschbau. Die Normung ermoglicht die Ersetzung
verbrauchter bzw. ausbesse-
rungsbedfirftiger Einzelteile
durch gebrauchsfertige Teile.
Die alten Teile konnen un-
abhangig vom augenblick-
lichen Bedarf wieder her-
gestellt and auf Lager ge-
legt werden. Die Reparatu-
ren der Werkzeugmaschinen
bestehen, sofern keine groBe-
ren Beschadigungen vorlie-
gen, in der Hauptsache nur
im Ausbau der zu reparie-
renden and im Einbau der
gebrauchsfertigen Einzel-
teile. Das Warten auf die
Reparatur der Einzelteile
fallt weg. Das im Austausch-
bau erforderliche Lager wird
durch die Normung weit-
gehend eingeschrankt. Sic
ermoglicht auch neben der
Verkiirzung der Reparatur-
dauer, dem Ausgleich der
Schmierstoffalterung, chemische Angriffe usw. aus.
Die gefahrdende Wirkung benotigt eine gewisse Zeit.
Jeder Reparaturauftrag, der von der Abteilung Be-
triebsunterhaltung ausgeff hrt wird, ist einzeln zu
kalkulieren, damit die Wirtschaftlichkeit dieser Ab-
teilung standig kontrolliert werden kann. Haben wah-
rend der Fertigung die aufgelaufenen Kosten die be-
willigte Summe erreicht, ohne daB die Maschinen
fertiggestellt sind, so ist vor jeder Weiterarbeit die
voraussichtliche zusatzliche Kostensumme bei der
Werkleitung neu zu beantragen. Ein Weiterarbeiten
ohne Genehmigung ist nicht zulassig.
Nach Beendigung and erfolgter Abnahme der Re-
paratur werden die tatsachlich aufgewandten Kosten
berechnet and dem Kostenanschlag gegenuber-
gestellt.
Fur jede Werkzeugmaschine wird eine Maschinen-
instandhaltungskarte geffihrt, auf der alle Instand-
NtrM-I
Iu/frry
Lohnzettel -Reparatur
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Durchsdrift an da Botrlebsuner-
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Meister
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Spitzenbelastung der Reparaturwerkstatte and der
Verminderung der Lagervorrate eine weitgehende
systematische Verwendung des Altmaterials.
Normung and Typisierung ergeben die Moglichkeiten,
aus vielen Reparaturoperationen eine cinfache Er-
satzoperation zu machen and die Reparatur bzw. die
Herstellung der Ersatzteile zu vereinfachen.
Bei haufig wiederkehrenden Reparaturarbeiten lassen
sich durch Zeitmessungen die gfinstigsten Arbeits-
methoden ermitteln.
Die Kostenberechnung ffir Reparaturen
Die Instandhaltungskosten sind abhangig von der
Hohe der Uberholungskosten aller VerschleiBteile,
von der mittleren Standzeit dieser Teile, vom Be-
triebsalter der Maschinen, einem Faktor, der die
B&:triebsverhaltnisse berucksichtigt, einem weiteren,
der die Empfindlichkeit der Maschinen gegen diese
Einfliisse kennzeichnet, and letzten Endes von der
Benutzungsstundenzahl; denn die Inbetriebnahme
i bt auf den Betriebszustand der Maschine eine nach-
teilige Wirkung durch Abrieb, Werkstoffriickstande,
haltungsarbeiten einzutragen sind. Ersatzteile, die
im Einzelfall besonders beschafft werden mfissen,
sind ebenfalls zu vermerken.
Samtliche Kosten fur die Instandhaltung von Werk-
zeugen and Maschinen werden zu Lasten der Kosten-
stelle verrechnet, zu der die Maschine gehort. Fur alle
Instandhaltungsarbeiten an Werkzeugen sind Lohn-
zettel zu verwenden, auf denen die Inventurnummer
anzugeben ist. Die Durchschriften aller Lohnzettel
sind mit der Angabe der verbrauchten Teile and Werk-
stoffe nach Beendigung der Arbeit der ,Betriebsunter-
haltung" zuzuleiten. Die Gesamtkosten fur die In-
standhaltung werden nach Erledigung festgestellt:
Ersatzteile + Werkstoff + Lohn and Zuschlag.
Werden Instandhaltungskosten von der Werkstatt, der
die Werkzeugmaschine angehort, selbst festgehalten,
so benutzt diese Werkstatt den Lohnzettelvordruck
Bild 3. Hierauf konnen eine Reihe von verschiedenen
Instandhaltungsarbeiten vermerkt werden, wobei fur
jede Instandhaltung die Inventurnummer, die Be-
zeichnung der Maschine, eine stichwortartige Angabe
der Instandhaltungsarbeit sowie der Zeitaufwand fur
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Beck: Werkzeugmaschinen-Reparaturen
jede Arbeit ersichtlich sind. Die verbrauchten Werk-
stoffe and Materialien and gegebenenfalls nahere An-
gaben fiber die Instandhaltungsarbeiten sind auf der
Riickseite der Lohnzetteldurchschrift einzutragen.
let es hierbei erforderlich, bestimmte Arbeiten in einer
anderen Werkstatt ausfi hren an lassen, z. B. Bohren,
Schweilen usw., so wird eine Benachrichtigung mit
der Angabe der Inventurnummer an die betreffende
Werkstatt gegeben, wobei fur die Lohnzettel dieser
Werkstatt das gleiche wie oben gilt. Alle Lohnzettel-
durchschriften sind auch in diesem Falle nach der
Ausfertigung an die Abteilung ,Betriebsunterhaltung"
weiterzureichen. Diese stellt die Kosten je Maschine
an Hand der Angaben der Lohnzetteldurchschrift
feet, vermerkt sie auf dem Lohnzettel and tragt sie
auf ihrer Instandhaltungskarte ein.
Ale Auftragsunterlage dient die erste Durchschrift des
Maschinen-Instandhaltungsantrages, wahrend das Ori-
ginal zur Uberwachung zuriickbehalten wird. Nach
Erledigung stellt die ,Betriebsunterhaltung" die Ge-
samtkosten je Maschine feet and tragt sie auf ihrer
Maschinen-Instandhaltungskarte ein.
Die systematische Erhaltung des Maschinenparks
halt das Kostenniveau in niedrigen Grenzen.
Unvorhergesehene Reparaturen, die durch unzurei-
chende Pflege, vorzeitigen VerschleiB infolge un-
geeigneten Materials oder besonderer Betriebsein-
flisse, durch standige Uberlastung, fehlerhafte Be-
dienung oder hohere Gewalt ausgelost werden, sind
in der Kostenberechnung gesondert zu behandeln.
Neben den nicht unmittelbar zu beeinflussenden Ko-
sten bleibt somit noch eine betrachtliche Anzahl von
Stbrungsursachen iibrig, die eine hohe Belastung des
Instandhaltungskontos zur Folge hat.
Die Plankostenrechnung hat die Maschineninstand-
haltung einzubeziehen.
Kennziffern aus verschiedenen Betrieben schwanken
in weiten Grenzen and sind nicht ohne weiteres zu
verwerten.
Die Kostenberechnung fur Reparaturen and Ersatz-
teile hat, wie bereits erwahnt, auch die Ruckwirkung
der Reparaturbediirftigkeit der betreffenden Maschine
auf die gesamten Betriebskosten zu beriicksichtigen.
Wird z. B. eine Frasmaschine im Betrieb reparatur-
bedurftig, so wird der Betrieb nicht nur mit den Re-
paraturkosten belastet, sondern such mit den Kosten,
die durch die Betriebsstorung sowie durch den Ab.
und Antransport der Frasmaschine erwachsen. Die
Statistik der Gebrauchsdauer, die Giitestatistik der
Ersatzteile sowie die Statistik der ausgefuhrten Re-
paraturen zwecks Uberwachung sachgemaler Aus-
fiihrung tritt in den Vordergrund des Interesses. Mit
der Uberwachung der Maschinenreparaturen mull auch
die Uberwachung der Instandhaltung parallelgehen,
um die Reparaturbedurftigkeit moglichst niedrig zu
halten. Die Kennziffern der fur Reparatur- and In-
standhaltung aufzuwendenden Arbeiten, Material and
Zeit and die gegebenenfalls damit verbundenen Be-
triebsunterbrechungen geben unter Beriicksichtigung
der sonstigen Betriebskosten einen Vergleich fur die
Sicherheit and Brauchbarkeit der Maschinenanlagen.
Der Wert einer Werkzeugmaschine wird durch ihre
effektive Ausbringung bestimmt. Diese ist abhangig
von Storungssicherheit, leichter Bedienbarkeit and
kleiner Verlustzeit beim Werkzeugwechsel. Fertigungs-
gerechtes Konstruieren ist daher die vordringlichste
RationalisierungsmaBnahme iiberhaupt. Bei einer
Weiterentwicklung vorhandener Typen ist das Be-
stehende auf wenige Typen mit Baukasteneinheiten
zurickzufi hren. Von der Fertigungsseite her ist die
Erreichung des geplanten Zieles durch die Aufstellung
der Bearbeitungsmaschinen nach dem Werkstatten-
prinzip moglich.
Gu/Jlayer
Mbrierei I 1_ , o,
Scgerei Spindel=
Rohlager 'Iwellen
0 Getriebe 3
IMagazin
ScNol3pi S ~ 0 1
1 0 i Vmchubk.4
E Ausr 6
Bettschl 7
-uuuooou~
Versand p .~1
Ve tt uorw ng
Bild 4
L---1
Die ausgesprochene Massenfertigung benotigt eine
Aufstellung der Maschinen nach dem Werkstiick, nach
der MaschinenstraBe. Eine weitere Moglichkeit der
Maschinenaufstellung ergibt sich, iusbesondere bei
der Herstellung kleinerer Stilckzahlen, nach gleich-
artigen Arbeitsgangen. Hier erfolgt die Aufstellung in
sogenannten UniversalstraBen (Bild 4).
Jeder Betrieb ist ein dynamisches Gebilde, in dem die
Einrichtungen stets der Fertigung angepaBt werden
miissen. Eine Umstellung der einzelnen Maschinen
muB ohne groBere Schwierigkeiten ermoglicht wer-
den konnen. Wird damit der Arbeitsaufwand pro Fer-
tigungsstiick gesenkt, so sind die dafiir aufzuwenden-
den Kosten gerechtfertigt. Durch entsprechende Werk-
stattenplanung konnen die Kosten der Maschinen-
umstellung and der Neuinstallation auf ein ertrag-
liches MaB herabgedriickt werden.
Die Aufstellung der Werkzeugmaschinen nach den
Arbeitsgangen gestattet eine bessere Verwertung alter,
nicht mehr voll leistungsfahiger Werkzeugmaschinen.
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Sie konnen in solchen StraBen Verwendung finden and
fur Arbeitsgange eingesetzt werden, bei denen die
reine Schnittzeit nicht ins Gewicht fallt oder wo
Mehrmaschinenbedienung vorhanden ist.Ein Umbau
zwecks verkiirzter Nebenzeiten wird ihren Wirkungs-
grad dabei erheblich verbessern konnen. Die Unter-
brechungen des Arbeitsflusses werden durch die ge-
nannten Methoden vermieden.
An dieser Stelle sei noch erwahnt, daB die Be-
schrankung von Typen and Abmessungen bei den
Werkstoffen von besonderer Wichtigkeit ist. Die Werk-
stofflager der Betriebe werden oft durch hohe Sorten-
zahlenunnotigerweise belastet. Viele Arten and Abmes-
sungen sind meist nur in kleinsten Mengen vorhanden,
belasten aber alle Karteien, Inventuren usw. Dazu
kommt bei den vielen Sortenzahlen noch die Ver-
wechslungsgefahr. Durch eine Beschrankung der Werk-
stoffsorten besteht die Moglichkeit, die Werkstoffe
nicht nur nach chemischen and physikalischen Daten,
sondern auch durch eine Bearbeitbarkeitspriifung im
Kurzverfahren abzunehmen. Die Ersparnismoglich-
keiten, die in einer gleichformigen Bearbeitbarkeit der
Werkstoffe liegen, sind groBer, als im allgemeinen an-
genommen wird.
Verkaufsi des
Verkoulspre ses v.
Feth q W:M
_ qungsmen sfStucX1 _
normale erhoht,
Serie bei Werkreugrrwschinen
Bild 5 (oben) Bild 6 (unten)
Rationalisierung ist eine imperative Forderung, wean
man den Fortschritt will. Diese Rationalisierungs-
maBnahmen, deren Wirkung in kurzer Zeit sichtbar
wird, ermoglichen den Einsatz wirtschaftlicher Ferti-
gungsmittel im Werkzeugmaschinenbau, namlich den
Einsatz von 4utomaten, von MaschinenflieBreihen
and die zweckmaBige Aufgliederung des Fertigungs-
flusses in der Werkstatt.
Der EinfluB des Lohnanteils bei Reparaturkosten ist
vom Serienumfang bei der Herstellung der Maschine
abhangig. Die Reparatur von Maschinen, die einzeln
hergestellt werden, z. B. Spezialmaschinen, ist am
wirtschaftlichsten. Bei in groBer Serie hergestellten
Maschinen lohnt sich kaum eine Reparatur.
Das Verhaltnis zwischen Lohnanteil and Neubeschaf-
fungspreis zeigt Bild 5 and 6. Bei Einzelfertigung be-
tragt der Lohnanteil ca. 48 ?,% , bei iiblichen Serien von
Werkzeugmaschinen sinkt er auf etwa 40 bei Se-
rien von 100 Stuck pro Monat sogar auf 27 his 28 ?; .
Durch groBere Serien, die fiber 150 Stuck hinaus-
gehen, konnen keine bedeutenden Lohnersparnissu
mehr erzielt werden. Die Grenze liegt bei 22 ?.,.
Das Verhaltnis der Reparaturkosten zum Herstellungs-
preis fur Serien- and mittlere Einzelmaschinen ist
in Bild 6 schematisch wiedergegeben. Steigt der Kilo-
gestehungspreis, so sinken die prozentualen Repara-
turkosten. Bei kleineren Serienmaschinen liegt die
Reparaturkostenkurve fiber der Herstellungspreis-
kurve, bei Einzel- oder Prazisionsmaschinen weit dar-
unter. Die Grundreparaturkosten lehnen sich an die
Einzelfertigungskosten an. Bild 7 zeigt these Verhalt-
{
Gestehun skosten fur neue Meschinen
Y NeuloMe. Iuschfuge
Gr-dub erh0tungskoshn
fgeschdtrq
NeuloMe
j
Gn duberholungs-Lohne (gesch&rt)
Masch-cq
bpa ,~,
loaoo Yq
nisse fur Einzelfertigung, Serienfertigung and flie-
Bende Fertigung bei der Ursprungsherstellung. Die
Reparaturkurve verlauft analog der Einzelherstell-
preiskurve. Die absolute Herstellpreishorizontale im
Bild 8 wnrde dem der tatsachlichen Herstellungs-
menge entsprechenden Herstellungspreis gleich-
kommen.
Die Materialkosten betragen bei neuen Maschinen
ca. 40 % and bei Grundreparaturen etwa 15
In Bild 9 sind die Reparaturkosten als fester Teil des
Neupreises ersichtlich. Die Verhaltnisse werden bier
nur fur Spitzen- and Karusselldrehbanke gezeigt. Bei
0000
7000
6000
5000
Neuprus
! Wrrhsdvr
werle)
4000
Std
goo
3000
-
700
6W
Grunduber
un ' r
rchsd. W
Soo
2000
Reparatwm
400
300
7000
iize
'he
250
200
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anderen Maschinen andert sich dementsprechend die
Schraglage der Linien.
Die angefiihrten Werte sind nur grobe Schatzungen.
Einer derartigen tberschlagsschatzung muB eine
exakte Kalkulation folgen. Das beste Hilfsmittel bietet,
wie bereits dargelegt wurde, die Statistik, wie sie in
der Tabelle (Bild 10) gezeigt ist, and zwar auf Grund
umfangreichen Nachkalkulationsmaterials.
Reparafurstatlsiik
MonoHldis Hautlgkelt der Reparaturen
Masrh/nenarl
Type
Zahl der Im
Befrleb
beflndlid,en
Mosddnen
davon in Re.
paratur wah.
rend des
Monats %
DurrhsdmIttlltdie
Reparatur?51d.,
zohl pro vorhan?
done Masrhlne
Durrhsrhnltt
Masrhinen?
gruppe
Neuwert des
Masdrinen?
parks
DM
Reparatur?
stunden
Reparatur?
kosfen
DM
% Angell der
Reparatur?
kosfen am
Neuwert
Ueberslrht Ober untersurhte Maschlnenreparaturen
Beobarhfungszelt :.................................... (Reparatur Nr. I bis Nr......... )
Zahl der untersurhlen Reparaturtalle ......................................................
dovon Orundreparaturen ......................................................... _..........?b
Tellreparaturen .................................................... -
Masrhlnen.
art
% Oberschreilung
der vor.
gesthdtzten
Reparaturzelt
Die anteiligen Kosten gliedern sich durchschnittlich in:
1. Auseinandernehmen and Reinigen . . . . 7%
2. Neuheratellen and Nacharbeiten von
Lagern, Buchsen, Spindeln . . . . . . . 40%
3. Montage and Justierung . . . . . . . . 24%
4. Probelauf . . . . . . . . . . . . . . . 6%
5. PaBarbeiten . . . . . . . . . . . . . . 8%
6. Schaben der Fiihrungen . . . . . . . . . 15%
(Siehe Bild 11).
Abweichungen fiber Umfang and Kosten der Repara-
tur kannen sich aus den verschieden angesetzten
Stundenzahlen ergeben. Diese Differenzen lassen sich
auf ein MindestmaB einschranken. Auch eine Vorkalku-
lation, die sich auf wiederkehrende Arbeitsmomente
stiitzt, wird sich giinstig auswirken. Der haufigste
Grund fur eine flberschreitung der Kosten gegeniiber
der vorgeschatzten Reparaturist dieUnmoglichkeit, alle
in Betracht kommenden Arbeiten von vornherein zu
iibersehen. Mitunter stellen sich gewisse Mengel erst
beim Probelauf heraus, and die Maschine muB nochmals
auseinandergenommen and nachgearbeitet werden.
Po/arbei/en
Bild 11
Fur jede Maschinengattung laBt sich unter Beriick-
sichtigung der Abmessungen (wie Spitzenhohe, Plan-
scheibendurchmesser, Tischabmessungen, Bohrdurch-
messer usw.) eine Kurve aufstellen, aus der die fur
die Grundreparatur benotigten Arbeitsstunden zu ent-
nehmen sind. Die Reparaturzeitkurve stellt zugleich
die Kurve der Reparaturkosten dar.
Auf Bild 9 jet zum Vergleich auch die Herstellungs-
preiskurve eingezeichnet. (Die Grundlage des Ver-
haltnisses der Reparaturkosten zum Herstellungs-
preis bildet die Reparaturstunde zu DM 3,-).
Aus Bild 12 ist der Verlauf mehrerer Untersuchungen
ersichtlich. Die Reparaturkosten werden mit der Aus-
dehnung der Grundreparaturen-an den verschiedenen
Maschinen, gemessen an den Heratellungskosten, un-
giinstiger. Unterschreitet der Zeitwert der Maschine
die 50 %-Grenze, so ist die ZweckmaBigkeit einer Re-
paratur in Frage gestellt. Die Bestimmung des Prozent-
satzes der Reparaturkosten, bezogen auf den Neuwert,
geniigt nicht. Die Beurteilung erfordert eine griindliche
Kenntnis der Maschine. In Betracht zu ziehen ist vor
allem der jeweilige Gebrauchswert. Zu klaren ist ferner
das Verhaltnis der Maschinenkonstruktion zu neueren
Konstruktionen, der vorliegende and kiinftige Ver-
wendungszweck and die Betriebsvergangenheit der
Maschine einschlieBlich des Grades ihrer Beanspru-
chung, friiherer Reparaturen, konstruktiver Verbesse-
rungen, Ersatzes durch geeignetere Materialien u. a. m.
Die Summe dieser Uberlegungen ergibt den Bet riebs-
wert einer Maschine. Die wirtschaftliche Nutzungs-
dauer ist mit Riicksicht auf die Uberholung kiirzer als
die technische Lebensdauer anzusetzen. Wenn die
Maschine durch Uberholung so weit gekommen ist,
daB sie nur noch die Betriebskosten tragen kann, dann
soil sie auch abgeschrieben sein and nur noch als Re-
serve dienen. Es ist jedoch darauf hinzuweisen, daB
der Zeitpunkt, in dem das der Fall sein wird, vorher
nicht bekannt ist.
her besteht ein enger Zusammenhang zwischen Re-
paratur and Abschreibung. Entweder wird die Ma-
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% der vor?
handenen
Masddnen
Reparatur.
stunden
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Exzenterpresse gr6Bte Druckkratt(to)
20 25 !2 40 63 60 1w 6
60 3
25 mm
Revofverbarik DrehtiurcAmesser
Exz-P essen
--~Ittrpceit ---
- - - - - -
Spitzes-Dre
R anke
dSPMma
FIOSTOSCAg1M
SoNyverft
0
is Y
tnzwert1< N
u
r
G
p
r
e
e
Automaton
Karusseldrehbonke
Karusse/drehbdhke, Orehdurchmesser
1000 1250 1600 2000 2500 3150 0 mm
1 0 125 160 200 0 315 400
Drehbcnke, Spitzenhb'he
6 /0 16 25 t 63 100
Automater5rgr61tr Loci Bohrmoschinen/gr&51er Bohrwerk*
Ktagerecfte Frdsmaschinen u. Bohrwerke
500.710 750-000 900,920 1/2 0+1250 U00.1600
500-225 5000-260 1400.355 1200.500
Frgsmaschinen 1600-(00
260 356 450 560 710 900 1120 16 1000
75 - 400 ~i 12S,7 low
Skala lur 1. Tisch - Nennmal) von Frdsmaschin en and Bohr-
werken
schine wiederholt repariert, oder es wird aus ihr in
kiirzester Zeit die Hochstleistung herausgeholt, d. h. die
Reparaturkosten werden gesenkt, die Abschreibungen
gesteigert. Die Maschine wird rasch ausgewechselt.
Hoherer Ausbringung steht auch ein hoherer Ver-
schleiB gegenuber. Die schnelle Ersetzung von Ma-
schinen darf keinesfalls als zu kostspielig abgeurteilt
werden. Das Gegenteil ist der Fall. Die Maschinen
werden nicht durch genau dieselben Konstruktionen
ersetzt, sondern durch moderne and leistungsfahigere.
Diese vermogen nicht nur mehr zu produzieren, son-
dern sie verursachen, weil sie neu rind, auch weniger
Unterhaltungskosten. Insbesondere ist dieses Ver-
fahren bei Maschinen am Platz, die rascher Entwick-
lung ausgesetzt rind. Die Wirkungen von konstruk-
tiven Neuerungen and Anderungen im Arbeitsver-
fahren auf den Betriebswert der Maschine sind im
3
2 J 14, 16, r '
r
I hkukensh mdhN5LNsW g
Andnumg des ProdukhonsgGrWs Betnebszed
-j - - 1 Neukonsfr. m hoherer
7
Arbeifsgtnow9kwf
Abschreibung
7
5
111TTT NUr nach lur $cMuppm
E - - - - - - - - - braurh6a
C
Ums4zunq aul arrtre FMlgunq
Bild 13 dargestellt. Die theoretische Kurve der jahr-
lichen Abschreibung mit je 10 % des vorangegangenen
Wertes wurde demnach ein falsches Bild gegenuber
dem tatsachlichen Wert der Maschine ergeben. Die
Kurve gibs AufschluB fiber die technische Veraltung
der Maschine, welche plotzlich durch Auftreten neuer,
verbesserter Konstruktionen einschneidend bedingt
wird. Ebenso kann der Betriebswert unvermittelt
durch Anderung des Fertigungsverfahrens abfallen.
Es ist moglich, daB eine Maschine ihren Betriebswert
fiber mehrere Jahre nicht andert, damn aber durch
einen der genannten Faktoren ganz plotzlich auf bei-
spielsweise 25 % sinkt. Durch Kombination dieser
Faktoren ergibt sick der rein technische Betriebswert,
vorausgesetzt, daB sick die Maschine nicht abni tzen
wurde. Wird der buchhalterische Wert nosh in Betracht
gezogen, so ist alien Faktoren Rechnung getragen. Die
Berucksichtigung der Gesamttendenz der technischen
Entwicklung ist allerdings hier unerlaBlich.
I 2
] ( 6 t
q P Y .W.
e
BOtriebszeit
Nitrfwr(usf durch OuOare
g mnS
~~
EinfFLsse
R
~
OM. Oberho(ungl
mif Lb 6Mo(ung
R
~\
R
\
0 1 ]
] 6 e
10 17 Y Nb.
Bild 14 zeigt die Einwirkung einer vorgenommenen
Reparatur. In diesem Bespiel ist eine Grundreparatur
nach 4 Jahren erfolgt, and die Maschine steigt im Wert
von 60 auf 90 %. Von hier an beginnt ein erneutes Ab-
sinken des Wertes. Der Nullwert wird in diesem Beispiel
nach 121/2 Jahren erreicht; die nicht reparierte Maschine
ware scion nach 10 Jahren dart angelangt.
Die unregelmaBig abgestufte Kurve, welche von dem
EinfluB der fortschreitenden Abnutzung, der Ande-
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Beck: Werkzeugmaschinen-Reparaturen
rung des Fertigungsverfahrens, der Abschreibung and
der Verminderung des Betriebswertes abhangt, stellt
das Abnehmen des Betriebswertes der Maschine dar.
Die Kurve wird in jedem einzelnen praktischen Fall
einen anderen Verlauf zeigen.
Eine Erhahung des Betriebawertes fiber den Nennwert
hinaus kann ebenfalls durch eine Reparatur ermSg-
licht werden. Die Berucksichtigung des Altwertes
zeigt Bild 15. Die Reparatur erfolgte hier nach 7 Jah-
ren, and die Maschine stieg von 30 auf 60 % des Alt-
wertes. Von hier an tritt wieder ein neues Absinken
ein, and der Schrottwert ist nach 221/2 Jahren er-
reicht, wahrend der Bilanzwert bereits nach 131/2
Jahren erzielt wird'.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau ? 2 (1956) Heft 1 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat fiir Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 18
Institut fiir Maschinenkunde, Direktor: Prof. Dr.-Ing. Lothar PoBner
Ala Manuskript gedruckt! DK 530.17
Eingang: 16.2. 1956
Analoge Rechenmethoden
(Festigkeitslehre - Elektrotechnik)
Von Prof. Dr.-Ing. Lothar Polner
Einleitung
Zwischen einzelnen Gebieten der Wissenschaft bestehen vielfach Analogien hinsichtlich der gesetzmaBigen
Zusammenhange, die durch dieselbe Grundform einer Gleichung (Differentialgleichung) zum Ausdruck kommen.
Auf solche gleichartig aufgebauten Formeln wurde schon vielfach hingewiesen (siehe z. B. [1]). Wertvoll sind
sie besonders fur den Praktiker and Konstrukteur, da sie gestatten, gut ausgebaute Rechenmethoden
des einen Gebietes such auf einem anderen anzuwenden, wo man bisher nicht daran gedacht hat, in derselben
Weise vorzugehen, sei es aus Unkenntnis oder infolge der volikommenen Wesensfremdheit beider Gebiete.
Auch im elementaren Bereich bestehen solche Gleichartigkeiten. Hier soil auf eine weitgehende Analogie
zwischen der elementaren Festigkeitslehre and der Berechnung elektrischer Gleichstromleitungen hingewiesen
and in Gegeniiberstellungen von Beispielen die praktische Nutzanwendung gezeigt werden.
Grundlegende Zusammenhange
Zwischen dem Krafteflul3 in einem Bauteil and dem F1uB eines Gleichstroms in einer Ringleitung konnen
interessante Analogien festgestellt werden.
Festigkeitslehre
Bild la
I P7
iP
L
.17
Elektrotechnik
Bild lb
P,+P2.P3-A-B -0 '1sj2 a3-J.e-18- 0
Bild la and lb Analogie zwischen einem Biegestab and einer aufgeschnittenen Ringleitung.
Es gelten:
die Gleichgewichtsbedingung E P = 0.
Die auBeren Krafte P halten den Reaktionskraften
das Gleichgewicht.
der Kirchhoffsche Satz I i = 0.
Die abgenommenen Stromstarken mussen gleich den
zugefiihrten sein.
Den Bildern 1 a and 1 b wurden ein Biegestab and eine Ringleitung zugrunde gelegt. Die fehlenden Krafte
and Stromstarken sind mit Hilfe eines Seilecks gewonnen. In Stab and Leitung treten Querkrafte and
Leitungsstrome auf, and diese. inneren Krafte and Strome sind analog vergleichbar. Auf der einen Seite
ergibt sich die Querkraftflache, auf der anderen Seite die StromfluBflache. Beide werden nach den bekannten
Regeln der Statik aus den Bildern la and I b gewonnen, indem man das Seileck als Integralkurve der
Querkraft- bzw. StromfluBlinie ansieht. Wir iibernehmen die Vorzeichenregeln aus der Statik auch auf die
Leitungsvorgange, wo die Vorzeichen Stromrichtungen angeben.
Noch deutlicher tritt die Analogie in Erscheinung, wenn der ein- oder mehrfach belastete Zug- (Druck.)
Stab statt des Biegestabes herangezogen wird.
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Langskraftflache
Stabkrafte senkrecht zum Stab aufgetragen.
II
P,
Stromfluf3flache
In der Leitung auftretenden Strom senkrecht zum
Leiter auftragen.
A
.A
Bild 2 a and 2 b Die Analogie zwischen einem Zugstab and einer aufgeschnittenen Ringleitung ergibt eine gleichartige Langs-
kraftflache and StromfluBflache.
Die Langskraftflache lait sich aus der Verschiebungslinie gewinnen, wie noch gezeigt wird. Wir stellen die
entsprechenden GrSBen zum Vergleich gegenuber.
In der Formel 4I = E-F [cm] I In der Formel d u = 2 x J I [V]
q
ist das Hookesche Gesetz enthalten. ist das Ohmsche Gesetz zu erkennen.
Hierbei ist
P = auBere (eingeleitete Kraft) [kg] i = abgeleitete Stromstarke [A]
S = innere Stabkraft [kg] J = innerer (Leitungs-) Strom [A]
I = Stablange [cm] I = Leitungslange [m]
F = Stabquerschnitt [cm2] q = Leitungsquerschnitt [mm2]
S = U = Normalspannung mg]
kg
E = Elastizitatsmodul des Werkstoffes [ I
L cm2
= s = Stromdichte
q m2
m
x = spezifischer Leitwert
S2?mm2
2.1 2.1
R P
q xq
1
e = AI
= Dehnung
P _ a cm
EF E cm
Wird At = 1 [cm], so ist E = a.
Die Spannung wird = dem Elastizitatsmodul
kg
e = spezifischer Widerstand
d u s Volt
z m
.Q. MM2
In I
Wird d u = 2 1, so ist s = x.
Der Leitwert wird zahlenmaBig = der Stromdichte
m
Kupfer: x = 57 2
Qmm
Bei unstetiger Anderung von F bzw. q wird:
41=1 5 d x
EF ,
2: J A x
d u =E' -,
xq
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d. h. bei numerischer oder graphischer Integration der Langskraftlinie and der StromfluBlinie bekommt man
den Verlauf der
Verschiebungslinie J I (Bild 3 a)
r MP
H-
Af-1 ~'mc'mf f /
I
der Spannungslinie du (Bild 3 b)
......... .......5 ......q..,w
m
41
m1O-*H'mc m1[A
Bild 3 a and 3 b Bei Zugstab and aufgeschnittener Ringleitung ist die graphische Integration analog.
1
n-ei=EF.?H?mL?mP-
- c 1-c
d[=I 1cPEcF t P1EF
Verlauf der d[-Linie
links von P d [ _ tF I (1-c)
rechts von P J I= FF, (1-x)
Fur J I and d u
in Bild 4a
fiiri=1.
erhalt man die zugehorigen EinfluBlinien
in Bild 4b
mR -b mi mq.Aq mt
Bild 4a and 4b Auch zwischen den Einflul linen von Zugstab and aufgeschnittener Ringleitung liegt
eine auffallende Gleichartigkeit vor.
rechts = EIF l c (I - l)
17 links = 21 x
(1- - )
q
mdu = H - mL ? mi.
Verlauf der du-Linie
I-c. 2? c c 2 ([-c)
An= 1-=-i I q x q
rechts von i d u = - (1-x)
rechts = %-q I c (1- Tx
)
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c
x links = EIF I (1 I )
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die Langskraftlinie
EF L" I
die Langskraft
EF ac l
Bei variablem x and c erhalt man durch Differentiation nach x
die StromfluBlinie
a1~ _ c zq at; = c xq a1, _ c
EF ax 1 2 ax - 1 I 2 ax
and durch Differentiation nach c die EinfluBlinien fiir
and den Stromflul
ar _ x
EF ~c I l
xga1j x zg61;_1 x
Dadurch ist es moglich, fur eine beliebige Stelle x die Stabkraft oder die
Bild 5a
Sx--Pl?Tlxt-P711x., + Pi %, I 3,- -i, 7x, -iy7x3?i3 r7x3
Bild 5a and 5b Anwendung der gleichartigen Einflu13linien fur Stabkrafte and Leitungsstrome.
Anwendungen ? )
An einer Reihe von Beispielen sei gezeigt, wie man
schnell zeichnerisch and rechnerisch zum Ziel kommt.
Zunachst sei an Hand des Biegestabes die zeichne-
rische Methode vorgefiihrt, die auch Beim Zugstab
and der Leitungsberechnung zum Ziel fuhrt (Bild 6).
Die Krafte Pt his P3 sind graphisch dargestellt and
ergeben eine abfallende Stufenkurve, wobei auch die
Krafte in umgekehrter Reihenfolge aufgetragen wer-
den konnen, so daB rich dann eine ansteigende Stufen-
kurve ergibt. Die Integration der Stufenkurve er-
gibt die Momentenlinie, deren Randbedingungen die
Nullinie der Momentenlinie (SchluBlinie s) bestimmen.
Zuriick in die Polfigur verschoben, ergibt sich dort
auch die endgiiltige Nullinie fur die Querkraftlinie.
Bild 7 a and 7b zeigen die Anwendung auf den Zug-
stab and die elektrische Leitung. Hierbei wurden
MaBstab and Zahlen absichtlich so gewahlt, daB in
beiden Fallen dieselbe Figur zustande kommt and die
Analogie deutlich unterstrichen wird.
Die rechnerische Durchfuhrung der Aufgabe ge-
schieht zweckmaBig mit EinfluBmatrizen [2], weil
damit auch die Gleichartigkeit besonders sichtbar
wird. Zunachst wird die Langskraftflache and die
StromfluBflache an Hand der gemeinsamen EinfluB-
linie berechnet (s. Bild 8).
?) Die MaOstabe beziehen sich auf die Originalzeichunng vor
der Verkleinerung.
P7-80 kg P2-50 kg
30
60
100 -
mM -3,0.10.40?
1700
Stromstarke zu bestimmen.
Bild 5b
MP .4012
M1 - 1100 - 2868 kgan A - Q0_1 -40.7,375 - 95 kg
M2 - 1200 -3300 kgcm Q1-7 -40.0,374 - 15 kg
M3 - 1700 .1,59 - 1908 kgcm 02-3 -"40.0,875 --35 kg
B.03-1-40-2,376 -95 kg
Bild 6 Grundsatzliche Beziehungen am Biegestab.
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E ? 205 '70' V.
F?ia,?
ma.to a 40>~ 0
-1R
WadkaM.q n
L&Wkv O
A1,?40115u.7.n.o.oowcm
A-S0.7.40.2J71 .00 kg
A 1,?4000550.275.400oi3 cm
5,.2.40 0,374.15 k0
A 1j-4000UI ;50 ?400011 cm
S,., -40.0070.35 k0
B?Sj"?40-Z 370-a k0
md0.,;o.roo?0o
I B
220 V
Sb0m7mpkok947 MONI& Skdm.
AU7-4432.3.n-11503 Y JA-JO_, 40.2,375.%A
AU,-443.3.75.2N Y 3,-2 40.4374.75 A
AU,-'.f33?i50-7.040 V J,_3-.40.4575--350
Jg- I.-40.7375 --SS A
Man erhalt folgende Gleichungssysteme
SO-1 = PI 17(0-1)1 + P2 7](0-1)2 +? P3 '7(0-1)3
S1_2 = P1 77(1-2)1 + P2 of (1-2)2 + P3 77(1-2)3
S2-3 = PI 7(2-3)1 + P2 r(2-3)2 + P3 77(2-3)3
S3-1 = PI .77(3-1)1 + P21)(3-1)2 + P3 77(3_1)3
I I
0 1
:s
Fur die Verschiebungen and Spannungsabfalle
d [l = PI 7711 + P2 712 + PS'71S
d12=P172l+1'21722+Pa 7723
A Is = Pl 7731 + P2 7]82 + PS p33
Jo-1 = it 7](0-1)1 +i2'7(0-1)2 + i3 77(0-1)3
Jl-2 = it 77(1-2)1 + i2 77(1-2)2 T 13 77(1-2)3
J2-3 = 11 7(2-3)1 + 12 77(2-3)2 + 13 77(2-3)3
J3-I = it 77(3-1)1 + 12'7(3-1)2 + i3 7(3-1)3.
Die gemeinsame rechteckige Einflul3matrix lautet :
3
1 1
77(0-1)1 77(0-1)2 77(0-1)3
4
2 6
1
1 1
37(1- 2)127(1- 2)2 1](1-2)3
4
2 6
1
1 1
17(2-3)1
77(2-3)2 77(2-3)3
4
2 6
1
1 5
''7
3-1)1
r7
3-1)2 77
3
1)3
(
(
(
-
4
2 6
and es ergeben rich die
Stabkrafte
die Stromstarken in den
Leitungsabschnitten
S0_1=
95 kg
Jo-1 =
95A
S1_2=
15 kg
J1-2 =
15A
S2-3 =
- 35 kg
J2_3 =
- 35A
S3_1 =
- 95 kg
J3-1 =
- 95 A.
erhalt man die Gleichungssysteme
d ul = i1 1711 + i2 1712 + i2 1713
d 112 = i1 1121 + i2 1722 + i3 1723
d US = it 1731 + i2 1732 + i3 1733-
Bild 7b
m1. 100R
SOA
80A
-30---4
000
x-57e
9 .05 mm'
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Die gemeinsame quadratische Matrix lautet (Bild 9) [3] :
i Z -9
Hauptwert :
I
............ .......................................
20
2,15 ?1106 ? 1,0 = 0,0000558
g
Hauptwert :
R _ 2_1 _ 2 ? 1200 _ 0,4432
x?q 57 95
EF
and das Resultat
4 I, = 0,001325 cm. A u1 = 10,526 V
412 = 0,001534 cm d u2 = 12,188 V
413 = 0,000883 cm 4 u3 = 7,017 V .
Unter anderen Randbedingungen ergeben sich
k
mp?40 M
msg. 7 r...AO w4o
n ro ?tp
? 0,00osse lid
(EinfluBgroBen,q
ohne Hauptwert)
7)ii q12 2113 16 8 24
1 1 1
7721 y122 1123 - g 4 12
1 1 5
1131 1?32 7133
Bild 9 Gemeinsame graphische Ermittlung der EinfluBmatrix
fur dasselbe Zahlenbeispiel.
7 3
E-2,15.114 mp.40A2
F-I tm'
A(,. ),el .0,000558 ?0,09156 cm A - SO-, ? 7,775 40 - 111 kg
All 3.-.4oao55e ? gmml a,, S1-2 ? 0,775 40 r kg
.1f7-3,I ?0,00055e?ao01T3 cm 51-3?-0,475 .40--19 kg
A(1-Z800 ?4000558 -0001 cm B-S7_1--7,975 40 --79kg1
+ Ifl
and 3 )w to
4,477
Au,-7,er 4,437 - 1),453 v
A U7- 3,647 4,431- 16,141 V
Au3- 3,1 4,431 - 13,739 V
AU4- 1,805 4,437 - 8,0 V
JI-7 - 0,775 40 31 .4
40 --19 A
29 - J3-1 --1,975 40--79A
Bild 10 a and 10b Gegeniiberstellung eines Zahlenbeispiels fiir einen mehrfach belasteten Zugstab and eine aufgeschnittene
Ringleitung unter anderen Randbedingungen (A ( and A u am Rande verschieden).
Diese Randwerte ungleichen Spannungspotentials an den Speisepunkten treffen selbstverstandlich nur dann
zu, wenn beide Seiten der Leitung mit Stromerzeugern verbunden sind. Anders liegt der Fall bei einer Ring-
1 O
z3J/ 6~ 1
W- 57 m, .404
9-es mm`
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24 12 36
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PoBner: Analoge Rechenmethoden 21
leitung, die nur an einer Stelle gespeist wird. Denkt man sich an dieser Speisestelle die Leitung zerschnitten,
so erhalt man das Ersatzsystem mit zwei Speisepunkten, die dann die gleiche Spannung haben.
Die bisherigen Beispiele batten zur Voraussetzung, daB EF and x - q konstant sind.
Auf beiden Gebieten konnen sich aber die Querschnitte beliebig andern, and es ist sogar moglich, daB
E and x sich andern. Bei solchen Aufgaben, z. B. bei verschiedenem F and q, wahlt man einen Vergleichs-
querschnitt and reduziert die Langen. Der Vergleichsquerschnitt tritt dann im MaBstab auf.
A
270 160A
BOA
w
F Mn', I F).,-1,0 F,. 47 I F)-)- 0,5 I ,. 47
0 1 2
7
F , Fe?t I Fa-r
li t-4 FJa ~t-- (J Fra
0 1
Fe-I
4F,a
1
1,1,)11
OI,IM
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A-S..,.A u.rIIq
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111p-2Oy&, e . S'_, --A Q .?w 1y
Ty1i?1)I? '
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Al,-1,1MI .u-n.XYN .+.
A1,-4mr 43 0'0w All
-4MMay1.41Mn1
wo
q,-,) 90.1- 95 I v,.)- 70 I v).i SO 193-1-70
(v~(a
Jon
,e
220 V
^ .,* srs..
4-3P.1-??12J- 01,1 A
J,_). M?J,)J. 1{,1 A
LL ~)J'?)1 ?L,7. -)(1 A
111( -20A q-38.1-'??(0- -41 A
Bild 11 a and 11 b Zahlenbeispiele fair den mehrfach belasteten Zugstab and die aufgeschnittene Ringleitung,
wenn die Querschnitte veranderlich sind.
Bevor auf die Berechnung von drei Speisepunkten
eingegangen wird, sollen allgemeine Betrachtungen
am Biegestab vorausgeschickt werden. Man kann
eine Reihe von Kraften P durch zwei entgegengesetzte
Krafte A and B zur Gesamtsumme Null ausgleichen.
A and B rind z. B. bei einem Stab auf zwei Stiitzen
die Auflagerreaktionen (Bild 12).
Mit Seileck vorgenommen, ergeben sich die Seil-
ecke 1, 2, 3 and 1, s, 3.
s, in die Polfigur verschoben, ergibt A and B. Man ist
aber nicht auf A and B beschrinkt. Schalten wir
noch eine Kraft X. zu A and B ein, so ergibt sich
Bild 13.
Man brings die Wirkungslinie von X2 zum Schmitt
mit dem Seileck 1, 2, 3 and zieht an Stelle von s
die SchluBlinien Sl and s2?
Dadurch erhalt man zwei Kraftegruppen, jede mit
einer Gegenkraft links and rechts. Die beiden Einzel-
krafte X$A and X2B ergeben zusammen die dritte
Gegenkraft and entlasten die Krafte A and B.
Zusammen mit der alten SchluBlinie s ergibt sich
an der Stelle 2 ein Biegemoment im Seileck 1, st, s8, 3
Bald 12 Statische Zusammenhange zwischen Kraftegruppen.
(Zwei Gegenkrafte.)
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Bild 13 Statische Zusanunenhange zwischen Kraftegruppen.
(Mehrere Gegenkrafte.)
20,0
ro
ZP-0 XP-0
b~
X3
1 X7 raus lblfg
I P3
X?A.En7WsfuV von A
X?B Enflaslu g son B
X71. A-# for W*. swig
X7r.AnIPl fOr rsc4k Swfs
All - 0,0006701 0,67 - 0,000384cm
6I7 - 0,0006701 1,3 - 0,000806an
Ql3 - 0,0006701 0 - 0 cm
dli - 40006701 7,22 - 0,001376 cm
dI6 ? 0,0006701 ?7,87 - 4001748 cm
AI6 - 0,0006701 1,8 - 0,001116 cm
EP-0
X2A ? En00skm on A
X139-#nfbsO g wn B
X3 R
~ _y J
EP-0
220V 220V mL-50 220/
A I SOA 120,2A I Xi 50A B
-II f00A 150A
160 -1 - I
375 -----1
460 -
- 760 -1
I I I I
0 1 2 3 5 6
Bild 15a and 15b Anwendung der Beziehungen zwischen Kraftegruppen auf den mehrfach belasteten Zugstab
and die mehrfach gespeiste Ringleitung.
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and von derselben GrdBe im Seileck 1, 2, 3. Da die
Kraftegruppen entgegengesetzt sind, haben such
these beiden Momente entgegengesetzte Vorzeichen,
heben sich also auf.
Die Kraft X. darf nicht verwechselt werden mit einer
statisch unbestimmten Auflagerkraft, wenn die Krafte
an einem dreifach gelagerten Stab als Biegekrafte
angreifen. Dann gilt die so auf statische Weise be-
stimmte Kraft X2 nicht, denn damn kommt noch
eine Formanderungsbedingung bei der Bestimmung
der Auflagerkraft X2 hinzu. Es ist dann z. B. die
A 5OA
I16L 2OOA
~- 1i6 -
-ra
a1s
~X' 100A
p-~220 V
50I A Ts
1Sn--
0 1 2 3 4 -5 6
r# s # # s s
? 1 r
9 r 91 'ha 9u 9n 9's
qn qu q,a q24 'las qss
qaf in
11 'lx ')n qas
7u q4: '14., '1~ tics 9c5
LL~_
'is, '111 F753 1164 q65
Bild 16 EinfluBmatrix fur die mehrfach gespeiste Ring-
leitung.
Durchbiegung an der Stelle 2 des Stabes = Null. Bei
der statischen Bestimmung wird nur das Moment an
dieser Stelle = Null gesetzt. Dagegen tritt bei einer
statisch unbestimmten Auflagerkraft X2 ein nega-
tives Stutzenmoment auf. Man kann jedoch an der
Stelle X2 ein Gelenk anbringen (Gerbertrager) and
dann auch abstiitzen. Dann hat die Auflagerkraft die
Grrile der rein statisch bestimmten Kraft X2.
In Bild 14 rind zwei solche Stellen X2 and X. vor-
gesehen and mach obigen statischen Grundsatzen
konstruiert. Auf dieselbe Weise werden nun neue
weitere Speisepunkte (auBer A and B) einer Leitung
ermittelt. An Stelle der verschwindenden Momente
tritt die Spannungsdifferenz Aug = 0.
Hierzu gehort das Beispiel Bild 15a and 15b.
Bei der Berechnung der drei Speisepunkte kann man
zunachst eine Matrix fur du aller Punkte aufstellen.
Man erhalt eine quadratische Matrix. Davon dient
die, dritte Zeile zur Berechnung der Unbekannten
Jx3. Der Vorgang ist derselbe wie bei der Bestimmung
einer statisch unbestimmten GrtBe. Dort wird y = 0,
hier wird du = 0 gesetzt. Letzteres stellt aber beim
Vergleich, wie schon erwahnt, das Gegenstuck zum
verschwindenden Moment dar (s. Bild 16).
1. EinfluBmatrix fur die Au-Werte:
7711
7712
7713
7714
7715
7716
7721
7722
1723
7724
1725
1726
7781
7732
1733
7734
1735
7736
7741
7742
7743
1744
7745
7746
7751
1752
1753
7754
7755
7756
7761
7762
1763
7764
7765
7766
14
4
2
1
2
1
1225
75
45
30
75
75
4
4
2
1
2
1
75
25
15
10
25
25
2
2
2
1
2
1
45
15
9
6
15
15
1
1
1
1
1
1
30
10
6
4
S
T
2
2
2
1
6
3
75
F5_
T-5
5
25
25
1
1
1
1
3
4
75
25
15
10
25
25
ti-Werte ohne Hauptwert.
2. Zur Berechnung von X3 allein braucht man nur
die dritte Zeile.
i- _'i*1731 + '2*1732+'4'7734+'5*7735+ i6*7786
7733
200 2400 1500 1800 300
90 + 90 + 90 + 90 + 90
2
9
3. Der Hauptwert wird zur Berechnung von Jx3 nicht
R x ? 1 9-7-. 2 -50 95 - 0,277 Q
q
Z11 u1 = 2,216 V, d u4 = 8,31 V, JA = 120 A,
d u2 = 4,8 V, d u5 = 10,526 V, JB = 120 A.
dui = 0 V, A u6 = 6,648 V.
Bei mehr als drei Speisepunkten ergeben sich die
Werte Jx2, Jx3 ? ? ? ?, wozu aus der Matrix ent-
sprechende Zeilen benotigt werden. Bei n Werten
von Jx ergeben sich n Gleichungen mit n Unbe-
kannten. In solchen Fallen arbeitet man zweckmaBig
mit einer Quasi-Diagonalmatrix [4], wobei man we-
niger EinfluBgroBen , zu berechnen braucht and die
Jx-Werte immer aus zwei benachbarten Teilmatrizen
ermittelt werden k6nnen.
Die Gesamtmatrix wird durch die Speisepunkte in
Teilmatrizen aufgeteilt, wobei an der Stelle der
Speisepunkte fur du der Wert 0 steht. Die quasi-
diagonale Matrix hat im Beispiel dann die Struktur
{2, 1, 3}
{fit, 0, 8}
bezeichnet, worin W, 8 die Einzelmatrizen darstellen.
Die Berechnung desselben Beispiels nimmt dann die
folgende Form an: (s. Bild 17).
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Bild 17 Berechnung der mehrfach gespeisten Ringleitung
mit Hilfe der quasidiagonalen Matrix.
1. Einfluimatrix:
1711 7712
1721 7722
7744 7745 7746
7754 1755 1756
7764 7765 1766
0,16 0,08
0,08 0,24
0,1875 0,15 0,075
0,15 0,24 0,12
0,075 0,12 0,21
77-Werte ohne Hauptwert
Von der Gesamtmatrix brauchen 12 1-Werte nicht
berechnet zu werden.
2. Hauptwerte:
R1 = x [1[1= 57 295 = 0,0923369
q
R _2?[2_2.500_018467.
2 x - q 57-95
'
3. Au-Werte
A ul = 2,216 V, A u4 = 8,31 V,
A u2 = 4,8 V, A u5 = 10,526 V,
A us = 0 V, A u6 = 6,648 V.
4. Speisestr6me
4,8.57-95 _ 130 A
JX3 links = 2 ? 100 '
8,31.57.95 180 A,
Jx3 rechts = = 2 ? 125
Jx3 = Jx3 links + JX3 rechts = 130 + 180 = 310 A,
JA - 2,216 ? 57
95 =
120 A,
2.50
JB _ 6,648 ? 57
?95
120 A.
2.150
--
Natiirlich kann man die gezeigte Losung auch auf
Festigkeitsaufgaben anwenden, die, wie gezeigt, die-
selbe Analogie aufweisen, z. B. beim mehrfach be-
lasteten Zugstab.
120kg I30k9 1251,g- akg,
A
mM?6 10.20
- 1200 kgcm
Brr6emomrntr
MO . 6.5 1200 . - 1020' kgcm
M1 --6,55 ' 1200 - ]660 kgcm
M2 ?-12 1200 ?-7610 ,-
M7 -2,05 1200 ? - 2 460 kgcm
M1 ? -0,52 1200 . - 624 kgcm
M, --0 ' 1200 - - 0 kgcm
Nunmehr konnen wir auch den an sich recht ein-
fachen Fall behandeln, bei dem eine Leitung mit
cinem Speisepunkt am Anfang vorhanden ist. Zu-
nachst sei wieder der Biegestab behandelt (Bild 18).
An der Stelle A sei der Stab eingespannt, und es er-
gibt sich in einfacher Weise die Querkraftflache und,
integriert, die Momentenlinie. Fur x = [ ergibt sich
M = 0. I.egt man durch diesen Punkt die horizontale
Nullinie, so beginnt dort die Integration, und man
erhalt die Momentenflache.
Beim Zugstab und bei einer Leitung beginnt die
Integration bei x = 0 mit AI = An = 0 (Bild 19a
und 19 b).
Bei der mehrfach gespeisten Leitung mit Spannungs-
unterschieden (Bild 20) denkt man sich die Leitung
bei A, B zerschnitten, und es ergibt sich die Losung
Bild 21. An der Stelle X3 zerschnitten, hat man die
graphische Losung nach Bild 22.
Riickhlick und Ausblick
Die ausfiihrlichen Zahlenbeispiele dieser Arbeit zeigen,
daB eine weitgehende Vbereinstimmung der Be-
rechnungsweise zwischen einfachen Aufgaben der
Festigkeitslehre und einer Gleichstromleitung be-
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gig
A ?
220 V I
30
20A 1
A
0 1 2 3
41g ? r,0 ?0,000006 ? 06001516 .?
A'3 ?6.M' 40M066 ? 0003m an
44 -0 ' (060600 ? 6006637 .
At, ? 40 ? 4606566 ?5,054660 ?7'
ny ? 46' (0054b ? (600(1 ?'?
m4Y? '6 p 5
?6,421 m
220V 212V
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SOA X3 p0A
I
m 4- 200 A 150 A
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350
370
cso
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50 A
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_smJW,e.eeuir
AU, ? Al. (421. 1,68, V
A U2 6,x CUP ? 414 V AU,? 1.0 0.421. 6,71 V
so
fl (s) = (2) 6hmo 9'1(s) 1,
so gilt fur s -* oo die asymptotische Gleichung
(3) f(s)^' 9'(s).
Dabei ist in der Schreibweise der Voraussetzung (1)
automatisch die Zusatzvoraussetzung enthalten, daB
92, (s) fur hinreichend groBe s positiv ist. tJber die
Definition einer asymptotischen Gleichung siehe [1]
S. 30.
[1] G. Doetsch, Handbuch der Laplace-Transformation II,
Basel 1955.
Beweis. Zunachst konnen wir auf Grund der Voraus-
setzung (2) bei einem beliebig vorgegebenen s > 0 die
Zahl 6 = 6,, so klein wahlen, daB fur alle s > so
1-s< fi(s) < 1
9'1(s)+E
gilt. Weiterhin existiert wegen (1) bei festem 6 ein
solcher Wert S (s), daB die Beziehungen
e < f2 (8) < 8 and - e < 992(8) < e
s s
fur alle s > S (e) erfullt sind. Somit erhalten wir fur
den Quotienten
fi + f2
f(s) fl + fz 991_911
9' (s) 991 + 992 1 + 992
9'1
Abschatzung
1 + e
oder schliellich im Falle e < 2
(s) < (I+28)2
(1-2e)2< s
fur alle s > S (s). Wegen der Willkiirlichkeit von 6
folgt hieraus die Behauptung (3), so dalI der Satz 1
bewiesen ist.
Setzen wir jetzt F (t) = Fo(t) e (t) and i (t) = 0o (t) x
Q (t), so gilt ferner unter Beibehaltung der vor Satz 1
festgelegten Bezeichnungen and Voraussetzungen:
Satz 2: Gegeben seien drei Funktionen F0(t), 00(t),
0 (t). Es existiere eine Zahl 77, so daft these Funktionen
fur 0 < t < q stetig sind. In demselben Intervall sei
0o (t) positiv and Q (t) nicht negativ; auf3erdem moge
die Funktion Q (t) in den Punkten einer Nullfolge (Sv)
von Null verschieden sein.
Ist dann fur t -* 0
(4) Fo (t) ,r Oo (t),
so gilt fur s -+ oo wiederum die asymptotische Glei-
chung (3)
f(s) - tp(s).
f i + f2
9'1 9'1 (1 + E)
1 + 922
9'1
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78 Berg: tJber das asymptotische Verhalten der Laplace-Transformation
Beweis. Zunachst sieht man sofort, daB auch die Funk-
tion Fo (t) fur hinreichend kleine t positiv ist, denn
anderenfalls konnte die Gleichung
4' Fo (t) -
() lm l pa (t) = 1,
die mit (4) equivalent ist, nicht erfiillt sein (man be-
achte die Ahnlichkeit, aber auch den Unterschied von
(4') and (2)).
Ist nun 6 eine feste positive Zahl, so erhalten wir mit
Hilfe der Substitution t = 6 + r
e't0(t)dt=e as / e 8T (6+x)d-r.
Da das Intergral auf der linken Seite (fur hinreichend
groBe s) existiert, existiert auch das Integral auf der
rechten Seite and konvergiert als Laplace-Integral
gegen Null, wenn s gegen Oo strebt (vgl. [1] S. 193).
Folglich gilt in der bereits weiter oben benutzten
Landauschen Bezeichnungsweise fur s , 0O
(5)
,1
Jetzt wahlen wir fur 6 einen Punkt der Folge (6,),
der kleiner als ist, so daB in diesem Punkt nach
unseren Voraussetzungen $(b) > 0 ist. Dann gibt es
wegen der Stetigkeit ein 6' < 6, so daB O (t) auch fur
6' < t < 6 positiv ist, and es gilt
e-yt P (t) dt > I e 9t 0 (t) dt > M (6 - &) e g a
0 S'
Dabei bezeichnet M das Minimum von P(t) im Inter-
vall 6' < t < 6, das offenbar positiv ist. Somit er-
halten wir durch Vergleich mit (5)
J e St O (t) dt = o ( f e-'t $ (t) dt)
d. h. die zweite der Beziehungen (1). Vollig analog lift
sich fur hinreichend kleine 6 der Folge (6w) die erste
der Beziehungen (1) herleiten.
Nunmehr benutzen wir den Mittelwertsatz der Inte-
gralrechnung
./ e 't Fo (t) P (t) dt = o (P) J e ,t Oo (t) P (t) dt
f e-st 0 (t) dt = o (e- b).
mit 0 < i} < 6. Wegen (4') konnen wir darin bei be-
liebig vorgegebenem e > 0 die Zahl h so klein wahlen,
daBfiirO w A Br,,, ,
I2
It,r Hr,,,
w 2
cow
(11) Pt r- It.r U i r 2 Br,,, Hr?,
Somit erhaltea wir fur das Volutncn den Ausdruck
(12) V - iA 2 Pt.r
(1) Br,,, Hr,,,
uud fur das Gewicht den Ausdruck
(13) G Y. \ - S Pt.r
(U Brn, Hsu
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Philippow: Eine graphische Rehandlung des nichtlinearen Strornkreises beim Ferroresonanzstabilisator 165
I)ie Eisenverluste im Resonanzpunkt ergeben sich
aus
Zyprr
(14) P\r
(o 11r,,, H,_
Mil dell )X'ertell
Vs
(15) 11r,,, - 1,4
in-
- K1' Pl,r
lns '
7600 kg
11 1301) A n_ - 2.66
erhalten wir Mr die Konstante K1 den Ausdruck
(16) hl 0,071
d. Il.
(17) Pvr =_= 0,071
Pl,r
Mit geniigender Genauigkeit kann man den Ersatz-
widerstand fiir die Eisenverluste als linear annehmen;
Bann gilt
l\ I!1,
Ivr UI,r
IV U1, l\r PVr UL
ILr Ill.r 1Lr Pl.r ULr'
1\
ll.r
U1
0,071 ,
IJ Lr
Auf diese Weise ist auch der Verluststrom in Be-
zit-hung zurn Resonanzstront gebracht and als Funk-
tiou des Verhaltnisses UI,/Ul.r dargestellt.
I)er gesaurte Wirkstroni ergibt sick als Summe des
Verlusistroines and des Belastungsstroines:
(21) 1w= Iv+llt,
lw Iv Ill I\ Ul, U' r I
(22) -1- +
ll.r I l.r I Lr 11 r R
0,071 + ZLr UL
?
R ULr
Zl,r ist der Blindwiderstand der Spule mit dem ge-
sattigten Eisenkern im Resonanzfall. Der Gesamt-
strom ergibt sich aus der geometrischen Summe des
Magnetisierungsstromes and des Wirkstromes:
(23) `,3` = 2~w + o .
Verlegt man nun U1, in die reelle Achse, so kann man
schreiben
=I\\ +J10,
FJ I\\ 10
Il.r I I r } J Ill
Aus Bild 4 and Gleichung (22) kann man das Ver-
haltnis mit UL and Rr als Parameter darstellen.
lIr Ulr
Wir wollen nun die Beziehungen zwisclien den Span-
nungen U1 and U1, aufstellen. Es gilt
(26) U1 = UL + U. ,
u , U I U.
(27) Ulr Ulr + 1-T1,
I)ie Spannung an der Spule mit der linearen Kenn-
linic ist
(28) Ux = J x ,
(29) U J n Ulr llr JLIr llr
Zlr ist wiederum der Blindwiderstand der Spule rnit
dem gesattigten Eisenkern im Resonanzfall. Wenn wir
den Wert 11x/U1 r in Gleichung (27) einfiihren and U 1,
in die reelle Achse legen, erhalten wir
(30)
X Io I X 1, - X U1,
ULr U l r Zl,r 1Lr I - J Zl,r I [ -{- J R UJ,r
Um fiber die Beschaffenheit von X/ZLr etwas aus-
sagen zu konnen, wollen wir die Leerlaufkennlinie des
Stabilisators aufstellen, wobei wir auch die Eisen-
verluste vernachlassigen. In diesem Falle gilt
10 _ _ U1. X lo
U1,r Ul,r -~- ZI.r Il,r
Der Verlauf dieser Beziehung fiir einigc Wcrte fiir
0,5
Bild 5
U, U
j x
-?
UIr U1r ZIr llr
u 1, X
ULr J Zla
Zir UI' ist IO aus Bild 4 abgelesen and hieraus u 10 be-
UI.r ILr ULr
stimint.
X
Mit wachsendem erscheint ein Gebict der Mchr-
Zl,r
wertigkcit in der Beziehung U,O/UI,r. Urn eine ge-
niigende Stabilisierung zu erzielen, ist es notwendig,
daft man ein Gebiet der Mehrwertigkeit in der Be-
ziehung
(33) U10 = f U'
U i I r,,
ausbildet. Aus den Kurven (Bild 5) ersieht man, daft
die gewiinschte Mehrwertigkeit sich dann ausbildet,
wenn
(34)
ist.
x
ZLr
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Philippow: Fine graphische Behandlung des nichtlinearen Stromkreises beim Ferroresonanzstabilisalor
Eine gate Stabilisierung ittt Falle des idealen Leer-
laufs ergibt sick aber erst bei
(35) X 2,5.
Zlr
Allzu grol3e Werte fiir das Verhaltnis X Sind niclit
ZI.r
in enipfehlen, dean darn wachst bei vorgegebcnem
Wert von Zl.r der Wert von N. Des vegen wollen wir
fiir das Verhaltnis X/ZI.r dcu Wert 2,5 festsetzen.
Nun kann titan die Konstruktion des geometrise lien
Ortes der Zeigers UI/U,,r bei vorgegebenem X!Zi,r
2,5 nut N/R and tJ1/Ui,r als Parameter durcli-
fiihren. Diese Konstruktion ist auf Bild 6 ausgefiihrt.
Aus dieseo Gurveo ist der Verlauf der Beziehung
(36) , f UL
Lilr Ulr
bei versehiedenen Belastungeu abgelesen and auf
Bild 7a dargestellt.
Mit wachsender Belastung riickt die Stabilisicrung in
das Gebiet von hoheren Werten U,/U,,,. Auf Bild 7b
ist zum Vergleich auch die Konstruktion mit x 2,0
Zl.r
angefi.ihrt. Fiir eine gute Stabilisicrung ist auch im
Falle ciner Belastung das Gebiet der Mehrwertig_ keit
U U
in der Bezielrung U, r f U' erw iinsclit. Gate Stabi-
Iisierung, d. It. Ausbildung der Mehrwertigkeit,and grol3e
Belastbarkeit, d. h. grol3er Wert von x , stehen im
Widerspruch.
Das Gebiet der Mehrwertigkeit ist in folgender Aus-
sage gegeben:
Ein Gebiet der Mehrwertigkeit entstelit dams, weutu
der Kreis um den Nullpunkt mit OF als Radius and
die Ortskurve in einem Bereich parallel verlaufen lizw.
der Kreis von der Ortskurve umschlossen wird. Dies
ist der Fall fiir
(37) R 0,75.
Damit man den Stabilisator belastungsmal3ig volt aus-
ni.itzt, mul3 man mit dem Wert x an die obere Grenze
riicken. Hieraus ergeben sick die Bedingungen
X
ZI,r
r ,
,5
(39)
R
0,75
(40)
Tin
II
Z l .r
Resonanzfall ist
3,35
(41) Z l.r
Das ergibt:
1
o)C
(42) (oCR = 3,35 .
In der Literatur findet man als Erfahrungswert fiir
den Grenzwert zur Ausbildung der Mehrwertigkeit
die Bedingung
(43) o)CR = 3,5 .
Diese Grol3e ist durch die vorhergehenden Uber-
legungen begriindet.
Die Kompensationswicklung.
Der geometrische Ort von Ur fur X - 2,5 and X
Ul,r Zl,r it
0,75 ist noch einmal mit UI" als Parameter auf
U I.r
Bild 8 gezeigt. Konstruiert man fur einige Werte das
Spannungsdreieck
(44) U, _ curl, ux
Ut.r Ul.r U1,
so sieht man, dal3 auf dem Diagrarnm ein Gebiet um den
Punkt A existiert, das ciner Spannung entspricht, die bei
Variationen der Eingangsspannung in grol3erem MaDe
konstant bleibt als die zugehorigen Werte von Ut.
ULr
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Philippow: Eine graphische Behandlung des nichtlinearen Stromkreises beim Ferroresonanzstabilisator
B,= 140006, Z =1,5; R =0,75;
Z,
0,6 kU,
M0,5
n,
ULr
n A
7.u diesein Punkte A, dem eine Spannung U2 ent-
ULr
spricht, gelangt man, wenn man zu der betreffenden
U
Spannung U1" cinch bestimmten Anteil von mit
U, r ULr
umgekelirtem Vorzeichen geometrisch addiert. Dies
wird durch die Einfiihrung der Kompensations-
wicklung (Bild 9) erreiclit.
Wir wollen nun die Beziehungen, die durch die Ein-
fiihrung der Kompensationswicklung entstehen, be-
tracliten. Ln Fall der Kompensationswicklung sind die
entsprechenden Grbl3en mit dem Index K versehen.
Es gilt:
(45)
(46)
Fiir UyK gilt:
U2K = U1, - iiUXK,
UIK UI.+UXK?
(47) U\1, =j XK +jwM`,III=J XK
jXK( XK,
co Mc
X .Sa
K
2v+ o I-
BK I
Wenn man nun U1, in die reelle Achse legt, kann man
schreiben
(48) UIK = UI, --- XKIo H- jXKI% I-
XK
1; 4 ii) [U], ii (UIK UL)],
I i (1
K
UIK t11, XKI11 -} j XKIv +
+ J X , +a) U1,- J XK(1+ii)iiUIK+
1%K
X-
K
ii (1 --} a) IJ 1, ,
+ 11
h
Xh
1 } j IZ ii (1 ii) U1, XK Io +
i j Xh l\ + j XK B (1 + ii) 2 UL .
K
Mit den Abkiirzungen
(49) X.,
= ., (1 + ii) ii and
R7K
(50)
erhalten wir
- R (I + u)2
K
U1K _ UI, XK Io XK 1v U1,
(51) Ulr (I+J~) Ulr Z1rI1.r+JZ1r11rJIiUIr
Wenn wir these Gleichung mit der Gleichung fur die-
selbe Beziehung oline Kompensationswicklung gegen-
iiberstellen, sehen wir, daB ibre reehten Seiten gleich
sind, wenn
(52)
(53)
Z1,r Gtr
X XK
R-BK(1+u)2= .
Sind die zwei letzten Bedingungen erfiillt, so gilt
UIK UI
Ulr (1 +j ) = U ,
UIK I k U1
Ulr 1 +j Ul.r
Unter Erfiillung der Bedingungen (52) and (53) ergibt
sich der geometrische Ort des Zeigers UIK mit U1' als
ULr ULr
Parameter aus einer Drehstreckung aller Zeiger U1
ULr
aus dem Diagramm oline Kompensationswicklung.
Dies entspricht einer Drehung des Koordinaten-
systems um
(56) q - arc tg
entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn and einer I' 1 +
fachen Verkiirzung der Lange der Zeiger UI . Die
ULr
Wirkung der Kompensationsspannung auf das Zeiger-
diagramm ist auf Bild 10 gezeigt. Damit man mit
Hilfe der entgegengesetzt geschalteten Kompensations-
wicklung, die durch cin festes Windungsverhaltnis
erzielt wird, zu demselben stabilen Punkt A gelangt,
ist es notwendig, die Drehung so weit vorzunehmen,
daB die Ortskurve mit ihrem fast geradlinigen Teil
parallel zu der reellen Achse, also parallel zu U1' ver-
ULr
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Philippow: Fine graphische BehandIung des nichtlinearen Stromkreises beiut Ferrore.sonanzstabilisator
Hiatt. Dann gilt in diesent Bereieh der geotnetrische
Strahleusatz.
Dies erfordert natiirlich auch eiue lineare Parameter-
teiluug, was iiher b 1' 0,96 auch ungefiiltr erfidlt
1! I,r
isi. Aus dent Leigerdiagratnttt liest. mart ah:
b
---0,- - ,'10
0,5 / L1k
Der Fall der oben betrachteten Normalkompensatiott,
Lei der der geradlinige Teil der Ortskurve parallel zur
reellen Achse verlauft, ergiht dic beste Stabilisierungs-
kurve. Der Strahleusatz gilt niclrt, wens die Orts-
kurve nicht mehr parallel zur reellcit Achse verliiuft.
Das ist der Fall Lei
(63)
0,91
-0,5 0 0,5 1,Ox -0,5 0 0,5 1,Ox
Bild 10
(58)
(59)
(60)
ist der Verlauf der Kurve
U2K UIF
U lr U, r
wit Koutpeusatiouswiekluttg fiir verschiedeue Werte
des VIlersetznugsverhaltHisses ii gezeigt.
0,5 U,, 1,0 U.
U, VU(r
Bild 11
I)ieser Wert kann also als untere Grenze des staltili-
sierten Bereiches angesehen werden. Fur die untere
Grenze der Primarspannung gilt hermit
(64) U th 0,92.
UIr ?
Fiir die stahilisierte Spanning gilt
Ut'' 0,92.
U I.r
U
Ulr
Die aI geleiteteu Beziehungen crlauhen, die gesucltteu
Werte zu bestimmen, die fiir die Rennessung der
Elemente des Stabilisators notwendig sind.
Die Uberfiiltrung des Wertes der stabilisierten Span-
uung auf einc:t auderett gewiiuschten Wert kaun
tnittels cines Transformators oder durch Ausbilduug
cines Spartransformators auf der Spule tntt dem
gesattigten Eisenkern erreiclrt werden.
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1. Fakultiit fur Mathematik, Naturwissenscha#ten and technische Grundwissenschaften / Publ. fir. 31
Institut fiir allgemeine find theoretische Elektrotechnik, Direktor: Prof. Dipl.-Ing. Eugen Philippow
Als Manuskript gedruckt! DK 545.33:621.317.':621.357
Eingang: 10. 11. 1956
]Ober die Entwicklung eines Tintensehreiberpolarographen
mit lichtelektrischem Verstarker
Von Dipl.-Ing. P. Michelsson, Leiter der Abteilung fur elektrische McBtechnik,
beauftragt mit der Wahrnehmung einer Professur mit Lehrauftrag
h:in Polarograph ist ein elektrochetnisches Analyses- aufgestellten Spiegelgalvanometers G proportional
gerat. Das Verfahreu beruht auf einer Elektrolyse, sind. Auf diese Weise entstehen die Ordinaten des
wobei die zu untersuchende Lasting den Elektrolyten Polarogramms, das nach dem Entwickeln des licht-
darstellt. Als Anode dient eine am Boden des Elektro- empfindlichen Papiers sichtbar wird.
Ivsengefafles befindliche Quecksilbermenge; die Ka-
t Node bilden Quecksilbertropfen, die aus einer Glas-
kapillare mit etwa 0,08 mm lichtem Durchmesser
direkt in den Elektrolyten austreten.
I)ie Polarographie hat i.lire groBte Bedeutung auf
dent Gebiet der Spurenanalyse; man kann mil dent
Polarographen.z. B. ein Teil Nikotin in 10 Millionen
Teilen Tabak oder Bitten B1cigehalt von 5 ? 10-8 in
Zink nachweisen. Ein weiterer Vorteil ist, daB fur
eine Analyse nur sehr kleine Mengen benotigt werden.
[)as Verfahren wurde seit 1918 von dem tschecho-
slowakisclien Wissenschaftler Prof. Jaroslav Heyrovsky,
heute Akadetniemitglied, Staatspreistrager and Trage:
des Ordens der Republik, erforscht and fiihrte im
.lahre 1925 zuni Ban des ersten Analysengerats.
Bei diesem Geriit wurde die Elektrolysenspannung
autotnatisch and gleichmaBig in einetn Zeitraum von
etwa 5 Minutes von 0 his auf -- 3 V gcsteigert. Der
Burch die Analysenzelle flielende Strom wurde fiber
dieser Spannung mit einer Registriercinrichtung auf
Iiclttennpfindlichein photographisehem Papier auf-
get rages.
Die auf diese Weise gewonnenen Strom- Spannungs-
kurveo natnte lievrorskv PoIarngrainine, die Lehre
von den Ergebnissen dieser Untersuchungen Po-
I a r o g r a p h i c turd das dahei verwendete Gerat
Polarograph. I )ie grol3e Bedeutung, die die Polaro-
graphie in kurzer Zeit erlangt hat, iiuBert sick nicht
nur in einetn untfangreichen Schrifttum, das fiber
6000 Arheiten in den verschiedensten Sprachen auf-
weist, sondern auch in einer stattlichen Anzahl von
verschiedenet Ausfiiltrungen polarographischer Ge-
rat e.
I)as Grundprinzip des von Ileyrorskv verwendeten
Polarographen mit photographischer Registrierung
ist in Bild 1 dargestellt. Das Schleifdraht-Walzen-
potentiometer P nach Kohlrausch, das die kontinu-
ierliclt ansteigende Elektrolysenspannung einstellt,
ist hies nur schentatisch angedeutet. Es wird vom
gleichen Motor M angetrieben, der die Registrier-
tromntel T mit dens lichtempfindlichen Papier be-
wegt. I)atnit wird die Abszisse des Polarogramms der
Spanntutg proportional. I)er durch die Elektrolysen-
zelle Z flieBende Strom ruff am stufenweise einstell-
haren 1, tnpfindlichkeitsregler Ra einen Spannungs-
ahi'all hervor, dem die Ausschlage des weiter entfernt
U
tF-J
Bild 1 Grundprinzip des Heyrovsky-Polarographen
Die Registriertrommel mit dem lichtempfindlichen
Papier muB gegen das von auBen eindringende Streu-
licht geschiitzt scin; nur ein schmaler Schlitz bleibt
fur die Lichtmarke frei, die infolgedessen stets genau
einzujustieren ist. Da Galvanometer and Registrier-
trommel nur in seltenen Fallen auf der gleichen Grund-
platte stehen, rnilssen Relativbewegungen beider
infolge auBerer Erschiitterungen vermieden werden.
Bei der Entwicklung cites neuen Polarographen
miissen dither in erster Linie nachstehende Forde-
rungen erfiillt werden:
1. Aufzeichnung der Polarogramme in sofort sicht-
barer Schrift ohne photochemische Nachbehand-
lung;
2. Unempfindlichkeit gegen Erschiitterungen sowie
helles Tages- and Kunstlicht;
3. kurze Einstellzeit des Schreibers auch in den
hochsten Empfindlichkeitsstufen;
4. weitgehend vereinfachte Bedienung.
Die Entwicklung von Schreibern mit direktscltwarzen-
dem lichtempfindlichem Registrierpapier hat bereits
zu einem Polarographen gefiihrt, bei dem these Ziele
erreicht sind. Gleichwohl hat sich neben dem in Bild 1
dargestellten Polarographen auch der sogenannte
Tintenschreiberpolarograph behaupten konnen, dessen
Grundprinzip in Bild 2 ist.
In den Stromkreis durch die Elektrolysenzclle wird
ein Gleichstromverstarker geschaltet, an den ein
Tintenschreiber angeschlossen ist. Der Antrieb des
Spannungspotentiometers P and des Registrier-
papiervorschubs erfolgt hier durch die Synchron-
motoren SM1 and SM2. Auf diese Weise ist, ohne daB
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Micbelsson: tlber die Entwicklung eines Tintett.,ebreiberpolarographen mit lichtelektrischem Verstiirker
zvvischen diesen beiden Bauteilcn einc mecbauische
Verbiudung hestelit, die Proportionalitat zwischen.
Polarographierspannuiig uud Altszissenmaf3stah ge-
naiirleistet. F+ r amperometrise, hes Arheitcu wird der
Sv nebrotunotor fiir den Hegistrierpapiertransport SM2
abgeschaltet, wiiltrend der Synchrottmotor SM1 des
Spannuugspotcutiouieters weiterlauft; fur polaro-
metrischcs Arheitcu wird der Antrieb des Spannungs-
1~ -C P
SMt p M2
Bild 2 Crundprinzip eines 'iiutensehreiberpolarographen toil
KompensutionsversI rker.
potcutiomelers Shit abgeschaltel uud der Svnebron-
motor SM., fiir den Papiertrausport in Betrieb be-
lasscu. Die in. Bild 2 gezeigle Schaltung fur das
Potentiometer P erlauht auch auodisch-katbodisches
Arheitcu, went die Spauuungen toil den Einstellpoten-
tiometeru FPt and 1':P2 den Anforderuttgen diesel.
Artalvsenart entsprechend gewiihlt wcrdcn. Nach
l!ntschaltctt des I ittersetzuugsgetriehes (durclt Ein-
knopfhedieuung) hestcht ferner die Moglichkeit,
,,rd kwiiris" zu polarographieren.
Bevor die dent Entwurf des Tintcnsehreiberl)olaro-
grapben zugruude liegeudeu Uberlegungen aufgezeigt
werdeu, erscheiut es notwendig, auf das Entstchen and
den zeitlicheu Verlauf des durch die Elektrolvsenzelle
fliellenden Stromcs mit cinigen Worten einzugehen.
Die grof3fliichige Anode, die durclt das ant Bodes des
I:lektrolvsengefiif3es liegende Quecksilber gebildet
wird, darf bei den geriugen Strotnen in der Zelle als
iutpolarisierhar betrachtei werden. Ilir Potential kann
infolgedessen als konstaut gelten. Damit setzt sich die
an die l lektroden angelegte Spauuung aus dent
Potential der Anode, dent Spaututugsahfall tin
h:Icktrolvten tntd dent Potential an der Tropf-
eleLtrode zusammeu. Den Spannuugsabfall im Elektro-
Ivteit kann man durch Zusatze praktisch gleich Null
utachen, so daf3 jede Auderung der angelegten Span-
nuug eider gleichen Andvrung des Kathodenpotentials
entspricltt.
Der Strout in der Elektrolvsenzelle beginnt erst zu
fliet3en, wetut das Reduktionspotential eines der in
der 1, sung vorhaudenen Stoffe an der Kathodc
erreicht ist. Darauf beruht die qualitative Analyse,
(lit ja die Heduktionspotentiale bekannt sired.
Die Kathode liefert jetzt gewissermaf3en negative
Ladungeat, die von dem in Reduktion befindlichen
Stoff an der Grenzflaeiie des Queeksilhertropfens im
l"lektrolVteu aufgenomuten werden. Wegen der Klein-
beit des Tropfens verarint die nape Umgebung der
Kathodc, also des Queeksilbertropfens, an reduzier-
harent Stoff, uud es entstelit cute sogenannte Diffu-
sioussehicht urn den Tropfen. Das Hera nbringeit
wciterer reduzierbarer Molekiile odor Ionen kann
demnaclt nor Hoch durclt Diffusion its Elektrolyteu
erfolgen. Diese Diffusion ist unter einigen leicht
erfiillbaren Bedingungen der Konzentration der Lo-
sung genau proportional. 1)ie sick dahei einstellende,
von der VergroBerung des Reduktionspotentials
uttahhangige Grenzstromstarke stellt somit hercits
die quantitative Analyse dar.
Erst wean durclt weitere Spannungserhohung das
Reduktionspotential eines weiteren reduzierbaren
Stoffes erreicht wird, tritt cis Heuer plotzlicher Strom-
anstieg auf. Auch dicser findet seine Begrenzung durch
die durch Diffusion zugefiihrte Menge des neuen
Stoffcs its Elektrolyten.
.Jeder dieser Strotnanstiege erscheint also im Polaro-
gramm, dessen Abszisse ja der stetig steigenden
Spannung entspricht, in der Ordinate als sogenannte
Welle oder Strafe, deren Hohe der Konzentration des
reduzierbaren Stoffes proportional ist.
Das Polarogramm wurdc trotz der Stufen eine glatte
Kurve ergeben, wean der gleichmaf3ige Kurvenverlauf
nicht durch das Abtropfen des Queeksilbers an der
Kathodc gestort wurdc.
Jeder Tropfen verursacht tine sogenannte ?Zacke"
its Polarogramm. Die Stromstiirke an der Tropf-
elektrodc nimmt mit dem Wachstum des Quecksilber-
tropfens zit and fa11t plotzlich ah, wont der Tropfen
abreiit, utn unit der Neubildung des nachsten Queek-
silbertropfens wieder anzusteigen.
l)ie nortnale Tropfgescltwindigkeit betragt 2 his
3 Sekunden je Tropfcn and nimmt mil wachsendcr
Spannung et-was zu. Lange Tropfzeiten haben groBe
Zacken zur Folge, die die Auswertung stores.
Man karat die Ilohe der Zacken durch eine geeignete
Dampfungseinrichtung der Apparatur vermindent
and dadurch das Polarogramm glatten. Das Problem
enter geeigneten Dampfung ureter Wahrung der
Empfindlichkeit des Polarographen stellt oftmals
jedoch eine recht schwierige Aufgabe dar.
Wie eingangs bereits erwahnt, hat man es in der
Polarographic in der Regel mit stark verdiinnten
Losungen zu tun. Daraus ergibt sich, daB bei der Be-
gistrierung der Strom-Spatutungskurve einc Strotn-
anderung his herab zu 2 ? 10-7 A der vollen Schreih-
breite des Diagramms -- im vorliegenden Falle
120 mm - entsprechen inn 13. Die Empfindlichkeit
der Schrcibeinrichtung betragt demnaclt 6 - 10s mm/A
and reicht damit bereits an die eines hochempfind-
lichen Spiegelgalvanoineters heran.
Rechnet man mit eitter Mef3ungenauigkeit des Ver-
fahrens von -L 5",,, so miissen immerhin nosh
1 - 10-8 A zuverlassig ableshar geschriehen werden
konnen. Die Schreihungenauigkeit der App a r a t u r
sollte demnach 1-1,5('(), hochstens -L 2,5(', nicht
iiberschreiten.
Eitt Tintenschreiber der Masse 1,5 benotigt 2,5-
10-3A hei einem Innenwiderstand von mindestens
1200 Ohm fur Endausschlag, das rind also 7,5 - 10-3
Watt. Die Aufzeichnung der Stroin-Spannungskurve,
des Polarogramms, ist darer erst Hach Verstarkung des
durch die Elektrolvsenzelle flief3enden Stromcs mog-
lich. Der hierfiir erforderliche Gleichstromverstarker
soil wenigstens 12 fest einstellbare Verstarkungsstufen
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Michelsson: Uber die Entwicklung eines Tintenschreiberpolarographen mit lichtelektrischem Verstarker
habeas, die nornialerweise von 1: 1,25 his 1 : 12500
reichen, wenn ein Tintenschreiber mit einer Strom-
aufnahme von 2,5 ? 10-3 A verwendet wird.
Wean die McBungenauigkeit der Gesamtapparatur
1 2,5"() nicht ubersteigen soil and die Fehlergrenzen
des Schreibers bei + 1,5 '?%, liegen, so ware vom Ver-
starker zu fordern, dab seine Ungenauigkeit des
Verstiirkungsverhaltnisses + 1 , nicht iiberschreiten
(hirft e.
Aus der verhaltnismaBig grol3en Zahl von Mc13-
verstarkern wurde der lichtelektrische Kompen-
sationsverstarker in der bewahrten Saugschaltung
each Herz and Stanek ausgewahlt [6].
I)ieser Kompensationsverstarker hat im abgeglichenen
Zustandeinen verschwindend kleinenlnnenwiderstand,
kann also snit der Elektrolysenzelle in Reihe geschaltet
werden, ohne die Gleichheit von angelegter Spannung
and Potentialunterschied an der Kathode zu storen.
AuBerdein wares folgende konstruktive Grande fur
die getroffene Entscheidung von Bedeutung:
I. Fiir das bei diesem Kompensationsverstarker
erforderliche Steuergalvanometer standen aus-
gezeichnete Kernmagnetmel3werke modernster
Bauart aus eigener Entwicklung and Fertigung
zur Verfiigung.
2. Fiir die Photozellensteuerung konnte die be-
wahrte Lichtmarkenoptik (vgl. [8]) mit Doppel-
reflexion mit nur wenigen Anderungen iiber-
nominen werden.
3. I)ie Entwicklung moderner Tintenschreiber mit
Ellipsenlenker-Geradfiihrung and geeigneter Re-
gistricrpapi(,-r-Transporteinrichtung stand un-
inittelbar vor dem AbschluB.
4. FeinmeBwiderstatide and Stufenschalter bester
Qualitat waren aus eigener Fertigung sofort
greifbar.
5. I)ie im Heyrovsky-Polarographen als Span-
nungspotentiometer verwendete Kohlrausch-
walze, deren Herstellung im allgemeinen schwierig
ist and die trotz sorgfaltiger Pflege manchmal
Anlal3 zu Storungen bietet, konnte mit gutem
Erfolg durch ein von einer Perlonhiille um-
schlossenes Stabpotentiometer ersetzt werden,
dessen Schleiferabgriff fiber ein vergoldetes Band
erfolgte.
Rom R6
Bild 3 Kompensationsverstarker in Saugschaltung nach Merz
and Stanek.
Die Prinzipschaltung des Kompensationsverstarkers
in Saugschaltung nach Merz and Stanek ist in Bild 3
dargestellt.
Werden die Eingangsklemmen dieses Verstiirkers in
den Stromkreis mit dem zu messenden Strom im ge-
schaltet, so wird das Steuergalvanometer G aus-
schlagen and - auf eine hier nicht naher zu erlauternde
Weise - den Regelwiderstand RR verandern. Damit
andert sich auch der durch den Tintenschreiber
fliel3ende Strom J. Durch den Normalwiderstand RN
fliel3t der Strom (J - ik); der Kompensationsstrom ik
ist unter der Voraussetzung eines vollig richtmoment-
losen Steuergalvanometers G gleich dem zu messenden
Strom im, wenn die Spannung am Galvanometer
UG = 0 wird, d. h. wenn die Spannungsabfalle an RN
and Rv einander gleich werden. Wir haben also fur
UG=0:
(J-ik)RN=1k Rv
RN
ik = 1m J = im ~ + R~
RN
Die Ausschlagsbewegung des beweglichen Organs im
Steuergalvanometer kommt nun zum Stillstand, sofern
nicht durch Anderungen der Speisespannung, Al-
terung des Regelwiderstandes RR oder der zu seiner
Steuerung dienenden Photozellen sowie Anderungen
des Innenwiderstandes des Tintenschreibers Storungen
der Gleichung
1k =1m
hervorgerufen werden. Diese haben das Auftreten
einer Spannung UG am Galvanometer zur Folge, das
these Storungen in der soeben geschilderten Weise
sofort auskompensiert, his wieder UG = 0 geworden
ist.
Das Verhaltnis
RN + Rv
AN = U.
bestimmt also allein die Stromverstarkung des Ver-
J - 1m ' Ug.
Damit ergibt sich z. B. mit RN = 1 Ohm and Rv =
12 500 Ohm eine Stromverstarkung von u8 - 12500.
Aus diesem Grunde massen die Widerstande RN and
Rv besonders genau and in ihrem Betrage auBerst
konstant hergestellt sein.
Man erkennt auch, dab, obwohl das Steuergalvano-
meter im Kompensationsfall spannungslos ist, der
McBstrom im ungehindert weiterflieBen kann. Es liegt
hier also der Fall eines idealen Stromverstarkers mit
dem Innenwiderstand Null vor. Das ist moglich, da
der Mel3strom hier gewissermaBen durch die Schaltung
,,hindurchgesaugt" wird.
Es hat auf den ersten Blick den Anschein, als ob die
Widerstande RN and Rv beliebig gewahlt werden
konnten. Da jedoch das Richtmoment des Steuer-
galvanometers aus mechanischen Griinden nicht unter
einen gewissen Betrag verringert werden darf, ist
man in der Wahl des Betrages der Widerstande durch
die Forderung gebunden, dab moglichst hohe elek-
trische Einstellmomente erzielt werden massen, damit
eine gute Nullpunktkonstanz and ein geringer EinfluB
der Richtmomente der Spannbander gewahrleistet
ist, die ja als Fehler in die Stromverstarkung eingehen.
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Michelsson: Uber die Entwicklung cities 1'intenschreiberpolarographen mit lichtelektriseheni Verst irker
Itt der Bemcssungsgleichung fiir optimales RN Hach
Herz [6]
(Ri + :_1* R1Ra
1
worin H; der Ltnenwiderstand der Stromquelle and
des Regelwiderstandes ist, erscheint der heim Polaro-
grapheu veranderliche AuBenwiderstand R;, and die
gleichfalls stufeuweise veranderliche Vcrstarkung us.
1';s ergeheu sick daraus Werte fiir RN zwisehen 0,1 uud
Ill Ohm. Eiue Abweichung um eine Zehnerpotettz each
uoteu ist durchaus traghar, eine Abweichung Hach obcn
mit der Gefahr sehlec liter Dantpfung des Systems ver-
Lunden. Aus diesem Gruude war die erste Polarogra-
pheuserie mit untsehaltharen Norrnalwiderstanden H,
0.l a ud 1,11 Dbtu versehen. Iiei der neuen Serie kounte
Hach sorgfaltiger 1)imettsionierung des Galvanotneter-
widerstaudes R,; jedoch in alien Verstarkungsstufen
mit HN _- I Ohm gearheitet werden. Das hedeutet
neheu eiuer Vertninderuttg der Storanf illigkcit auch
vine Verbesseruug der Einstellzeit iii den hohcn
Verst iirkungsstufett.
Die Gefahr, daB das Steuergalvanouteter durch einen
zu kleinen AuBenwiderstand kurzgeschlossen wird,
liegt heitn Polarographeit nicht vor; man kann ohm"
Schadeu his R ;, 10 gehen. l)ieser Wert wird nor
R,;
Lei der kleinsten Vcrstarkung unterschritten, ist dort
aher oline Belang. Entsprechende Versuche zeigten
tatsiichliclt keine ncrutenswerte Verminderung des
elektrischen Eiustelltnotnents.
Das Steuergalvanometer Hit liehtelektrischen Ver-
starker stellt einen direkt wirkenden Regler mit
starker Riickfiihrung dar. Pendelungen des Systems
kortnen dadurch auftretett, daB das Einsetzen des ver-
starkten Stromcs durch den entgegenwirkenden Strom
aus der hei der Bewegung des Tintenschrcihcrrahmens
induzierten Spannung fiir das Galvanometer zu stark
verzogert wird. Diese Pendelungen werden erfolgreich
lurch eine ?elastische" Hiickfuhrung in Form einer
stufenweise veranderharen Kapazitat vermiedeu, die
dem Tint enschreiherrnel3werk and derv Vorwider-
stand R~ parallel geschaltet wird. Die hei Anderungen
des verstarkten Stromcs J in den Kondensator hineiu-
oder aus ihrn herausflielcnden Strcime rufen itn
Steuergalvanometer Ausschlage im gem iinschten Sinne
hervor, was praktisch derv sofortigen Einsetzeu des
Kompensationsstromes it; gleichkommt.
Bild 4 zeigt die Schaltung des liehtelektrischen b er-
starkers im Tintenscltreihcrpolarographen, die dadureh
hcmerkenswert ist, daB der Tintenschreiber im Gegen-
satz zu ahnlichen Schaltungen in der KatbodenleiInng
der als Regelwiderstand dienend:ln Elektronenriibre
liegt. Dadurch bleibt das Mef3werk auf niedrigem
Potential.
Das Stcuergitter der als Triode geschalteten Riihre
6 AC 7 licgt an einein aus zwei gasgefiillten Alkali-
photozellen gebildeten Spannungsteiler. Der Arheits-
punkt ist so eingestellt, daB (lie hohe Steilheit der
Rohre (als Triode 6,5 mA/V) ausgenutzt werden kauu.
Der dahei flieBcnde Anodenruhestrom wird itn Schrei-
ber mit einem Hilfsstromkreis kotnpensiert, wodurch
der Nullpunkt des Schreibers (bei offenen Eingangs-
klemmen) fest eingestellt ist. Hierhei wird allerdings
frngang
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Michelsson: Cher (lie Entwicklung tines 'I'intenschreiherpolarographen mit lichtelektrischem Verstarker
von aul3en in die Konipeusationsschaltung ein-
gegriffen, and es waren klcine Felder durch Ver-
iinderungen an diesen Einstellgliedern denkhar. Der-
artige Abweichungen konnen jedoch mit dem Null-
punktriieker des Tintenschreibers ohne weiteres aus-
geglichen werden.
Die Leiden Photozellen Phi and Ph2 werden fiber ein
Spiegelprisma, das den Lichtzeiger des Steuer-
galvanometers teilt, in der Weise beleuchtet, daB bei
zuuehmendem McBstrom iinfolge des Galvanometer-
aussehlages die eine Zelle meter, die andere weniger
Licht erhalt. Ihr Lrnenwiderstand andert sich dabei
fret umgekehrten Sinne and ruff eine Erniedrigung
der Gittervorspannuug der Rohre, des Regelwider-
standes III,, hervor, so daB der verstarkte MeBstrom J
lurch den Tintenschreiber zu fliel3en beginnt. Der
Kontpensationsvorgang vollzicht sick dann in der
vorhin besprochenen Weise.
Die Verstarkung ist lurch die umschaltbaren Wider-
stiinde KN in 13 geeichten Stufen einstellbar; mit
Hilfe der iu 5 Stufetr regelharen Kapazitiit C fiir die
elastisehe Riickfiiltrung lassen sich die Zacken der
Polarogramtne alien Anforderungen entsprechend
gliitten. Die Wirkung dieser mit ?Dampfung" be-
zeiehneten Einrichtung ist in Bild 5 an einem in zwei
verschiedenen Darnpfungsstufen aufgenommenen
Sauerstoffmaxitnum in Chlorkaliumlosung zu sehen,
das allgemein zur Priifung fiir die richtige Dampfung
der Polarographen herangezogen wird [2].
50
/1 .%
0=4
IV 2V
Po/arogra phierspannung
Bild 5 Polarograinni einer 0,001 n KCI-Losung (Sauerstoff-
ntaxitnum)
Verstiirkungsstufe : 50 It A
Dampfungsstufe: 3 u. 4
'fropfzeit: 3 Sekunden
Papiervorschub: 40 mm/min
I)er Polarograph, wie er jetzt voin Institut fiir Ge-
r:itebau der Deutselien Akademie der Wissenschaften
zu Berlin hergestelit wird, ist ohne Elektrolysenstativ
in Bild 6 dargestellt. Im linken Geri ft sind der Netzteil,
der lichtelektiisehc Verstarker, der Spannungsmesscr
Bowie die Bedienungs- and Schaltelemente fur die
Wahl des McBbereiches and der Dampfung, der
Polarographierspannung, der Ladungsstromkompen-
sation and der elektrischen Nullpunktverschiebung
(fiber die gesamte Schreibbreite des Polarogramms)
untergebracht. Rechts steht der Schreiber, der in
seinem oberen Teil das motorgetriebene Spannungs-
potentiometer and den Bedienungsgriff fiir Vor- and
Ruckwartspolarographieren nebst schnelleni Vor- and
Riicklauf des Abgriffes enthalt. Darunter befinden
sich die automatische Polarographierspannungsein-
stellung and die Scltaltknopfe fur normales ampero-
metrisches and polarometrisches Arbeitcn.
Bild 6 Polarograph mit Tintenschreiber (ohne Elektrolysen-
stativ).
Ich mochte meine Ausfuhrungen nicht schlieBen, oline
Herrii Nationalpreistrager Prof. Dr. K. Schwabe,
Dresden, meinen Dank fiir semen flat and seine tat-
kraftige Unterstutzung bei der Entwicklung des Polaro-
graphen ausgesprochen zu haben. Auch die Namen
meiner ehemaligen Mitarbeiter, die die Erprobung and
den Ban der Muster and Gerate durchfi hren, sollen
an dieser Stolle genannt werden. Es sired die Labo-
ratoriumsingenicure Karusseit, Schneider and Zeitler,
die Konstruktionsingenieurc Dorndey, Elsner and
Klausewitz sowie die Mechaniker Engler, Ritter and
Fraulein Reetz.
Literatur
[1] Heyrovsky, .J., Polarographie, Wien 1941.
[2] Heyrovsky, J., Praktikum der Polarographie. Springer
1948.
[3] llevrovsk}', .J., Fortschritte der Polarographie, in: W. Bott-
ger, Physikalische Methoden der analytischen Chemie,
Leipzig 1939. III. Teil, S. 422... 77.
[4] Stackelberg, M. r., Polarographische Arbeitsmethoden.
Berlin 1950.
[5] Hohn, H., Metall and Erz, 40 (1943) S. 197... 204,.
[6] Merz, L., Archiv f. Elektrotechnik, Bd. XXXI (1952) Heft 1,
5.1...23.
[7] Kruger, H., Z. angew. Phys., Bd. IV (1952) Heft 5,
S. 173... 76.
[8] Michelsson, P., Nachrichtentechn., 2. Jahrg. (1952) Heft 3,
S.74... 79.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochsehule fur Elektrotechnik Ilmenau ? 2 (1956) Heft 3 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften Publ. Nr. 32
lnstitut fur Maschinenkunde, Direktor: Prof. Dr.-Ing. Lothar Pol3ner
Als Manuskript gedruckt! DK 531.8:621.01:624.04
Eingang: 15. 1. 1957
Ein rechnerisches Gegenstiick zur zeichnerischen Methode von Mohr
Von Prof. Dr.-Ing. Lothar Pol3ner
Das Verfahren nach Mohr hat fur den Maschinen-
konstrukteur besondere Bedeutung bei der Berech-
nung von abgesetzten Wellen. Dieser graphischen
Methode stand bisher keine rein rechnerische zur
Seite, wenigstens nicht eine solche, die es dem Prak-
tiker gestattetc, ebenso schnell wie iibersichtlich zu
eincin guten Ergebnis zu gelangen. Mit Hilfe der
Matrizenrechnung and des Schemas nach Falk
gelingt es, fiir die Praxis ein Rechenverfahren zu
entwickein, das zudem noch eine gewisse Analogic
zu:n Mohrscheu Verfahren aufweist. An Hand der
Beechnung von Einflul3grolen fur Einflul3matrizen
M ird nachfolgend diese Rechenweise ausfiihrlich
eri rtert, so daB der Praktiker in Zukunft die Be-
rechnung von mehrfach gelagerten Wellen mit ver-
iinderlichem Triigheitsmoment auch rein rechne-
riseh durchzufiihren vermag. Bedient man sick dabei
der Rechenmaschine, auf die das Verfahren infolge
der Verwendung der Matrizenrechnung zugeschnitten
it, so nimmt die Rechnung wenig Zeit in Anspruch.
Das Verfahren beruht auf der Vektortransformation
(Matrizen), wie sic in neuester Zeit vielfach bei der
Berechnung von Wellen herangezogen wurde [1].
Das Wesen von Einfluligr8len in Verbindung
mit Matrizen
Bei der Behandlung der EinfluBgrol3e 1 als Element
der EinfluBmatrix sind cinige spezielle Zusammen-
hiinge zu beacht('n, die erst klar herausgestelit werden
sollen, ehe zur Berechnung von t/ iibergegangen wird.
I)ie Giiltigkeit des Hookeschen Gesetzes gestattet,
die Betrachtungen auf die Einheit zu bezichen, d. h.
bei Matrizen auf die Einheitsmatrix.
EinfluBmatrix Einheitsmatrix
1 0 0
X111 7112 'l13
t
r
0 1 0
/2223
l21
0 0 1
O
l33
1131 x132
13ei einetn einfachen Stab wird der EinfluB einer
phvsikalischen GroBe (z. B. einer Kraft P) auf irgend-
eine Schnittstelle des Stabes untersucht. Die Aus-
-,wirkung erstreckt sich auf Durchbiegung (y), Neigung
(N) der elastischen Linie, Biegemoment (M) and Quer-
kraft (Q). Es treten hierbei zwei unabhangige Ver-
anderliche auf, and zwar x = Schnittstelle, Wirkstelle
oder MeBstelle and c - Kraftstelle, Ursache [2].
Diese Veranderlichen gehoren demselben Werte-
bereich an (Achse in Richtung der unverformten
Stabachse). In der Matrix besitzen beide Verander-
lichen die Richtung der Spalte (x) bzw. der Zeile (c).
I)er Spaltenvektor der Einheitsmatrix ist somit der
Einheitsvektor der Kraft, der Zeilenvektor der Einheits-
veklor der Schnittstelle. Um sic auseinanderzuhalten,
stellen wir sic zeichnerisch verschieden dar, obwohl
sic beide ganz neutrale Rechengrol3en sind (Bild 1 a
and 1 b).
Es ergeben sich somit zwei Moglichkeiten der Be-
trachtung:
1. Einheitsvektor der Kraft fiber mehreren Schnitt-
stellen
2. Einheitsvektor der Schnittstelle fiber mehreren
Kraftstellen.
Es ist iiblich, die Kraftstelle (c) mit der Schnittstelle
(x) zusammenzulegen. Dies erleichtert zwar die Rech-
nung, verringert aber die Klarheit des Zusammen-
hanges.
Bei der Anwendung auf den Biegestab benotigt man
fur die Auswirkung vier Einfluf3linien (Mr y, N, M
and Q). Man erhalt sic durch Ableitung aus der
elastischen Linie fiir eine Last P = 1, die zugleich
EinfluBlinie fur die Durchbiegung ist. Es ist zweck-
maBig, diese doppelte Bedeutung anseinanderzuhalteii,
weil sich bei einigen abgeleiteten Einfluflinien jeweils
auch besondere Gleichungen ergeben.
Jede EinfluBlinie setzt sich grundsatzlich aus zwei
Zweigen zusammen, die an der Stelle der Einheit des
Einheitsvektors tangential ineinander iibergehen [2].
Die Gleichungen der beiden Zweige enthalten die
beiden Veranderlichen x and c. In Zeilenrichtung der
Matrix ist x konstant and c veranderlich, in Spalten-
richtung umgekelirt. Durch partielle Differentiation
der Gleichung fiir die elastische Linie n (x c) fiir P = 1
nach x erhalt man nacheinander die
Neigungslinie
Momentenlinie
Querkraftlinie.
Durch partielle Differentiation nach c crgibt sich die
EinfluBlinie fiir die Neigung
EinfluBlinie fiir das Moment
EinfluBlinie fiir die Querkraft.
Erstere sind somit die Spalten, letztere die Zeilen der
EinfluBmatrix. ri (x, c) ist in x and c symmetrisch fiir
beide Zweige, d. h., vertauscht man sic in einer der
beiden Gleichungen, dann erhiilt man die andere.
Es entstehen dann auch symmetrische Matrizen.
Die geraden Ordnungen der Differentiation (0te and
2te) ergeben symmetrische, die ungeraden Ordnungen
(lte and 3te) unsymmetrische Gleichungen and Ma-
trizen. Die Symmetric erleichtert die Rechnung, ver-
ringert aber ebenfalls die Durchsichtigkeit der Zu-
sammenhange. Daher wiihlen wir in nachfolgender
Gegenilberstellung die unsymmetrische 1. Ableitung,
weil sic noch beide Unabhangige x and c enthalt,
wahrend diese in der einfacheren 3. Ableitung nur
einzeln vorkommen.
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176 1 ol-Iner: Ein rechnerisches Gegenstiick zur zeichnerisclren Methode von Mohr
Gegenuberstellnng
(P
1 2 3 1 2 3
Bild 1 a Einheitsvektor der Kraft fiber den Schnittstellen I Bild 1 b Einheitsvektor der Wirkstelle fiber den Kraften 12 3.
1 2 3.
Der traushottierfe Eiuhcitsvektor der Kraft (Ur-
sache) ergibt die ii-Werte
(11 12 'J'22 'J'32)
Der Einheitsvektor der Schnittstelle, Wirkstclle,
Mef3stelle ergibt die q'-Werte
/ 11 21
tj 22
Ij 23
als Spalte
J 1 1
(0 If 0) Einheitsvektor
der Schnittstelle
Liierbei bedeutei eiuheitlich der erste Index die Scltuittstcllc, der zweite die Laststelle. In der Matrix finder
wir sic als
Spaltenvektor
Somit ist x Veriinderlich
c konstant
Zeilen, ektor
x konstant
c veriinderlieh
\114-in daraus ergibt sick schon die Notwcudigkcit der partiellen Differentiation, wcnu man die weiteren
Gleiehungett gewin11en will. Diese eintualig durchgefiihrt, fiihrt zur
N eigungslinie
Die Heehiung ergibt [41
t rj(xe)
0 ) Einheitsvektor
der Kraft
( 1) 12 1 e 1 3 I x 12 c 2
(E, 1 1 I) 11 / I I
(Schnittstelle links on der Einheit der Kraft)
t1 12 c
x 6EJ I
I - :3(1
EinfiuBlinic fur die Neigung
r r 1 3 (t)( 1 x )2
1~ -f
(Einheit der Schnittstelle rechts von der Kraft)
cI ~2
(Schnittstelle reehts von der Einheit der Kraft)
Uei der Ubertragung in eine Matrix miissen auf
beiden Seiten der Gegen6berstellung die Gleichungen
transponiert werden. Dabei hat nur die rechte Seitc
der Gegeniiberstcllung fiir die Einflul3grof3en Be-
deut u11g. Beint Trausponieren von rj (x c) in ij (e x)
werden in den Gleichungen die Vcranderlicheat ver-
Iauscht. 1111 Gegcnsatz zu den svmmetrischen Funk-
lit)In'1l, bei dentin das Vcrtauschen der Vcrandcrlicheu
in einer Glcichung stattfindet, mu13 in der unsvmme-
Irischen Funktiou das V'ertauschen, wie zu sehen ist,
in zwei Fuuktionen vorgcnommen w erden.
Die linke Seite unseres Vergleichs kornmt fur eine
Ubertragung in eine Matrix nicht in Frage, gilt aber
welter fiir eine I)arstellung im Koordinatcnsvsteln
mit der A cranderlichen x. Die rechte Seite des Ver-
gleiclts mu13 bei der Ubcrtragung in die Matrix trans-
poniert werden (T) uud ergibt
C 6EJ I
1 -- 3(1
(Einheit der Schnittstelle links von der Kraft)
oberhalh der Hauptdiagonalen
12 e ' x 2 e 2
e 6 E J
(1 I 1 3 (f I1 1
unterhalb der Hauptdiagonalen
r r1 f2 c 2 c 2
1 -3(1-- 1~ (1)
c 6E.1 I
taobci c die Veranderliche in Zeilenrichtung ist.
Die Formeln fur beide F51le sind sornit am Ends
ahnlich, nur rnuB beachtet werden, daf3 zwei ver-
schiedene Veranderliche gelten, cinmal x and das
andere Mal c, and daB ilire Lage auf den Sciten
beiderseits von x = c zu beachten ist. Die Ahnlichkcit
erkennt man, wentt than auch die linke Seite des
Vergleichs transponiert. Betrachtet man schlieBlich
bei den transponierten Gleichungen x als Verander-
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fiche, so erhalt man die Spalten fur ein bestimmtes c,
d. It. die Neigungslinie ist die Spalte der EinfluB-
matrix uud ihre EinfluBlinie die Zeile. Bei .Konstruk-
tionen in der graphischen Darstellung, ausgehend vom
vont Einheitsvektor der Kraft, erhalt man immer die
den EinfluB nines Einheitsvektors der Kraft
Quelle) auf die Wirkungsgr6l3en an den verschiedenen
x
Stabstellen (1 ) ;
Beim ( Iherschreiten der Hauptdiagonalen in obigem Beispiel wird
ersetzt. ZusammengefaBt ergibt sich als Matrizengleichung
die Veranderliche durch ihr Komplement
N1
(N2
N3
11 'q'12
"21 17"22
Yi"31 111"32
11 13
)1'23
y133
Pi '
P3
Neigungsvektor odor Nei- EinfluBmatrix von P auf Kraftvektor odor diskrete
gungsliuie mit den Werten N. Die Striche sind Ab- Storungsfunktion
N 1, N N3 an den Kraft- leitungen nach c
stellen el, C21 c3
Wirkungsvektoren
Die Matrizenrechnung gestattet, alle an einer Schnitt-
C,
Y1
stelle auftretenden Fornianderungen and statischen
C3
N1
SehnittgroBen uiuJteschadet der Versehiedenheit ihrer
Diniension zu einemn Wirkungsvektor zusammen-
(121
Ml
.
zufassen. Die darii enthaltenen Eleinente sind unter-
ciiander durch Differentiation gekoppclt. Als Grund-
lage ihrer Bestinuuung dient die Differentialgleichung
[E J (x) y" (x)]" = P (x).
Es ist void Standpunkt des Praktikers aus zweck-
C4
Qi
EJ
t1 y
maBig, wean man die Storfunktion p (x) durch gleich-
C3
qN
wertige diskrete Storgrol3en P an heliebiger Stelle des
Stabes ersetzt. Man erhalt dann duBerlich kraftefreie
C2
Stababschnitte and als Differentialgleichung die ver-
Cl
11Q
kiirzte oder homogene Form
[E J (x) y" (x)]" = 0
Legt man noch die Einzelkrafte P moglichst so, daB
sie an den Grenzen von Stababschnitten liegen, die
ein konstantes Tragheitsmoment aufweisen (ab-
gesetzte Wellen), dann wird die Differentialgleichung
nochinals cinfacher. Es gilt fur jeden kraftefreien
liomogenen Stababschnitt
E J ytv (x) = 0.
Die Integration dieser einfachen Differentialgleichung
ergibt
X2 X3
Y (x) C., -- (-,,x + C2 2 + C1 6
Die hierbei auftretenden Integrationskonstantcn er-
geben sick als die am Anfang des Stababschnittes
auftretenden Elemente des Wirkungsvektors [1]
y
Y
y
Pol3ner: Ein reehnerisches Gegenstuck zur zeichnerischen Methode von Mohr
Spalte der Matrix, z. B. auch bei der graphischen
Konstruktion nach Mohr, was besonders zu beachten
ist. Beide Sciten des Vergleichs ergeben vor dem
Transponieren Spalten: Allgemein wird von einer
quellenmaBigen Darstellung gesprochen [7].
den EinfluB verschiedener Kraftstellen ( C ) auf die
/x
WirkungsgroBen einer Stabstelle (I = Senke .
Die T1x t1 1"1Q ' sind Ableitungen von )jy
and die Einflul3groBen des Kraftvektors
( Pi ! f
P3
auf den Wirkungsvektor
Die t)-Werte and ihre Ableitungen sind hierin vollig
unbestimmt. Man kann sick jede heliebige Kombi-
nation der vier GroBen y, N, M and Q an der Stelle
x = 0 denken and in der geschilderten Weise ihren
EinfluB auf die Wirkstelle x berechnen. Fur uns liegt
es nahe, den Vektor y,, hervorgerufen durch P = 1
an der Stelle x, zu wahlen. Wenn man bei jedem c
einen solchen Vektor wahlt, der an der Stelle x einer
Einheit P = 1 zugeordnet ist, dann hat man einen
bestimmten EinfluB samtlicher Kraftstellen c auf die
Wirkstelle x. Bildlich ergibt sich die quellenmaBige Dar-
stellung (Bild 2 a, 2 b) and formelmaBig ausgedruckt
(jet-17x~
oder auch, weil die 1)1 den 11 gleichwertig sind,
17,x=qxi -
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y
N
M
EJ
Q
EJ
(C,1
C3
C2
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x2 x3
2 -6-
X2
2
U m das reine Biegemoment and die reine Querkraft
inn Wirkungsvektor zu erhalten, bring man EJ auf
die andere Scite and erhalt
x2
X3
2
6
I
x2 .
2
1
1
EJy
0 0
1
x
-M
E J y
0 0
0
1
t
-Q 1
-
0
tic = 9fx ' Ijx-o,
wobei fiir die neue Form von 0 keine neue Ve.rander-
liche eingefuhrt sird (Bild 4).
Bild 4 Matrizengleichung fur die Wirkungsvektoren in
Blockdarstellung.
Darin ist der Satz von Maxwell ausgedriickt, soweit er
sich auf die Formanderungen hezieht. Das gleiche
gilt aber auch (Bild 3) bei der statischen Grol3e M
mit der Beziehung
Weil eine Symmetric vorliegt.
x -
Leitet man y (x, c) partiell nach x ab, dann crhalt
man fur eine beliebige Stelle x des homogenen krafte-
freien Abschnittes
X2 X3
2 -4-
M
EJ
Q
EJ
vektor 1) am Anfang and Ende Wert, and ist [, die
Lange des Stababschnittes, dann wird
t)fi - ~I k ti) I)o
Die Abschnittsmatrix transformiert den Anfangs-
vektor 00 in den Endvektor fit. Die sich darauf
aufhauende Rechnung kann man daher als eine,
Vektortransformation des Wirkungsvektors bezeich-
nen. Es ist zu beachten, daB Unstetigkeiten an den
Abschnittsgrenzen den Wirkungsvektor vom linker,
auf das rechte Schnittufer verandern, z. B. hei der
Querkraft - Q, die in - Q + P verwandelt wird
(Bild 5).
Im Wirkungsvektor 1)0 and 1)t an den Stabenden
sind die Rand- oder Lagerbedingungen enthalten.
P
Abschnifl Abschnift 2
0
N 2Bedin- N ,2Bedin-
gungen 0 0 t gungen
links _ 0 _ 0 rechts
EJ o EJ
Y Y
N
N
Zlx ist die Abschnittsmatrix. Sic ist eine Dreiecks-
matrix mit der Nebendiagonalen als Symmetrielinic
- M
- M
.
El
EJ
Dainit kann der Wirkungsvektor 1) an bliebiger
0
OAP
Stolle des Stababschnittes auf direktem Wege be- EJc
EJ c
reclutet werden. Legt man nur auf den Wirkungs- Bild 5 Sprung durch die Querkraft
Pof3ner: Ein rechnerisches Gegenstuck zur zeichnerischen Methode von Mohr
1 0)= Einheitsvektor der Kraft
Cl C2
Ouelle in x - r2
Bild 2a Quellenmaf3ige Darstellung. Queue.
(0 1 0) = Einhei/svekfor der Schniltstelle
I x i
rtC rz
Senke in x
Bild 2b Quellenmaf3ige Darstellung. Senke.
4 Bedingungen
beim Ubergong
vom Abschnitt
cnochl-c
an den Schnittufern.
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X2 X3
rf = C1 + (.3X + Ci + Ci 6
Einflullvektoren
Leitet than die allgemeine Losung fur den Einheits-
vektor der Wirkstelle nach c ab, dann erhalt man den
Vektor der EinfluBgrol3en .
In der Ausgangsgleichung wird aus t der Wert
(1' 1)
Ily
Y]N
Pol3ner: Ein rechnerisches Gegenstiick zur zeichnerischen Methode von Mohr 179
IJ Nt
I77''I
Darin sind die Integrationskonstanten Funktionen
von c, weil sie fur den Einheitsvektor der Kraft
abgeleitet wurden. Dies ist moglich, weil die Gleichung
in x and c symmetrisch ist.
Nach x abgeleitet, wiirde man den Wirkungsvektor
fur eine Kraft P = 1 erhalten, der nach den Betrach-
tungen des letzten Ahschnitts ehenfalls benotigt
wird.
C.1 C3 C2 C1
C, C3 C2 . C1
C? ? ? C4 C3 C2I
Fiir das Bild 11) erhalt man z. B. mit C4 = 0 (Anfangsbedingung)
l f2 ' ~ 6EJ (1 - 1) 1 __ (1 c )2
C, C
C4' = C2 = C2 = 0 (Anfangsbedingung)
1 c
- C31 =C2 Ci=-EJ(1- 1)
12
6 E J
1
EJ (1
13
6 E J
6EJ11 111-I1- 1/
1 c
EJ (1 1
Itn ersten Stababschnitt 1i erhalt man, wenn EJ in
der dritten and vierten Zeile nach links gebracht wird
13 12
and man die Hauptwerte 6EJ' 6EJ' 1, als Diagonal-
matrix N vor dic Matrix setzt
17M
12
0 6EJ 0 0
oder ii-=M'%,.? X.
In den Elementen der Matrix %L and des Vektors
stehen nur noch Verhaltniszahlen (Bild 6).
1
cl
0
- E J
(1 [
E 1 J(1- c~
0
0
0
0
Am Ende des ersten Stababschnittes mit der Lange li
erhalt man
1i = N - 9G, X(x =1,)
wobei fur x = 11 gesetzt wurde. 7)i ist der Konstanten-
vektor fur den zweiten Abschnitt, der im Gang der
weiteren Rechnung in eine Konstantenmatrix %,.2
umgewandelt werden mul. Man erhalt wieder eine
Dreiecksmatrix symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Nach Absonderung der Diagonalmatrix 9i der Haupt-
werte treten zusatzlich die Faktoren 3 and 6 auf
(s. Bild 7)
Bild 7 Matrizengleichung fur den Einfluf3vektor in Block-
darstellung nach Absonderung des Vektors fur die
Hauptwerte
Bild 6 Matrizengleichung fur den Einflul3vektor in Block-
darstellung.
qyl 17&1 31 n6'
'q N1 6gVi 377 ' 0
7Mi 17Qi' 0 0
TiQ1 0 0 0
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Pof3ner: Ein rechnerisches Gegenstuck zur zeichuerischen Metlwde von Mohr
I)ie darin erhaltenen Wcrte rl siud die EinfluBgrof3en
ohnc den Hauptwert, d. h. die Eitifluf3zahleu, die
aher gegeniiher den EinflullgroBcn nicht bcsondcrs
bezeichnet werden sollen.
Riicksehauend ist hervorzuheben, dal3 infolge der
beiden Differentiationen die Absehnittsrnatrix %c zurn
Ahschnittsvektor i and der Wirknngsvektor i) zur
\Virkuugsinatrix . wird.
Bei svnnnetrischeu I)reiecksmatrizen hesteht all-
genmiu die 13eziehung
u( ? 1), `?l,, ..
She/
Bild 8 Gleichwertigkeit
Wirknngsvektor
Bride Seiten unterseheiden sick durch den Sprung -I I
an der Stolle der Querkraft. Durch die hci der Hech-
nung von Abschnitt zu Abschnitt gewonneuen Vek-
toren rl, die an den Laststellen der 503cren Kr:ifte
lieges, erhalt matt imrner den EinfluB dieser Kraft-
stelle c auf die Wirkstelle x.
Bei der quellcumaBigen Betrachtung liegt in der
Kraftstellc die Queue and in der Wirkstelle x die
Seuke. Hatter vir es hci der Stiirfunktion p (x) be-
lassen, Bann konnte man den Vorgang forrnelmaf3ig
heschreihen and erhalt z. B. fiir das Biegemornent
M, - / 1 (x)t1i dc\ / 1) (x)t1( de.
p (x) ist (lie Quellstarke, Vlr die Seuke an der Stolle X.
Da wir es aher mit diskreten Eiuzelkraftcu zrt tun
haben, wird aus den) Integral
der beiden Kechenweisen fur den
qr and den EiufluI3' ektor q
d. It. es bestatigt sick, daB in beiden Fallen das Ergeh-
nis dasselhe ist, oh tear die linke Scite der Gleichung
der Rechuuug zugrunde legt odor die rechte. Es ist
aher zweckntaBig, Wirknngsvektor uud Eiuflul3vektor
auseiuartderzuhalten and die rechts Seite in logischer
Konsequenz fur tl heizuhehalten, schon trait Huck-
sicht auf writere, nicht so eiufach gelagerte Falls.
Is ist much tticht uotwendig, vout Hartde her snit der
Aektortransformation zu heginnen. Man kann sick
daze cinch beliehigen Punkt aussuchen. Zweck-
utiiBigerwcise wiildt man dauu die Punkte x - c,
an dentin sick die Einheit des Einheitsvektors he-
fiudct, raid rechnet you da nach rents and links his
zurn Hande. Zu beachteu ist dahei, daB hci der Hech-
nung nach recltts alle Eleunente von .' positiv siud.
In Hiclrtung each der linken Scite komrnen die Kom-
plernerue von x in Fragc. Dic Werte (1 -- x) sind aher
gleiclizeitig uegativ in x, so dab die ungeraden Po-
tenzen von . uegativ werden. Fir Bild lh wird z. B.
der A usgaugsvektor
uaclr links ttaclt rechts
(lirtkes Scltnittufer hci (reclttes Schnittufer be,
x c) x c)
2 (C')2 ( 1 e )2 (r, )2 r. )2
I I ~ I 1 T
2 (1 1 1 I
~.) Pi
Pt
M.~ (tl i ii rl i) P2
Ps
Bei koustauter Biegesteifigkcit in tilt matt runt
der I)iagonaltnatrix N der Ilanptwerte erst, wenn
s:imtliche EinfluBzahlen fiir alit Laststelleu durch-
gerechnet siud. Als Kontrolle dicnen die vorgeschrie-
henen Haudbedingungen, aus dentin die Ausgangs-
serte hci x - = e festliegett. ZweckmiiBig wird die
Rechenmaschine uud das Schema nach Falk ver-
weudet. Beim ttachfolgenden Transponicren lritt vor-
handene Unsvmnnctrie bcsondcrs in .Erscheinung.
VerHaulerliches Triigheitsmornent
1st das Tragheitsmornent des Quersehnittes J von
Abschnitt zu Absclutitt veranderlich, darn wiilrlt man
irgendein Vergleichstraghcitsmoment J, (zweckutaflig
das grollte) and erhalt damn heini Ahsondern der
Hauptwerte fiir jeden Abschnitt eine Verhiiltniszahl
Q - J?, wahrend das Vergleichstragheitsmoment im
Hauptwert in Erscheinung tritt. Zur Diagonal-
matrix , kommt darn nosh der Faktor
( u 0 0 0
0 (t (1 0
0 (1 1 0
0 0 0 1
hinzu, mit dem die Matrix 91p zu multiplizieren ist,
cite mit der Vektortransformation hegonnen wird.
Die folgenden Matrizen sind dann vor der Multipli-
kation zu zerlegen, weil die Werte rl and rj' den Sprung
an den Schnittufern niclit rnitinachen; man erhalt
Bann allgemein fur die weiteren Abschnitte
1 ) 1 (I--2 O
C e C
I -t-(1-- I)
il, / / ' ' 0 0
r)- (1 Il 0
0 0 0 0
0 0 0 0
(1 0 0
0 a 0
0 0 1
0 0 0
(1 0 rlAl
0 tl? rl~,
vt t
0
0 0
~Ct
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Da die Tragheitsmomente ganz willkiirlich sind, wird
sich am Stabende nicht die notwendige Randbedin-
gung ergeben, vor allem wird ril nicht = 0 werden.
Daher ist zurn Gesamtergebnis noch eine lineare Funk-
tion als Korrektor hinzuzufiigen.
11] - - q( c fiir die erste Zeile
1111d . l ti' - ijt fiir die zweite Zeile
~Ableitung nach
dantit die Randbedingungen erfiillt werden.
Vergleich mit dem Mohrschen Verfahren
Beim Vergleich mit dem Mohrschen Verfahren findet
mail verschiedene Analogien, aus welchen Griinden
uian die Rechenweise als Gegenstiick dazu bezeichnen
kann. Wie Beim Seileck Seite an Seite angefiigt wird,
so wird auch bei unserem Verfahren mit dem Ab-
schnittsvektor die Verbindung mit den Vektoren ri
hergestellt. Beira Mohrschen Verfahren hat mail es
alit einer Doppelintegration zu tun, wozu als Grund-
lage die verzerrte Momentenflache (oder die Polfigur
mit verandertem Polabstand) dient. Bei dem von uns
entwickelten Rechnungsgang wird von der Matrix t
auch nur der Teil mit r1" and q"' mit den a-Werten
nniltipliziert. Diese Werte sind ausschlaggebend fur
die Verauderung von 7i and q'. Auf jeden Wert i hat
ti', ri" and r1"' EinfluB. Der Verlauf von q wird durch
die Veriinderung der Werte r'' and r1"' wesentlich
hestimu t. Beim Seileck ziehen wir eine SchluBlinie,
durch die die Randbedingungen festgelegt werden.
Auch wir haben rechnerisch eine SchluBlinie gezogen,
indeur wir die Korrekturen Ark = - qt 1 bzw. ll il' =
yt angebracht liaben. 11q' erhalt man bei einfachen
Integrationen durch Verlegen der SchluBlinie in die
Polfigur, wobei fiir t)' eine neue Nullinie gewonnen
wird. Durch Verlegen der Sehlul3linie in die Polfigur
werden beim Mohrschen Verfahren die Tangenten-
neigungen arty Aufang and Ende bestimmt. (Mohrsche
Auflagerdrilcke.) Man kann daher mit einigem Recht
die entwickelte Methode als das ins Rechnerische
iibersetzte Mohrsche Verfahren bczeichnen.
0 1
U 01
Zahlenbeispiel
Um dem Praktiker die Handhabung zu zeigen, wird
mit Hilfe des Falkschen Schemas [5] ein Zahlenbeispiel
durchgerechnet (Bild 9), das vom Verfasser schon mit
Hilfe des Mohrschen Verfahrens vollstandig behandelt
wurde [6]. Es geniigt, die Methode an dem ersten
Zeilenvektor vorzufiihren. Die anderen Zeilenvektoren
werden in gleicher Weise behandelt. Im Schema 1
(Bild 10) wird die Rechnung fur konstantes Tragheits-
moment in alien Abschnitten durchgefiihrt, Schema 2
(Bild 11) enthalt die Matrizen and Abschnittsvektoren
fur verschiedene Tragheitsmomente. An den Kraft-
stellen erhalt man fiir ri den Spaltenvektor
0,0714 gegeniiber 0,0728
00986 0,0992
0
,0635 ~ 0,0640
bei der Mohrschen Konstruktion, fiir beide Methoden
ein zufriedenstellendes Ergebnis, wenn man bedenkt,
daB bei der rechnerischen Methode Ungenauigkciten
von Vektor zu Vektor mitgenommen werden and Beim
Zeichnen trotz sorgfaltiger Arbeit Abweichungen in
derselben Weise entstehen.
Das Endergebnis hangt nicht nur von der willkurlichen
Verteilung der Tragheitsmomente ab, sondern auch
von dem gewahlten Anfangswert r1'oi. Da ohne dies
am rechten End(- die vorgeschriebene Randbedingung
nicht erreicht wird, kann man die Rechnung mit ge-
schatzten Randbedingungen beginnen. Bei unserem
Beispiel wird mit zwei geschatzten Neigungen (z. B.
0,4193 and 0,38 hegonnen) and zwischen den Ergeb-
nissen linear interpoliert. Man erhalt darn die Werte
q` -- -}- 0,0155 and - 0,0238 and interpoliert
x 0,0238
0,04 x 0,0155
rl of 0,38 H 0,0242 0,404.
Bei automatischen Rechenmaschinen ist das cine
erprobte Methode, weil die Durchrechnung in Bruch-
teilen von Sekunden vor sich geht. Mit einer dritten
Kontrollrechnung erhalt man auf Grund r]ot 0,404
die richtigen Randbedingungen am rechten Ende.
Man kommt auch mit einer Schatzung aus, wenn man,
wie oben, das Ergebnis berichtigt. Die statische GroBe
riui ' kann in unserem Beispiel gleich richtig gefunden
werden.
7
J=99cm,-
0
ce = 99
4 5 1
0,5533 0,72 0,8533 1,0
1=150 cm
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Wirkungsmatrizen We
142
l41
2l0
0,072
--- 0.021
-0,12 ? 3 0.2
0,0512
0,192
-0,11,3
0.2
0
0.288
0
-0.8
0,024
-0,12 ? 6
0,2 ? 3 0
0,192
-0,16 ? 6
0.2 ? 3
0
0.288
0
0-8-3
0
-0.12
0.2
i
0 0
I
-0,16
0.2
0
0
0
-0,8
0
0
0,2
0
0 0
0,2
0
0
(1
-0.13
0
0
I1
2t5
2f 1
213
0,02749
-07179
-0.02934 ? 3 --0.2
0.01928
-11.1-15
-0,05591- 3
(,2
0.06791
-0,07228
-0,08931- 3
0.2
-0,179
-0.02934 ? 6
0,2 ? 3 0
-0.115
-0.05591 ? 6
0,2 ? 3
0
-0,07228
-008931. 0
0.2 ? 3
0
-0,02924
0.
Il 11
-9.05591
0.2
0
0
-0.08931
0.2
0
0
0,2
0
0 0
0.2
0
0
0
(1.2
0
0
0
Abschnittsc-ektore n F
'telle
1
0.2
2
0,4
3
0,5333
4
0,72
5
0,8533
1
1,0
1
1
1
1
1
1
0,2
0,2
0,1533
0.167
0,133
0.1.17
0,04
0,01
0,0235
0,0279
0,0177
0,0216
0,008
0,008
0,0036
0,00466
0,00235
0,0113176
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abschnittsvektore n p
X_0,z
XC 1
212
99
Q- 68
1
99
U- 68
~1~
0 gesetzt werden. Nur bei fast
sprunghaften Grad ienteni nderungen darf dieses Glied natiir-
lich nicht vernachlassigt werden.
Da U = const, geht in die Gleichungen fiir j + [(3)
his (5)] die Schichtdicke b statt der Feldstarke E als
unabhangige Variable ein. Mit den Gleichungen (3)
and (6) ergibt sich mit E = S
1
6 1njR?--In Al
j + = Al (ell= ? E - 1).
durch Differentiation
1 d 60 M 1
jR.at(1njR -lnAl 1 F z q d Bl U'
jR(1njR-InA1)z F
Die Integration ergibt
B
? U
1 1
(In Jill In Al) + Al - Ei [- (In jR In A1)] _
60 M t
=F z?q d- B1 U
-x
wobei - Ei die Funktion /? dx ist.
x
Die Grenzen sind in Ordnung, denn bei t = 0 ist
jR = oo. Fur t--). oo muB j--. Al gehen. Eigentlich
muB physikalisch fur t- oo j- 0 gehen, doch ist
die Bestimmungsgleichung (3) nicht exakt. Genauer
Wie sich spater aus den McBwerten ergibt, geniigt die
verwendete Gleichung. Erst bei Stromdichten riinden zusamrnengesetzte and aus Elementen der
Natur- and Gcsellschaftswissenscliaften bestehende
neue. Wissenscliaft. Die Technologic ist, wie dies in
der Grundsatzordnung fur den Maschinenbau sehr
riclitig formuliert wird, die Wissenschaft von den
Gesetzmal3igkeiten produktionstechnischer Vorgiinge.
Sic ist damit eine Wissenschaft, die im weitesten Sinne
die Rohstoffgewinnung and Hire Wciterverarbeitung
zu Werkstoffen bzw. zu Gebrauchsgutern zum Inhalt
hat. Auf der Grundlage bekannter Naturgesetze
arbeitet sic die Prinzipien and Methoden aus, die fur
die w?irtschaftliche Herstellung der in der Volkswirt-
schaft henotigteat Erzeugnisse erforderlich sind.
Darnit betrachtet die Technologic nicht nur die Ver-
fahren schleclithin, sondern sic untersucbt die Art,
Forst, Quantitat and Qualitat der bei der Gewinnung
oder Verarbeitung erforderlichen Roh- bzw. Werk-
oder Ililfsstoffe. Sic vermittelt Erkenntnisse uber die
zur Anwendung koininenden Arbeitsmittel, d. It. die
Werkzeuge and Werkzeugmaschinen, sowie die bei der
(;cwinnung, Uinwandlung odor Verarbeitung der
Stoffe erforderlich werdenden Fertigungshilfsmittel,
wie z. 13. Vorrichtuugen, Lehren and McBzeuge.
Sic stellt schlieBlich die verschiedenen Arten and
Methoden der Prozesse selbst dar, die bei der Ge-
winnung, Umwandlung oder Verarbeitung der Stoffe
anftreten, wobei sic in einer vergieichenden Betrach-
i ung die einzelnen Varianten ahnlicher Prozesse
analysiert mit dem Ziel, die hochste Wirtschaftlich-
keit der Fertigung herbeizufi.ihren.
Gerade dieses Problem wurde bisher vielfach bei der
Darstellung der Technologie iibersehen, obgleich es
vin wichtiges Kriterium der Wissenschaft Technologic
ist, das sic von der reinen Fertigungstechnik unter-
scheidet.
Bercits auf der 64. Hauptversammlung des Vereins
Dcutscher Ingenieure in Augsburg 1925 wies C. Prinz
enter Bezuguahme auf die Fertigung im Maschinenbau
auf diese Dinge hin, indem er sag[(-:
.,Bei alien Arbeiten der Technologen aiterer Schule finder
sich kaum ein Hinweis auf (lie iiberragende Wichtigkeit,
die der verbraucliten Zeit bei der Durchfuhrung der Ver-
faliren zukomrnt; das Wesentliche bleibt haufig die Ent-
sicklung der Konstruktion von Maschinen and Wcrkzeugen
Oder die blol3e Schilderung des Verfahrens... Man iiber-
sah im Gcgensatz zu den Amerikanern, bei denen das
Z, e i t s p a r e n obenan stand - vielfach die Bedeutung, die
der Herstellung der Masehinen werkstattechnisch and
wirtschaftlich gebuhrte." [191
Aus diesem Grunde mull die Frage der Wirtschaft-
lichkeit sowohl im Zusammenhang mit derv Verfaliren
selbst als auch im Hinblick auf den Einsatz der Werk-
und Hilfsstoffe, der Werkzeuge and Maschinen sowie
der ubrigen Hilfsmittel der Fertigung stets cinen
fi hrenden Platz innerhalb einer Wissenschaft von der
Technologie einnehmen.
Bei einer derartigen Untersuchung muB selbstver-
standlich auch der Teil des Arbcitsprozesses betrachtet
werden, der die Arbeitsmittel zur beabsichtigten Ver-
iinderung der Arbeitsgegenstiinde in Bewegung setzt:
die menschliche Arbeitskraft. Dabei sind gerade die
Fragen der Wechselwirkung zwischen technologischen
Prozessen einerseits and menschlicher Arbeitskraft
andererseits von grol3ter Bedeutung.
Auch in diesem Zusammenhang i hte Prinz Kritik
an den Vertretern der Technologie and hob hervor,
dal3 man nicht uberall den uberragenden Einflnl3, den
die Menschen liaben, erkannte [20].
Aus den Darlegungen wird ersichtlich. daB die Tech-
nologie als Wissenschaft die Kategorien Arbeitsgegen-
stand, Arbeitsmittel and Arbeitskraft nicht vonein-
ander isoliert betrachtet, sondern sic in ihrem all-
seitigen Zusammenhang beim Vollzug der Ausein-
andersetzung zwischen Mensch and Natur analvsicrt
unit dem Ziel, eine optimale Gestaltung dieses Pro-
zesses zu erreichen.
Dies meint auch Hermann Grosse, wcun er sagt, dal.i
?Technologic die Wissenschaft ist, (lie lehrt, den Produk-
tionsprozel3 in alien seiuen Einzelheiten, in seinen Ab-
schnitten, wie auch in seineni gestmten Zusammenhang
zweckm5l3ig and okonomisch and stets gestutzt auf die
neuesten technischen Erkenntnisse in gestalten." 1211
Zur exakten Bestimmung des Gegenstandes dieser
Wissenschaft bcdarf es allerdings noch des Hiuweises,
daB es sich dabei nur um die eine Scite des Produk-
tionsprozesses handelt; denn die Erforschung and
Darstcllung des Produkiionsprozesses in sciucr Gesamt-
heit ist, wie bereits nachgewiesen wurde, rticht allein
Aufgabe der Wissenschaft Technologie. In diesem Zu-
sammenhang kann man Kanteni.zer vollinhalilicli zu-
stimmen, wean er sagt :
,,Die Wissenschaft fiber die Technologie dicses oder jenes
Industriezweiges betraclttet den Produktionsprozel3 in
scinem materiell-technischen Inhalt. Die Lehre von der
Organisation and Planung der sozialistischen Industrie-
betriebe betrachtet den Produktionsprozel3 in seinem sozial-
okonomischen Inhalt." 1221
Mit dieser Definition wird gleiclizeitig uoch cinmal
eine Abgrenzung der bciden Wissenschaften gegeben,
wobei zu bemerken ist, dal3 aber andererseits auch
ein bestimmter Zusammenhang zwischen iluten be-
steht. So ist gcrade die Technologie diejenige von den
technischen Wissenschaften, auf der die Wissen-
scliaft von der Organisation and Planting des Betricbes
im wesentlichen aufbaut. Dabci haben sick, wie bereits
dargelegt, auf Grund der unterschiedlichen materiell-
technischen Bedingungen selbstandige Zweige dieser
Wissenschaft entwickelt.
2. Die Entstehung selbstandiger Zweige der Wissen-
schaft Technologic
Es wurde festgestellt, daB die Technologie irn
18. Jahrhundert zunachst als eine allgemeine Wissen-
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Stobel : Die 'T'echnologic des Maschinenbaues - cin selbstandiger Zweig der Wissensehaft Technologic
schaft in Erscheinung trat. Dies ist in erster Linie
darauf zurilckzufiihren, daB zu dieser Zeit das
Niveau der Produktionsinstrumente, das zugleich ein
Gradmesser ffir die Entwicklung der Produktion ist,
eine weitere Spezialisierung der Technologic nicht
erforderlich machte. Mit der Erfindung der Werkzeug-
maschine, die die erste industrielle Revolution ausloste,
erfolgte ein steiler Anstieg der gesamten technischen
F,ntwicklung, der auch der jungenWissenschaft Tech-
nologic immer neue and grol3ere Aufgaben stellte.
)ie Folge davon war bald die Entstehung selbstandiger
Zweige der Technologic, die sich mit ganz bestimmten
and in sick abgeschlossenen Teilgebieten beschaftigten.
Diese Spezialisierung erfolgte nach zwei Gesichts-
punkten.
Ins ersten Falle wurden die verschiedenen Verfahren
zur Verarbeitung bzw. Umwandlung der Stoffe un-
abhangig von ihrer Anwendung in den einzelnen
I ndustriezweigen in den Mittelpunkt gestellt and hier-
bei nur Hach ihrem physikalischen oder chemischen
Charakter differenziert. Auf these Weise entstand eine
Lehre der physikalischen bzw. chemischen Techno-
logic, wobei erstere, ihrem eigentlichen Wesen ent-
sprechend, auch als mechanische Technologie bezeich-
net wurde.
Unter mechanischer Technologie ist dabei die Lehre
zu verstehen, die sich mit solchen mechanischen
Arbeitsprozessen beschaftigt, die bei der Gewinnung
bzw. Bearbeitung der Stoffe lediglich eine Verande-
rung der auBeren Form bewirken, d. h., daB hier
all(- die Gewinnungs- and Bearbeitungsverfahren be-
handelt werden, durch die die Roh- and Werkstoffe
zwar eine Anderung ihrer Gestalt erleiden, stofflich
aber unverandert bleiben.
Als Beispiele seien bier erwahnt: die Verarbeitung der
Stahlblocke and Brammen zu Blechen mittels des
Walzens in der metallurgischen Industrie, die Her-
stelhuig einzelner Bauteile durch GieBen in der
Maschinenbauindustric, die bildsame Formung plasti-
selier Massen in der chemischen Industrie usw.
Ureter chemischer Technologie dagegen ist die Lehre
zu verstehen, die sich mit solchen Arbeitsprozessen
befaBt, die auf einer Veranderung der chemischen
Zusammensetzung der Stoffe bei ihrer Gewinnung
odor Verarbeitung beruhen, d. h., bei denen eine Veran-
derung der inneren Natur der Stoffe erfolgt. Sic ist im
wesentlichen eine Lehre von der Anwendung chemi-
scher Prozesse im industriellen AusmaB, von der Nutz-
barmachung der Erkenntnisse der Chemie in der in-
dustriellen Produktion.
Hierunter zahlen beispielsweise die Gewinnung des Roh-
eisens im Hochofen in der metallurgischen Industrie,
die Herstellung von Zement oder Kalk in der Baustoff-
industrie, die Erzeugung von Schwefelsaure oder die
Stickstoffsynthese in der chemischen Industrie usw.
Aus den vorstehenden Beispielen wird ersichtlich, daB
sich bei der Gewinnung oder Weiterverarbeitung der
Stoffe eine scharfe Trennung zwischen mechanischen
and chemischen Verfahren nicht immer ermoglichen
la13t, es sei denn, daB die einzelnen Verfahren von-
einander isoliert betrachtet and aus ihrem organischen
Zusammenhang herausgerissen werden. So finden wir
beispielsweise bei der Gewinnung der Metalle haupt-
sachlich chemische Verfahren, wahrend ihre Weiter-
verarbeitung zum groBten Teil auf mechanischem
Wege erfolgt. Ebenso ist die Gewinnung des Glases
aus Quarz, Soda and Kalk im SchmelzfluB ein
chemischer ProzeB, wahrend die Weiterverarbeitung
der entstandenen Glasmasse durch Pressen, Gielen
oder Walzen mittels mechanischer Verfahren geschieht.
Diese Spezialisierung der Technologic nach den physi-
kalischen bzw. chemischen GesetzmaBigkeiten kann
nicht in jedem Falle als zufriedenstellende Losung
betrachtet werden.
So ist es nicht verwunderlich, daB man aus bestimmten
methodischen and padagogischen Grfinden in der
wissenschaftlichen Lehre bei der mechanischen Tech-
nologie nicht ausschlieBlich die verschiedenen mechani-
schen Verfahren der industriellen Fertigung behandelt,
sondern auch zugleich in einem Hauptteil die groBten-
teils auf chemischen Verfahren beruhende Gewinnung
der Werkstoffe einschlieBlich ihrer Eigenschaften and
ihrer Anwendungsmoglichkeiten darstellt. Hierbei
werden also aus zweckdienlichen Grunden innerhalb
einer Lehre von der mechanischen Technologic Ge-
biete bebandelt, die eindeutig zum Gegenstand der
chemischen Technologie zahlen.
Diese Praxis wird vorwiegend an den Technischen
Hochschulen geiibt and hat auch ihren Niederschlag
bei der Herausgabe entsprechender Lehr- and Fach-
biicher gefunden.
So gliedert sich beispielsweise der Lehrplan der TH
Dresden fiber ?Mechanische Technologic,, in den Teil 1,
der sich mit der Gewinnung, den Eigenschaften and
Anwendungen der Werkstoffe befaBt; Teil II, der die
Bearbeitung der Werkstoffe behandelt and Teil III,
der die Oberflachenbehandlung zum Inhalt hat.
Fin verhaltnismaBig neues Buch fiber ?Mechanische
Technologic,, der beiden osterreichischen Autoren
Kopecky and Schamschula hat neben der spanlosen
Formung auch einen Abschnitt caber das Priif- and
McBwesen, die Warmbehandlung, den Oberflachen-
schutz and schlieBlich ebenfalls eine umfassende Werk-
stoffkunde zum Inhalt [23]. Dagegen behandeln die
beiden Autoren in ihrem Lehrbuch nicht das umfang-
reiche Gebiet der spangebenden Formung.
Die mechanische Technologie als eine Lehre der
mechanischen Arbeitsprozesse bei der Gewinnung and
Bearbeitung der Stoffe wird ihrem Inhalt nicht
gerecht, wenn ein so bedeutsamer Abschnitt wie die
Zerspanung auBerhalb der Betrachtung bleibt, statt
dessen aber die chemischen Verfahren der Stoff-
gewinnung herangezogen werden.
Damit ergibt sich zugleich die Frage, ob die Lehre der
mechanischen Technologie in ihrer gegenwartigen Dar-
stellung den Anspruch erheben kann, als wissenschaft-
liche Lehr- and Forschungsdisziplin den Anforderun-
gen in Theorie and Praxis gerecht zu werden, oder ob
die nach anderen Gesichtspunkten durchgefiihrte
Spezialisierung der Wissenschaft Technologie eine
groBere Bedeutung gewinnt.
Zweifelsohne waren es solche Uberlegungen, die einen
bedeutenden Wissenschaftler auf dem Gebiet der
Technologie der letzten Jahrzehnte, Prof. Dr.-Ing.
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21o Stobel: l)ie Technologic des Aiaschinenbaues - ein selbstaodiger Zweig der Wissenschaft'I'echnologie
Paul Schimpke, veranlal3tcn, sein Lehrbuch der Tech-
nologic tinter dem Titel Technologie der Maschinen-
baustoffe" herauszugebcu. In der Einleitung zur 12.
Auflage schreibt er selbst:
?Aus Teilgebieten der chemischen and mechanischen Tech-
nologie schfilt sick hiernach fiir den Maschinenbauer als
zuniichst wichtigstes Gebiet die Werkstoffkunde heraus.
Ihr folgt, nach einent kurzen Abril3 der Werkstoffpriifung,
die Werkstoffverarbeitung." [241
Schirnpke gibt also im wesentliclien eine Darstellung
fiber die Gewinnung and Bearbeitung der in der
VTasehincnbauindustrie uotwendigen Stoffe, wobei er
rich allerdings hinsichtlich der Bcarbeitungsverfahren
auch nur auf das Gebiet der spanlosen Formung be-
schr:inkt, obgleich in diesem Industriezweig der span-
gebenden Formung der Werkstoffe die gro8te Be-
deutung zukommt.
Diese Verbindung von Teilgebieten der chemischen
uud nrechanischen Technologie zu neuen selbstandigen
Zweigen der Technologic ist jedoch das Charakteristi-
kuut ciner anderen Form der Spezialisierung, die im
folgenden betrachtet werden soil.
Uas Hauptmerkmal dieser selbstandigen Technologien
ist die Spezialisierung nach Industriezweigen bzw.
nach ciner erzeugnisgebundenen Fertigung. In diesem
Sinne utiterschcidet matt beispielsweise eine Tech-
nologie des Bergbaus, der metallurgisclie, n Industrie,
der cheutischcn [udustrie, des Maschinenbaues, der
Holz- and Papierindustrie, der Industrie der Steine
uud Erdeat, der Textil- and Lederindustrie and der
Lebensmittelindustrie.
Je nach dem Umfang and den technologischcn Be-
sonderheiten dieser Tndustriezwcige ist eine weitere
Spezialisierung moglich, wobei man entweder wieder
each den unterschiedlichen Erzeugnissen oder nach
bestitnmten allgenieingiiltigen technologischen Merk-
ntalen gliedern kann.
So Iiil3t siclt z. B. die Teclinologie des Bergbaues cin-
trtal spezialisicren nach curer Technologie des Erzberg-
baues, des Stein- and Braunkohlenbergbaues and des
Kali- uud Salzberghaues oder zum anderen nach einer
Technologie des Tigfbaues and des Tagebaues. Die
Technologie des Maschinenbaues kann man entweder
gliedern in eine Technologie des Werkzeugmaschinen-
baues, des Schiffbaues, des Landmaschinenbaues usw.
odor in eine Teclurologie des GieBens, des Schmiedens
and Pressens, des Schwei6ens usw.
Wichtig ist dahei nur, daB, entsprechend ihrem Gegen-
stand, jede dieser besonderen Technologien alle tech-
nologischen Prozesse betrachtet, die in dem betreffen-
den Industriezweig oder Sektor der Fertigung auf-
tretcn. Dabei behandein sic irn engsten Zusammenhang
sowohl die Rolt-, Werk- and Hilfsstoffe als auch die
Werkzeuge, Maschinen and Hilfsmittel der Fertigung,
die Arbeitsverfalrren selbst, unabhangig von ihrem
plrysikalischen oder chemischen Charakter, and ihre
Wechselwirkung zu den die Fertigung durchfiihrenden
utenschlichen Arbeitskraften, wobei in alien Fallen
wirtschaftliche Grundsatze besondere Beriicksichti-
gung finder miissen.
Mit ciner derartigen Spezialisierung der Wissenschaft
Technologic wird das von Johann Beckmann begonnene
Werk fortgesetzt, der unter den damaligen Produk-
tionsverhaltnissen and entsprechend dem Stand der
Technik eine allgemeine Wissenschaft von der Tech-
nologie begriindete, die eine Anleitung zur Ver-
arbeitung der Naturalien, eine wissenschaftliche Aus-
arbeitung verschiedener Fabrikationsmethoden war.
Die sturmische Entwicklung der Technik fordert
heute von der Wissenschaft Technologie die Unter-
suchung and Ausarbeitung konkreter Teilgebiete, die
rich speziell mit der materiell-technischen Seite des
Produktionsprozesses eines Industriezweiges oder ciner
besonderen Fertigung dieses Zweiges beschiiftigen and
eine optimale Gestaltung herbeifiihren miissen.
3. Der Gegenstand der Technologie des Maschinenbaues
Nachdem festgestellt wurde, wie sich zunachst cine
allgemeine Wissenschaft Technologie entwickelte, die
spater zur Bildung selbstandiger Zweige dieser Wissen-
schaft fiihrte, soil nunmehr die Technologie eines
Industriezweiges untersucht werden, der bei der plan-
mal3igen Entwicklung der Volkswirtschaft eine ganz
besondere Stellung einnimmt. Es ist der Maschinenbau,
der unter anderen durch die Erzeugung der Aus-
riistungen fur den Bergbau, die Energieversorgung, die
metallurgische and chemische Industrie sowie fiir das
Transportwesen and die Landwirtschaft zum Haupt-
kettenglied der Entwicklung der gesamten Volkswirt-
schaft wird. Damit nimmt aber der Maschinenbau bei
der Reproduktion des wichtigsten Teiles der Produk-
tionsanlagefonds, der Ausriistungen, zugleich einen
unmittelbaren EinfluB auf die Technologie der Ubrigen
Zweige der Volkswirtschaft.
Durch die Entwicklung von halbautomatischen and
automatischen Maschinen, automatischen Maschinen-
reihen and kompletten automatisierten Werken werden
die Voraussetzungen geschaffen zur revolutionaren
Umgestaltung der Technologie in alien Zweigen der
Wirtschaft, zur Mechanisierung and Automatisierung
aller Produktionsprozesse. Hierdurch werden vor alien
Dingen in der Industrie and der Landwirtschaft die
Arbeitsbedingungen wesentlich erleichtert and es wird
die Qualitat der Erzeugnisse unter gleichzeitiger un-
aufhorlicher Steigerung der Arbeitsproduktivitiit ver-
bessert.
Davit zu diesem Zwecke in der Masehinenbauindustrie
ein maximaler ProduktionsausstoB erzielt werden kann,
ist es erforderlich, daB dortselbst die Technologie dem
hochsten Stand der Technik entspricht. Das bedeutet,
daB dieser Industriezweig zugleich die materiellen
Grundlagen schaffen muB, um die eigene Technologie
zu verandern and zu vervollkommnen. Aus diesem
Grunde kommt der Technologie des Maschinenbaues
eine ganz besondere Bedeutung zu.
Wenn man den Gegenstand der Technologie dieses
Industriezweiges naher untersuchen and entsprechend
abgrenzen will, so muB man feststellen, daB hierbei
der Begriff ,Technologic des Maschinenbaues" im
weitesten Sinne angewendet wird. Das ist vor alien
Dingen darauf zuriickzufiihren, weil die Erzeugnisse
dieses Industriezweiges zwar sehr vielseitig sind, dahei
aber ganz bestimmte einheitliche technologische Merk-
male haben. So findet man im allgemeinen in der
Maschinenbauindustrie unter den verschiedensten Er-
zeugnissen vorwiegend Maschinen, Gerate, Apparate
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Stiibel: 1)ie Teehnologie des Maschinenbaues -- ein selbstandiger Zweig der Wissenschaft Technologic
and einfache Metallerzeugnisse. Hinzu kommen im
Industriezweig Maschinenbau der Deutschen Demo-
kratischen Republik noch samtliche Transportmittel,
insbesondere Schienen-, Stralen-, Wasser- and Luft-
fahrzeuge.
Bei aller Vielgestaltigkeit der Erzeugnisse gibt es aber
bestiminte cliarakteristische Besonderheiten, die sich
fiir die einzelnen Fertigungszweige der Maschinenbau-
industrie verallgemeinern lassen.
So bestehen die Erzeugnisse dieses Industriezweiges
zu einem hohen Anted aus metallischen Werkstoffen,
the wiederum einheitliche Bearbeitungsverfahren and
krbeitsmittel bedingen. Sic lassen rich klassifizieren
in Formen, Trennen and Verbinden, Warme- and
Oberfl5chenbehandlung.
1)amit ist die Technologic des Maschinenbaues iiberwie-
gend eine Technologic der metallverarbeitenden In-
dustric and eine mechanische Technologic.
Der standige Fortschritt in alien Zweigen der Volks-
wirtschaft stelit an die in diesem Industriezweig ver-
wendeten Werkstoffe grol3te Anforderungen hinsicht-
lich deren Qualitat. Der Austausch hochwertiger
bzw. nicht ausreichend vorhandener Stoffe gegen
neue Werkstoffe ist in alien Fallen, wo die Funk-
tion des Teiles oder der Maschine nicht beeintrach-
tigt wird, eine unabdingbare Forderung. Sic gilt eben-
falls fur alle Bereiche dieses Industriezweiges.
Des weiteren bestehen die Erzeugnisse dieses Industrie-
zweiges vorwiegend aus einer mehr oder weniger
grol3en Anzahl von Einzelteilen, die einen Zusammen-
bau zu Bauuntergruppen, Baugruppen and zum
fertigen Erzeugnis erfordern. Bestimmte Grundfragen
des Zusammenbaues lassen sich auf alle Erzeugnisse
des Maschinenbaues anwenden.
Aul3erdem stollen alle Erzeugnisse dieses Industrie-
zweiges ganz bestimmte Anforderungen hinsichtlich
der Genauigkeit der Bearbeitung sowie der Ober-
flachengiite der Arbeitsflache, die wiederum das Vor-
handensein bestimmter Hilfsmittel der Fertigung, wie
Lehren, Vorrichtungen and Mel3zeuge bedingen.
SchlieBlich gilt fiir alle Erzeugnisse dieses Industrie-
zweiges die Forderung, die Fertigung wirtschaftlich
zu gestalten, die technologischen Prozesse weitgehend
zu mechanisieren and zu automatisieren and die
schwere korperliche Arbeit fur den Menschen zu
erleichtern.
Die Technologic des Maschinenbaues ist somit ein
selbstandiger Zweig der Wissenschaft Technologic.
Sic ist die Wissenschaft von den Gesetzmal3igkeiten
produktionstechnischer Vorgange eines Industrie-
zweiges. Sic hat zum Inhalt die rationelle Verarbeitung
von Roh-, Werk- and Hilfsstof#en zu Maschinen,
Gersten, Apparaten and Metallerzeugnissen auf der
Grundlage bekannter Naturgesetze and ist daher cine
Wissenschaft von der wirtschaftlichen Fertigung der
Erzeugnisse der Maschinenbauindustrie.
Die Technologic des Maschinenbaues untersucht so-
wohl die Vorbereitungsprozesse zur Herstellung der
Rohlinge and Einzelteile als auch die Prozesse der
Bearbeitung and des Zusammenbaues. Sic betrach-
let dabei jeweils die Einsatzmoglichkeiten der Werk-
und Hilfsstoffe, die Werkzeuge and Maschinen and
die Hilfsmittel der Fertigung sowic die Wechsel-
wirkung zwischen menschlicher Arbeitskraft and tech-
nologischem ProzeB mit dem Ziel, durch geringsten
Aufwand den groBten Nutzen zu erreichen.
Dabei gibt es selbstverstandlich gewisse Schwerpunkte,
die die weitere Entwicklung der Technologic des
Maschinenbaues charakterisieren.
So kommt es besonders bei den Vorbereitungsprozessen
zur Herstellung der Rohlinge darauf an, ihren Anteil
am gesamten ProzeB der Fertigung standig zu erhohen,
wobei die Formgebung dieser Teile auf dem Wege
des Ur- oder Umformens erfolgen soil. Da jede Span-
abtrennung einer Vernichtung gesellschaftlicher Arbeit
gleichkommt, die in vorangegangenen Produktions-
stufen geleistet wurde, muB das Ziel jeder Fertigung
in der Maschinenbauindustrie sein, wie es einmal von
Prof. Dr.-Ing. Kienzle treffend formuliert wurde, ein
bestimmtes Werkstoffvolumen durch Giel3en oder
Sintern urzuformen and anschliel3end auf spanlosem
Wege his zum fertigen Werkstiick umzuformen [25].
Wenn auch die Moglichkeiten der Anwendung der
spanlosen Formung in den einzelnen Bereichen des
Maschinenbaues sehr unterschiedlich sind, so gilt doch
die grundsatzliche Entwicklungsrichtung fur den ge-
samten Industriezweig.
Bei den Bearbeitungsprozessen der Einzelteile ist eine
spangebende Formung iiberall da, wo sic notwendigist,
auf ein Minimum zu reduzieren and die Spanleistung
pro aufgewendetes kW auf ein Maximum zu erhohen.
Die Steigerung der Produktivitat gilt selbstverstand-
lich gleichermal3en fiir die Vorbereitungs- and alle
iibrigen Bearbeitungsprozesse and mu13 im engsten
Zusammenhang mit der Verbesserung der Genauigkeit
der Bearbeitung and der Erhohung der Ober#lachen-
gute erfolgen.
Die Anwendung aller neuen Arbeitsverfahren auf den
verschiedensten Fertigungsgebieten darf nicht sche-
matisch erfolgen, sondern es muB durch exakte Ana-
lysen stets die beste technologische Variante aus-
gewahlt werden, die zur grol3ten Wirtschaftlichkeit
der Fertigung bzw. in besonderen Fallen zur hochsten
Produktivitat fiihrt. Dabei ist zu beachten, daB oft
einzelne neue Arbeitsverfahren zu einer volligen Um-
gestaltung der bisherigenTechnologie eines bestimmten
Erzeugnisses fiihren konnen.
Bei den Prozessen des Zusammenbaues steht im Vorder-
grund die Forderung an die Konstruktion nach Stan-
dardisierung and Typung der Einzelteile and Bau-
gruppen, um durch Mechanisierung der Montage-
arbeiten das Verhaltnis des Arbeitsaufwandes von
mechanischer Bearbeitung and Zusammenbau zu-
gunsten der mechanischen Bearbeitung zu verbessern.
Uberhaupt muB die Technologic des Maschinenbaues
auf alien Gebieten durch den Ubergang zu FlieB-
methoden bei der Bearbeitung and Montage gekenn-
zeichnet sein, damit eine weitgehende Mechanisierung
and Automatisierung moglich wird.
Deshalb ist die Organisation der Fertigung nicht von
der Technologic zu trennen and muB, soweit es die
technologischen Prozesse anbelangt, im Zusammenhang
mit dieser betrachtet werden.
Es kann nicht Aufgabe dieser Abhandlung sein, alle
Schwerpunkte der Technologic des Maschinenbaues
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Stobel: Die'Technologie des iA1aschineubaucs - cin selbstandiger Zweig der Wisserschaft Technologie
darzustellen. Die vorstehenden Ausfiihruugen sollen
ledigliclt die Definition fiber den Gegenstand der
Technologic dieses lndustriezweiges hinsichtlich ihres
lnhalts uud Hirer Entwicklungsrichtung erganzen [26].
Gegenwartig gibt es noch kein Lehrbuch, das die
Gesaaltproblemc der Teclinologie des Maschinenbaues
vollstiindig behandelt. Dagegen werden bestimntte
Teilgebiete dieser Technologic schon recht gut dar-
gestellt, wic z. B. die Technologie des Werkzeug-
maschinenbaues and die Technologie der Herstellung
von Groiwasserturbitten [27].
Ebenso behandelt das vor einigen Jahren erschiencne
Lehrbuch von A. J. Kaschirin nur cin Teilgebiet,
obgleich es enter dem Titel ?Technologie desMaschinen-
baues" herausgegeben ist [28]. Der leider allzufruh
verstorbene Professor Doktor der technischen Wissen-
scltaften Kaschirin hat mit diesem Werk, das in An-
leluurng an das Lehrprogramm ?Technologie des
v1aschi.nenbaues" der sowjetischen technischen Hoch-
sebulen zusanttnengestellt wurde, einen auBerordent-
lich wertvollen Beitrag zur Erforschung und Dar-
slellung der Probleme der Technologic des Maschinen-
baues geleistet. Daran andert auch die Tatsache nichts,
daB Kasch iriaa in seinem Lehrbuch bei den Bearbeitungs-
prozessen nur die Gebiete der spangebenden Formung
hehandelt. Dies ist vor alien Dingen darauf zuriiek-
zufi.ihren, weil dieses Werk ins wesentlichen die Wieder-
gabe einer Vorlesung darstellt and die Gebiete der
spaulosen Forming, des Trennens and Verbindens,
der Warrne- and Oberflachenbehandlung in anderen
Disziplinen behandelt werden. Er schreibt selbst hin-
sichtlich der Abgrertzung dieses Gebietes:
?t titer der Technologie des Maschinenbaues versteht nian
die Lehre von den Herstellungsprozessen der Einzelteile
uncl des Zusaurrnenbaues zu Maschinen and Mechanismen.
Hierhei nud3 bernerkt werden, dal3 es in der Praxis ublich
ist, rift Technologic des Maschinenbaues in der Hauptsache
the Lehre von den Bearbeitungsprozessen der Einzelteile
and vorn Zusammenbau dieser Einzelteile zu Maschinen and
Mechanismen zu bezeichnen. Die Lehre von den Her-
stellungsprozessen der Werkstoffe and Hohlinge ist ge-
wohnlich Gegenstand anderer Vorlesungen, wie z. B. ,Tech-
nologie des Gieliens`, der ,Technologic des Schmiedens and
des Pressers`, .'Technologie des Walzens` usw. Deshalb
wird die Herstellung der Rohlinge in diesem Bach mit Aus-
nahme spezieller Probleme, die unmittelbar unit der mechani-
schen Bearbeitung verbunden sind, nicht natter betrachtet."
1291
Man kann Kaschirin nicht ganz zustimmen, wean er
in seiner Definition von den Herstellungsprozessen
der Einzelteile spricht, aber dann selbst nur einen Teil
der Bearbeitungsprozesse behandelt. Die angewandte
Wissenschaft Technologie des Maschinenbaues ist,
wie von ihm sehr richtig formuliert and von mir an
friiherer Stelle hervorgehoben, wesentlich umfassender
and kann nicht auf die spangebenden Arbeitsverfahren
beschranlct werden. Sehr verdienstvoll ist jedoch, daB
Kaschirin in seiner Technologie nicht nur eine Be-
schreibung bestimmter Arbeitsprozesse gibt, sondern
daB er, um mit Beckmann zu sprechen, ,in syste-
inatischer Ordnung griindliche Anleitung gibt, wic
man ... aus wahren Grundsatzen and zuverlassigen
Erfahrungen die Mittel finden and die bei der Ver-
arbeitung vorkommenden Erscheinungen erklaren and
nutzeu soll."
Deshalb sized auch seine Ausfiihrungen uber time Wahl
der Rohlinge, Werkzeugrnaschinen, Werkzeuge and
Vorrichtungen, uber die Arbeitsgenauigkeit and Ober-
flachengiite der Arbeitsflache sowie fiber die all-
gemeinen Probleme, die sowobl die mechanische Be-
arbeitung als auch den Zusammenbau betreffen, so
besottders wertvoll.
Die hervorragende Anerkemtung, die das Werk Kaschi-
ri.ns im In- and Ausland gefunden hat, kann nor die
Ausfiihrungen unterstreichen, die in der Einleitnug zu
diesem Buch gemacht werden:
,.Ohne Ubertreibung kann gesagt werden, daf3 die Ent-
wicklung der angewandten Wisserschaft ,Technologie des
Maschinenbaues` cine Errungenschaft der russischen tech-
nologischen Schule ist, da nach sowjetischen Informationen
im Auslande keine Lehrbiicher Oder Lehrmittel fiir (lie
hoheren Lehranstalten auf dem Gebiet der Technologic des
Maschinenbaues vorhanden sind and dieses Lehrfach selbst
in den Lehrpliinen der hoheren technischen Lehranstalten
bei weitern nicht in crforderlichem Mafie vertreten ist." [30]
Diese Bemerkung trifft in vollem Urnfange auch fiir
die gegenwartigen Verhaltnisse in der Deutschen
Demokratiscben Republik zu. So stellte z. B. Gerhart
Ziller auf der III. Parteikonferenz der SED fest, daB
von 457 wissenschaftlichen Instituteu der Ministerien,
der Akadentie der Wissenschaften, der Univcrsitaten
and Hochschulen nur sieben Institute ausschliel31ich
die Fragen der Technologie untd der Produktions-
technik als wissenschaftliche Disziplin richtig be-
arbeiten [31].
Wenn man bedenkt, daB innerhalb dieser Institute
die Technologic des Maschinenbaues nor antcilig be-
rucksichtigt wird, dann bedarf es groBer Anstrengun-
gen, um neben der Verbesserung der Technologie in
den Maschinenbaubetrieben uud der starkeren Ausbil-
dung von qualifizierten Technologen an den Hoch- and
Fachschulen auch die Wissenschaft Technologie des
Maschinenbaues ihrem Inhalt and ihrer Entwick-
lungsrichtung entsprechend in Lehre and Forschung
zu vertreten.
Vgl. Grundke, G., Johann Beckmann als Begri.inder der
Technologic in Deutschland. Wiss. Zischr. d. Karl-Marx-
Univ. Leipzig, Mat.-Nat. Heihe, 4 (1951/55), It. 3/4,
S.343 ... 352.
d. Vandenhoeckschen Buchhandlung, Gottingen 1777,
Einleitung, S. XVI.
Ebenda, S. XV.
Ebenda, S. XVI.
Vgl. auch Marx, K., Das kapital, lid. 1, S. 397...398
u. S. 511...512. Dietz, Berlin 1951.
Grosse, 1I., Einige Fragen tier Technologic. ,. Aenes
Deutschland" vum 12. 5. 1956.
Borchert, If., Veber den Gegenstand der Industrie-
okonomik. Wiss. Zischr. d. Martin-Luther-Univ. Halle-
Wittenberg, Ges.-Sprachw. Heihe, 4 (1954), If. 1, S. 64.
Marx, K., ,Lohnarbeit and Kapital", in :1Tarx-Engels,
Ausgewahlte Schriften in zwei Biinden, Bd. I. Verlag fiir
fremdsprachige Literatur, Moskau 1950, S. -,- *
Samborski, G. L, Organisation and Plarrung des sozia-
listischen Maschinenbaubetriebes, 1. Lehrbricf, Verlag
Technik, Berlin 1955, S. 2...3.
110] Lange, H., Diskussionsbeitrag: Bericht umber die 1. 'I'agung
der Technologen. Verlag Technik, Berlin 4951, S. 81
sowie ?uber den Gegenstand der Technologie ads Wisscn-
schaft". Die Wirtschaft (1954), Nr. 8, S. 8.
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1111 llriigmann, Zur Frage der Begriffsbestimmung ,,Tech-
nologie", Technologische Planung and Betriebsorgani-
sation, H. 3 (1953), S. 96.
112] Stubenrecht, A., Kapitel VII, Arbeitsvorbereitung in
?Hutte", Taschenbuch fur Betriebsingenieure, Bd. II,
Berlin 1954, S. 547.
1131 Ebenda.
1141 Stiibel, W., Zur Herausgabe eines Handbuches fur Tech-
nologen des Maschinenbaues. Der Industriebetrieb, H. 1
(1956), S. 35.
1151 Rriigmann, a. a. 0.
1161 Mohler, E., Die Spezialisierung der Technologenaus-
bildung. Technologische Planung and Betriebsorgani-
sation, Heft 1955, S. 285.
1171 Riede, W., Bericht des Fachausschusses Technologic der
KdT. Technologische Planung u. Betriebsorganisation,
H. 1 (1954), S. 4.
118] Grundsatzordnung Technologic, Dokumente des Ma-
schinenbaues I. Verlag Die Wirtschaft, Berlin 1955,
S. 159.
119] Prinz, C., Der technologische Unterricht an der Tech-
nischen Hochschule Munchen. Ztschr. d. VDI 69, Nr. 19
(1925), S. 660.
120] Ebenda.
1211 Grosse, II., a. a. O.
122] Kamenizer, S. E., Organisation and Planung des sozia-
listischen Industriebetriebes. Verlag ?Die Wirtschaft",
Berlin 1953, S. 14.
[231 Kopecky-Schamschula, Mechanische Technologic. Sprin-
ger-Verlag, Wien 1951.
[24] Schimpke, P., Technologic der Maschinenbaustoffe,
12. Aufl., Hirzel-Verlag, Leipzig 1953.
[25] Kienzle, 0., Geleitwort. Ztschr. Werkstattstechnik and
Maschinenbau. Springer Verlag, Berlin-Gottingen-Heide]-
berg, H. 1 (1949), S. 1.
[26] Zum weiteren Studium dieser Fragen sei u. a. auf folgende
Artikel hingewiesen :
Grosse, H., Einige Fragen der Technologic. ?N. D." vo
12. 5. 1956;
Ziller, G., Durch moderne Fertigungstechnik grol3e Reser-
ven erschliel3en. ?N. D." vom 28. 3. 1956, S. 6;
Planmal3ige Verbesserung der Technologic. Leitartikel des
,,N. D." vom 18. 4. 1956;
Drei Betriebe vergleichen ihre Arbeit. Betriebsvergleich
zwischen drei Werkzeugmaschinenbetrieben deckt Man-
gel in der Fertigungstechnik auf. ?N. D." vom 18. 8. 1956,
S.6,
Auf eine forts chrittliche Technologic im Werkzeug-
maschinenbau orientieren. ,,IN. D." vom 9. 8. 1956, S. 3.
[2 7] Balakschin, B. S., Technologic des Werkzeugrnaschinen-
baues, 2. Aufl., Verlag Technik 1953;
Gamse, S. M. u. Goldscher, A. J., Technologic der Her-
stellung von Grol3wasserturbinen. Verlag Technik 1954.
[28] Kaschirin, A.. J., Technologic des Maschinenbaues. Verlag
Technik, Berlin 1953.
[29] Ebenda, S. 15.
[30] Ebenda, S. 11.
[31] Ziller, G., a. a. 0.
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V. Fakultat fur Technologie / Pub]. Nr. 2
Institut fur Okonomik, mit der Wahrnehmung der Geschafte des Direktors beauftragt: Dozent Dr. oec. Gunther Fraas
Als Manuskript gedruckt! DK 336.126.27:332.7.067.22
Eingang: 7. 9. 1956
Uber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen
Wenn man die zugangliche Literatur iiberblickt, die
sich mit dem Komplex der Investitionsfinanzierung
beschaftigt [1] - sei es die spezielle Investitions-
literatur oder seien es Texte, die bei der Behandlung
bestimmter Gegenstande die Investitionsfinanzierung
beruhren - dann wird eines deutlich: Es scheint als
ausgemachte Sache zu gelten, daB planmaBige
Investitionen im staatlich-sozialistischen Bereich der
Volkswirtschaft im allgemeinen nur in Form von
Eigenmitteln zu finanzieren seien, die den Be-
trieben auf diese oder jene Weise zur Verfiigung
stehen. Dieses Vorurteil - so mochten wir es be-
zeichnen - scheint so eingewurzelt, daB die be-
treffenden Verfasser Uber diese Frage mit voller Selbst-
verstandlichkeit hinweg and zur technischen Seite des
Finanzierungsmodus iibergehen.
Die Entwicklung ist auch auf dem Gebiete der In-
vestitionsfinanzierung erfreulich vorangeschritten. So
ist die Belassung der planmal3igen Amortisationen
(Verordnung vom 6. 1. 1955, GBl 1/1955, Seite 21)
and von Teilen des Gewinnes (Verordnung vom 6. 1.
1955, GBI. 1/1955, Seite 23) bei den Betrieben zum
Zwecke der Investitionsfinanzierung, welche Mittel
erst voll ausgeschopft sein mnssen, bevor Haushalts-
mittel als wichtigste wirtschaftliche Quelle zur Finan-
zierung von Investitionen in Anspruch genommen wer-
den konnen, ein bedeutendes Mittel, auch von dieser
Seite her den Betrieben einen materiellen Anreiz in
Richtung auf ErfUllung and Ubererfullung der Plane
zu bieten.
Auch auf dem Gebiete der Kreditfinanzierung gibt
es bereits gute Ansatze, aber eben nur Ansatze.
Immer sind es Eigenmittel dieser oder jener Herkunft,
aus denen im Investitionsplan liegende Investitionen
finanziert werden konnen and mnssen, and der Kredit
- fur den hier eine Lanze gebrochen werden soil -
findet im staatlich-sozialistischen Bereich der Volks-
wirtschaft bisher nur in bestimmten Fallen zaghaft
Anwendung, namlich dann, wenn auBerhalb des
Investitionsplanes entsprechende Finanzierungsauf-
gaben zu Ibsen sind.
Die Anordnung zur Finanzierung and Kontrolle der
planmaBigen Investitionen and Generalreparaturen
in der volkseigenen Wirtschaft, den staatlichen Ver-
waltungen and Einrichtungen vom 20. 1. 1956 (GBI.
Sonderdruck 150) sieht den Kredit nicht vor. Un-
beschadet der in dieser Verordnung fur die plan-
mal3igen Investitionen erneut manifestierten Linie
rind jedoch seit dem Jahre 1954 Moglichkeiten zur
Erlangung von Investitionskrediten fur die Falle
geschaffen and wgiiter ausgebaut worden, in denen es
sich um die Erfiiliung zusatzlicher, nicht im Investitions-
15
plan enthaltener Aufgaben handelt, die eine schnelle
and elastische Finanzierung erfordern. Im allgemeinen
handelt es sich dabei urn Finanzierungsaufgaben, die
aus der Aufnahme der Produktion von Massenbedarfs-
artikeln and aus RationalisierungsmaBnahmen zur
Steigerung der Rentabilitat der volkseigenen Betriebe
resultieren. Nach wie vor jedoch wird der Investitions-
kredit als eine Erganzung der Haushaltsmethode
lediglich innerhalb des erwahnten Rahmens betrachtet.
Kritik verdienen dabei auch die urspriinglich vor-
gesehenen and jetzt etwas erweiterten Kreditfristen.
Auch in der Sowjetunion findet der Investitionskredit
nur aul3erordentlich begrenzte Anwendung. Busyr-
jow [2] erwahnt ihn bei einer Aufzahlung der Finan-
zierungsquellen fur Investitionen iiberhaupt nicht, and
er steht damit nicht allein. Allerdings - and das geht
auch aus S. 257 der genannten Arbeit hervor - sind
Investitionskredite durch die Industriebank an die
Betriebe der ortlichen Wirtschaft his zur Hohe von
500000 Rubel and his zu einer Laufzeit von 3 Jahren
vorgesehen. Schon diese kurze Laufzeit deutet an,
daB auch hier der langfristige Kredit nur den Spezial-
fall bildet.
Ahnlich der Regelung in der Sowjetunion sind es
in der Deutschen Demokratischen Republik derzeit
folgende wirtschaftlichen Quellen, die unter bestimm-
ten Bedingungen zur Finanzierung von Investitions-
vorhaben bereitstehen:
1. planmaBige Amortisationen,
2. planmaBige Gewinnteile,
3. Zuweisungen aus dem Staatshaushalt,
4. Direktorenfonds (bzw. Pramienfonds),
5. Betriebskosten (soweit 500,- DM oder Nutzungs-
dauer von einem Jahr nicht iiberschreitend),
6. Mobilisierung innerer Reserven auf den Baustellen,
7. Investitions- einschliefflich Baukostensenkung, fer-
ner sonstige Quellen, wie z. B. bei der Durch-
fiihrung der Vorhaben anfallende Nebenprodukte,
8. Investitionskredite im gezeigten schmalen Rahmen.
Demnach stehen fur die Durchfuhrung der erweiterten
Reproduktion im staatlich-sozialistischen Bereich der
Volkswirtschaft, von den Amortisationen abgesehen,
fast ausschlieBlich solche Teile des Volkseinkommens
zur Verfugung, die sich entweder als Reineinkommen
der staatlichen Betriebe oder als zentralisiertes Rein-
einkommen des Staates darstellen.
Das bedeutet, daB die Erweiterung des Reproduktions-
prozesses von der Seite der finanziellen Deckung her -
in, wir mochten sagen, unbilliger Weise - streng ab-
hangig geuiacht wird
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222 Fraas: Vber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen
einerseits von der Entwicklung des Reineinkommens
der Betriebe and des zentralisierten Reineinkom-
mens des Staates,
audererseits von den ubrigen Finanzierungsauf-
gaben, die dem Staatshaushalt erwacltsen.
Uuter dem bislrerigen Modus konnen jene Teile des
an die Bevolkerung flief3enden Volkseinkommens, die
nick der individuellen Konsumtion anheimfallen,
sondern in dieser oder jener Form aufgespart werden,
zur Erweiterung der Reproduktion im staatlich-
sozialistischen Bereich der Volkswirtschaft nicht oder
nur kaurn Verwendung finden. Das hat aher nicht
nur Konsequenzen fur die finanzielle Basis der er-
weiterten Reproduktion. Vielmehr ergeben sick daraus,
da/ sick die Erwe.iteruny der Reproduktion nach der-
zeitiyer Regela.ng fast ausschlieplich nur mil die be-
zeichneten Teile des Volkseinkomnmens stiitzen kann.
ouch yanz klare Notwendiykeiterr fiir die Verteiluny
and NeucerteiLung des Volksein.kornniens, wie sic vor
allenm. 4iber die Lohn-, ,S'teuer- and Preispolitik yelenkt
a+crden.
Sicher gibt es Uriiude, die ausreiclrten, die jungen
staatlich-sozialistischen Betriebe im Zeitraum ihrer
Festigung fiir den Bercich der Anlagemittel voll durch
Eigentnittel auszustatten. Es gibt jedoch keiu Argu-
rnent, das es rechtfertigte, dal3 sick diese Praxis zu
einenr solchen Postulat auswachsen rnul3te, das jedem
neben Nacltdenken enthoben zu sein schcint. GewiB
kiinucn auch Einwande gegen die naclrfolgend zu
skizzierenden Gedatiken erhoben werden. Soweit wir
jedoch hlicken, scheint uns keiues schwerwiegend
genug, urn nicht grundsatzliche Eriirterungen dariiber
zur Diskussion zu stelleu.
Naclr den bis(rerigen Ausfiilrrungen schcint es also
zwerkmii3ig zu sein, in bestirnrnter Form and nach
bestimmten Regeln auch den langfristigen Kredit als
regulares Instrument zur planmaBigen Finanzierung
der Aulagensphare der staatlich-sozialistischenBetriebe
heranzuziehen. Wean bier also daran gedacht wird,
den langfristigen Kredit in den Bereich des staatlichen
Investitionsplanes einzubeziehen, dann wird dadurch
in keiner Weise der sicher richtige Grundsatz beriihrt,
daf3 die IIaushaltsmethode (einschlief3lich der betrieb-
lichen Eigenfinanzierung) die Hauptmethode zur
Finanzierung von Invcstitionsvorhahen hildet.
liar ist vorab eines: Als Quelle, aus der solche lang-
fristigen Kredite gewahrt werden konnen, kommt das
iihliche Kontenspareu bei den Banken niclrt oder nur
bedient in Betracht. Die erforderlichen Kreditfristen
wie auch die dezentralistisehe Organisation der Spar-
kassen als der Trager des Sparwesens in der Republik
ini Zusaninienhang mit den in Frage kommenden
I3etragen schlic3en diese Moglichkeit aus. Im iibrigen
liegt der hier auf3erdem ins Feld zu fiihrende Vorteil
des Wertpapiers -- and in dieser Richtung ist nach
unserem Erachten cin Heuer Weg zu suchen - gerade
darin, dal3 es dem Erwerber auf weite Sicht die Mog-
lichkcit nimmt, vorn Emittenten Ruckzahlung zu
verlangen. Eine breitere Hinwendung zum Wertpapier
wiirde zugleich zu einer klareren Gestaltung der Spar-
cinlagen fiifrren; d. h. es wurden aus den Spareinlagen
in griil3erem Umfange solche Betrage ausscheiden,
hei deuen an eine wirkliche Daucranlage gedacht ist.
Man erinnere sick jenes bekannten Satzes, die Aktie
sei ein Generalappell an alles, was Geld hat, uud
entkleide die dadurch geweckten Vorstellungen dessen,
was sic kapitalistisch verunstaltet. Wenn diese Ent-
kleidung grundlich genug erfolgt, dann liegt offen
zutage, daB es nicht einleuchtet, wcshalb die konso-
lidierte Volksmacht in der Republik sick des Wert-
papiers nur in so untergeordnetem MaBe bedient, um
diejenigen nachgewiesenermaBen riesigen finanziellen
Reserven zu erschlieBen, die unter den verschiedenen
Schichten der Gesellschaft schlummern and dort
nicht nur brach liegen, sondern in hekanntem Mal3e
den Geldumlauf helasten. Das wurde auch den Spar-
wiinschen der Bevolkerung, mindestens bestimmtcr
Teile davon, weiter entgegenkommen, als es hishcr
moglich ist, wo neben dem reinen Kontensparen ledig-
lich die Hypothekenpfandbriefe der Deutschen In-
vestitionsbank zur Verfiigung stehen. Es sind die
Riesenanstrengungen bekannt, die heute in alien hoch-
kapitalistischen (also imperialistischen) Landern urn
eine Ausdehnuug des Wertpapiersparens - wic man
es nennt -- gemacht werden. Wenn wir von der
spezifischen sozialokonomischen Farbgehung absehen,
in der diese Bestrebungen ihre Motivierung finden,
verbleibt als materieller Kern der Sache der, daB da-
durch die Eigenkapitalbasis (bei Aktien-Emissionen)
bzw. die langfristige Darlehnsfinanzierung (bei Emis-
sion von Industrieschuldversclireibungen) der Unter-
nehmungen verstarkt, d. It. durch eine noch intensivere
Ausnutzung moglichst aller finanziellen Reserver die
Basis fur die Erweiterung des Reproduktionsprozesses
verbreitert werden kann.
Es ist eine bekannte Tatsache, da3 sich die Sowjet-
union jahrelang mit groBem Erfolg des Instruments
der Staatsanleihe zur Starkung der finanziellen Basis
fiir die erweiterte Reproduktion bedient hall). Aller-
dings hat sic diese Betrage in die jahrlichen Staats-
haushalte einbezogen2), ein Verfahren, das wir in
dieser Form nicht benutzt wissen wollten.
Mit welcher Eindringlichkeit hat Lenin den Zwang zur
strengsten Sparsamkeit hervorgehoben! Man mochte
versucht sein, es geradezu symbolisch zu nchmen, dab
in der allerletzten Schrift aus seiner Hand (vorn
2. Marz 1923) noch einmal das folgende so deutlich
hervorgehoben wird:
..wird es uns um den Preis der gr6f3ten, der allergrolilen
Sparsamkeit in der Wirtschaft unseres Staates ruogliclr
sein, zu erreichen, dal3 jede noch so kleine Ersparnis fiir
die Entwicklung unserer maschinellen Croflindustrie, fur
die Entwicklung der F,lektrifizicrung, der Spritztorf-
') Welche hohe Bedeutung den Staatsanleihen in der UdSSIt
beigernessen wird, gent auch aus folgender Stellungnahrne
eines bekarmten sowjetischen Autors hervor:
,,...SchluBfolgerung..., doll die sowjetischen Staats-
anleihen eine zusatzliche Quelle fur die staatlichen Mittel
sind, die fur (lie Entwicklung der Produktivkrafte des
Landes, fur die Vergrof3erung des gesellschaftlichen Reich-
tums and die standige Hebung des materiellen and kultu-
rellen Nivcaus der Wcrktatigen verwandt werden." N. N. f o-
rvinski, Das Finanzsystem der UdSSB, Berlin 1953, S. 92.
Die Dinge liegen also in der Sowjetunion anders als in
der Deutschen Demokratischen Republik. Wahrend dort
einerseits Staatsanleihcn in groBem Uinfang aufgelegt
worden rind, warden andererseits (lie daraus flief3enden
Mittel den Betrieben zur Deckung ihrer Investitionen als
F,igenmittel zur Verfiigung gestellt.
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Fraas: Uber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen
gewinnung, fur die Fertigstellung des Bans der Wolchow-
kraftwerke usw. erhalten bleibt.
Darin und nur darin wird unsere Hoffnung liegen. Nur dann
werden wir imstande sein, um es bildlich auszudriicken,
uns von dem einen Pferd auf das andere zu setzen, namlich
von dem Bauernklepper, von dern heruntergekommenen
Gaul des ,Mushiks`, dem Pferd der Sparmaf3nahmen, die
auf ein verarmtes Bauernland berechnet sind auf ein
Pferd, wie es das Proletariat fur sich sucht und suchen mul3,
auf das Pferd der rnaschinellen Grof3industrie, der Elektri-
fizierung, der Wolchowkraftwerke usw." [3]
11as wurde im Zeichen der sozialistischen Industriali-
sierung des russischen Landes geschrieben. Die aus
dieser grol3en gesell schaftlichen Aufgabe resultierenden
finanziellen Anforderungen lassen durchaus eine ver-
hiiltuismaf3ige Parallele mit denjenigen zu, die der
Volkswirtschaft der Deutschen Demokratischen Re-
publik an der Schwelle derAutomatisierung im weite-
sten Sinus und der Ausnutzung der Kernenergie er-
wachsen. Im Zusammenhang damit ist auch an die
grol3en finanziellen Belastungen zu denken, die sich aus
solchen Aufgaben wie den folgenden ergeben: Aufhe-
bung der Ortsklassen C und D, Aufhebung des Karten-
svstems, Nentenerhohung, Arbeitszeitverkiirzung.
Den-zufolge und ureter besonderer Berucksichtigung
der Belange, die die tbergangsperiode von der kapi-
talistischen zur sozialistischen Produktionsweise eitt-
sehlief3lich ihrer konkreten nationalen Bedingtheiten
in der Deutschen Demokratischen Republik setzt,
scheint der Weg gangbar und erfolgversprechend zu
sein, tine besondere, selbstandige Institution zu er-
richten, die nach genau abgestimmten Planen ver-
schiedene Arten von Schuldverschreibungen begibt.
Man ktinnte dabei sogar an die Rechtsform der Aktien-
gesellschaft denken, und als Griinder und Aktionare
kamen die interessierten Fachministerien, die Deut-
sche Investitionsbank, moglicherweise die Deutsche
N otenbank, die DeutscheVersicherungsanstalt in Frage.
I)ie zu begebenden Schuldverschreibungen konnten
mit einer staatlichen Zins- und Tilgungsgarantie aus-
gestattet werden. Die durch die Zeichnung solcher
Anleihestiicke aufgebrachten Betrage konnten in glo-
balen Darlehen der Deutschen Investitionsbank zur
Verfiigung gestellt oder von dieser treuhanderisch
verwaltet und nach MaBgabe der Plane als Investitions-
kredite an die Wirtschaft weitergeleitet werden.
F.s scheint sich also von der Seite der Ausschopfung
aller in der Volkswirtschaft brachliegenden finan-
ziellen Reserven her die Einbeziehung des langfristigen
Kredits in die Finanzierung auch von planmaiigen
Investitionen der staatlich-sozialistischen Wirtschaft
geradezu aufzudriingen. Wir glauben, daB auch noch
ein anderer Gesichtspunkt fur eine solche Umorien-
tierung spricht.
Nach wie vor muB mail die Ermittlung des Nutz-
effektes der Investitionen als eine ungeloste Frage
betrachten. Noch immer berillart es die Ergebnis-
sphare des Betriebes auBer durch die vorzunehmenden
Abschreibungen mitnichten, wean er aus Haushalts-
initteln oder als Gewinnverwendung Investitionen
vornimmt, die keine wirtschaftliche Rechtfertigung
finden konnen. Der Zwang zu Verzinsung und Tilgung
entsprechender Teile aus langfristigen Krediten finan-
zierter Investitionen wurde jedoch sehr wohl einen
materiellen Anreiz fur eine sorgsame Priifung der wirt-
schaftlichen Notwei-digkeit dieser oder jener Investi-
tion durch den Betrieb bieten. Man mochte vielleicht
geneigt sein, darin fur die neue Produktionsweise einen
Anachronismus zu erblicken. Wir glauben jedoch, man
darf these Frage nicht anders beurteilen, als die be-
grenzt regulierende Rolle des Wertgesetzes beurteilt
worden ist: ,Ist das gut? Es ist nicht schlecht" [4].
Es ist klar: Okonomische Quelle fur die Finanzierung
von Investitionen ist das gesellschaftliche Gesamt-
produkt und, wenn wir die aus Amortisationen an-
fallenden Betrage eliminieren, das Volkseinkommen.
Damit ist erkennbar, welche grof3e Bedeutung allen
den Moglichkeiten fur die Erweiterung des Reproduk-
tionsprozesses zukommt, die zu einer Steigerung des
Volkseinkommens fiihren (Auslastung aller Kapa-
zitaten materieller und finanzieller Art, Steigerung der
Arbeitsproduktivitat usw.). Im ubrigen ist es weiterhin
eine Frage a) der Verteilung und Neuverteilung des
Volkseinkommens, b) der Mobilisierung brachliegender
Teile des Volkseinkommens, wie breit die finanzielle
Basis fur die Erweiterung des Reproduktionsprozesses
gestaltet werden kann. Dabei leuchtet es aber auch
ein, da/3 a) gegebenen f alls in dem Ma fie entlastet
werden kann, wie b) ausgeschopft wird.
Fur die Einbeziehung des langfristigen Kredits in den
Kreis der regularen Instrumente zur Finanzierung
von planmaBigen Investitionen auch der staatlich-
sozialistischen Betriebe unter Mobilisierung ent-
sprechender Kreditquellen auf die gezeigte Weise
sprechen also die nachfolgend zusammengefaBten
Gesichtspunkte:
1. Es wurde die einseitige und enge Bindung der Er-
weiterung des Reproduktionsprozesses an die finan-
ziellen Moglichkeiten gelockert werden, wie sic rich
aus der Entwicklung des Reineinkommens der
Betriebe und des zentralisierten Reineinkommens
des Staates einerseits und der Entwicklung der
ubrigen Finanzierungsaufgaben des Staatshaus-
haltes andererseits ergeben.
2. Es wurde die finanzielle Basis fur die Erweiterung
des Reproduktionsprozesses verbreitert werden
konnen.
3. Lohn-, Steller- und Preispolitik konnten bei der
Bestimmung derjenigen Daten gegebenenfalls und
in gewissem Umfange entlastet werden, die im
ProzeB der Verteilung und Neuverteilung des Volks-
einkommens mit Riicksicht auf die Sicherung der
finanziellen Basis fur die erweiterte Reproduktion
zu fordern sind.
4. Das System der MaBnahmen, die eine unkontrol-
lierte, dezentralisierte, auBerhalb der Kreditinsti-
tute erfolgende Fondsbildung verhindern sollen,
konnte wirksam erganzt und ein Brachliegen von
Mitteln vermieden werden.
5. Zugleich wurde das Bemnhen der Deutschen Noten-
bank um einen schnellen BargeldruckfluB ein wei-
teres wirksames Instrument in die Hand bekommen.
6. Den Betrieben wurde fur die durch Kredit finan-
zierten Investitionen durch die Notwendigkeit zu
Verzinsung und Tilgung ein materieller Zwang zur
Voranstellung genauer Wirtschaftlichkeitspriifun-
gen gesetzt.
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Fraas: Uber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen
[I] Zuni Beispiel:
Busyrjow, W., Finanzierung and Kreditierung von In-
vestitionen. Berlin 1954.
Gussakow, A. P. u. Dymschiz, I. A., Geldumlauf and Kredit
in der UdSSR. Berlin 1953.
Ifaremann, W., Die Finanzierung von Investitionen, in
Investliandbuch, Berlin 1954.
Ikonnikow, W. W., Geld and Kreditwesen in der UdSSR,
Berlin 1954.
hdtzer, IT., u. Zimmermann, II., Investitionsfinanzierung
and langfristiger Kredit. Thema 5 der Lehrbriefe fiber
Geldzirkulation and Kredit in der DDR im Fernstudium
der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultat der Karl-Marx-
Universit5t Leipzig.
Rowinski, N. N., Der Staatshaushalt der UdSSR, Berlin
1951 and 1953.
Schriftenreihe ,Aus sowjetischer and volksdemokratischer
Wirtschaftsliteratur": Uber die Finanzierung and Kontrolle
der Investitionen (16 Beitr5ge). H. 6, Berlin 1951.
Busvijow, W., Finanzierung and Kreditierung von In-
vestitionen, Berlin 1954.
Lenin, W. I., Ausg. Werke in zwei B5nden, Bd. II, Berlin
1952, S. 1019.
[4] Stalin, J. W., Okonomische Probleme des Sozialismus in
der UdSSR, Berlin 1955, S. 20.
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Industrie-Institut fur Elektrotechnik Pub]. Nr. 1
Abteilung fur Naturwissenschaften and Elektrotechnik, Abteilungsleiter: Alexander Latwesen
Als Manuskript gedruckt! DK 511.147 (084.2)
Eingang: 16. 1. 1957
Ein Nomogramm ?Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen"
Von Alexander Latwesen, mit der Wahrnehmung einer Dozentur am Industrie-Institut beauftragt
Ltn Handbuch fur ,Hochfrequenz- and Elektro-
techniker" von Rint befindet sich im Bd. I, S.22
eine Tafel zum Aufsuchen von Quadratwurzeln aus
koinplexen Zahlen. Diese ist dem Buch ,Vierstellige
Tafeln der Kreis- and Hyperbelfunktionen" von Hawelka
entnommen.
Da sie in ihrer Handhabung ziemlich umstandlich ist
and meines Wissens kein Nomogramm existiert, bringe
ich hier das folgende fur
Va+_jb=A+jB.
Bei genauem Ablesen ist der Fehler kleiner als I","
was in alien praktischen Fallen ausreichen diirfte.
Die Genauigkeit der Tabellenablesung ist - da
, A V a and B V a auf dem Rechenschieber zu be-
a
rechnen sind - auch nicht groBer.
Um diese Genauigkeit zu erhalten, mull der Realteil a
zwischen 75 and 300 liegen; dies ist jedoch durch
Erweitern von V a + jb mit 2, 4, 5, 10 oder 20 usw.
itniner leicht zu erreichen.
So ist z. B.
2,87 + j 0,73 10 V 287 + j 73,
V868j288 =2 V217- j72.
(Jut auf der b-Leiter (quadratische Leiter) mindestens
gleiche Ablesegenauigkeit and einen moglichst groBen
Bereich zu erzielen, erhielt diese 4 Skalen, and
zwar gilt
Skala I fur den Bereich 1100 his 350,
11 350 bis 110,
III 110 his 35,
IV ? ? 11 35 his 10.
Wird fur 75 s a < 300 der Wert b - 1100, so muB
auf den unteren Teil der a-Leiter zuriickgegriffen
werden, d. h. a + j b mu13 so erweitert werden, daB
b < 1100 wird.
Wird b < 11, so mull der untere Teil der b-Leiter
benutzt werden, oder es gibt die einfache Naherungs-
formel
b 1a+jb;z:~ Va +j _ fur a 10 b
2 V a
sehr genaue Werte,
z. B. 1/25+j2 5+j 2 2 5 =5+j0,2.
Zu den einzelnen Bereichen fur die Imaginarteile b
gehoren die Kurven I, II, III, IV, auf denen die ge-
suchten Werte A and B abzulesen sind. Es gilt die
Ableseanleitung:
Erweitere V/ a + jb mit 2, 4, 5 oder 10 usw. so, daB
75 < a < 300 wird, wobei b S 1100 bleiben mull.
In den seltenen Fallen, in denen b 1100 wird, mull
V a + jb mit 2, 4, 5 oder 10 ... so erweitert werden,
da3 b 1100 wird,
z. B. V 217 + j 1384 = 2 V 54,25 + j 346.
Suche den neuen b-Wert auf der b-Leiter and verbinde
ihn sowohl mit + a als auch mit - a.
Die Schnittpunkte dieser Ablesegeraden mit der ge-
kriimmten Leiter, die dieselbe romische Ziffer tragt
wie die benutzte b-Leiter, ergeben A and B.
Je nachdem a and b positiv oder negativ sind, ergibt
der obere oder der untere Schnittpunkt A bzw. B.
Die richtige Lage ist einer der vier Skizzen a, f.3, y, 6
auf dem Nomogramm zu entnehmen.
Ablesebeispiele befinden sick auf dem Notnogramtn.
Literatur
Meyer zur Kapellen, W., Leitfaden der Nomographie. Springer,
Berlin 1952.
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L7Oi m
Fgrme fib' durch Erwv srn mit 2,415, 10, 20 usw, sa urn, dcv? a zwwchen. 75
bbrb#ide SDWOhl+a alsauch-a mit b. Erstnehrne aus.dee Skizzen,
1y + 23, 16 + j `1"9,7
/-74 t jr - ,:f x,39\+ j 15.3.6)
1O 149 -j 91
5t 1 78j 12.24)
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Hbchschule Nomogirain ne nu' ate ctexrrurecnmx
fur Elektrotechnik El -3-a
Inst.f Mathematik NTC-Widerstbnde alsFunktion der. TemperaturT
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Hocnscnuce ivurrrograrrnne TUralet (ektrOtechnik I
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Hochschule I~Olfl''i!OC? C~ff% wnirD ? pR,j~'sl t
f'Qrt`letchcttechfl!k ' barsteliung' des Absorptionsgeset es .
f. I' -thematikJ . rgdroaktiver 'Isotopen
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Hochschule Ivomogramme tUraieKernpnysik
fur Elektrotech ' Darstellung des A bsorptionsgesetzes Jo = Jd - eA d
Inst. f. Mathematik
radioaktiver Isotopen fur Jd = 50
Jo=50?e'ud
Jo auftreffende Strahlungsintensitdt
Jd durchgelassene Strghlungsintensitdt
d : Starke der Schutzwand [cm]
p linearer Schwdchungskoeffizient [cm
des Absorbermaterials
K-1-
N
1010
106
105
10"I
10
500
200
30
80
.9
0,31
0,2
55
I
o,9
o,8
0,7
0,6
10'5
60 -
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau ? 2 (1956) Heft 3 ? Herausgeber: Der Rektor
DK-Kurzreferate fiber die Beitrage in Heft 1-3
des Jahrganges 1956
Hinweis auf die Referatekartei
I. ~ in eine karteimal3ige Erfassung der in der Wiss. Z.
veriiffentliehten Arbeiten zu erleichtern, fiigen wir
den Heften Inhaltsfahnen bei, die ausgeschnitten,
aufgeklebt uud in bestehende K arteien eingeordnet
werden kollen.
Wir haben fiir these Kurzreferate bewu8t ein kleines
Format gewahlt, um die Verwendbarkeit fur jede
Art von Karteikarten zu gewahrleisten.
Die Redaktion.
Stamm, Hans
Moderne Methoden zur Erzeugung hoher Spannungen and
hoher Beschleunigungen
Is wird ein systematischer Uberblick fiber die Anwendung and the verschiedenen
Erzeugungsmbglichkeiten holier Weebsel-, Stoll- and Gleichspannungen gegeben,
desgleichen fiber die verschiedenen Methoden our Erreichung hoher Besehleuni-
gungen. Die derzeit erreichbaren Grenzwerte werden genannt. -Du-
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
Uh 512393(084 2) Der Einflull des steigenden Bedarfes an elektrischer Energie auf
h k
Bogel, Karl
Uber ein fur Stabilitatsuntersuchungen
geeignetes Normdiagramm der Gleichungen dritten Grades
F ,m wird ein Norntdiagnuum entwickelt, (tits nae.h einer printitiven Transformation
title Wurzrln einer Gleiehung 3. Grades liefert. Es hat den Vorzug, da13 es such
nach der Transfornuaion sofort erkennen 111131, oh die ursprungliche Gleichung
stabil ist, d. It., ob die Retdteile ihrer Nullstellen negativ sind.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
die Problemstellungen der Energietecni
Verdoppelung des Bedarfes an elekt riseher Energie in 10 .1 ahren fiihrl. rat Svhwie-
rigkeiten in der Bereitstellang des bisher matigeblichen Energietragers Kohle, die
in Zukunft nur (lurch Anshan con .Atomkraftwerken beseitigt werden k8nnen.
Fine wirtsehaftliche Erzeugung elektrischer Energie ist nor dureht Entwicklung
grbflerer Masehineneinheiten m8glieh. Betriebssieheres l;bertragea der elektrischen
Energie zum Verbraucher macht ausgedebnte vermascht a t:bertragungsnetze nut
hohen Betriebsspannungen and (lbergang our wirksamen Stetnpunkterdung
erforderlich. Mit der Entwicklung grollerer Gasturbineneinheiten ist deren Ver.
wendung our Deckung von Spitzenlast m8glieh.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
Beck, Max
Werkzeugmaschinenreparaturen
Die Iteparatur and die Neubeschaffung von \\ erkzeugntasehinen sired noch in
vielen Betrieben eon Zufalligkeiten abhangig. In der Arheit werden the Frage
tier Masehinenreparatttrbediirftigkeit. der Zeitpunkt, die wirtsehaftliche M6g-
liohkeit mad der Undang der Repanu ur eingehend erurtert.
Neben den Kostenbereelmungen wird die gesanite Organisation einsvlil. tier
atatistischen Erfassung der Reparat uren aufgezeigt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
l'o9ner, Lothar
Analoge Rechenmethoden (Festigkeitslehre - Elektrotechnik)
Z%%isrhen gcw issen Gebiet en tier Meehanik and Eiektrotechnik kann man Analo-
gien in der Betnachlungsweise feststellen and our praktisehen Berechnung aus-
nutzen. In dem Assfsatz wird this auf ganz elementarem Gebiet bei der Berech-
nung von stabfbrmigen Banteilen and von elektrischen Ringteitungen gezeigt and
an Beispielen naher ertautert.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
Pof3ner, Lothar
Spitzenkreise (Eine Studie im Beschleunigungsfeld
einer bewegten Ebene)
Die nahere Untersuchung einer einf aehen Konstruktion fur den Beschleunigungs-
11o1 ergibt, dal3 die Punkte der bewegten Ebene verntittels des Beschleunigungs-
pfeiles auf eine konaplane Ebene konform abgebildet werden. Dabei werden die
punktkreise in Spitzenkreise dberfuhrt and die Geraden in Gerade. Die Be-
scldeanigungspfeile sind Sehnen von logarithntischen Spiralen. Zur Berechnung
tier Beschleunigung k8nnen komplexe Zahlen verwendet werden, wobei zweck-
mallig (his Koordinatensystem so gewahlt wird, dab der Beschleunigungspol, der
Nullpunkt and die iibrigen Pole (Geschwindigkeitspol, \V endepol und Tangen-
tialpol) turf den Achsen liegen.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 1
DK 615.849: 616-006
Huber, R., Matschke, S., and K. H. Uegenhardt
Physikalische, technische and biologische Gesichtspunkte
zur Behandlung tiefliegender Geschwulste mit Hochvolt- and
ultraharter Rontgenstrahlung
Es wird fiber the physikalischen, terhnischen and biologisrben Gesichtspunkte
berichtet, wie sie sick aus den bisherigen Erfahrungen zur Behandhmg tiefliegender
Geschwulste Writ Hochvolt- and ultraharter Rontgenstrahlung ergeben. Gunstige
biologische Kriterien liegen bei einer Bewegungsbestrahhmg ah etwa 2 MeV and
erreichen bei etwa 15 MeV ureter Berfieksiehtigung tier KSrperdinte.nsionen des
Patienten opt imtde Verhaltnisse. Die Voranssetzungen our Verbesserung der
Heilungsergebnisse bei konabiniertetn Behandlungsverfahren (Operation and Be-
strahhmg) scheinen in einer niedrigen Rauntdosisbelastung ties 1'at ienten bei der
Anwendung ultraharter Strahlungen zu liegen.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
Berg, Lothar
Uber das asymptotische Verhalten der Laplace-Transformation
Durch Verallgemeinerung eines bekannten Satzes wird gezeigt: Sind zwei (fiir
hinreichend kleine positive t) stetige nieht negative Funktionen 1'(t) and $ (t)
fiir t -.0 usymptotisch gleich, so sired die zugehorigen Laplace-Transfonuierten
f (s) and v (s), sofern sie existieren, fur s - i. oo asympt utisch gleich.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
Stammberger, Albert
Eire Nomogramm zur Umwandlung
von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
Es wird ein Fluchtliniennomogramnt von z - r ? eig' - r (cos'p F i sin F) an-
gegeben. Diese Tafel umfaBt einen Bereieh von 50 < < 70? bzw. 0,1 < rp < 1,2.
Die fehlenden Bereiche sind in einem Kreismm-iogramra dargestellt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
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DK-Kurzreferate uber die Beitriige in Heft 1-3 des Jahrganges 1956
DK 537.31 1.3(08t.2)
Starnrnberger, Albert
Ein Nomogramm zur Bestimmung des spezifischen Leitungs.
widerstandes von Metallen als Funktion von Temperatur and
Temperaturkoeff izienten
Es ist ein Nontogranun fair den spezifisehen Leitungswaderstand von Met alien
Pt'-Pau IL1 .(t- 20)]
,,at,, irkelt w Orden. Jedes Met all ist in lieser Darstellung durch einen Punkt ((i)
and eine Gerade (Pea) cbartkt erisiert. Es ist ein Temperaturbereich con 50"
his 1 3110" ('. erfallt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. llinenau
Jg. 2 (1956) H. 2 S.81
Winkler, Helmut
Die Multiplikation zeitlich ranch veriinderlicher
nichtsinusformiger Spannungen
In der Ileehenelektronik and elektronischen Regelungstechnik sind die Methoden
fiir die Multiplikation zweier periodiseher oder oichtperiodischer Spannungsver-
laufe belicbiger Form mit gewissen Srhwierigkeiten verbunden. E8 werden die
tersehiedenartigen nuithemat isrhen and experiment ell-physikalischen Verfahren
hieriiber besrhrieben and ntiteinander vergliehen. Ferner wird die Entwicklung
cities wit ha ndelsiibliehen Roust rukt ionselementen aufgebauten elektronischen
Spannungsnndtiplikat ors dargestellt. Sein Einsatz kann bei elektronischen
Ilegelungsnnlagen and Analogiereohrn.naschinen sowie ale I .eist ungsmesser fiir
\V eehselst chute belicbiger Form erfolgen.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
llanke, Eugerl
Zerstorungsfreie Werkstoffprufung mit magnetischen Verfahren
l;s werden nmderne uuignetische % erfahren our zerstorungsfreien Prufung ntetal-
lischer \\erkatoffe bchandelt.
I titer den Verfahren nit Kraft linienw-irkung werden nach kurzem Ilinweis out
,bas M agnet spulverfahren lie wit rorster-Sonden arbeitenden Prufn.ethoden and
Geriite besrhrieben. Es wird dargelegt, wie sich mit dem Tastspulverfahren (lie
Icit fiihigkeit con NE-Metallen ntessen and sornit auch die (lie Leitfiihigkeit be-
einflussenden Figenschaften der \Verkstoffe feststellen lassen.
lie \\ irhelstronnerfahren mit Ilurchbudspule Sind bei entsprechender Wahl der
Melfrequenz sowohl fur die Prufung con nichtferromagnet isrhen Werkstoffen als
such con F isenniet allen geeignet. I lie our Anwendung kommenden Methoden and
Gerute werden bchandelt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilrrlenau
Jg. 2 (1956) H. 2 S.89--116
DK 531.22!23
['a/3ner, Lothar
Einspannmomente bei Wellen
Die Arbeit steekt sieh dos Ziel, die Einspannmomente von Wellen graphisch zu
1-ti-men. Zuerst wird (lie kleinste Fiihrungslenge liingsverschiehlicher Wellen
hestinunt. Dann werden die Muglichkeiten der Berechnung von Einspannntomenten
durch Biegekrafte ausfithrlieh hehandelt. Dube i werden vollstiindige, teilweise and
elast isehe Einepannnoment a behandelt. Auf dabei eintretende Sonderfklle wird
hingewiesen. Zuletzt wird die Dreimomentengleiehung in Matrizenschreibweise
hesprochen. Zohlreiehe Brispiele zeigen (lie Anwendung and Z.usanimenhiinge der
Berechmmgsmethoden.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
Euchler, Waldemar
Untersuchungen fiber eine Verbesserung der Berechnung
von Maschinenteilen auf Dauerfestigkeit
Die ersten con Thum and in den Arbeitsbluttern des VDI angegehenen Berech-
nungsverfuhren werden hesprochen and einer Kritik unterzogen. Der Sicherheits-
ernittlung des VI)1 son Ilanehen and con Soderberg wird (lie Methode con
Kinmtclmann gegeniihergestellt. In spitteren Fortsetzungen des Anfsatzes sullen
\' erbesserungen der Ilerechnungsart untersucht werden.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg.2 (1956) H. 2
Ulrich, Gunther
Kathodenfall, Stromdichte and Dunkelraumdicke der normalen
Glimmentladung in Edelgas-Wasserstoff-Gemischen
Der normale Kathodenfall, (lie norniale Stromdichte and lie nortnole Dunkel.
raumdicke (optiseh) wurden in Edelgus-W asserstoffgemisrhen gentessen. In
Helium and Neon wurde eine Erniedrigung von Kathodenfall and Dunkelruum-
dicke durch sehr kleine Beimischungen von Wasserstoff beohaehtet. Dies IaM
sieh nach Penning dadureh erkliiren, doll die Wuaserstoffmolekiile lurch Stdl3e
zweiter Art ionisiert werden. Der weitere Verlauf von Kathodenfall and Dunkel-
raumdieke in Abhangigkeit vom Mischungsverfahren wird durch (lie Entludungs-
bedingungen des normulen Kathodenfalles erkliirt. In diesen Edelgas-Hp
Gentisehen lk(3t der Verlauf der Stromdichte vermuten, dntl sehon bei kleinen
Mischungsverhiiltnissen die positiven loners iiherwiegend Protonen rind.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 2
Berg, Lothar
Bemerkungen zum Interpolationsproblem
Am Beispiel der logarithmischen Ableitung der Gamma-Funktion wird gezeigt,
w.e verschiedene Methoden cur Interpolation von unendlich cielen vorgegebeneu
Werten zu demselben Ergebnis fuhren, das sich aullerdem durrh besondere Ein-
fachheit auszeichnet. Dem vorliegenden Problem am best en angepallt ist (lie Dar-
stellung der interpolierenden Funktion durch eine Newtonsrhe Reihe, da ihre
Potenzreihe nur in einem Teilbereich konvergiert.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
Stammherger, Albert
Nomogramme zur Bestimmung der Form- and Regelfaktoren
von NTC-Widerstiinden
Mit Hilfe der beiden angegebenen Nom-gramme konnen genuiB It - it ? e
tier Formfaktor a and der Regelfaktor b aus zwei Widerstandsntessungen bei
verschiedener Temperatur bestimmt werden, wiihrend andet soils bei bekanntent
it and b R als Funktion der Temperatur ubgelesen werden kann.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3 S. 159
Stammherger, Albert
Nomogramme fur das Absorptionsgesetz radioaktiver Strahlen
Es werden zwei Nomogramme fur das Absorptionsgesetz angegeben. Das erste
stellt das Gesetz Id == 1,, ? e /id dar, dos zweite behandelt einen speziellen Fall
fur Id -- 50.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
Philippow, Eugen
Eine graphische Behandlung des nichtlinearen Stromkreises
Beim Ferroresonanzstabilisator
Es wird eine graphische Methode our Bemessung von Spannungsstabilisatoren
ntittels Spulen nut gesuttigtem Eisenkern behandelt. Ausgehend von einem vor-
gegebenen Kernmaterial and von einer gunstigen inechanischen Belastung werden
allgemein gultig bezogene Kennlinien des Spannungsgleichhalters ahgeleitet, der
die Bentessung der Elemente des Stabilisators fiir jeden konkreten Fall ernog-
lieht. Ferrer ist die \Virkung der Kompeusutionswicklung besrhrieben and ihr
I:influli auf (lie Ortskurven and (lie Stabilisierungskennlinie behandelt.
Wiss. Z. Hochseh. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
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DK-Kurzreferate uber die Beitrhge in Heft 1-3 des Jahrganges 1956
DK 545.33: 621.317.7: 621.357
Michelsson, Paul
Entwicklung eines Tintenschreiber-Polarographen
mit lichtelektrischem Verstiirker
Narh einleitender Erliiuterung des Begriffes Polarngraphie and kurzer Skizzie-
rung ties Heyrovsky-Polttrogntphen werden Aufbau and Arbeitsweise des im
Institut fiir Geratebau der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin
rut wiekelten Tint ensehreiber-Polarographen eingehend beschrieben, (lessen
wesent liche Merkmale darin bestehen, dolt
1. the Aufzeirhnung der Polarogramme in sofort siehtbarer Sehrift ohne photo.
rhemisehe Nachbehandlung erfolgt,
2. dos Gerat Line kurze Einstellzeit des Schreibers ouch in horhsten Entpfindlieh-
keitsstttfen gewahrleistet,
:1. gegen Ersehutterungen sowie belles Fttgea- bzw. Kunstiichl unempfindlieit ist
and
1. (lie Betienttng weitgehend sereinfacht wurde.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg.2 (1956) H. 3
1'ofner, Lothar
Ein rechnerisches Gegenstuck
zur zeichnerischen Methode von Mohr
Die Methode con Mohr wird in praktischen Fiillen der )4 ellenbereehnung, be-
sunders bei veranderliehem Triigheitsmontent, bevorzugt. Es wird auf Grund
der Mattrizenrechaung ntoglich. der Methode von Mohr eine praktisch brauchbare
reehnerisehe Methode gegeniiberzustellen. He zeigt sich, daB beide Methoden
gentcinsame Zuge aufweisen. Bei der Anwendung der Vektortransformation of
Einflultgroben treten nosh interessante Zusammenhiinge zwischen den Matrizen
auf. An einent Beispiel werden die Ergebnisse aufGrund beiderMethoden verglichen.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
Schneider, Udo
Was konnen Wissenschaft and Praxis
von der Dokumentation erwarten?
Noeh einfiihrender Klarung des Begriffes Dokuntentation and deren Notwendig-
kcit werden Hinweise cur Nutzbarmachung der Literatur gegeben. Ausfuhrungen
uber (lie Aufbereitung der Dokuntente leiten uber zu deren Ordnung. Hier 1st
besonders the Dezintalklttssifikation an Hand eines Beispieles dem Uniternt-
Svstent init. Auffuhrung der Vor- and Nachteile gegenubergestellt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
Furkert, Walter
Die Kurzschlulifestigkeit von Ubertragungsanlagen
Der Beanspruehung kleiner Bauteile in Energieversorgungsanlagen bei Kurz-
sel lull nttsl gleiche Aufinerksamkeit gewidmet werden wie der bei groBen Geriiten.
Die Kontaktstellen strontfuhrender Tile werden besonders vom StoBkurzschluB-
stront beansprucht and konnen bei unsachgemeber Montage ausbrennen. Per
kontaktdntek mull einerseits zur Erniedrigung des itbergangswiderstandes hoch
rein, darf uber anderseita die Daaerweehselfestigkeit der Seile infolge der Quer-
pressung nieht herabsetzen. Hohe KurzschluBstrome fuhrten neuerdings zu
1?:xplosionen bei sahadhaften Kappenisolatoren. Die Schutzarmaturen an Kappen-
und l.angstab-Isobuoren konnen bei Einfuhrung der starren Erdung and Schnell-
taiedereinschaltung bedeutend vereinfacht werden.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3
Ulrich, Gunther
Ein Beitrag zum Mechanismus der Oxydschichtbildung
auf Aluminiumanoden in waBrigen Borax-Borsiiuregemischen
Es werden die Vorgange untersucht, die bei der Bildung von anodischen Oxyd-
schichten auf Aluminium im Elektrolyten auftreten. Es wird festgestellt, daB unter
geeigneten Bedingungen der Gesamtstrom durch the Oxydschicht fast ausschlieb-
lich aus dem die Schicht bildenden Ionenstrom besteht, wahrend der Elektronen-
strom zu vernachliissigen ist. Ein groBerer auftretender Elektronenstromanteil wird
im wesentlichen durch Feldstarkeiiberholmng infolge Spitzenwirkang hervor-
gerufen. Die theoretischen Erwiihnungen, die an Hand der Gesetze der tiber-
spannung des Sauerstoffes angestellt warden, stimmen mit den experimentellen
Ergebnissen fiberein. Sic warden sowohl mit McBergehnissen der Gradienten als
ouch mit Reststromuntersuchungen verglichen.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3 S. 201-210
Stobel, Wolfgang
Die Technologie des Maschinenbaues - ein selbstiindiger
Zweig der Wissenschaft Technologie
Es wird aufgezeigt, wie sict, int 18. Jahrhundert zunachst eine allgenteine Wissen-
schaft Technologic entwickelt, die dann eine Spezialisierung einmal nach physi-
kalischen and chemischen Gesichtspunkten and zum anderen auf Grund unter-
schiedlicher materiell-technischer Bedingungen einzelner Produktionszweige
erfuhr.
D abei werden die Vor- and Nachteile dieser Spezialisierung tinter Berucksich-
tigung ihrer Bedeutnng fur die wissenschaftliche Lehre and Forschung aaf-
gezeigt.
Des weiteren erfolgt eine Darstellung versehiedener Auffassungen. wie sic %or
alien Dingen aus der Bildung einer betrieblichen Abteilung gleichen Namens and
deren Aufgabengebiet resultieren. Aus diesen Erkenntnissen werden die Not.
wendigkeit der Entstehung einer angewandten Wissenschaft Technologic des
Maschinenbaues begrundet and deren Inhalt and Bedetitung dargelegt.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3 S. 211-220
Fraas, Gunther
Uber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen
Die Fondsbildung zur Finanzierung von planmiiBigen Investitionen in de, volks-
eigenen Wirtschaft der DDR erfolgt fast ausschlieBlich aus solehen Teilen des
Volkseinkommens, die rich entweder all Reineinkommen der staatlichen Betziebe
oder als zentralisiertes Reineinkommen des Staates darstellen. Dadurch wird die
Erweiterung des Produktionsprozesses von der Seize ihrer fimmziellen Deckung
her in unbilliger Weise strong abhengig gemacht con der Entwieklung lediglich
der genannten Toile des Volkseinkommens and von der Entwickhmg der iibrigen
Finanzierungsaufgaben des Stautshaushaltes. Vorschlag zur I berwindung diesel
Zustandes.
Stamm, Mans
Beitrag zur Kriechstromforschung
Ausgehend von den Vonutssetzungen fur (lie Bildung von Krieehwegen and der
hriifimg der Widerstandsfahigkeit gegen deren Entstehen betrachtet der Verfasser
den Kricchstrom als ein Grenzschicht problem. In Auswertung umfangreicher
MsBergebnisse wird auf den EinfluB der Umgebung des Isolierstoffes and der
Priifntethoden hingewiesen. Den Untersuchungen ist welter zu entnehmen, dab
es sick bei der Kriechwegbildung tint eine Entiadung in der Grenzschicht handelt.
Zur Klarung angedeutet er Probleme sollen weit ere experimentelle Untersuchungen
durrhgefiihrt werden.
Wiss. Z. Hochsch. f'. Elektrotechn. Ilmenau
Jg.2 (1956) H. 3
Latwesen, Alexander
Ein Nomogramm ,Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen"
Es wird ein Nomogramm zum Aufsuchen von Quadratwurzeln aus komplexen
Zahlen entwickelt: yu - jb A -{- jB.
Bei sorgfaltigem Ablesen liegt tier Feller enter 1%.
Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau
Jg. 2 (1956) H. 3 S. 225
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I. Fakultdt fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften
BERG, LOTHAR *Bemerkungen zum Interpolationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . 155
STAMMBERGER, ALBERT Nomogramme zur Bestimmung der Form- and Regelfaktoren von NTC-
Widerstanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
STAM;VIBERGER, ALBERT Nomogramme fur das Absorptionsgesetz radioaktiver Strahlen . . . . . 161
PIIILIPPOW, EIIGEN *Eine graphische Behandlung des nichtlinearen Stromkreises beim Ferro-
resonanzstabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
MICIIELSSON, PAUL * Uber die Ent-,cicklung cities Tintenschreiberpolarographen mit licht-
elektrischem Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
1'OSSNER, LOTIIAI? Vin reehnerisches Gegenstiick zur zeichnerischen Methode von Mohr . . . 175
SCHNEIDER, I/D(1 *Was ktiunen Wissenschaft and Praxis von der Dokumentation erwarten? 185
II. Fakuluit fiir Starkstromtechnik
VURKERT, WALTER *Zur KurzschluBfestigkeit von Ubertragungsanlagen . . . . . . . . . . 191
STAAIM, HA NS *Bcitrag zur Kricchstromforschung . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III. Fakult it fiir Schwachstromtechnik
ULRICII, GUNTIIF.R *Ein Beitrag zum Mechanistnus der Oxydschichtbildung auf Aluminium-
anoden in wal3rigen Borax-Borsauregemischen . . . . . . . . . . . . . 201
V. Faku!idt fur Technologie
STOREL, IIOLFGANG *Die Technologic des 11asehinenbaues - cin selbstandiger Zweig der Wissen-
schaft Technologic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
FIi:1AS, GUNTIIER Uber die Fondsbildung zur Finanzierung von Investitionen . . . . . . . 221
Industrie-Institut fur Elektrotechnik
LAT IVESEN, ALEXANDER Ein Nomogramtn , Quadrat-,rurze1n aus komplexen Zahlen" . . . . . . 225
DK-Kurzreferate Uber die Beitrage in Heft 1-3 des Jahrganges 1956
Anlagen: Auswahlliste aus den Neuerwerbungen der Hochschulbibliothek
Band-Inhaltsverzeichnis des 2. Jahrganges 1956
*) Bei den nit Sternchen gekennzeichneten Bcitragen handelt es sick um Vortrage, die anlaBlich des I. Internationalen
Kolloquiuws an der Hochschule fur Elektrotechnik llmenau vom 5. bis 10. November 1956 gehalten wurden.
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Iles u~geber: Der Rektor der Ilochsohule fiir Elekt roteehnik Ilmenan
hrifiloii,u?: ifh., h-de fur Elekiroicc lutik Ilmemuu, Abt. \\ is=en., haftliehe Publikationen, tlmenau. Str. d. Jungen feehniker 21 Ruf: 3070/79 11ausapp.: 215
Srlhstcerlag der IItu hsehule fur Elektrotechnik Ilmenau
L~zcnz: VerriffenUirht enter I-izenznurnmer 4232 des Aintes for Literatur and Verlagswesen der Deutsehen Demokratisehen Republik
Satz and Druck: Druckerei ?Magnus Poser" Jena. 57/259/3005
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WISSENSCHAFTLICHE
ZEITSCHRIFT
DER HOCHSCHULE FUR ELEKTROTECHNIK
ILMENAU
WISS. Z. HOCHSCH. F. ELEKTROTECHN. ILMENAU 1 (1954/55) H. 1
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hoclischule fir Elektrotechnik Ilmenau
Herausgeber: Der Rektor der Hochschule, Professor Dr. phil. nat. H. Stamm
ie , Wissenschaftlichen Zeitschriften" der Universitaten and Hochschulen
haben die Aufgabe, der breiten Entfaltung des wissenschaftlichen Lebens an
den Universitaten and Hochschulen der Deutschen Demokratischen Republik
zu dienen and das besondere Geprage der wissenschaftlichen Tatigkeit an
derjeweiligen Universitat oder Hochschule widerzuspiegeln. DieserBestimmung
entsprechend sind die ,Wissenschaftlichen Zeitschriften" ausschliefilich der
Veroffentlichung von wissenschaftlichen Arbeiten aller an den Universitaten
and Hochschulen vertretenen Fachgebiete vorbehalten. Arbeiten von Wissen-
schaftlern, die nicht an der betref fenden Universitat oder Hochschule tatig sind,
sollen nur dann in die? Wissenschaftlichen Zeitsdhriften" auf genommen werden,
wenn es sick um Gastvorlesungen oder Gastvortrage handelt. Die , Wissen-
schaftlichen Zeitsdhriften" sind fur Personlichkeiten and wissenschaftliche
Einrichtungen auierhalb der Universitaten and Hochschulen, die sie heraus-
geben, nur auf dent Tausdhwege erhaltlich.
Die in der Wissenschaftlichen Zeitschrift der Hochschule fiir Elektrotechnik mit dem Vermerk ,Als Manuskript gedruckt!"
erschienenen Arbeiten durfen an anderer Stelle nur mit Genehmigung des Autors abgedruckt werden.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fiir Elektrotechnik Ilmenau
1 (1954/55) Heft 1
Berichligungen:
Spite 5 rechte Spalte. Zu Beginn des zweiten Drittels mul3 es heif3en:
,,Nun sei T = [a, b], iiicht j = [a, b]. Ebenso ist in ? 2 (Seite 6) in
cinem Teil der Auflage an mehreren Stellen der Querstrich fiber dem J
kaum oder nicht zu erkennen and daher sinnentsprechend zu erg5nzen.
Seite 6 rechte Spalte: Formel 8 mul3 lauten: ip (x) = q' (x) + 1 (x).
Seite 7 linke Spalte: Formed 18 lautet richtig: f (x) ( I (Jn-1 ),
rechte Spalte: Formel 21a lautet richtig: Mn > mn+1 > 0.
Seite 8 In ? 4 tritt in einem Teil der Auflage das Zeichen c in einigen Formeln
nichtin Erscheinung and ist daher zu erganzen.
Spite 20 In der Tabelle Bild 12 mu13 es im 3. Feld unterhalb der Uberschrift
,,Nichtlinearc Analogieelemente" heif3en: Oa>b
Bauarten. - ~"
Seite 25 rechte Spalte. Zeile 12 von oben hat der Verweis nicht [3], sondern [4]
zu lauten.
Seite 27 Literatur [2] heil3t der Mitverfasser Caldwell, nicht Calwell
[10] Application of Electronic ..., statt Elektronic
Seite 42 Legende zu Bild 20 letzte Zeile:
us 25 8
by d 10 = 2,5 sm statt ux = 2,5
Scite 51 linke Spalte, letzte Zeile: ,Schdden', statt ,Sch5gen".
Site 63 rechte Spalte, Zeile 8/9: ,Anordnung" statt ,Anwendung"
Unterschrift unter Bild 3: ,sind zur Auszdhlung gecignete Ausschl5ge"
Seite 65 linke Spalte, Zeile 30 von oben: ?des Abgriffs" statt ?des Angriffs"
ebenso Spite 68 linke Spalte, Zeile 22 von oben: ,Abgriffsstelle statt
,,Angriffsstelle'?
Seite 67 Tabelle, duf3ere rechte Spalte, 4. Eintragung: + 0,1%
Seite 69 3. Zeile der Kopfleiste: mit der Wahrnehmung der GeschSfte des
Direktors beauftragt.
Um Richtigstellung wird gebeten.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrokechnik Ilmenau . 1 (1954/55) Heft 1 ? Herausgeber: Der Rektor
Eroffnung der Hochschule fur Elektrotechnik
(16. September 1953)
Ansprache
des Stellvertreters des Ministers fur Maschinenbau
Herrn Helmut Wunderlich
Meine Damen and Herren!
Die Regierung der Deutschen Demokratischen Re-
publik hat in Erkenntnis der hohen Bedeutung der
Wissenschaften fur den Aufbau unserer Republik in
der Vergangenheit grolizdgige Mal3nahmen ergriffen,
die die Gewahr dafur geben, daB sick Wissenschaft
and Technik bei uns zur vollen Bliite entfalten and
in hochstem MaBe zur Sicherung der standig wachsen-
den materiellen and kulturellen Bedurfnisse des ganzen
Volkes beitragen.
Die technischen Wissenschaften sind eine unabding-
bare Voraussetzung fur das ununterbrochene Wachs-
tum and die stete Vervollkommnung der Produktion.
Sic erhalten von der Produktion, von der Praxis ihre
Aufgaben and befruchten and beschleunigen in stan-
diger Wechselwirkung deren rasche Hoherentwick-
lung and Vervollkommnung. Gleichzeitig werden
aber auch mit dem Wachstum and der Entwicklung
der Produktion immer hohere Anforderungen an die
Wissenschaft gestellt.
Das trifft ganz besonders fur den wichtigen Industrie-
zweig der Elektrotechnik zu. In Zusammenarbeit von
Wissenschaft and Produktion hat sich dieses Fach-
gebiet innerhalb weniger Jahrzehnte sehr rasch and
umfangreich entwickelt. Die Elektrotechnik ist aus
dem praktischen Leben, aus der Produktion nicht
mehr wegzudenken and gleicht einem Helfer der
Menschen, der ihnen das Leben auf alien Gebieten
erleichtert.
Obwohl die Elektrotechnik in unserer Deutschen
Demokratischen Republik bereits einen hohen Stand
erreicht hat - das zeigte ganz besonders die dies-
jahrige Leipziger Messe -, konnen wir uns keinesfalls
mit diesem Entwicklungsstand zufriedengeben.
Der weitere Anshan der Energieversorgung, der Ban
von GroBgeneratoren, die Erweiterung des Netzes der
Energieubertragung, die Entwicklung neuer Isolier-
stoffe, die Vervollkommnungder Rontgentechnik, Licht-
technik and Elektroakustik sowie die Weiterentwick-
lung der Steuerungs-, Me13- and Regelungstechnik mit
dem Ziele der erhohten Automatisierung des Produk-
tionsprozesses stellen die Wissenschaftler vor so um-
fangreiche Aufgaben, daB sie kaum von den vorhande-
nen wissenschaftlichen Kraften gelost werden konnen.
Um den Mangel an wissenschaftlichem Nachwuchs
schnellstens zu beheben, wurde von unserer Re-
gierung ein groBziigiges Programm zur Schaffung von
Spezialhochschulen ausgearbeitet. Dieses Programm
bietet die Gewahr, im Laufe der nachsten zehn Jahre
die empfindliche Lucke auf dem Gebiet der technisch-
wissenschaftlichen Kader zu schlieBen.
Die Sozialistische Sowjetunion hat bei der Entwick-
lung des Hochschulwesens in ihrem Lande mit der
Errichtung solcher Spezialhochschulen bereits auBer-
ordentlich gute Erfahrungen gesammelt, so daB auch
wir sicker sind, gute Erfolge mit ihnen zu erzielen.
Wir werden uns bei unserer Arbeit natiirlich stark an
die Erfahrungen unserer sowjetischen Freunde, aber
auch an die reichen Erfahrungen der bereits bestehenden
Hochschulen in der Deutschen Demokratischen Re-
publik halten. Ich bin iiberzeugt, daB uns hierdurch
eine groBe Unterstutzung and Hilfe zuteil wird.
Heute sind wir nun hier zusammengekommen, um die
Hochschule fur Elektrotechnik in Ilmenau zu eroffnen
and ihrer Bestimmung zu iibergeben. Es ist ein feier-
licher Augenblick, der sowohl dem Rektor and dem
Lehrkorper wie auch dem Ministerium fur Allge-
meinen Maschinenbau die auBerordentlich hohe Ver-
pflichtung auferlegt, die Hochschule fur Elektro-
technik Ilmenau so zu entwickeln, daB sie der deut-
schen Wissenschaft zu Ruhm and Ehre gereicht.
Das wird zunachst eine sehr schwere Aufgabe sein,
denn noch besitzt die Hochschule erst wenige Raum-
lichkeiten and nur eine geringe Anzahl an Dozenten.
Es sind somit schnellstens die materiellen and ideellen
Voraussetzungen zur Durchfuhrung 'der wissenschaft-
lichen Lehr- and Forschungsarbeit zu schaffen.
Der BeschluB der Regierung sieht vor, die Hochschule
Ilmenau so auszubauen, daB 1960 ca. zweitausend
Studenten hier ihre Ausbildung finden. Das crfor-
dert die Realisierung eines umfangreichen Ban-
projektes, das die Errichtung von Vorlesungsgebauden,
Instituten and Laboratorien and vor allem auch den
groBziigigen Ban von Wohnheimen fur die Studenten
and die Lehrkrafte sowie die Errichtung der ent-
sprechenden kulturellen Einrichtungen umfaBt.
Die zur Zeit in Ilmenau befindliche Fachschule
fur Maschinenbau and Elektrotechnik wird im Zuge
der Verwirklichung des Hochschulprojektes nach
einem anderen Orte verlegt werden.
Die erforderlichen Mittel fur die Durchfuhrung aller
dieser Aufgaben werden von unserer Regierung zur
Verfiigung gestellt. Der neue Kurs unserer Regierung,
der sich gerade in solchen Vorhaben mit ausdriickt,
ist nicht nur eine Magenfrage, sondern sieht im Inter-
esse der maximalen Befriedigung der standig wachsen-
den materiellen and kulturellen Bedurfnisse besonders
auch derartige umfangreichc Bildungsstatten vor.
Diese haben fiber ihre wissenschaftliche Arbeit hinaus
die Aufgabe, gleichzeitig allgemeine Kulturzentren zu
werden. Das trifft auch in vollem MaBe fur die Hoch-
schule in Ilmenau zu.
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Ansprachen anlaBlich der Eroffnung der Hochschule
Die Hochschule fur Elektrotechnik hat gerade hier
grol3e and ehrenvolle Traditionen zu erfiillen, hat doch
in dieser Stadt der grol3te Dichter des deutschen
Volkes, Goethe, gelebt and gewirkt. her sind einige
seiner herrlichen Gedichte entstanden, die zu den
beaten Schatzen des deutschen Volkes gehoren. Die
Vertreter der Stadt and der gesellschaftlichen Or-
ganisationen sowie die Hochschule miissen es als eine
ihrer besonderen Aufgaben ansehen, dieses groBe
Kulturerbe zu hiiten and zu pflegen.
Es wird unsere Aufgabe sein, sehr schnell diesel
Prinzip zu verwirklichen.
Ich richte von dieser Stelle aus die Bitte an alle
Werkdirektoren der Betriebe des Ministeriums, die
Hochschule fur Elektrotechnik in jeder Hinsicht zu
unterstiitzen and ihr alle Hilfe angedeihen zu lassen,
die einem Neugeborenen zukommt, sei es in der
Zurverfiigungstellung von Lehrkraften oder der Bercit-
stellung von Lehrmaterial and Ausriistungen fiir die
Laboratorien.
Verehrte Anwesende!
Es ist einleuchtend, daB der materielle Aufbau der
Hochschule, daB die Aufgabe der Schaffung neuer
Gebaude, Institute, Laboratorien, Studenten- and
Professorenwohnungen nicht in 1 ?2 Jahren gelost
werden kann. Wir werden sehr wahrscheinlich etwas
linger brauchen, um these Hochschule zu einer vor-
zuglichen Bildungsstatte in bezug auf Gebaude and
Ausriistungen zu gestalten.
In diesen Jahren ist jedoch die weitaus wichtigere
Aufgabe ebenfalls mit aller Energie in Angriff zu
nehmen, die darin besteht, durch harte wissenschaft-
liche Erziehungs- and Forschungsarbeit der Hoch-
schule einen Namen and das Ansehen zu geben, das
ihrer Bedeutung entspricht.
Das ist cine sehr schwere Aufgabe, dean Wissenschaft
and wissenschaftliches Ansehen kann man nicht so
aufbauen, wie man Gebaude aufbaut. Wissenschaft
and Ansehext miissen durch harte Arbeit erkampft
werden. Karl Marx sagte einmal: ?Es gibt keine
LandstraBe fur die Wissenschaft, and nur diejenigen
haben Aussicht, ihre hellen Gipfel zu erreichen, die
die Ermndung beim Erklettern ihrer steilen Pfade
nicht scheuen." Das gilt fur die Studenten ebenso
wie fur die Professoren and Mitarbeiter der Hoch-
schule.
Wichtig wird sein, daB der Lehrkorper and auch die
Studenten der Hochschule zur Fakultat fur Elektro-
technik der Technischen Hochschule Dresden eine
tinge Verbindung halten. Dort haben so bedeutende
Professoren wie Herr Obenaus, Herr Friihauf, Herr
Freitag, Herr Pommer and andere, die in den ver-
gangenen Jahren aul3erordentliche Leistungen voll-
hrachten, nicht nur zur Entwicklung hochquali-
fizierter Kader beigetragen, sondern auch im gleichen
MaBe auf die Entwicklung der Produktion durch
wichtige Forschungsarbeiten EinfluB genommen.
Ich mochte hier an dieser Stelle Sie, verehrte Herren
Professoren and Dozenten der Technischen Hoch-
schule Dresden and der anderen Universitaten and
Hochschulen, ganz besonders bitten, dieser neuen,
sich rasch entwickelnden Bildungsstatte ihre vollste
Unterstiitzung zu gehen. Denn nur - and das mochte
ich betonen - in gemeinsamer Arbeit mit Ihnen,
gestiitzt auf Ihre umfangreichen and so wertvollen
Erfahrungen, werden wir die Hochschule fur Elektro-
technik in Ilmenau zu einem bedeutenden Faktor fur
die Entwicklung unseres wissenschaftlichen Nach-
wuchses machen.
Eine Besonderheit der Hochschule fur Elektrotechnik
ist, daB sie einem Fachministerium, dem Ministerium
fiir Maschinenbau, unterstellt wird. Das hat eine sehr
groBe Bedeutung fur die Verwirklichung des Prinzips
der engen Verbindung von Theorie and Praxis.
Liebe Einwohner Ilmenaus!
Die Eroffnung der Hochschule fur Elektrotechnik in
Ilmenau hat fur Sie and fur die wirtschaftliche and
kulturelle Entwicklung Hirer Stadt and des ganzen
Bezirkes eine grol3e Bedeutung. Mit dem Aufbau
einer solchen Hochschule werden sich wichtige oko-
nomische Veranderungen ergeben. Die Hochschule,
die in der Perspektive his 2000 Studenten fassen wird,
stellt praktisch eine kleine Stadt dar, die das Gebiet
Ilmenaus wesentlich erweitern wird. Aus dieser Tat-
sache ergeben sich viele Perspektiven in wirtschaft-
licher, aber auch ganz besonders in kultureller Hin-
sicht.
Ich babe mich sehr dariiber gefreut, als ich davotx
horte, daB die Bevolkerung and die Stadt-, Kreis-
und Bezirksverwaltung sowie die gesellschaftlichen
Organisationen an der neuen Hochschule fur Elektro-
technik groien Anteil nehmen. Ich danke Ihnen
dafiir and bitte Sic, weiterhin alle Krafte dafiir ein-
zusetzen, daB Studierende and Wissenschaftler aus
dem In- and Auslande in Zukunft den Namen der
Hochschulstadt Ilmenau mit Achtung aussprecheu.
Meine Damen and Herren!
Die Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau wird zu
einem Zeitpunkt gegriindet, in dem unser Vaterland
noch in zwei Teile gespalten ist.
lm Westen unserer Heimat gibt es ebenfalls Hoch-
schulen, studieren ebenfalls Studenten and lehren
auch Professoren. Doch ein sehr grocer Unterschied
besteht zwischen den Hochschulen unserer Republik,
der bei uns betriebenen Forschungsarbeit and der
wissenschaftlichen Entwicklung in Westdeutschland.
Bei uns dient die Wissenschaft einer friedlichen Ent-
wicklung zur schnellen, sichtbaren Hebung des Wohl-
standes unseres Volkes. Bei uns werden neue Schulen,
neue Hochschulen in wenigen Jahren errichtet, die
dem menschlichen Fortschritt dienen. Bei uns nimmt
die Wissenschaft, die ja nur im Frieden gedeiht and
sich entwickelt, daher einen grol3en Aufschwung. Alle
Erleichterungen, die nur irgend denkbar sind, wurden
and werden den wissenschaftlichen Fachkraften
durch Gesetze and Verordnungen der Regierung ge-
wahrleistet. Das Lernen an unseren Schulen macht
sehr viel Freude, denn die Regierung unterstiitzt
unsere Studenten durch Stipendien and andere MaB-
nahmen fiirsorglich.
In Westdeutschland wird zum grof3ten Teil die Wissen-
schaft in den Dienst der Kriegsvorbereitungen ge-
stellt. Eine Wissenschaft aber, die nicht dafiir arbeitet,
daB dem Menschen das Leben leichter and schoner
gemacht wird, sondern dem Tod and der Zerstorung
von Produktivkraften dient, hort auf, Wissenschaft
zu sein.
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Ansprachen anlaBlich der Eroffnung der Hochschule
Es ist eine allgemein bekanute and unbestreitbare
Tatsache, daB in den kapitalistischen Landern, so
auch in Westdeutschland, die Hochschulen in der
Regel nur von den Sohnen and Tochtern der herrachen-
den Klassen and beguterten Schichten besucht werden
konnen. Dort ist wenig Platz fur das Studium von
Arbeiter- and Bauernkindern. Bei uns studieren da-
gegen die besten Sohne and Tochter unserer Arbeiter,
Bauern and Intelligenz an den Hochschulen. - Unter
den heute zu immatrikulierenden Studenten befinden
sick 64% Arbeiter- and Bauernkinder, 14% Kinder
der schaffenden Intelligenz and 22% Sohne and
Tochter aus den ubrigen Kreisen der Bevolkerung.
Es ist notwendig, die Hochschule Ilmenau besonders
auch zu einer Bildungsstatte im Kampf um die
Schaffung eines einheitlichen and friedliebenden
Deutschlands zu machen. Entsprechend den guten
Traditionen der deutschen Wissenschaft ist deshalb
eine enge Verbindung mit all den Wissenschaftlern
in Westdeutschland zu erstreben and zu pflegen, die
eine solche friedliche Wiedervereinigung unseres
Vaterlandes auf demokratischer Grundlage als ihre
hochste patriotische Pflicht ansehen. Diese Pflege
gesamtdeutscher Beziehungen auf wissenschaftlichem
Gebiet wird ohne Zweifel zu einer Befruchtung der
wissenschaftlichen Lehre and Forschung and einer
schnelleren Verstandigung der deutschen Menschen
untereinander beitragen.
Liebe Studenten!
Die Regierung der Deutschen Demokratischen Re-
publik hat Ihnen Ihr Studium and die freie Entwick-
lung all Ihrer Fahigkeiten ermoglicht. Betrachten Sie
es als Ihre Hauptaufgabe, ausgezeichnete Studien-
leistungen zu erzielen and die Wissenschaften der
Sowjetunion fur Ihre Arbeit auszuwerten. Damit
werden Sic die Voraussetzungen dafiir schaffen, da13
Sie bereits schon wahrend des Studiums in Ihrer
gesellschaftlichen and fachlichen Arbeit and ganz
besonders nach dem Studium die Regierung der
Deutschen Demokratischen Republik bei der Losung
ihrer vielseitigen Aufgaben unterstiitzen konnen.
Sehr geehrter Herr Prof. Dr. Stamm!
Verehrte Dozenten!
Die Regierung der Deutschen Demokratischen Re-
publik schenkt Ihnen auf Grund Ihrer auBerordent-
lichen Verdienste, die Sie sich in den vergangenen
Jahren erworben haben, das groBe Vertrauen, junge
Kader mit Hochschulbildung fur unsere sozialistische
Wirtschaft auszubilden. Gestalten Sic die neue Hoch-
schule fur Elektrotechnik zu einer Bildungsstatte, an
der die Traditionen der fortschrittlichen Wissenschaf-
ten Deutschlands and such des Auslandes, insbe-
sondere der Sowjetunion, gepflegt werden. Erziehen
Sic Ihre Studenten zu aufrechten Menschen, die
anderen friedliebenden Volkern Achtung entgegen-
bringen. Erziehen Sic die Ihnen anvertrauten jungen
Studenten zu ausgezeichneten Fachleuten auf ihrem
Gebiet, die selbstbewuBt and in Liebe zur Heimat
ihre ganze Kraft fur die Entwicklung eines neuen
and schoneren, einheitlichen, demokratischen and
friedliebenden Deutscblands einsetzen.
Sehr geehrter Herr Prof. Dr. Stamml
Ich begluckwnnsche Sic zu Ihrer Berufung als Rektor
der neuen Hochschule fur Elektrotechnik, die ich
hiermit eroffne. Ich bin gewiB, dalI Sie die Wissen-
schaft an dieser Hochschule zur vollen Mite entfalten
werden and wnnsche Ihnen dazu vollen Erfolg.
Ansprache des Hauptabteilungsleiters im Staats-
sekretariat fur Hochschulwesen
Herrn Franz Wohigemuth
(Gekurzte Wiedergabe)
Ich babe die Ehre and die Freude, diese festliche
Versammlung im Namen and im Auftrag des Staats-
sekretariats fur Hochschulwesen zu begriiBen.
Dieser Tag hat eine groBe Bedeutung fur die Ent-
wicklung der deutschen Hochschulen allgemein and
fur die Entwicklung des wissenschaftlichen Lebens
in der Deutschen Demokratischen Republik im be-
sonderen.
Fur unsere gesellschaftliche Entwicklung ist die
Wissenschaft and sind die wissenschaftlich ausge-
bildeten Fachleute die erste Voraussetzung. Ohne
wissenschaftliche Erkenutnisse and ohne Wissen-
schaftler konnten wir auf keinem Gebiet unseres
Lebens, sei es in der Industrie, in der Landwirtschaft,
in der Wirtschaft, dem Gesundheitswesen and der
Politik, nennenswerte Fortschritte zum Wohle des
Volkes erzielen. Je besser die Menschen verstehen,
die Gesetze der Natur zu erkennen and zu beherrschen,
um so leichter werden sic es verstehen, die Krafte
der Natur and der Gesellschaft zum Wohle der Mensch-
heit planvoll and fur friedliche Zwecke anzuwenden,
d. h. sich diese Krafte dienstbar zu machen.
Diese Feststellung Wirklichkeit werden zu lassen,
arbeitet and kampft die Regierung der Deutschen
Demokratischen Republik unermudlich. Aus kicinen
Anfangen des Jahres 1945 sind unsere alten Universi-
taten and Hochschulen zu Vorbildern echter wissen-
schaftlicher Erfolge geworden. Unermudlich ist die
Fiirsorge der Regierung fur ihre Wissenschaftler, die
uns helfen, die Plane zur Hebung des Wohlstandes
unseres Volkes zu verwirklichen. Unser Volk achtet
and ehrt in semen Nationalpreistragern die besten
Patrioten.
Unermudlich ist auch die Sorge unserer Regierung
fur ihre Studenten. Ein gesichertes Studium in zwei-
facher Hinsicht ist ihnen garantiert. Materiell ohne
Sorge konnen sic Bich dem Studium widmen. Ohne
Sorge auch fur eine gesicherte Arbeit konnen sic ihr
Studium beenden and ausgeriistet mit bestem Fach-
wissen ins Leben treten.
Von den Kaisern, den Papsten and den Fiirsten haben
vor vielen Jahrhunderten die Universitaten ihre
Grindungsurkunden erhalten. In diesen alten Uni-
versitaten wurden die Beamten der Herrscher and die
Geistlichen ausgebildet. Es war ein wichtiger Schritt
in der Geschichte der Wissenschaft, als durch das
junge Biirgertum den modernen Naturwissenschaften
der Weg geebnet wurde and die Sohne der Bourgeoisie
die Universitaten besetzten. Die Geschichte ist weiter-
gegangen. Unsere Universitaten and Hochschulen
erhalten heute ihre Legitimation zur wissenschaft-
lichen Arbeit von unserer Arbeiter-und-Bauern-Macht.
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Anspraehen anlaf3lich der Eroffnurig der Hochschule
Unter der sicheren Fiihrung der Partei der Arbeiter-
klasse hat unsere Regierung die Universitaten zu
wirklichen Hohen Schuler des Volkes gestaltet.
Heute studieren in den vielen wissenschaftlichen
lnstituten unseres Landes die Kinder von Arbeitern
and Bauern, dereu Eltern nie von ciner Hochschul-
hildung zu traunren gewagt hatten. Sic studieren in
groBer Zahl, and ilire Erfolge sind unser Stolz so sehr,
wie unsere Fursorge fur sie ihnen die Verpflichtung
zu ernsthaftem Studium and groBen Leistungen selhst-
verstandlich macht.
Welche Entwicklung die Hochschulbildung in unserer
Republik dank der Hilfe der Regierung genommen
hat, zeigt schon die Tatsache, daB in Westdeutschland
auf 1000 Burger 2,6 Studierende entfallen, wahrend
unsere Deutsche Demokratische Republik auf 1000
Menschen bereits 4,1 Studierende aufzuweisen hat.
Zu einem der wesentlichsten Probleme der Verwirk-
lichung des neuen Kurses unserer Regierung, der den
Frieden, die Einheit Deutschlands and den Wohl-
stand des Volkes zum Inhalt hat, gehort die rasche
Heranbiidung von Wissenschaftlern. Daher hat der
Ministerrat den BeschluB zur Bildung neuer Hoch-
schulen and zur Erweiterung der bestehenden Uni-
versitaten and Hochschulen gefaBt. Je rascher es uns
gelingt, die Zahl der Wissenschaftler in alien Zweigen
des gesellschaftlichen Lebens zu vergroBern, desto
rascher werden wir unser weitgestecktes Ziel er-
reichen.
1)iese heute eroffnete Hochschule fur Elektrotechnik
ist die jiingste Hochschule im Kreis der altehrwurdigen
wissenschaftlichen Institutionen. Sic ist eine der
crsten Hochschulen, die nach dem Plan der Regierung
gegriindet ist.
Es kann daher nicht verschwiegen werden, daB be-
sondere Anerkennung denen zu gehen ist, die sich so
ernsthaft and leidenschaftlich fur die groBe Aufgabe
eingesetzt haben. Der Dank gebuhrt Ihnen, Herr
Minister Wunderlich, and Ihren Mitarbeitern, cr ge-
hiihrt den Herren Professoren der Technischen Hoch-
schule Dresden, die sich heratend mit bemiihten, er
gebuhrt Ihren, Herr Professor Dr. Stamm, derv die Ge-
schafte ernes Rektors ubertragen sind. Der Dank
gebiihrt den Verwaltungsorganen and den Biirgern
aus Ilmenau, die ihren Stolz darin sehen, diese neue
Hochschule zu ihrer Hochschule zu machen.
Es heil3t, an die Arbeit gehen! Noch vieles wird zu tun
scin, his die Hochschule als Ganzes steht. Wit wunschen
Ihren alien Gluck bei diesem groBen Vorhaben.
Wir sind uberzeugt, daB durch die gemeinsame Arbeit
der Professoren, der Wissenschaftler and der Stu-
denten der Tag schneller aufgehen wind, an dem die
Menschen das alte Kampflied der unterdriickten
Arheiter verwirklicht haben, in dem es heiBt:
?Ist die letzte Schlacht geschlagen, Waffen aus der
[Hand,
schlingt urn die befreite Erde briideriiches Band.
Hort ihr froh die Sichel rauschen in dem Erutefeld ?
Arbeit, Brot and Volkerfrieden, das ist unsre Welt."
Ich babe die Ehre, Ihnen Herr Professor Dr. Stamm, an
diesem feieriichen Tage als dem ersten Rektor der
neugebildeten Hochschule fur Elektrotechnik in
Ilmenau das Amtszeichen des rector magnificus, die
Kette, zu ubergeben, (lie Sic von Rektor zu Rektor
weitergeben werden als Ausdruck der hohen akademi-
schen Verantwortung.
Mogen Sic diese Kette tragen zurn Ruhme der fort-
schrittlichen deutschen Wissenschaft!
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Wissenechaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ihnenau ? 1 (1954/55) Heft 1 ? Herausgeber: Der Rektor
I. Fakultat fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 1
Institut fur Mathematik and Mechanik, Direktor Prof. Dr. Karl Bogel
Als Manuskript gedruckt! DK 517.5: 517.131 : 519.52
Eingang: 21. 9. 1954
Die Struktur der stetigen Funktionen einer Veranderlichen
Von Prof. Dr. rer. nat. Karl Bogel
I)ic vorliegende Abhandlung ist der Extrakt aus einer
grof3eren Arbeit, welche demnachst im Druck er-
scheinen wird. Sic gibt die wesentlichen Ergebnisse,
aber ohne Beweise, wieder.
Herr O. Haupt [1] hat den folgenden Struktursatz
fiir ebene stetige Kurven aufgefunden:
?Jeder stetige Kurvenbogen x = x (t), y = y (t) setzt
sich aus hochstens abzahlbar vielen Strecken, primi-
tiven Bogen zweiter Ordnung (,,Konvexbogen") and
primitiven Bogen der Ordnung Unendlich sowie den
Haufungspunkten dieser Teilstiicke zusammen."
[mplizite enthalt dieser Satz die Aussage, daB die-
jenigen Parameterwerte t, welche zu Kurvenpunkten
der endlichen Ordnungen n > 2 gehoren, im Varia-
hilithtsbereich von t nirgends dicht liegen.
Die nachstehenden Ergebnisse wurden vom Verfasser
in Unkenntnis des schenen Hauptschen Satzes er-
reicht; sie erganzen diesen Satz fur den Spezialfall
der stetigen Funktionen y = f (x) in einem wesent-
lichen Punkte, indent sie die Feinstruktur der Kurve
in den Bogenstiicken der Ordnung Unendlich klar-
stellen.
Dariiber hinaus ergibt sich aus ihneu eine einheitliche
Konstruktionsmethode, welche samtliche stetigen
Funktionen liefert, and schlieBlich folgen aus ihnen
auch die Einschrankungen, die man dieser Konstruk-
tionsmethode auferlegen muB, um stetige nicht-
differenzierbare Funktionen zu erhalten.
? 1. Die Struktursiitze
[n dem Begriff des Punktes zweiter Ordnung ist die
Forderung enthalten, daB eine gewisse Umgebung
dieses Punktes nur Streckenpunkte oder Punkte
zweiter Ordnung enthalt. Dieser Begriff ist also vom
Charakter der Punkte einer Umgebung abhangig.
Wir ersetzen ihn durch denBegriff des ,Hauptpunktes".
Wir nennen einen Punkt xo des Definitionssegmentes
von f (x) dann einen Hauptpunkt von f (x), wenn es
eine Umgebung U von xo and eine lineare Funktion
L (x) = f (x0) + in (x-x0) gibt derart, daB entweder
fur alle Punkte if x U all' der einen Seite von xe
X xo
die Ungleichung
f (x) < L (x),
auf der anderen Seite wenigstens
f (x) < L (x),
[1] 0. Haupt, Uber die Struktur reeller Kurven. J. f. d. reine
u. angew. Math. 164 (1931) S. 60.
fur alle Punkte I x U ' auf der einen Seite
die Ungleichung
f (x) > L (x),
auf der anderen Seite wenigstens
gilt.
f (x) > L (x)
Im ersten Fall nennen wir xo einen konkaven Haupt-
punkt (Konkavpunkt), im zweiten Fall einen kon-
vexen Hauptpunkt (Konvexpunkt) der Funktion f (x).
Die beiden Falle schlieflen sich offensichtlich gegen-
seitig aus. Gilt in einer Umgebung U von xu die
Identitat f (x) = L (x), so hei le xe ein Linearpunkt
der Funktion f (x).
Ist x0 weder Hauptpunkt noch Linearpunkt der
Funktion f (x), so heiBe x(, ein Restpunkt dieser
Funktion.
Nun sei J = [a, b] das Definitionssegment 1) volt
f (x). Dann setzen wir fest, daB die beiden Randpunkte
x = a and x = b als Hauptpunkte mitgezahlt werden,
aber als gewissermaBen ,neutrale" Hauptpunkte, die
weder Konkav- noch Konvexpunkte sind.
Wir bezeichnen jetzt mit
H(f, J) die Menge der Hauptpunkte von f in J,
J (f, J) die Menge der Linearpunkte von f in J,
R (f, J) die Menge der Restpunkte von f in J,
H+ (f, J) die Menge der Konvexpunkte von fin J,
H-- (f, J) die Menge der Konkavpunkte von fin J.
Diese fiinf Mengen sind fiir jede endliche Funktion
f (x) wohldefiniert, and zwar gehort jeder Punkt
x c J einer and nur einer der vier Mengen ,1, R,
H+, H- an. Uber ihre Strukturen laBt sich, wenn
wir nur Endlichkeit der Funktion f (x) voraussetzen,
im ailgemeinen nichts aussagen. Nur fiir die Menge
,1 (f, J) gilt stets der
Struktursatz 1. ?Die Menge .1 (f, J) ist stets offen."
Engen wir aber die Voraussetzung dahingehend ein,
daB f (x) in J stetig ist, so erhalten wir
Struktursatz 2. ?Ist f (x) in J stetig, so ist
H (f, J) eine F? -Menge auf j,
R (f, J) eine GA'-Menge auf J."
Die drei in Tabelle (1) an letzter Stelle stehenden
Mengen sind durch eine eigenartige Beziehung an-
einander gekoppelt: jeder Restpunkt ist Haufungs-
punkt sowohl von Konvex- als auch von Konkav-
punkten. Es ist also
(2) R (f, J) C [H+ (f, J)]' and R (f, J) C [H- (f, J)]'.
1) Wir verstehen unter J stets offene Intervalle, unter J
Segmente (abgeschlossene Intervalle).
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Enthalt die Funktionskurve y = f (x), was nach dem
Hauptschen Satze moglich ist, einen primitiven Bogen
zweiter Ordnung, so sind alle zu diesem Bogen ge-
horigen Abszissenwerte x entweder Konvexpunkte
oder sie sind alle Konkavpunkte. Ist J, das von diesen
Abszissen gebildete Intervall, so ist demnach
(3) entweder H+ (f, J1) = J1
oder H (f, J1) = J1.
In jedem dieser beiden Falle nennen wir die Funktion
f (x) ,in J1 einwendig".
Nun enthalte die Funktionskurve einen primitiven
Bogen der Ordnung Unendlich; die zugehorigen
Abszissen bilden dann ein Teilintervall J1 = (al, b1)
des Segmentes J. In diesem Falle gelten stark ein-
engende Strukturverhaltnisse, namlich der
Struktursatz 3. ,Ist die Funktionskurve y = f (x) im
Intervall J1 von der Ordnung Unendlich, so ist
(4 a) jede der beiden Mengen H4 (f, J,) and
H (f, J,) auf Jl einerseits iiberall dicht, anderer-
seits von der ersten Kategorie,
(4b) die Menge R (f, J,) eine Residualmenge (also
a fortiori iiberall dicht),
(4c) die Menge -I (f, J1) leer."
Eine derartige Funktion f (x) heil3e ,in J1 iiberall
doppelwendig".
Der Hauptsche Satz besagt dann:
,,Ist f (x) in J stetig, so gibt es eine auf J dichte offene
Menge M von folgender Beschaffenheit: ist J1 eine
Komponente von M, so ist f (x)
entweder in J1 linear (J1 = ,l (f, J1))
oder in J1 einwendig (J1 = 114- (f, J1)
bzw. J1 = H (f, J1))
oder in J1 iiberall doppelwendig (Strukturen gemaB
Struktursatz 3)".
? 2. Vorbereitung fur die einheitliche Konstruktion
der stetigen Funktionen
1. Ist J = [a, b] ein beliebiges Segment, so verstehen
wir unter
C (J) die Menge aller in J stetigen Funktionen f (x),
CO (J) die Menge derjenigen zu C (J) gehorigen
Funktionen f (x), fur welche
(5) f (a) = f (b) = 0
1st,
C1 (J) die Menge derjenigen zu C11 (J) gehorigen
Funktionen f (x), fur welche
(6) f (x) ? 0
ist.
Dann haft sich die Konstruktion aller zu C (J) ge-
horigen Funktionen mit Hilfe zweier elementarer
Schritte auf die Konstruktion aller zu C1 (J) gehorigen
zuriickfiihren.
Ist namlich f (x) C1 (J), so sei N die Menge der in J
vorhandenen Nullstellen von f (x). Diese Menge ist
nicht leer, weil sie mindestens die beiden Punkte
x = a, x = b enthalt; sie ist auBerdem abgeschlossen
auf J, weil f (x) stetig ist. Die Komplementarmenge
E = J\N ist offen and besteht (wenn sie nicht leer
1st) aus abzahlbar vielen Komponenten. Fur x FE ist
f (x) > 0.
Ersetzen wir in einer oder mehreren oder alien Kom-
ponenten von E die Funktionswerte f (x) durch die
Werte f (x), so erhalten wir alle diejenigen Funk-
tionen cp (x) E Co (J), fur welche.
(7) 1 'p (x) I = f (x)
ist; die Stetigkeit der Funktionen p (x) ist dabei
durch die Stetigkeit von f (x) gesichert.
Man erhalt auf diese einfache Weise, wie man sich
leicht iiberzeugt, aus alien Funktionen der Klasse
C1 (J) alle Funktionen der Klasse Co (J) : C1 (J).
Ebenso einfach erhalt man aus den Funktionen der
Klasse C? (J) diejenigen der Klasse C (J). Ist nam-
lich rq (x) ~ Co (J) and ist 1 (x) eine beliebige lineare
Funktion, so gehort die Funktion
(8) V (x) = w (x) + 1 (x)
zu C (J). LaBt man in (8) die Funktion 99 (x) die
Menge C, (J), die Funktion 1 (x) die Menge aller
linearen Funktionen durchlaufen, so durchlauft y, (x)
die Menge C (J) genau einmal. Das folgt daraus, daB
es fur jede Funktion y~ (x) = C (J) eine eindeutige
Zerlegung (8) gibt, wobei
(9)
ist.
y' (b) - j, (a)
1(x)=1P (a)+(x-a) b-a
2. Nach Struktursatz 2 ist H (f, J) stets eine F?- Menge
auf J, welche definitionsgemaB die Randpunkte von J
enthalt.
Aber auch die Umkehrung ist richtig:
Satz 1. ?Ist F eine F?-Menge auf J = [a, b], and ist
a F F, b ' F, so existieren stets Funktionen
f (x) ( C1(J) CC (J), fur welche
(10) F = H (f, J)
gilt."
Wir konnen also einer zu konstruierenden Funktion
f (x) ( C, (J) die Menge ihrer Hauptpunkte inner-
halb der Bedingungen, daB diese Menge eine F?-Menge
sei and die beiden Randpunkte x = a, x = b enthalte,
beliebig vorschreiben.
3. Fur jede derartige F?-Menge gilt
Satz 2. ?Es sei F eine F?-Menge auf J = [a, b], and
es sei a (- F, h F F. Dann 15Bt F Darstellungen von
der Form
(11) F = U Sn
n=o
zu, die folgenden vier Bedingungen geniigen:
(12 a) 5,, besteht aus den beiden Punkten x = a,
x=b;
(12b) jede Menge S. ist auf J abgeschlossen;
(12c) Sn C Sn{ 1 (n 0).
Zur Formulierung der vierten Bedingung sei En die
(offene) Komplementarmenge von Sn; sic besteht,
wenn sic nicht leer ist, aus einer abzahlbaren Reihe
von Komponenten {J,,,} (s = 1, 2, ...).
Fur jede Komponente J, lautet dann die vierte
Bedingung:
(12d) es ist s, I IJn.s dann and nur dann leer,
wenn F f Jn.e leer ist."
Eine Darstellung (11) der Fc-Menge F, welche den
Bedingungen (12 a) . . . (12d) geniigt, nennen wir eine
,,kanonische" Darstellung von F.
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4. Nun sei A CJ abgeschlossen, and es sei a C A,
b . A. Die Komplementarmenge von A sei E. Dann
ist es ein leichtes, solche Funktionen f (x) C C1 (J)
zu konstruieren, fur welche
(13 a) H- (f, J) = A
(13b) J (f, J) = E
ist.
Man nehme beispielsweise eine nur aus Konkav-
punkten bestehende Funktion rp (x), fur welche
(14) q, (a) = r%' (b) = 0
ist (etwa den Halbkreis tiher J) and setze
(15 a) f (x) = q, (x) fur x C A,
(15b) f (x) linear in jeder Komponente von E.
Dabei konnen wir noch der Funktion f (x) die GroBe
ihres Maximalwertes in J vorschreiben.
Alle Funktionen f (x) C CI (J), welche den Bedingungen
(13 a) and (13b) genngen and einen gemeinsamen
Maximalwert m -> 0 haben, fassen wir zu einer Menge
zusammen, die wir mit
(16) D (J, A, m) bezeichnen.
Es gibt einen Sonderfall dieser Konstruktion: be-
steht A nur aus den beiden Punkten x = a, x = b,
so ist notwendig m = 0.
Die Menge (1) enthalt , dann nur eine Funktion f (x),
namlich f (x) -- 0.
5. SchlieBlich fiihren wir noch einen weiteren leicht
zu konstruierenden Funktionstypus aus CI (J) ein.
Es seien S,--j CSn zwei abgeschlossene Mengen auf
j = [a, b], and es sei a Sn _1, b S- 1.
Die Komplementarmenge von Sn--1 sei E.-- 1, ihre
Komponenten seien Jn_ 1,.. Dann ist der Durch-
schnitt j. n Sn auf Jn_1,s abgeschlossen; wir be-
zeichnen diesen Durchschnitt mit S,,,. Nun kon-
struieren wir alle Funktionen f (x), die folgenden Be-
stimmungen genngen:
(17) f(x)=0furxCSn_1
(18) f (x) (Jn l,s, Sn.s, nln,s) auf Jn_
Ist die Anzahl der Komponenten J,--,,, endlich, so
lassen sich die Werte mn., innerhalb der Bedingung
mn,, > 0 beliebig wahlen.
Ist aber die Anzahl 'der Komponenten Jn__l,e unend-
lich, so tritt zu (18) aus Stetigkeitsgriinden noch die
Forderung
(19)
hinzu.
Alle die den Forderungen (17), (18) and - wennnotig -
auch (19) geniigenden Funktionen fassen wir zu einer
Menge C
(20) X (J, Sn 1, Sn, nln.,)
zusammeu.
? 3. Die einheitliche Konstruktion alter Funktionen
f (x) C Cl (J)
Die Konstruktion jeder Funktion f (x) C CI (J) voll-
zieht rich nunmehr in folgenden Schritten:
1. Wir wahlen eine beliebige Fa-Menge F auf J =
[a, b], welche die Punkte x = a, x = b enthalt.
2. Wir wahlen nach ? 2, Satz 2 eine kanonische Dar-
stellung der Menge F.
3. Wir wahlen irgendeine positive, monoton nicht zu-
nehmende Nullfolge {mn}. Es sei also
(21 a) m~ > mn{ I > 0 1
(21b) lim mn = 0
(n = 1, 2, 3, ...).
4. Jedem festen Wert n ordnen wir eine positive Null-
folge Imn,,', , (s = 1, 2, 3, ...) zu, die den Be-
dingungen
(22 a) mn,l = Inn
(22b) 0 - mn,, < mn (n > 2)
(22c) lim m, = 0
geniigt.
5. Wir wahlen eine Funktionenfolge {fn (x)} (n = 1,
2, 3, ...), die folgenden Bedingungen geniigt:
(23 a) f1 (x) C `h (J, S1, m1)
(23b) fn (x) (X (J, S,, , Sn, m,,,) fur n > 2.
6. Dann ist
Oc
f (x) = E(- 1)0+l fn (x)
n-1
eine Funktion aus Cl (J); and jede Funktion aus C1 (J)
1513t rich auf diesem Wege erzeugen.
Bemerkung 1. Fur die so erhaltene Funktion f (x) ist
(24 a) H (f, J) = F.
Dariiber hinaus ist aber - unter Verwendung der
Bezeichnung H. in (13) - noch genauer
(24b) H (f, J) U1 H2,_ ~
(24c) H+ (f, J) = U H2,.
r--1
Bemerkung 2. Eine in J uberall doppelwendige Funk-
tion f (x) erhalten wir dann and nur dann, wenn F von
erster Kategorie auf J and uberall dicht auf J ist.
Es ist in diesem Falle jede der abgeschlossenen
Mengen Sn nirgends dicht auf J.
Bemerkung 3. Ist speziell eine bestimmte Funktion
f (x) Cl [J] gegeben, so sind in ihrer Konstruktion
sowohl die Menge F als auch die kanonische Dar-
stellung von F, als auch schlieBlich die Funktionen-
folge (fn} eindeutig bestimmt. Die Konstruktion von f (x)
ist also vollkommen eindeutig.
Beispiel 1. Es sei f (x) = 1 - x2 im Segment J =
[- 1, + 1]. Dann ist
Sn = J fur n > 1, also E. = J\,Sn leer fur n 1;
f1 (x) = 1 - x2; fn (x) = 0 fur n 1.
Beispiel 2.
Es sei f (x) = 1 --- x9 im Segment .1 + l].
Dann gilt:
Sl besteht aus den Punkten x = - 1, x = 0, x = +1;
El besteht aus den beiden Intervallen (- 1, 0) and
(0, + 1);
S. = J and En leer fur n > 2;
fl (x) = x+l fur x [-1,0];
fl (x) - -x+l fur x C [0, +1];
f2(x)- -x-xifiirxC[-1,0];
f2 (x) -= x - x? fur x c [0, + 11;
fn (x) = 0 fiir n > -3.
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Wir geben nosh ein einfaches Beispiel, in welchem
keine der Mengen E? leer and daher keine der Funk-
tionen f? (x) identisch Null ist:
Be, spiel 3. Es sei f (x) = 3 x3 - 4 x -{- ~, im Seg-
ment J = [- 1, -1 1]. Diese Funktion hat an der
Stelle x = 0 cinen Wendepunkt, der wie jeder
Wendepunkt - zu der Menge R (f, J) gehort.
I)as Auftreten eines einzigen Restpunktes hat aber
(wie sich beweisen lal3t) sofort zur Folge, daB keine
der Dlengen E? leer ist, and daB keine der Funk-
tionen f? (x) identisch verschwindet.
In unserent Falle besteht
St aus dem Segment and dem Punkte x 4 ;
S? fiir ungerade Indizes n 3 aus den beiden
4
Segmenten 1-- z , 3 2, +t
and
r 4
L3 2i1, :i]
S? fur gerade Indizes n 2 aus den beiden
S
4
and
egmenten
Es ist somit
2n
3
3 2"
Et -
Fiir ungerade Indizes n > 1 ist
4 4
3.2?+t' + 3.2'
Mr ungerade Indizes n 2 aber
4 4 `
E, __ ---
3sn' 3.2nsi '
Scltlief3lich ist
ft (x) = f (x) fiir x S,;
f, (x) linear auf E,, and fiir n 2:
G (x) = 0 fiir x S? I;
f? (x) f '(x) - f? , (x) fir x S?
f? (x) linear auf E,,.
Ubrigens ist jeder Wendepunkt, da er ja zu R (f, J)
gehort, ein handgreifliches Beispiel fiir die Bezie-
hung (2).
? 4. I)ie einheitliche Konstruktion aller F'unktionen
f (x) C (J)
Mau koustruiere nach der Methode von ? 3 eine be-
liebige Funktion q' (x) Ct (J). Die Menge N ihrer
Nullstellen ist abgeschlossen auf J, auf der offenen
Komplemcntarmenge E J~,N ist ip (x) 0.
Nun konstruiere man tfo (x) C0 (J), indem man auf
cuter beliebigen (eventuell leeren) Auswahl von Kom-
ponenteu der Menge E setzt V) (x) -- ry (x), iiberall
sonst aber y, (x) - 9 (x).
SchlieBlich addiere man zu V (x) eine beliebige lineare
Funktion 1 (x), so ist tp (x) -{- 1 (x) - f (x) C (J);
and jede Funktion f (x) C C (J) laf3t sich auf diesern
Wege konstruieren.2)
1) Wahrend des Druckes gelang es dem Verfasser, die in den
?? 3 and 4 cuthaltene Konstruktion noch weiter zu ver-
einfachen. Diese vcreinfachte Konstruktion wird in dem
aagekundigten grof3eren Bericht enthalten sein.
? 5. Die Bedingungen fiir die Nichtdifferenzierbarkeit
Soil f (x) Ct (J) in J = (a, b) nirgends differenzierbar
sein, so ist notwendig, daB f (x) in J iiberall doppel-
wendig ist. Wiirde ein Linearitiitsabschnitt Jt E.J
existieren, so ware f (x) uberall in Jt differenzierbar;
wiirde ein Abschnitt Jt existieren, in welchem f (x)
uberall einwendig ware, so wurde f (x) fast uberall
in Jt differenzierbar sein.
Ist f (x) ' Ct (J) in J nirgends differenzierbar, so gilt
daher fur die Struktur der Mengen S? die Bemerkung 2
des ? 3.
Jede Menge S? ist auf J abgeschlossen and nirgends
dicht, jede Menge E? offen and iiberall dicht auf J.
Nun sei F eine iiberall dichte F?-Menge erster Kategoric
co
auf J, mit a F, h F, and es sei U S? eine
n- I
kanonische Darstellung von F. Dann ist jede Menge S?
in der Tat nirgends dicht auf J.
Nun konstruieren wir nach dem Verfahren des ? 3
mit Hilfe dieser nirgends dichten Mengen S? eine
Funktion f (x) CC, (J). Urn zu erreichen, daB diese
Funktion nirgends differenzierbar in J ist, mussen
wir den Nullfolgen jm,,,, and {m,,,,j bestimmte Be-
dingungen auferlegen.
Die (endliche oder unendliche) Folge Jn,, (s = 1, 2,...)
bedeutete die Folge der Komponenten der offenen
Menge En. Das MaB von Jn,, (also die Lange dieses
Intervalls) bezeichnen wir mit ii,,,,.
Fur jeden festen Index n gibt es mindestens cinen
Index s (n), fur welchen h,,,, ein Maximum ist.
Wir bezeichnen dieses Maximum mit t? 0. Weil F
dicht auf J ist, ist
(25)
n lW
Nunmehr bilden wir fur jede Komponente J?_, den
Quoticnten
qn.,
P n.,
alle these Quotienten sind wegen in,, 0, un.~ - 0
positiv.
In einem Falle konnen wir nun fur die Nichtdifferen-
zierbarkeit eine einfache Bedingung angeben: wenu
namlich jede der offenen Mengen E, nur aus endlicli
vielen Komponenten Jn,, (s - 1, 2, . . . t (n)) be-
steht, dann gibt es bei festgehalteuem Index it
unter den Quotienten qn,, einen kleinsten Wert,
den wir mit qn 0 bezeichnen. 1)ie Bedingung fiir
die Nichtdifferenzierbarkeit von f (x) lautet in diesetn
Falle
(26)
n -c
Ist aber die Anzahl der Komponenten von En fiir
it N unendlich, oder - was dasselbe ist besteht
die Menge S. fur n > N aus unendlich vielen Punkten.
so hangen die Bedingungen fur die Nichtdifferenzier-
barkeit vom MaB der Menge F ab; sic verscharfen
sich, wenu F positives MaB besitzt.
Im einzelnen sei die Wiedergabe der Bedingungen
dem spateren Bericht vorbehalten.
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1. Fakultat fiir Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 2
Institut fiir Mathematik and Mechanik, Direktor Prof. Dr. Karl Bogel
Als Manuskript gedruckt! DK 532.612.4: 517.919
Eingang: 9. 8. 1954
Kapillare Erscheinungen an der Kugel
(zur Bestimmung der Oberflachenspannung von Fliissigkeitenl))
Von Dr. phil. Karl Lattermann
Herr B. Hartmann [1] hat kapillare Erscheinungen
mit dem Ziel der Bestimmung der Oberflachen-
spannung von Fliissigkeiten an verschiedenen Korpern
untersucht, unter anderem an einem horizontal
hangenden Kreiszylinder. Diese Arbeiten legen es
nahe, den besonders geeigneten Fall der Kugel in den
Bereich der Betrachtungen einzubeziehen.
Fragen der Anwendungen, insbesondere Schmierungs-
probleme, fordern den mathematischen Ausbau dieses
Wissenschaftszweiges. Friiher bemuhte man sich ver-
geblich um geschlossene Losungen der auftretenden
Differentialgleichungen (z. B. Gaul3). Heute bedeutet
es einen Fortschritt, wenn die Ergebnisse als Reihen
erscheinen, bzw. wenn sich an geschlossene Haupt-
glieder Korrektionsglieder in Gestalt von Reihen an-
schliel3en. Wie man sehen wird, unterscheiden sich
die auf die Kugel bezogenen Losungen von denen
beziiglich eines Kreiszvlinders durch solche Korrek-
tionsreihen.
Fiir die notwendig werdenden Messungen (des Wulst-
maximums, s. u.) existiert eine eigens fur diesen
Zweck konstruierte Waage. Diese Messungen fiihren
Beim horizontal hangenden Kreiszylinder naturgemaB
wegen der Unbestimmtheit der Wulstmasse an. den
Zvlinderenden zu Ungenauigkeiten. Diese fallen bei
der Kugel fort, so daB durch die hier aufgestellten
Formeln erst eine genaue Bestimmung der Ober-
flachenspannung moglich wird.
Es handelt sich im einzelnen darum, die Differential-
gleichungen fur die Meridiankurve der Oberflache des
durch eine Kugel infolge der Kapillaritat gehobenen
Flassigkeitswulstes aufzustellen, these Gleichungen
enter Beriicksichtigung der Randbedingungen zu
integrieren, die Masse des Wulstes fur den Fall zu
berechnen, daB die Kugel eine (weit ausgedehnte)
Flnssigkeitsoberflache beriihrt, das Maximum der
Wulstmasse fur den Fall der Senkung des Flussig-
keitsspiegels festzustellen and aus diesem Maximal-
wert die GroBe der Oberflachenspannung der Flussig-
keit zu bestimmen.
Bekanntlich lautet die erste Hauptgleichung der
Kapillaritat
1. 1 (
~
(1) R -I a z, wobei Rt and R2 die beiden
1 2
Weiter ist
(2) a = g; y ist die Oberflachenspannung der Flixssig-
keit gegen Luft, g die Schwerebeschleunigung. Die
Gleichung (1) geht fur die Kugel als wulsterzeugenden
Korper in eine spezielle Gestalt fiber. Nimmt der
Tangentenwinkel j 2) einen bestimmten Wert an,
so sind dadurch die GroBen z and x als Koordinaten
des Beriihrungspunktes von Meridiankurve and
Tangente im cartesischen X-Z-Achsenkreuz, dessen
X-Achse in den Flussigkeitsspiegel fallt and dessen
Nullpunkt im Beriihrungspunkt von Kugel and
Flussigkeit liegt, festgelegt. Demnach ist T unab-
hangige Veranderliche, and z and x sind Funktionen
von r, so daB gilt:
(3) z = z (T); x = x (i) and fur den Variabilitats-
bereich von t
(4) - :T T 0.
Diese negativen Werte von i ergeben sich aus der
Gestalt der Kurve (Bild 1). Aus ihr ist auch ersicht-
lich, daB die gesamte Betrachtung auf den I. Qua-
dranten beschrankt werden kann, da sich der II. aus dem
1. durch Spiegelung an der Z-Achse gewinnen last.
Da z and x Koordinaten des Beriihrungspunktes von
Meridiankurve and Tangente sind and die Lage der
letzteren wiederum durch den oben erwahnten
Winkel T bestimmt ist, gilt beziiglich z, x, r die Be-
ziehung
(5)
dz
tg r = dx oder
dx dz
d = dz ctg T.
Die beiden Hauptkrummungsradien verlaufen be-
kanntlich in orthogonalen Ebenen. Ist s die Bogen-
hinge der Kurve, so kann fiir einen der beiden Haupt-
krummungsradien gefolgert werden:
,
, 1 dT d T d
-
RI ds dx*cosT=dxsmr.
Hierbei ist zu beachten, daB T nur negative Werte
durchlauft. Da der Wulst ein Rotationskorper ist,
da die Krnmmung des Kreises konstant ist and da
das Verhaltnis x : R, bei Rota tionskorpern immer
den gleichen Wert hat, ergiht sich fur den anderen
Hauptkrii.mmungsradien der Wulstoberflache and
die Dichte der Flussigkeit bedeuten.
') Forschungsauftrag des DAMG, Berlin.
[1] B. Hartmann, Ann. Physik 4 (1949) S. 359. . .370.
a) d. i. der Winkel zwischen der positiven X-Achse in einem
cartesischen Achsenkreuz and der positiven Richtung der
Tangente der Meridiankurve der Oberflache des durch
eine eine Flnssigkeitsoberflache beruhrende Kugel ge-
hobenen Wulstes.
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Lattermann: Kapillare Erscheinungen an der Kugel
der beiden 1-lauptkrummungsradien, wenn k das MaB
der konstanten Kriimrnung bedeutet, ans
sin r and x = k
R~
I sill,/
R., x
I
I +Z
Zur Abkurzung kanu man Hoch tine konstante
GroBe c folgendermal3en einfiihren: es sei
[/2 u 1
oder u = ez n.
2
t!nter Reachtung von (2) his (9) nimmt (1) die Ge-
stalt all:
(10) x d sin t. -}- sin r.
dx
2
2 xz oder
c
2
xz bzw. (x sin c)
c2 dx
2
(11) c2 z sin x r sdzr _
_ 0 bzw. 2' c
d/
d (V)
di
I)ie beiden problembestimmenden Gleichungen sind
nun (11) and (6). Man kanu sic noch in anderer Ge-
stalt schreiben. Zunachst sei aber der MaBstab im
Achsenkreuz so bestimmt, daB
(12) e = I ist.
sin t
Man hatte ebensogut in (11) and (6) z and x durch
c c.
etwa z* and x* ersetzen konnen, nachdem man (6)
1
mit multipliziert hatte.
c
Eine leichte Rechnung ergibt jetzt aus (11) and (6)
tinter Berucksichtigung von (12) das System der
beiden gewohnlichen nichilinearen Differentialglei-
chungen erster Ordnung
(13) dz x ? sin r dx x ? cos
dr 2 xz - sin i di 2 xz - sin r
Es seien noch folgende Bezeichnungen erklart: H heiBe
der Radius der Kugel. Es sei immer
(14) R > 0. a bedeute die Werte von t, fur die die
Kurve an der Kugel endet; die zu a gehorige Wulst-
randbreite heiBe q ; der Scheitel von (f liegt im Kugel-
mittelpunkt; ein Schenkel ist der Radius zum Be-
riihrungspunkt A von Kugel and Fliissigkeitsober-
flache, solange sich beide beruhren, anderenfalls zum
tiefstgelegenen Kugelpunkt, der andere ist der Radius
zum Beruhrungspunkt B von Kugel and Kurve. Da
aus physikalischen Griinden [wegen (14)]
q, = 0 and q, = 7r ausgeschlossen sind, ist das Intervall
von q :
(15) 0 oo
. h (t/ind~H,unger,)
Kurven wurden als typische aus einer groBen Anzahl
ausgewahlt.
Die McBpunkte dazu sind Mittelwerte aus Messungen
an zehn gleichzeitig hergestellten Priiflingen. Zu he-
merken ist, daB zwischen den heiden typischen Kurven
fur ?weichere" and ,bdrtere" Schichten viele Zwi-
schenzustande ermittelt worden sind. Bei der vor
einigen Jahren vom Verfasser durchgefiihrten Aus-
arheitung der Hartung des reflexionsmindernden Be-
lages im Jenaer Zeisswerk hat sich these MeOmethode
als sehr wertvoll erwiesen. Ohne daB dabei die Schich-
ten zerstort werden, kann mit ihr viel genauer die
Haltbarkeit ermittelt werden als mit der zuvor ange-
gebenen nberschlagigen MeBmethode. Bei Festigkeits-
priifungen an reflexionserhohenden Schutzschichten
auf Spiegeln sowie an lichtteilenden Schichten werden
analoge Kurven gefunden, wie sie in Bild 3 fiir re-
flexionsmindernde Einfachschichten dargestellt sind.
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Langer, Max: Verzogerungsfreier Wahlerschnellbetrieb
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Elektroakustik
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skop i teleskop [dt.]). Berlin 1952. 1.80429
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INHALT
Ansprachen anl0lich der Eroffnung der Hochschule . . . . . . . . . . . .
I. Fakultat fiirMathematik, Naturwissenschaften and tech nisch e Grun dwissenschaften
BJGEL, KARL Die Struktur der stetigen Funktionen einer Veranderlichen. . . . . . . . . . 5
LATTERMANN, KARL Kapillare Erscheinungen an der Kugel (zur Bestimmung der Oberflachenspannung
von Flussigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
WINKLER, HELMUT tYber eine elektronische Analogiemaschine zur Losung von Differentialgleichungen
hoherer Ordnung and zur Untersuchung von Problemen der Regelungstechnik 15
BLUTHGEN, FRIEDRICH Probleme and Methoden der Pulsfrequenzmessung . . . . . . . . . . . . . 61
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lferausgeber: Der Rektor der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Schriftleilung: Ilochschule fur Elektrotechnik Ilmenau, Abt. w iesensehaftliehe Publikationen, Ilmenau, Stn d. Jungen Techniker 21 Ruf: 307]; 73 1Lmsapparat: 005
Selbstverlag der Hoehschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Lizenz: Veroffentlieht enter Lizenznummer 4232 des Amtes fur Literatur and Verlagswesen der Deutsehen Demokratiseben Republik
Satz and Druck: Druckerei ?Magnus Poser". Jena. 57/259 '3005
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WISSENSCHAFTLICHE
ZEITSCHRIFT
DER HOCHSCHULE FUR ELEKTROTECHNIK
ILMENAU
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Herausgeber: Der Rektor der Hochschule, Professor Dr. phil. nat. H. Stamm
ie ?Wissenschaftlichen Zeitschriften" der Universituten and Hochschulen
1~
haben die Aufgabe, der breiten Entfaltung des wissenschaftlichen Lebens an
den Universituten and Hochschulen der Deutschen Demokratischen Republik
zu dienen and das besondere Gepriige der wissenschaftlichen Tdtigkeit an
der jeweiligen Universitdt oder Hochschule widerzuspiegeln. DieserBestimmung
entsprechend sind die ?Wissenschaftlichen Zeitschriften" ausschlieJlich der
Veroffentlichung von wissenschaftlichen Arbeiten aller an den Universitdten
and Hochschulen vertretenen Faei gebiete vorbehalten. Arbeiten von Wissen-
schaftlern, die nicht an der betreff enden Universitdt oder Hochschule tdtig sind,
sollen nur Bann indie,, Wissenschaftlichen Zeitschriften" aufgenommen werden,
wenn es sick um Gastvorlesungen oder Gastvortrdge handelt. Die ? Wissen-
schaftlichen Zeitschriften" sind fur Personlichkeiten and wissenschaftliche
Einrichtungen auf erhalb der Universituten and Hochschulen, die sie heraus-
geben, nur auf dem Tauschwege erhiiltlich.
Die in der Wissenschaftlichen Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik mit dem Vermerk ,Als Manuskript gedruckt"!
erschienenen Arbeiten durfen an anderer Stelle nur mit Genehmigung des Autors abgedruckt werden.
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Wissensehaftliche Zeitsebrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ihnenau 1 (1954/55) Heft 3 - Herausgeber: Der Rektor
Ale Manuskript gedruckt! DK 521.14/.163.001.11
Eingang: 22.3.1955
Zur mathematischen Theorie der Gestalt der Himmelskorper 1)
Von Prof. Dr. phil. K. Maruhn, Dresden
Die Modelle, die in erster Naherung der Untersuchung
der Gestalt der HimmelskSrper zugrunde liegen,
bestehen aus inkompressibler Flussigkeit, rotieren
gleichformig wie starre KSrper um eine raumfeste
Achse and rind lediglich der Eigengravitation and
der Zentrifugalkraft unterworfen. Sie befinden sich
also, bezogen auf ein mitrotierendes Koordinaten-
system, im relativen Gleichgewicht and werden daher
ale ?Gleichgewichtsfiguren rotierender Flussigkeiten"
bezeichnet. Weitere Einfliisse (z. B. Temperatur, Strah-
lung) werden vernachlassigt.
Nehmen wir der Einfachheit halber die 1lussigkeits-
dichte a ale konstant an, dann ist fur das Bestehen
des Gleichgewichts notwendig and hinreichend, daB
dae Gesamtpotential (Summe der Potentiale der An-
ziehungs- and Zentrifugalkrafte) auf der Oberflache
einen konstanten Wert hat. Solche homogenen Gleich-
gewichtsfiguren besitzen eine auf der Rotationsachse
senkrechte Symmetrieebene; man hat ferner Schranken
fur dae Verhiiltnis der maximalen HBhe zur maximalen
Breite and fur die Rotationsgeschwindigkeit co (z. B.
w2 < 2 x x e, x die Gravitationskonstante). Die einzige
ruhende Gleichgewichtsfigur ist die Kugel.
Ein wichtiges Beispiel bilden die Ellipsoide. Falls
dae Ellipsoid
(1)
x2 y2 z2
a2+b2+e2 1
die Oberflache S einer homogenen Gleichgewichts-
figur sein loll, so mull auf S
w2
xeV (x, y, z) + 2 (x2 + y2) = H
(H konstant) gelten.
Das Gravitationspotential x eV eines homogenen Ellip-
soidkorpers hat im Inneren and auf dem Rande die Ge-
stalt xeV = me (D - Axe - Bye - Cz2) (A, B, C, D
gewisse, von b and c abhangige Konstanten). Somit
mussen die Ellipsoide (1) and
w2
x2 -Axe+y2 (2w2 - Bxe)
(2) -z2Cxe=H-Dxe
identisch rein. Aus dieser Tatsache folgert manzunachst
die Existenz abgeplatteter ellipsoidischer Gleichge-
wichtsfiguren mit Rotationssymmetrie, and zwar ent-
sprechen jedem genugend kleinen Wert der Winkel-
1) Diener Bericht, der am 22. 3. 1955 im groBen Kolloquium
der Hochschule fur Elektrotechnik I:menau gegeben wurde,
bringt einige klassische Ergebnisse der im Titel genannten
Theorie.
geschwindigkeit w zwei Ellipsoide verschiedener Ab-
plattung. Die beiden ?linearen Reihen" dieser sogenann-
ten Maclaurinschen Ellipsoide stoBen, wenn der Reihen-
parameterweinenbestimmtenWert w'= 2wxe?0,224. .
annimmt, zusammen; fur diesen gibt es nur eine, fur
noch groBere w-Werte uberhaupt keine ellipsoidische
Gleichgewichtsfigur. Geht co gegen Null, so endet die
eine Reihe in der Kugel, die andere in einer unendlich
ausgedehnten, unendlich diinnen Scheibe.
Die Vermutung, daB nur rotationssymmetrische Fi-
guren Gleichgewichtsfiguren sein kOnnten, wurde von
Jacobi widerlegt, der zeigte, daB Behr wohl gewisse
dreiachsige Ellipsoide den Gleichgewichtsbedingungen
genugen konnen. Bei diesen entspricht jedem co < co"
(co" = j/2 ixe ? 0,187 ...) eine einzige Figur. Die line-
are Reihe endet fur co = co" in dem zu w" gehorigen,
schwaeher abgeplatteten Maclaurinschen Ellipsoid
and geht fur co gegen Null in eine unendlich diinne,
unendlich lange Nadel fiber. - Die Reihe der Jacobi-
schen Ellipsoide ,zweigt" also gewissermaBen von
der der Maclaurinschen ab. Die Frage, ob vielleicht
noch weitere Reihen (diesmal nichtellipsoidischer
Figuren) abzweigeu, wurde von Liapounof fur die
Reihen beider Ellipsoide in bejahendem Sinne be-
antwortet.
Bei Betrachtung der Reihen der Ellipsoide erhebt sich
die Vermutung, daB ganz allgemein Gleichgewichts-
figuren nicht ,einzeln" auftreten, sondern rich stets
zu von coabhangigen linearen Reihen zusammenschlie-
Ben. Diese Behauptung Poincargs wurde von Lichten-
stein, unterVerallgemeinerung Liapounoffscher Gedan-
kengange, einer ausfiihrlichen Diskussion unterworfen.
Die Betrachtungen, die zugleich ein Verfahren zur
Bestimmung der Nachbarfiguren enthalten, sollen
im folgenden kurz angedeutet werden. Wir gehen
von einer zur Winkelgeschwindigkeit w gehorigen
Gleichgewichtsfigur r (mit dem Rand S) aus and
fragen: Gibt es zu jedem Werte der Winkelgeschwindig-
keit wi, der genugend wenig von co abweicht, eine
neue Gleichgewichtsfigur t (mit dem Rand S1) in
der Nachbarschaft von T? Denkt man sich diejenigen
Punkte von S and S1, die auf derselben Normalen
zu S liegen, einander zugeordnet, so charakterisiert
ihr Abstand C(a), aufgefaBt als Funktion der Punkte
(x, y, z) = a von S, die gesuchte Flache S1. Bezeichnet
weiter ye(a) die Gesamtschwerkraft des Kdrpers z
im Punkte a, so erhalt man fur C folgende Funktional-
gleichung
(3)
4V (a) (a) + e.~ C (r ) d a' = s - (x2 + y2) A
S w i - w2
+ H2 [A, C1 (A = i - )
2x
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tinter r den Abstand der Punkte a and a' auf S, unter
s die (kleine) Differenz der Gesamtpotentiale von t,
and r auf S, bzw. S and muter 112 die Zusammenfassung
aller GroBen zweiter and hoherer Ordnung in A and ~
verstanden. Falls die zu (3) gehorige homogene Inte-
gralgleichung keine nichttriviale Losung besitzt,
ergibt sich durch ein geeignetes Iterationsverfahren
zu jedem genugend kleinen A-Wert, d. h. zu jedem
wenig von w verschiedenen w1-Wert, genau eine
Losung C von (3), d. It. genau eine Gleichgewichts-
figur S1. Hat dagegen die genannte homogene Glei-
chung nichttriviale Losungen, so konnenVerzweigungs-
losungen, wie sie etwa bei den Ellipsoiden auftreten,
vorliegen; es brauchen aber auch gar keine Losungen
zu existieren. Im allgemeinen trifft also die Poincare-
sche Behauptung tatsachlich zu.
Bei Gleichgewichtsfiguren nichtkonstanter Dichte,
bei denen das Gesamtpotential nicht nur auf der
Oberflache, sondern Tangs jeder Flache gleicher Dichte
konstant sein mull, liegen die Dinge entsprechend
komplizierter. Andererseits gelangt man jetzt zu Stern-
modellen, auf deren Oberflache schwerelose Punkte
liegen, die also besonders charakteristische Momente
im Verlaufe kosmogonischer Ereignisse darstellen
(z. B. Doppelsterne im Momente der Trennung usw.).
Hierbei stellt sich heraus, dall fur solche Modelle
das Verschwinden der Dichte auf der Berandung
gefordert werden mull.
Selbstverstandlich bieten alle hier skizzierten Betrach-
tungen viele analytische Schwierigkeiten, die nur nach
sorgfaltiger Formulierung der notigen Voraussetzungen
bewaltigt werden konnten. Auf these Einzelheiten kann
hier nicht Wilier eingegangen werden. Eine zusammen-
fassende Darstellung findet rich in dem Buch von
L. Lichtenstein, Gleichgewichtfiguren rotierender
Fliissigkeiten, Berlin 1933.
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Wiseenwhaftliche Zeitscbrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau ? 1 (1954/55) Heft 3 - Herausgeber: Der Relator
Als Manuskript gedruckt! DK 621.391
Eingang: 29.10.1955
Neuere Erkenntnisse der drahtlosen NachrichtentechnikC)
Von Dr.-Ing. G. Megla, Radeberg
1. Einleitung
Die Nachrichtenubertragung mit Hilfe von Ultrakurz-,
Dezimeter- and Zentimeterwellen ermoglicht es, mit
kleinerem geriite- -and kostenmal3igen Aufwand als
durch Kabelleitungen Verbindungen herzustellen.
Diese Ubertragungsart unterscheidet sich erheblich
von der bisherigen Funktechnik. Wahrend die Qualitat
der z. B. beim transozeanischen Funkdienst, Schiffs-
funk, Flugzeug- oder Autofunk hergestellten Ver-
bindungen recht unterechiedlich ist, wind heute mit
Hilfe der UKW-, Dezimeter- and Zentimeterwellen
ein vollwertiger Ersatz von Kabellinien unter Be-
rucksichtigung der CCI-Empfehlungen erreicht. Einige
neuere Erkenntnisse auf diesem Gebiet sollen im
folgenden behandelt werden.
Da Richtfunkverbindungen gegenuber der Verwendung
von Koaxialkabeln verschiedene technische and
insbesondere auch wirtschaftliche Vorteile bringen,
werden soiche Anlagen weitgehend fur die Uber-
mittlung mehrerer Gesprachs-, Telegrafie- oder Mee-
wertkanale (Mehrkanalrichtfunksysteme) eingesetzt.
Auch die Einfiihrung des Fernsehens erfordert den
Ausbau von hochwertigen Bildiibertragungsleitungen
zum Programmaustausch zwischen den einzelnen
Fernsehsendern wie uberhaupt zur Zufiihrung des
Bildinhaltes, der vom Studio abgegeben wird. Hierfiir
werden heute fast ausschlieBlich Richtfunkverbin-
dungen ale Zubringerlinien verwendet. Wenn auch
erst nach dem zweiten Weltkrieg Richtfunkverbin-
dungen entwickelt and dem Verkehr ubergeben wur-
den, die ohne groBen Aufwand die Qualitat der
Drahtnachrichtenverbindungen erreichen, so ist doch
bereits 1880 von Graham Bell die erste Richtfunk-
Sprechverbindung mit gebundeltem and moduliertem
Trager entwickelt worden. Bei dieser Richtfunk-
verbindung wurde das Licht einer Bogenlampe modu-
liert, indem der ale Membran ausgebildete parabolische
Reflektor auf der Riickseite besprochen wurde. Infolge
der Deformation dieses Reflektors im Takte der
Sprachschwingungen schwankte die Divergenz des
reflektierten Strahlungsbundels and damit die am
Empfanger ankommende Intensitat in demselben
Rhythmus.
Um die einzelnen BestimmungsgroBen einer Richt-
funkverbindung zu ubersehen, bedient man sich
eines Pegeldiagramms, wie es in der Drahtnachrichten-
technik ublich ist. Ein solches Pegeldiagramm zeigt
Bild 1.
Vortrag, gehalten im 4. Grollen Kolloquium der Hochschule
fur Elekrotechnik Ilmenau am 19. 4. 1955.
Darin bedeuten:
Ps? - der Summenpegel der Nachricht
bZ - die Dampfung der Zuleitung vom Gerat zur
bA(E) -
Antenne
die Antennenverstarkung, auf (Elementar-
dipol bezogen)
bs(E) - die Streckendampfung (zwischen Elementar-
dipolen)
Zwischen den Senderausgangs- and Empfanger-
eingangsklemmen (S bzw. E) befindet sich also ein
Dampfungsvierpol, dessen Bestimmungsstncke im
folgenden beschrieben and ermittelt werden sollen.
f
"Al
PSI,
2. Streckendampfung
Das Ubertragungsmedium einer Richtfunkverbindung
ist der freie Raum. Wahrend bei Kabelbetrieb die
Spannung mit wachsender Entfernung exponentiell
sinkt, nimmt sie bei der drahtlosen Vbertraguug
umgekehrt proportional der Entfernung ab. Fur
Funkverbindungen, die im Ultrakurz-, Dezimeter-
und Zentimeterwellenbereich arbeiten, ist die so-
genannte Vbertragungsgleichung [1] entwickelt worden,
die uberhaupt das wichtigste Gesetz fur these Technik
darstellt :
F.
F.
N. = Ne d2 A2
(1)
Hierin bedeuten:
N. - die Empfangsleistung
N. - die Sendeleistung
F. bzw. F. - die Wirkflache der Sende- bzw. Emp-
fangsantenne
d - die Entfernung
A - die Wellenlange
Setzt man in Gleichung (1) die Wirkflache eines
Elementardipols ein, so ist das logarithmisehe Ver-
haltnis der Wurzel aus Sendeleistung zur Empfangg-
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leistung der in der Fernmelde-Technik eingefiihrte
Ausdruck fur die Dampfung, die sich dann zwischen
zwei Elementardipolen ergibt zu:
(2) bsE = 2,13 + In []Np]
Dieser Ausdruck stellt die Dampfung in Np zwischen
zwei Elementardipolen dar, wenn freie Sicht zwischen
der Sende- and Empfangsstelle vorhanden ist. Mit
Hilfe dieses Ausdruckes ist eine einfache Berechnung
der im Zuge einer Richtfunkverbindung auftretenden
Dampfungen moglich. Die Dampfung wird deshalb
zwischen Elementardipolen (haufig auch zwischen
Kugelstrahlern) angegeben, da die Verstarkung von
Antennen ebenfalls auf Elementarstrahler (oder
Kugelstrahler) bezogen wind. Genauso konnen Damp-
fungen der Zuleitungen vom Gerat zur Antenne,
DurchlaBdampfungen von Weichen, Filtern usw.
entsprechend. beriicksichtigt werden.
Nach dem Brewsterschen Gesetz tritt dieser Fall
stets dann ein, wenn
(3) T = are tan u
ist. Die Dielektrizitatskonstante fur Erdboden mitt-
lerer Beschaffenheit betragt er = 4. Der Brewstersche
Winkel nach (3) ist dann 99 = 63,5?.
Im Bild 3 ist der Reflexionsfaktor e nber dem Einfalls-
winkel q) fiir s = 4 and s = 80 aufgetragen (Boden-
leitfahigkeit a = 0). Man ersieht daraus, daB bei
groBerem Einfallswinkel als 63,5? and vertikaler
0,6
3. Ausbreitungsverhaltnisse
Der mit Gleichung (2) angegebene Wert fur die Frei-
raumdampfung unterliegt gewissen Schwankungen,
die durch die besonderen Ausbreitungsverhaltnisse
der sehr kurzen Wellen bedingt sind. In der Haupt-
sache verursachen Interferenzerscheinungen, Bre-
chungseinfliisse and die Absorptionsdampfung Feld-
starkeanderungen am Empfangsort einer Richtfunk-
verbindung.
Wegen des lichtahnlichen Verhaltens der sehr kurzen
Wellen erha.lt die Empfangsantenne meist nicht
nur die direk:te Strahlung des Senders, sondern einen
zusatzlichen Anteil durch Reflexion am Erdboden.
Dieser reflektierte Strahl erreicht die Empfangs-
antenne wegen des langeren Weges meist mit anderer
Phase als der direkt empfangene, so daB durch Inter-
ferenz beider Strahlen bedeutend mehr oder weniger
Strahlungsleistung im Empfanger erscheint als bei
alleiniger direkter Strahlung. Um den Weglangen-
unterschied beider Strahlen zu ermitteln, miissen die
Phasenverhaltnisse bei der Reflexion naher betrachtet
werden. Aus der Optik ist bekannt, daB ein auf ein
optisch dichteres Medium unter dem Einfallswinkel 99
auftreffender Strahl unter dem gleichen Winkel
reflektiert wird (Bild 2). AuBerdem tritt ein ge-
brochener Strahl auf, dessen Richtung durch den
Brechungsindex des optisch dichteren Mediums n = ~s
gegeben ist. Betragt nun der Winkel zwischen ge-
brochenem and reflektiertem Strahl (in Bild 2 mit a
bezeichnet) gerade 90?, so ist der Reflexionsfaktor
9 = 0; es billet sich also kein reflektierter Strahl aus.
09
ol.l
Er e
Qina.p
o,e
e^ , e
o
0
7
,
w~
oi.P
0
l
n
,5
ek
i
6
D4
0,3
c^`
r
~
LP~
I
,,a
zl
tP
Bild 3 Refraktionskoeffizient bei horizontaler and vertikaler
Polarisation fur Ausbreitung fiber dielektrischer Erde (a = 0)
in Abhangigkeit vorn Einfallswinkel tQ
Polarisation der Wert des Reflexionsfaktors p schnell
ansteigt, wobei der reflektierte Strahl einen Phasen-
sprung von az erleidet. Ist der Einfallswinkel 99 < 63,5?,
tritt kein Phasensprung zwischen ankommendem and
reflektiertem Strahl auf. Bei horizontaler Polarisation
existiert kein Brewsterscher Winkel, hier tritt fur
jeden Einfallswinkel ein Phasensprung von ;r auf.
Da in der Praxis bei Funkverbindungen der Einfalls-
winkel meist groBer als etwa 850 ist, kann also in
jedem Fall mit einem Phasensprung auch bei vertikaler
Polarisation gerechnet werden. Lediglich bei der
l,Jberbriickung groBer Wasser- oder Sumpfflachen
kann bei vertikaler Polarisation der Fall eintreten,
daB bei der Reflexion kein Phasensprung auftritt, da
die Dielektrizitatskonstante fur Wasser etwa s = 80
ist and dafur (n = 9) nach Gleichung (3) der Brewster-
sche Winkel etwa 99 = 83,5? betragt. Dieser seltene
Fall soil jedoch bei den nachfolgenden Betrachtungen
unberiicksichtigt bleiben; es wird vielmehr angenom-
men, daB unabhangig von der Polarisation im all-
gemeinen bei der Reflexion an cinem festen Medium
ein Phasensprung von ac entsteht, der einem Laufweg-
unterschied von 2 entspricht. Ist nun der reflektierte
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Strahl gerade um 2 Oder ein ungerades Vielfaches
davon Langer ale der direkte, so wfirde sich wegen der
Gleichphasigkeit an der Empfangsantenne die resul-
tierende Strahlungsleistung erhi hen. Umgekehrt erhalt
man eine Schwachung der Strahlungeleistung, wenn
der reflektierte Strahl gerade A oder ein Vielfaches
davon Langer ist als der direkte. Der geometrische
Ort aller Punkte, fur die die Summe der Entfernungen
zu zwei anderen Punkten einen gegebenen Wert hat,
jet eine Ellipse bzw. im Raum ein Rotationsellipsoid.
Die kleine Halbachse des Ellipsoides bo lalt sich
dann in guter Annaherung angeben zu:
(4) bo = 1 /(2n -41) A ? d n = 1, 2, 3, ...
Mit Hilfe dieses Ausdruckes laBt sich also die Boden-
freiheit ermitteln, die fur gegebene Entfernung and
Wellenlange eingehalten werden mnBte, wenn der
direkte Strahl durch gleichphasige reflektierte Strahlen
am Empfangsort verstarkt ankommen soil. Praktische
McBergebnisse hieriiber rind in [2] gegeben.
Da die Atmosphere fiber der Erdoberfleche nicht
homogen ist, sondern meist die Dichte der Atmo-
sphere and damit die Dielektrizitatskonstante mit
zunehmender Hr he abnehmen, wind der Brechungs-
index Weiner. Der Strahl wird damit zur Erde hin gebro-
chen, da die Phasengeschwindigkeit, die umgekehrt pro-
portional dem Brechungsindex ist, mit der Huhe
zunimmt. Die Wellen zeigen also die Tendenz, der
Erdkrummung zu folgen. Man kann these Strahl-
krummung nun auch so betrachten, als ob der Strahl
sich geradlinig fiber eine Erdkugel mit entsprechend
groBerem Radius ausbreite. Deshalb ist ein fiktiver
Erdradius R' eingefuhrt worden, der ermittelt wird
aus der Beziehung
(5)
R' R dn?R=k?R
1 +
n 0 dh
- der geometrische Erdradius
der Brechungsindex an der Erdoberflache
no -
dn
dh
der Brechungsgradient (h = Hihe)
Fur normale atmospharische Verhaltnisse (k = 3
kann man bei der Herstellung von Streckensc\hnitten
anstelle des geometrischen Erdradius von 6370 km
einen fiktiven Radius von R' = 8500 km ansetzen.
Im Ultrakurz- and Dezimeterwellengebiet ist die
durch Niederschlage hervorgerufene zusatzliche Damp-
fung so klein, daB sie vernachlassigt werden kann.
Erst unterhalb von 3 cm Wellenlange wird die Ab-
sorptionsdampfung. so grog, daB diesel Wellengebiet
nur bedingt fur Funkverbindungen eingesetzt werden
kann. Die kilometrische Dampfung, die beim Durch-
gang eines Hochfrequenzstrahles durch ein Regen-
gebiet zusatzlich auftritt, laBt sich in guter An-
naherung ermitteln zu [3] :
(6) NAB = 2 ? 10-2 D Np
';F'_ km
Hierin bedeuten:
ND - die Niederschlagsdichte in mm/h
A - die Wellenlange in cm
Bei der fur unser Klimagebiet maximal auftretenden
Regendichte von ND = 50 mm ist die kilometrische
h.
Dampfung nach (6) umgekehrt proportional dem
Quadrat der Wellenlange, kann also sehr einfach
fiberschlagig ermittelt werden.
Die Dampfung durch Absorptionsbanden des Wasser-
dampfs and Sauerstoffs ist so klein, daB sie gegenuber
der wesentlich groBeren Niederschlagsdampfung ver-
nachlassigt werden kann [4].
4. Antennenverstarkung
Um den Vorteil der guten Biindelungsfahigkeit and
der damit verbundenen groBen Antennenverstarkunng
ausnutzen zu k6nnen, wurden verschiedene Formen
von Richtantennen entwickelt, z. B. Beam-Antennen,
Parabolstrahler, dielektrische Strahler, Sagezahn-
antennen, Hornstrahler and Linsenantennen. Am mei-
sten wird zur Zeit der Parabolstrahler eingesetzt, da
er bei mechanisch Behr kleinem Aufwand die grolte
Wirkflache besitzt. Die Wirkflache 1aBt sich durch die
Beziehung:
2
(7) F = 8 . VE
ermitteln. Die Antennenverstarkung VE kann nahe-
rungeweise bestimmt werden, indem man the (ge-
messene oder errechnete) Richtcharakteristik einer
Antenne als Ellipsoid mit der groBen Achse a and
der kleinen Achse b auffalt. Die Verstarkung, bezogen
auf Elementardipol, lautet dann [5]
(8)
a
VE = 8 (a
3 b)
Der Antennengewinn in Np ist gegeben durch den
Ausdruck
(9)
G = 2 1nVE
[Np]
Da der Antennengewinn auch als negative Dampfung
aufgefaBt werden kann, sei definiert:
(10) bA= - G
5. Zuleitungsdampfung
[Np]
Da die Antenne von Richtfunkgeraten meist auf
moglichst hohen Punkten angebracht werden soil,
werden haufig langere Zuleitungen vom Funkgerat
zur Antenne ?benotigt. Als Zuleitungen werden Koaxial-
kabel, Hohlrohrleiter and Drahtwellenleiter benutzt.
In Tafel I ist die kilometrische Dampfung von recht-
eckigen Hohlrohrleitern and Koaxialkabeln fur ver-
schiedene Wellenlangen angegeben. Drahtwellenleiter,
die entweder mit einer Langswendel versehen rind
oder eine dielektrische Umkleidung besitzen, haben
bei eidem Durchmesser von 5 mm bei 3 cm Wellen-
lange eine kilometrische Dampfung von nur 0,5 Np/km.
Leider ergeben sich beim praktischen Einsatz dieser
Drahtwellenleiter Schwierigkeiten, die ihre Ver-
wendung in Zukunft in Frage stellen diirften. Ab-
gesehen von den infolge Fehlanpassung auftretenden
zueatzlichen Strahlungsverlusten kann die parasitare
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Koaxialkabel
(Kupfer mit
Styroflexisolation)
Hohlleiter
(Aluminium)
Dampfungskonstante in Np/km
4.=1m ,1=50 cm ~=20cm 10cm1i.=5cm
Strahlung unzulassig hoch werden, wenn eine Krum-
mung des Leiters erforderlich ist. Dann findet namlich
in tangentialler Richtung eine Abstrahlung in den
freien Raum statt,.die nur durch geeignet angeordnete
Reflektoren oder zusatzliche dielektrische Umklei-
dungen vermindert werden kann. AuBerdem sind these
Zuleitungen auBergewohnlich witterungsabhangig;
Rauhreifbildung oder Regentropfen konnen die Damp-
fung sehr stark erhohen. Um dies zu verhindern, muBte
der Draht beheizt werden, oder es mul3 im Abstand
von 2 ? ? . 3 A eine Abschirmung vorgesehen werden,
was jedoch einen erheblichen Aufwand erfordert.
Eine aussichtsreichere Zuleitungsart fur sehr kurze
Wellen stelli, die drahtlose Energiezufiihrung dar.
Dabei wird an der Mastspitze ein ebener Metall-
plattenspiegel so angeordnet, daB er die von der Sende-
antenne (die sich in unmittelbarer Nahe des Funk-
gerates befindet) ausgestrahlte Leistung in die Rich-
tung der Gegenstelle umlenkt. Die Dampfung der
Strecke zwischen Umlenkspiegel and Sendeantenne
IABt sich ermitteln zu:
d
(11) b? = In [Np]
[/F, ? FR
Hierin bedeutet:
d - die Eritfernung zwischen Antenne uud Spiegel
Fs - die Wirkflache der Sendeantenne
FR - die W:irkflache des Umlenkspiegels
Da die Zuleit.ung zwischen Antenne and Sender bzw.
Empfanger nie ganz reflexionsfrei abgeschlossen
ist, entstehen Verluste. Die damit im Ubertragungsweg
liegende zusatzliche Dampfung infolge der Fehlanpas-
sung errechnet sich zu [6] :
(12) bF=ln 1-+ -ln
2]/m
6. Hochfrequenter Storabstand
Die Dampfung, die zwischen den Ausgangsklemmen
des Senders and den Eingangsklemmen desEmpfiingers
auftritt, laBt. sich nun nach den vorangegangenen
Betrachtungen folgendermaBen definieren :
(13) bD = 2 (bz + bF + b,,. + bA) + bs + bs,.hw
Hierin bedeuten
bz - die Zuleitungsdampfung
bF - die durch Fehlanpassung hervorgerufene
Dampfung
b,, - die DurchlaBdampfung der Weichen (etwa
0,1???0,2 Np)
bA der (negative) Antenuengewinn
bs - die Freiraumdampfung
bSeh, - die Schwunddampfung (etwa 2 Np)
Aul3enleiter-
durchmesser :
3 cm
Innenleiter-
durchmesser :
8,3 mm
Rechteckiger
Querschnitt
In Gleichung (13) sind die in der Klammer befindlichen
Dampfungswerte fur Sende- and Empfangsseite gleich
groB angenommen. Bei gegebener Senderleistung
kann mit Hilfe der Gleichung (13) die Empf inger-
eingangsleistung errechnet werden, indem von dem
Sendepegel die Dampfung bD abgezogen wird. Der
hochfrequente Storabstand am Eingang des Emp-
fangers ergibt sich damit bei bekannter Senderleistung
Ns zu:
(14) bHF = 2 In Ns - bD [Np]
R
Die Rauschleistung NR des Empfangers ist abhangig
von der Bandbreite; sie errechnet sich zu:
(15) NR = 4 ? 10-21 ? BHF
Hierin bedeuten:
NR - die Grundrauschleistung bei einer Tem-
peratur von t = 17? C
BHF - die Ubertragungsbandbreite in Hz
Die notwendige Ubertragungsbandbreite BHF ist
abhangig von dem verwendeten Modulationsverfahren.
Eine Zusammenstellung der Beziehungen zur Er-
mittlung der Ubertragungsbandbreite sowie der Band-
breite fur die Ubertragung von 24 Gesprachskanalen
ist fur verschiedene Modulationsverfahren in Tafel II
gezeigt. Daraus ersieht man, daB fur die moderneren
Modulationsverfahren ein erheblich grol3erer Band-
aufwand notig ist als fur die Amplitudenmodulation.
BandbreitenmaBig ist also die Einseitenband-Ampli-
tudenmodulation mit unterdrucktem Trager den
Modulations-
Bandbreite
BHl; fur
Bemerkungen
art
BHF
24 Kanale
Amplituden-
Modulation
2,5 ? fm-
300 kHz
fmax = 120 kHz
Einseite n-
band-Ampli-
tudenmodu-
lation mit
1,25 ? f,m,x
150 kHz
fn,,,,, = 120 kHz
unter-
drucktem
Trager
Frequenz-
5+5)
f,,(2
1
2 MHz
r1 = 2 (Modulations-
Modulation
,
,
index)
Pulsphasen-
1
8 MHz
tfi = 0,125,u'
Modulation
tfi
(Flankendauer)
Puls-Code-
Modulation
3k ? q ? fmax
2 MHz
= 24
k
fmax = 4 kHz
q = 7 (Code)
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anderen Modulationsarten vorzuziehen. So benotigt
man beispielsweise fur die Frequenzmodulation fast
die zehnfache Vbertragungsbandbreite gegeniiber
der Einseitenband-Amplitudenmodulation. Es wird
aus diesem Grunde wegen des sich schon jetzt ab-
zeichnenden Frequenzmangels in Zukunft wieder
mehr auf die Einseitenband-Amplitudenmodulation
zuruckgegriffen werden. Da, wie Gleichung (15)
zeigt, die Rauschleistung proportional der Bandbreite
wachst, ist also der hochfrequente Storabstand bei
den moderneren Modulationsverfahren ungunstiger als
bei den Verfahren mit Amplitudenmodulation. Bei
den moderneren Modulationsverfahren wie Frequenz-
modulation, Pulsphasenmodulation, Pula-Code-Modu-
lation tritt jedoch ein so groler, durch das Modulations-
verfahren bedingter Gewinn auf, daB der am Ausgang
des Empfangers in Erecheinung tretende nieder-
frequente Storabstand erheblich groBer sein kann als
der am Eingang gemeesene.
7. Niederfrequenter Storabetand
Zur Ermittlung des niederfrequenten Storabstandes
muB das betreffende Modulationsverfahren beruck-
sichtigt werden [3]. Je nach den angewandten Modu-
lationsverfahren jet der zu erwartende niederfrequente
Storabstand kleiner oder groBer als der hochfrequente
Storabstand. Man spricht deshalb von einem Sende-
oder Empfangsgewinn der einzelnen Modulations-
verfahren. Der Sendegewinn ist im wesentlichen da-
durch gegeben, daB der Momentansendepegel fiber
einen Oberstrichpegel hinaus erhoht werden kann.
Er jet definiert zu:
(16)
S= 2 1nNd
[Np]
Hierin bedeuten:
N. - die Momentan-Nutzleistung
Nd - die Dauerstrichleistung
Bei der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation be-
tragt der Sendegewinn
(17) SAM = In
Y2--I ms
Fur einen Modulationsgrad von m = 1 (100%) ist
der Sendegewinn negativ and betragt - 0,55 Np. Da
bei der Einseitenband-Amplitudenmodulation mit
unterdrucktem Trager and bei derFrequenzmodulation
dem Nutzsignal stets die voile Senderleistung zur Ver-
fugung steht, ist hierfiir der Sendegewinn gleich Null.
Bei der Pule-Code-Modulation ist der Sendegewinn
abhangig vom Tastverhaltnis ' (t. = Schaltzeit,
ti
ti = Impulsbreite).
Er jet gegeben zu:
(18) SPPM = 2 In tt + 0,202 [Np]
Bei einem Tastverhaltnis von 10 betragt z. B. der
Sendegewinn 1,35 Np. Der Empfangsgewinn E jet die
Differenz der Rauschabstande am Empfangerausgang
and am Ausgang des linearen Zwischenfrequenzteiles
des Empfangers.
(19)
on. Sh
E=In--ln-
ra rh
[Np]
Hierin bedeuten:
In s - den Storabetand nach der Demodulation in Np
ra
sh
In - -
rh
den Storabstand vor der Demodulation in Np
Den Verlauf des Empfangsgewinns verschiedener.
Modulationsarten in Abhangigkeit von der Band-
ausnutzung zeigt Bild 4. Daraus ist zu ersehen, dal
z. B. der Empfangsgewinn bei der Puls-Phasen-Modu.
lation fur Brandbreiten, die groBer als 1 sind,
tfl
konstant bleibt. Dies riihrt daher, daB die groBere
Bandbreite den ankommenden Impuls nicht steiler
fM
~ 1
2
MM
f
M,
1 AM
" 1
5
0 75 20 25 30 35 40 45 A
8#,c
R4
a.~
8NF
Bild 4 Verlauf des Empfangsgewinns von FM, PPM, EAM
and AM in Abhangigkeit von der Bandausnutzung [3]
machen kann, als er ausgesendet wurde. Zwar wird
der niederfrequente Rauschabstand bei groBerer
Bandbreite geringer; im gleichen MaB jedoch wird
such der Rauschabetand am Empfangereingang kleiner,
so daB der Empfangsgewinn konstant bleibt; Bei der
Frequenzmodulation wachsen Empfangsgewinn and
Vbertragungebandbreite mit groBer werdendem Modu-
lationsindex 77 = H (H = Frequenzhub, fmax =
fmax
maximale Modulationsfrequenz) stetig an.
Mit Hilfe dieser Bestimmungsstucke laBt sich nun
der niederfrequente Storabstand fur eine Funk-
verbindung mit Gleichung (14) errechnen zu:
(20) BNF = BHF + S + E [Np]
8. 'Streckenplanung
Um bei der Planung von Richtfunklinien eine moglichet
wirtschaftliche Streckenfuhrung zu erreichen, missen
nach demGelandestudium Streckenschnitte angefertigt
werden, um die S4ichtverhaltnisse abzuschatzen and
die erforderlichen Turmhohen zu bestimmen. Bei der
Anfertigung eines solchen Streckenschnittes werden
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verschiedene MaBstabe fur Entfernung and Hohe
verwendet. Die Erdoberflache wird dann nicht durch
einen Kreisbogen, sonderu durch einen Ellipsen- oder
Parabelbogen ersetzt. Ein einfacheres and weniger
zeitraubendes Verfahren besteht darin, die Erdober-
flache als eben anzunehmen, also als gerade Linie
aufzuzeichnen and die in der Natur geradlinige Ver-
bindungslinie zwischen Sender and Empfanger als
durchhangeride Kurve abzubilden. Der Durchhang q
(vgl. Bild 5) ist dams gegeben durch die Beziehung [3] :
(21) q = d2 Rdz q, d, R [km]
Setzt man fur den Erdradius den Ausdruck
2 . 104
R =
ein, so ergibt sich
(22) q= 4 ?dl?d.,?10-1
-- dl ~f d2 -
q [m]
d [km]
Mit Hilfe dieser Beziehung laBt sich nun sehr einfach
die Sichtfreiheit bestimmen. Meist sind nur sehr
wenige hohe Punkte im Zuge einer Verbindungslinie
vorhanden, so daB es ausreicht, den Durchhang q an
dieser Stelle zu bestimmen.
An Hand der Bilder 6 a ? ? ? 6f sind einige Beispiele fur
die Vberbruckung eines vorgegebenen Gelandes ge-
zeigt.
Im Bild 6a ist zwischen den beiden Gegenstellen eine
natiirliche Erhebung zu sehen, die es verhindert, daB
ein am Erdboden reflektierter Strahl die Empfangs-
antenne erreicht. Hierdurch sind natiirlich stabilere
Empfangsverhaltnisse gegeben, da die wechselnde
Interferenz zwischen direktem and reflektiertem
Strahl entfallt. Deshalb hat man Hindernisspiegel
zur Vermeidung des reflektierten Strahles aufgestellt
and dabei eirle uberraschende Konstanz der Empfangs-
feldstarke bei Anwesenheit eines solchen Hindernis-
spiegels verzeichnen konnen.
Direkte Verbindungen zwischen zwei Bergspitzen,
die hoher als etwa 1000 m sind, sollten wegen der
in diesen Ilohen 'haufig auftretenden Temperatur-
inversionen vermieden werden. Es ist deshalb zu
empfehlen, trotz der guten Sichtverhaltnisse zwischen
beiden Gegenstellen, eine Relaisstelle einzusetzen
(Bild 6b). Es entstehen dann am Empfangsort sta-
bilere Feldsi:arkeverhaltnisse, da wegen des relativ
steilen Einfalls des Strahles kaum einer der am Erd-
boden reflektierten Strahlen die Empfangsantenne
erreicht. Ist das Gelande zwischen zwei Hohen sehr
eben, dann empfiehlt es sich, eine der beiden Gegen-
Bild 6e
Bild 6a-c Praktische Beispiele zur Uberbriickung vorge-
gebenen Gelandes [3]
stellen nicht auf der Hohe, sondern so tief wie moglich
anzuordnen (Bild 6c). In diesem Fall durchlaufen
namlich der direkte and der reflektierte Strahl etwa
die gleichen Hohenunterschiede (fast paralleler Strah-
lenverlauf), so daB Bich atmospharische Anderungen
nur sehr wenig auf den Phasenunterschied beider
Strahlen auswirken konnen. Im anderen Fall, wie es
Bild 6e zeigt, muB der reflektierte Strahl den Hohen-
unterschied zweimal durchlaufen. Damit ist er den
atmospharischen Schwankungen starker ausgesetzt
als der direkte Strahl, so daB zwischen beiden groBere
Anderungen des Phasenunterschiedes erwartet werden
mussen. Wegen der stark unterschiedlichen Oberflache
groBerer Wasserflachen sollten nach Moglichkeit von
der Wasserflache reflektierte Strahlen nicht die
Empfangsantenne erreichen. Man wird deshalb die
Empfangsantenne versuchen so anzuordnen, daB der
reflektierte Strahl am Erdboden auftrifft, wie es in
Bild 6d prinzipmaBig dargestellt ist.
Erfordern die Gelandeverhaltnisse eine stark erhohte
Aufstellung beider Gegenstellen, so durchlaufen, wie
schon erwahnt, die reflektierten Strahlen starke
Hohenunterschiede and sind damit groBeren An-
derungen des Brechungsindex ausgesetzt als der direkte
Strahl. In diesem Fall ist es zweckmaBig, Diversity-
Empfang vorzusehen, um wenigstens die tiefen
Schwundeinbruche zu vermeiden (Bild 6e).
Bild 6d
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WISSENSCHAFTLICHE
ZEITSCHRIFT
DER HOCHSCHULE FUR ELEKTROTECHNIK ILMENAU
1. JAHRGANG 1954/55
WISS.Z.H-OCHSCH.F.ELEBTROTECHN.ILMENAU 1 (1954/S5)HEFTE 1-3
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A. Inhaltsverzeichnis (nach Fakultaten)
Gastvortrlige
Zur Malsystemfrage in Physik and Technik . . . . . . . . . . . O b e r d o rf a r, G.. . . .
H. 2
S. 77
Zur mathematischen Theorie der Gestalt der Himmelskorper . . . Maruhn, K. . . . . .
H. 3
S. 163
Neuere Erkenntnisse der drahtlosen Nachrichtentechnik . . . Megla, G. . . . . . .
H. 3
S. 165
Die.Struktur der stetigen Funktionen einer Veranderlichen . . Bogel, K. . . . . .
Kapillare Erscheinungen an der Kugel (zur Bestimmung der Ober-
flachenspannung von Fllissigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . Lattermann, K. . .
Vber eine elektronische Analogiemaschine zur Losung.von Diffe-
rentialgleichungen hoherer Ordnung and zur Untersuchung von Pro-
blemen der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . Winkler, H. . . . .
Partielle Hartung durch Funkenentladung . . . . . . . . . . Hanke, E. . . . . .
Konstruktionstafel zur Viergelenkkettt . . . . . . . . . . . . . Pollner, L. . . . .
ZurBestimmungderWiderstandskoeffizienteneinesbewegtenKorpers Bagel, K. . . . . .
Eine Methode zur Berechnung von Approximationen einer reellen
Zahl auf geometrischer Grundlage . . . . . . . . . . . . . . Lattermann, K. . .
tlber Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre and einerPhoto-
selle mit Sekundarelektronenvervielfacher fair die Verwendung in
elektronischen Analogierechenmaschinen mit groBer Arbeitsgeschwin-
digkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkler, H. . . . .
Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern . . . . . . . . Beck, Max . . . .
Spontane Rekristallisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hanke, E. . . . . .
EinfluBpiatrizen. Anwendung der. Matrizenrechnung in der elemen-
taren Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poilner, L. . . . .
Vber eine Methode zur Berechnung gleichzeitiger Approximationen
reeller Zahlen . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lattermann, K. . .
Nomogramme zur Bestimmung der Widerstandskoeffizienten eines
bewegten Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stammberger, A.
Werkstoffe im Atommeiler . . . . . . . . . . . . . . . . . Hanke, E. . . .
EinfluBgrolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PoBner, L. . . . .
II. Fakultht fur Starkatromtechnik
Elektrische Isolierstoffe in Hochspannungsapparaten . . . . . . Stamm, H. . . . .
Zum Problem der Lebensdauer von GroBtransformatoren . . . . . Stamm, H. . . . .
III. Fakultat fur Schwachstromtechnik
Probleme and Methoden der Pulsfrequenzmessung . . . . . . Bluthgen, F. . . .
Ein elektrisches Analogiemodell zur Veranschaulichung des bedingt
reflektorischen Verhaltens von Lebewesen . . . . . . . . . . . Bluthgen, F. . . .
IV. Fakultiit fur Feinmechanik and Optik
Mechanische Featigkeitspriifungen an diinnen optisch wirksamen
Schichten . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . Buch, S.. . . . . .
Unschidliche Kippunkte . . . . . . . . . . . . . . . . Bischoff, W. . . .
B. Autorenverzeichnis
Beck, M. Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern . . . . . . . . . . .
Bischoff, W. Unschidliche Kippunkte . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .
Bluthgen, F. Probleme and Methoden der Pulsfrequenzmessung . . . . . . . . .
Ein elektrisches Analogiemodell zur Veranschaulichung des bedingt
reflektorischen Verhaltens von Lebewesen . . . . . . . . . . . .
Bagel, K. Die Struktur der stetigen Funktionen einer Veranderlichen. . . . . .
Zur Bestimmung der Widerstandskoeffizienten eines bewegten Korpers
1. Fakultilt fair Mathematik, Naturwissenechaften and technische Grundwissenschaften
. H. 1
. H. 1
S. 9
. H. 1
S. 15
. H. 1
S. 29
. H. 1
S. 39
. H. 2
S. 81
H. 2
S. 85
. H. 2
S. 93
. H. 2
S. 99
. H. 2
S. 105
. H. 2
S.115
. H. 3
S. 173
H. 3
S.183
. H. 3
S.189
. H. 3
S. 207
. H. 1
S. 51
. H. 2
S. 135
. H. 1
S. 61
. H. 2
S. 145
. H. 1
S. 69
. H. 2
S. 149
H. 2
S. 99
H. 2
S. 149
H. 1
S. 61
H. 2
S. 145
. H. 1
S. 5
H. 2
S. 81
III
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Buch, S. Mechanische Festigkeitsprufungen an diinnen optisch wirksamen
Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 1 S. 69
Hanke, E. Partielle Hartung durch Funkenentladung . . . . . . . . . . . . H. 1 S. 29
Spontane Rekristallisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 2 S. 105
Werkstoffe im Atonuneiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 3 S. 189
Latterm.ann, K. Kapillare Erscheinungen an der Kugel (zur Bestimmung der Ober-
Maruhn, K.
Megla, C.
0berdorfer, G.
PoBner, L.
Stammberger, A.
Winkler, H.
flachenspannung von Fliissigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . H. 1 S. 9
Eine Methode zur Berechnung von Approximationen einer reellen Zahl
auf geometriacher Grundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 2 S. 85
1Tber eine Methode zur Berechnung gleichzeitiger Approximationen
zweier reeller Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 3 S. 173
Zur mathematischen Theorie der Gestalt der Himmelskorper . . . . H. 3 S. 163
Neuere Erkenntnisse der drahtlosen Nachrichtentechnik . . . . . . H. 3 S. 165
Zur MaBsystemfrage in Physik and Technik . . . . . . . . . . . . H. 2 S. 77
Konstruktionstafel zur Viergelenkkette . . . . . . . . . . . . . . H. 1 S. 39
EinfluBmatrizen. Anwendung der. Matrizenrechnung in der elementaren
Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2 5.115
EinfluBgroBen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H. 3 S. 207
Elektrische Isolierstoffe in Hochspannungsapparaten . . . . . . . . H. 1 S. 51
Zum Problem der Lebensdauer von Grolltransformatoren . . . . . . H, 2 S. 135
Nomogramme der Widerstandskoeffizienten eines bewegten Korpers . H. 3 S.183
17ber eine elektronische Analogiemaschine zur Losung von Differential-
gleichungen hoherer Ordnung and zur Untersuchung von Problemen der
Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.1 S. 15
1?ber Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre and einer Photo-
zelle mit Sekundarelektronenvervielfacher fur die Verwendung in elek-
tronischen Analogierechenmaschinen mit groBer Arbeitsgeschwindigkeit H. 2 S. 93
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9. Wahl der Modulationsart
Je nach ihren besonderen technischen Eigenschaften
ergeben sich ffir die drei bisher anwendbaren Modu-
lationsarten (Amplitudenmodulation AM and EAM,
Frequenzmodulation FM and Pulsphasenmodulation
PPM) verschiedene Anwendungsgebiete. Die Ampli-
tudenmodulation beansprucht bei Einseitenband-
iibertragung das kleinste Frequenzband im Vergleich
zu den anderen bisher bekannten Modulationsarten.
Obwohl sie gegenuber der Zweiseitenband-Amplituden-
modulation eine beachtliche Reichweitenverbesserung
bring, wird auch sie fur Funkrelaislinien selten ver-
wendet, da die bei Schwundeinbrnchen auftretenden
Pegelschwankungen rich bei ihr auf die Dynamik
auswirken. AuBerdem soil bei Verwendung der Ampli-
tudenmodulation kein Frequenzgang der Amplitude
auftreten, eine Forderung, die sich bei der Hinter-
einanderschaltung mehrerer Teilstrecken nur schwer
erftillen 10t. Deshalb wird zur Zeit die Amplituden-
modulation nur bei Kleingeraten and Reportage-
anlagen, die im Endstellenbetrieb arbeiten, ange-
wendet, da es hierbei auf besonders kleinen geri te-
mal3igen Aufwand ankommt.
Bei der drahtlosen Vbertragung groBer Bandbreiten,
wie z. B. des Bildgemisches einer Fernsehsignals,
wird man in Zukunft vielleicht doch auf die Einseiten-
band-Amplitudenmodulation (EAM) zuruckgreifen,
da hier der hochfrequente Bandaufwand bedeutend
geringer ist als bei der Frequenzmodulation (FM).
Dies zeigt besonders deutlich folgende Vberlegung:
Nach Tafel II ist bei Verwendung der FM fur einen
Modulationsindex von z. B. tj = 3 eine hochfrequente
Bandbreite notig, die 12,5mal so grog wie die hochste
zu ubertragende Modulationsfrequenz sein mull.
Bei der EAM wird aber nur eine hochfrequente Band-
breite vom 1,25fachen der hochsten Modulations-
frequenz gefordert (Tafel II). Das heiBt, der Aufwand
an hochfrequenter Bandbreite ist bei der b'M in diesem
Fall zehnmal so grog wie bei der EAM, wenn das
gleiche NF-Band ubertragen werden soil. Der Vorteil
der wesentlich kleineren HF-Bandbreite bei der EAM
kann aber nur dann ausgenutzt werden, wenn eine
geniigend grol3e Leistungsreserve vorhanden ist and
Regelglieder vorgesehen sind, die die auftretenden
Pegelschwankungen automatisch ausgleichen.
Bei der FM and der PPM ist die Linearitat des Am-
plitudenganges nur von geringer Bedeutung; hier
mull vielmehr der Phasengang moglichst linear sein.
Die Linearitat des Phasenganges kann aber durch
ausreichende Bandbreite erreicht werden. Aus diesem
Grund and wegen der vorher erwahnten Dynamik-
veranderungen bei Pegelschwankungen wird die
Amplitudenmodulation fur Richtfunksysteme zur
Zeit kaum angewendet, wahrend die Verfahren, die
den Nachrichteninhalt durch zeitliche Veranderungen
verschliisseln, als FM- and PPM-Anlagen eingesetzt
werden. Mit Hilfe der PPM lassen sich nach dem
bisherigen Entwicklungsstand maximal 24 Gesprachs-
kanale iibertragen, da mit einer Erhohung der Kanal-
zahl die Zwischenraume der einzelnen Kanalimpulse
untereinander zu klein wfirden, um die Nebensprech-
forderungen zu erfiillen. Eine Erhohung der Kanalzahl
ist bei dieser Modulationsart nur moglich, wenn unter
Verwendung von Weichen fiber eine gemeinsame
Antenne mehrere HHF-Trager geschaltet werden,
wobei jeder Trager dann mit einer 24-Kanalgruppe
moduliert wird. Auf these Weise sind Funkrelais-
stretken mit 96 Gesprachskanalen erstellt worden.
Weiterhin konnen PPM-Anlagen zu Ubertragung
von Telegrafiezeichen (auch Bildtelegrafie) sowie ale
3-Kanal-Zubringer fur Rundfunksender mit einer
Bandbreite pro Kanal von 30 Hz... 15 kHz verwendet
werden. Haufig werden Richtfunkstrecken an be-
stehende Tragerfrequenz-Kabelnetze angeschlossen.
In diesem Fall wird man FM-Richtfunkanlagen
einsetzen, da bei der PPM der Ubergang vom Kabel-
netz zur Funklinie nur nach Demodulation bis zur
Niederfrequenz m6glich ist. An der Ubergangsstelle
mullte also ein TF-System vorhanden sein, das die
Einzelkanale dem PPM-Endamt zur Verffigung stellt.
Dagegen kann von einer frequenzmodulierten Richt-
funkstation das tragerfrequente Band an der Ver-
bindungsstelle ohne Demodulation direkt fibernommen
werden, wodurch eine zusatzliche Verschlechterung
der Vbertragungsgiite durch Demodulations- and
Modulationsvorgange entfallt. Als Fernsehzubringer
zur Ubertragung von Videosignalen ist die PPM wegen
der zu grollen Bandbreite nicht geeignet. Dagegen
bereitet die Ubertragung derart breiter Bander mit
Hilfe von FM-Richtfunkanlagen keine Schwierigkeiten.
Vergleicht man die Eigenschaften der einzelnen
Modulationsverfahren untereinander, so kommt man
nach dem jetzigen Stand der Technik zu folgendem
Ergebnis :
1. AM - wird in der Richtfunktechnik nur fur
Kleingerate and Reportageanlagen imEnd-
stellenbetrieb verwendet;
2. EAM - kann in Zukunft wegen des relativ
kleinen hochfrequenten Bandaufwandes
fur die Ubertragung grol3er Bandbreiten
in der Richtfunktechnik Verwendung
finden;
3. FM - besondere Bedeutung fur Vielkanalan-
lagen and Fernseh-Bild- and Ton-Zu-
bringerlinien. Zur Zeit am meisten an-
gewendete Modulationsart fur Richt-
funkstrecken;
4. PPM - geeignet zur Ubertragung kleiner Kanal-
zahlen (maximal 24) and fur 3-Kanal-
Rundfunkzubringerdienste. Einfache Ab-
zweigmoglichkeit einzelner Kani le von
der Hauptlinie.
Literatur
[1] Franz, K., Zeitschrift fur Hochfrequenztechnik and
Elektroakustik 62 (1943), H. 5, S. 129... 131.
[2] Megla, G., Nachrichtentechnik (1954), H. 3, S. 98... 102.
[3] Megla, G., Nachrichtenubertragung mittels sehr hoher
Freq ienzen, Fachbuchverlag Leipzig 1954.
[4] Megla, G., Zeitschrift fiir Hochfrequenztechnik and Elektro-
akustik (im Druck).
[5] Saxton, J. A., Wireless Eng. 25 (1948), S. 110... 116.
[6] Meinke, H. H., Kurven, Formeln and Daten aus der DM-
Technik. Technische Hochschule Munchen, 1952.
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Wissenschaftliehe Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotecbnik Ihnenau ? 1 (1954/55) Heft 3 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat fur Mathematik, Naturwissenschaften und technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 12
Institut fur Mathematik und Mechanik, Direktor Prof. Dr. Karl Bogel
Als Manuskript gedruckt! DK 511.145:511.7
Eingang : 31.5. 1955
Uber eine Methode zur Berechnung
gleichzeitiger Approximationen zweier reeller Zahlen
Von Dr. phil. Karl Lattermann
? 1. Das Problem
(I) In dieser Arbeit sollen zwei irrationale Zahlen C'
und l;" durch eine unendliche Folge von Briichen
mit gleichen Nennern approximiert werden. Die
Briiche sollen die Gestalt
A' All,
B. Bn
haben, worin A'n, A"n u~Ld B. gauze Zahlen sind;
B.+1 > Bn > 0, n = 1, 2, 3, .... Ferner soil das
,,Naherungsgesetz"
All,
~'-A'a < IA?
B. Bn j/B, Bn
sein. Aus (2) ergibt sich daann
C11.
(II) Es geniigt, l;' < 1, C" < 1 vorauszusetzen.
Weiterhin wird eine solche Zahl C < 1 durch 1 1;
ersetzt, wenn l; > 1 2 ist. Dies kann geschehen, weil
rich aus einer Approximation von 1 - leicht eine
solche fur l; gewinnen laBt. Es sollen demnach unter C'
und C" immer zwei irrationale Zahlen verstanden
werden, die kleiner als 2 sind. Danach gilt:
(4)
(III) Es gibt nun zwar schon Beweise fur die Existenz
der gesuchten Approximationenl). Auch hat Letten-
meyer ein geometrisches Verfahren angegeben, solche
Approximationen tatsdchlich aufzufinden [1]. Er
ltonstruiert mit Hilfe von Spannquadraten sogenannte
,,ausgezeichnete Punkte" B,,, durch die er die Approxi-
mationen bestimmt.
Diese genugen dem Naherungsgesetz (2) und dariiber
hinaus der Bedingung
max (
(5) < max (
C, - a-} 1
b ,
1
2, 0 = A',,, < ~"Bn > = A"n n = 1, 2, 3, ... .
Diese Bezeichnungen gelten selbstverstandlich nur
fur Approximationen, die eben (6) and (7) schon
genugen. (8) gibt bei gegebenem B? die Gestalt der
Approximationen -(1), die wegen (3) die gestellte
Aufgabe losen.
(VI) Wegen (8) geht (6) fiber in
(9) I C'B, - I I I,
so sind y(') and y(") ein Paar von Funktionen von x,
das graphisch dargestellt werden kann and das fur
-1 1
YO < x ,-, y(") < x--?s, x = Bn, n = 1, 2, 3, ..., also
fur y(') < Bn ", y(") < Bn-' das Naherungsgesetz (6)
als ?Sonderfalle" fur jeden Wert it = 1, 2, 3, ... in
sich enthalt. Bemerkt sei noch, dab in (11) Ausdrucke
von der Form < 1,5 > keine Schwierigkeiten bereiten
konnen; ist beispielsweise t? = 0,1875 and x = )/12,
so ist < ~ x > = 1,5 zweideutig 1 oder 2. Trotzdem ist
eindeutig y ~ x - < ~ x > I = 2 da sowohl 11,5 - 11
= 0,5 als auch 11,5 - 21 = 0,5 ist. Fur die bier inter-
essierenden Sonderfalle ist < C Bn > immer irrational,
also nie etwa 1,5. (Es werden im ubrigen nur Werte
fur x > 0 benotigt.)
(VII) Es werden nun die Funktionen (11) graphisch
dargestellt. Als Zahlenbeispiel diene
C' = 0,307 978 528 37 . . ., ~" = 0,1370633395
... .
Es sind zwei irrationale Zahlen, denn eine der Wurzeln
der kubischen Gleichung x3 - 7x + 7 = 0 lautet
x1 = 1,6920214716 ..., ihr Quadrat ist x12 -
2,862936660 .. Dann ist (gemaB ? 1) gesetzt 2 - xl
= ~' and 3 -- x12 = c". Man erhalt Bild 1 auf folgende
Weise :
In dem Aclisenkreuz, das aus einer waagerechten
x-Achse and einer senkrechten y-Achse gebildet wird,
kommt nur der Quadrant x > 0, y > 0 in Betracht.
Stets ist 0 < y (x) < 2 , im ubrigen Sind y(') and y(")
stetige Funktionen. Sie Sind aus Tauter Geradenstiicken
zusammengesetzt, and zwar aus lauter kongruenten
?Zacken". Unter einer Zacke soll jeder Teil der
Kurve von einer Nullstelle his zur nachsten verstanden
werden. Das zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Nullstellen der Kurve liegende Stuck der x-Achse
heiBe die ?Lange" der Zacke. Alle Zackenlangen einer
Funktion Sind gleich, and zwar betragen die Zacken-
langen, wenn man die zu y(') and y(") gehorigen Langen
mit z' bzw. z" bezeichnet,
(12) z' - , z" - ~1 (Beweis in Abs. IX).
In der Figur ist z' = 3,2469796034..., z" _
7,2958969455.... Wegen ~' < -2 < ist immer
z' 2, z" > 2. - Fur x = 0 ist auch y = 0, fur
x = z' = 1 bzw. fur x = z" = 1 ist wieder y = 0,
ebenso fur alle Werte mz' bzw. mz", wenn in die
Reihe der natiirlichen Zahlen durchlauft. Die zu y(')
gehorigen Werte von y sollen in bestimmten Fallen
auch yn('), die zu y(") gehorigen yn(") heiBen. yn(') and
yn(") haben noch eine besondere Bedeutung. Lal3t man x
der Reihe nach alle ganzen Zahlen durchlaufen, so
stellen yn(') and yn(") Sonderfalle der linken Seiten der
Gleichungen (11) dar. Unter den ganzen Zahlen,
die die Variable x durchlauft, sind nun solche, die
(10) erfiillen, andere tun dies nicht. Die ersteren Sind
die B,,. Dann ist auch (6) and somit (2) erfullt. Um-
gekehrt: geniigt ein x der Formel (10), so ist es ein B,,.
Nur diejenigen y(') and y("), die (10) bzw. (6) ge-
nugen, werden durch yn(') bzw. yn(") ersetzt.
Es gilt also (vgl. (9)) :
(13) yn(')= 1 x -- c", also 1 < 1 ist.
Wie im Vorhergehenden angefiihrt, sollen die Appro-
ximationen den Bedingungen (2) bzw. (6) and (5)
geniigen.2)
Um ganz sicher zu gehen, welches die ersten branch-
baren B. sind, d. h. solche, fiir die (2) and (5) erfiillt
sind, berechnet man der Reihe nach fiir alle ganz-
zahligen Werte x die yn(') and yn(") entweder his etwa
1,5 oder his man das erste Bn gefunden hat. Auf
cl,
jeden Fall untersucht man die oben genannten 4 Werte,
1
insbesondere ~,,. (Mit Leichtigkeit kann man auch das
Verlangte aus der graphischen Darstellung ablesen.)
Man findet dann im Beispiel durch Rechnung (oder
durch Ablesen aus der Zeichnung) folgende ersten
brauchbaren Werte fiir x. Es seien die Werte von Yn(')
and yn("), die auch die Koordinaten von B. genannt
sein mSgen, beigefiigt:
Bo = 1, yol') = 0,3079, Yo(") = 0,1370,
B1 = 6, Y10 = 0,1521, Yl(") = 0,1776,
B2 = 7, Y20 = 0,1558, Y2(") = 0,0405.
Man sieht, es ist yo(') = 0,3079 (vgl. (14)), yl(")
= 1776, Y2(') = 0,1558, also yo > yi > y2, ferner ist
1 1 1
Y2 < --, wie
Yo < 2' Y1 < - )/6 ~/7
rechnet.
(XI) Durch B, = 6 and B2 = 7 wird bestiitigt, daB
die gesuchten brauchbaren Approximationen da
liegen, wo die beiden Zackenenden nahe beieinander
and in der Nahe von ganzen Zahlen liegen, wie dies
die Bedingungen (15) and (16) vorschreiben (vgl.
Bild 1). In der Nahe von x = 6 bzw. x = 7 endet die
Zacke von y(') zum zweiten, die von y(") zum ersten
Male. Die beiden Langen sind 2 z' = = 6,4939592068..
and z" 7,2958969455.... Der nachste Schritt
des Verfahrens besteht nun darin, durch Rechnung
eine Stelle zu finden, wo die Zackenenden noch
naher beieinander liegen als bei x = 6 and x =7.
Der entscheidende Unterschied zwischen den Zacken-
enden, da, wo die erste brauchbare Approximation
vorliegt, heiBe d. Allgemein ist fiir ganzzahliges mv'
and mv"
(17)
M, my
Pr Frr
= dv.
Im Beispiel ist ml' = 2, m1" = 1, somit zl =
16,4939592068-7,29589694551 = 0,8019377387 (ab-
gerundet). Man kann nun die kleinere der beiden
Zackenlangen, also
Kier - = 3,2469796034... durch 4 teilen. Dann
bekommt man einen konstanten Wert
a) Die Frage, welchen kleinsten Wert c in den Ungleichheits-
beziehungen
An' e Ann c
B I (vgl. (21)) verzichtet werden. Daher werden
die folgenden Nenner in der Form geschrieben:
Br r sei ein Index. Berucksichtigt man
auch bei deem oder den ersten B,, die Abstreichung,
so erhalt man die Folge:
(22) Bo = 1; B, = I \; Bz =
(B, liefert inn Beispiel jedoch zwei Werte, 6 and 7).
Ebenso hatte man k = ._1- bilden and dann 1
mit k multiplizieren konnen. Das Ergebnis ist das
gleiche. Kleine Ungenauigkeiten treten nur gelegent-
linh aan7. im Anfana anf
17 - 7,295891 = 0,29589 and 7 - ~- > 2 , jetzt
ist 129,22273 -291 = 0,22273 and 129,18356 -291
= 0,18356. Die drei r.Werte in (15) and (16) sind also
kleiner geworden. Nun muB aber untersucht werden,
ob der gefundene Wert ?29" auch tatsachlich den
Bedingungen (6) and (5) geniigt.
Dies ist der Fall, denn mit B4 = 29, y4(') = 0,0686,
= 0,0251, ist 0,0686 < 1 1
Y4(") 0,0251 < r; ferner
j129
0,0686 < 0,1558, d. h. y4 < yz. B4 = 29 geniigt
also gewiB (6), hinsichtlich (5) ist das Ergebnis hier
nur ein vorlaufiges (s. a. weiter unten). Jetzt sollen
erst die Betrachtungen in anderer Richtung fortgesetzt
werden.
(XII) Es sei auf den Fall hingewiesen, dal in (20)
das Minuszeichen gilt. Prinzipiell Neues brings der
Fall nicht, weshalb man sich hier kurz fassen kann.
ist (im Zahlenbeispiel ist es um-
1 2
gesetzt werden and + 4 = in Ansatz kommen.
Multiplikation mit k ergiht dann
k + k4 = mit
k4 = 1 . Dann fahrt man fort wie bisher. Es sei
bemerkt, daB natiirlich immer die kiirzeste Entfernung
der beiden in Frage stehenden Zackenenden bei den
ersten - durch Rechnung ermittelten - Bain Betracht
1 2
kommt. So ist im Zahlenbeispiel 4 = -
3
nicht etwa = - - (= E), denn es ist, wie
man aus dem Bild sofort erkennt, 4 < E.
(XIII) Das Verfahren wird nun so fortgesetzt: man
bildet jetzt
(23) B, =
(24)
Im Beispiel ist _ = 7, ml" = 1,

= = 29. Also ist B4 = 29. (Weshalb hier
schon der Index 4 in B4 auftritt, wird alsbald erklart.)
Bei x = 29 liegen also beide Zackenenden nahe bei
einer ganzen Zahl and nahe beieinander. Das zeigt
Bild 1 deutlich. Die Rechnung ergibt folgendes Bild:
es ist 4 . t1- = 29,18356, 9 ? ~f = 29,22273. War
(26)
>
(s sei ein Index), and*)
B,+i (+ 1)>> , ferner
k>
~ and
B,+2 C
Be 3 . , usw.
~I
Sind (24), (26) usw. mit Faktoren (k + 1) noch nicht
zur Anwendung gekommen, so liefern (23), ebenso
(26) usf. mit den Faktoren k - also ohne (k + 1) -
je einen neuen Wert B,,. Dariiber hinaus kann aber
auch z. B. (24) noch ein neues B. liefern, muf3 es
aber nicht. Hat jedoch (24) oder (26) usf. einen
neuen Wert B. erzeugt, so wendet man auf ihn wiedef
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Lattermann: Uber eine Methode zur Berechnung gleichzeitiger Approximationen zweier reeller Zahlen
erst (25) now. an. Man bildet also in diesem Falle
nach (24) nicht (25) oder (26), sondern
(27) B.'
\
wodurch man einen neuen Wert B. erhalt. Dann
operiert man noch mit (k + 1), d. h. man konstruiert
(28)
B..+1=
max (81', 81") ist. Vgl. in Bild 2
die Werte 4,, bei 10 and 27. Dann gibs es immer ein
n
Bn
A'.
All,
Formel
1
6
2
1
1
2
7
2
1
<
C"
>
4
29
9
4

5
117
36
16

6
146
45
20

7
474
146
65

8
591
182
81

9
2393
737
328

10
9689
2984
1328

11
12082
3721
1656

yn(') yn (")
0,152130
0,177619
0,155846
0,040556
0,068622
0,025163
0,033487
0,036410
0,035134
0,011247
0,018177
0,031977
0,015310
0,004433
0,007381
0,007428
0,003961
0,006696
0,003420
0,000732
Man iiberzeugt sich leicht durch Rechnung, daB alle im allgemeinen durch Probieren leicht zufindendes,
B. den Bedingungen (2) and (5) geniigen. (Weitere (wohl immer) ganzzahliges t, demzufolge zwar nicht
Beispiele folgen.) - Im Falle des Absatz XII tritt B \ sondern
in den Formeln k - 1 and k statt k and k + 1 auf. 2 =
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(32) B.
Beispiel 2 mit Bild 2 gehort hierher. Es ist t = 3.
Eine ausfiihrliche Untersuchung fiber alle Werte, die
t annehmen kann, bildet ein Desideratum. Im Bei-
spiel 1, wie uberhaupt im Fall 1, ist t = 1. Der Fall 2
ist dadurch auf Fall1 zuruckgefuhrt. Die Formeln
des Falles 1 ((22)-(28)) gelten nach Ersetzung von
k durch tk auch hier, ebenso bleibt alles andere fiber
den Fall 1 Gesagte gfiltig (vgl. auch ? 4). Hierdurch
werden die Ausfiihrungen in I-XIII erganzt, wo
zunachst nur auf Fall 1 mit t = 1 eingegangen war.
Noch ein weiterer Fall muB berffcksichtigt werden.
Es kann mit 42 > 41 max (b2', b2") < max (bl', bl")
oder doch wenigstens max (#2', 82") < max (81', '01")
sein. (Vgl. in Bild 1 41 bei 7 and 4 2 bei 23, ferner in
Bild 2 die Werte bei 17.)
Man kann diese Werte fortlassen, denn man bekommt
schon nach Fall 1 oder 2 die gesuchte Folge von
Approximationen. Eine neue Folge von Bn ergibt
sich im Fall 3 nicht. Man kann aber die Falle 1 and 2
noch durch Einschaltungen nach Fall 3 bereichern.
Im Beispiel ]i gewinnt man eine solche Bereicherung
durch die Biildung von
(33) B2 = / 1 \ 1 \ = 23,
indem man in k fortlaBt. Eine andere solche
Bildung ist z. B. oft < >. Doch so11 auf Einzelheiten
hier nicht weiter eingegangen werden (vgl. auch Bei-
spiel 2). - Nun moge Beispiel 2, das den Fall 2 belegen
soll, folgen. Es sei
~' = y'0,17002895890750190522 = 0,4123456789...
1/0,01262155154503276945 = 0,1123456788...
= 2,42510 = 8,90109..., 4 = 0,79931... ,
k = 3,0379, = 3, t = 3. Man erhalt :
n
B?
0
1
1
2
1
2
7
3
3
10
4
4
17
7
5
63
26
6
80
33
9
7
730
301
82
8
810
334
91
Bemerkt sei, daB 4, = 19,70040-8,901091 = 0,79931
l k') \
ist. An and fur sich ware das nachste B. B2 = >
= 27 mit 42 = 26,70327-26,676101 = 0,02717. Es
ist 4 2 < 41, aber es ist Y20'0 = 0,133333, Y2(?) _
0,033333, also Y2 > y3 (bei ?10"). Demnach ist 42
schlechter gelegen als 41, and auch als J4 bei ?17",
denn 44 = 117,80218-16,975701 = 0,82648, also ist
42 < 44. Mitt = 3 erhalt man jedoch ,Hauptwerte",
namlich Bo = 1, B2 = ?~ = 7 and B3 = 10,
Bs = > = 80; B7 = ) < aR ( ) d. h.
R(a k>
R a
a < , ganz.
a nehme in (54) der Reihe nach die Werte 1, 2, 3, .. .
an. a = 1 ist schon durch XVI erledigt. Unter all
den ubrigen Werten liefert aber im Gegensatz zu
a = 2, 3, ... erst a = , wie aus (51) his (54)
m ,"
folgt, ein Minimum. Denn, werden alle Reste von ?_1,
durch Multiplikation mit verkleinert, so das
Minimum, aus dem B., folgt, am meisten. Dieses
folgt aber urspriinglich aus -- (vgl. XI). Deshalb ist
a = k zu setzen. Also ist unter Beriicksichtigung der
notwendigen Abstreichungen im Falle eines nicht
ganzen a (vgl. XI) B k k .
(XVIII) So wird das Verfahren fortgesetzt. Es liefert
Approximationen, die immer besser werden. Es
schreitet von einem Minimum der 0, zum ndchsten.
Man sieht, wo sich ein Minimum auffinden 1a13t, ge-
schieht dies durch das Verfahren. Im Zahlenbeispiel 1
ist ma" = 0, Bo = 1, m1" = 1, B2 = 6 and B3 = 7,
m2? = 3, B3 = 23, m3" = 4, B4 = 29, m4., = 16,
B5 = 117, usw. Es ist nun aber in XVII nur nach-
gewiesen, daB z. B. me" = 2 = 8, m,,1" = 3
= 12, a ein Index, keine Verbesserungen der Appro-
ximationen, d. h. Verkleinerung der Fehler 4,, bzw.
Sv bzw. tv bringen. Dazwischen bleiben noch die
Werte 5, 6, 7, 9, 10, 11 fur m,,". Mit einer Ausnahme
(s. nachster Absatz) kommen these Werte, die Zwi-
schenwerte heil3en sollen, bei der Bildung neuer B.
nicht zum Zuge. Man sieht leicht ein, daB die Zwischen-
werte + 1, + 2, ... 2 + 1, 2 + 2, ...
3 + 1, 3 + 2 ... gegenuber den hier behan-
1
da I s 1 < 2 ist.
(XIX) Nur eine Ausnahme gibt es, and das ist folgender
Fall. Es kann bei 2 + 1 z. B. eine besonders
giinstige Konstellation vorliegen, es muf dies aber
nicht immer zutreffen. Man verfolge die Tabelle
weiter. DaB die Fehler bei 2 and 2 + 2 auf
alle Falle gro13er sind als der bei , ist sofort ersicht-
lich. Aber bei 2 + 1 kann sein 4, 0, 42 0.
Dann ist
(56) F = 4, - 24, = 4, - IEI 24, = (1-21EI) 4,.
Ist IEI hinreichend klein, so ist
(57) F =(I -2 181) 4, 4_.
1
Es entsteht kein neues B,,. Ist dagegen 1 EI < 2
hinreichend groB, so ist
(58) F = (1-2 181) 4, < 42.
Dann entsteht ein neues B,,. Es handelt sich dann,
wie man leicht nachrechnet, um die Falle, wo
statt in den Formeln auftritt (vgl. z. B. (24), (26)).
(XX) In XV ist vorausgesetzt, daB die Folge der 4,,
abnehme. Dies trifft zu, wie man in XVI his XIX
gesehen hat. Jedoch ist das Abnehmen der 4v nicht
monoton. Das liegt daran, daB 4v+1 gegenuber 4,,
positiv oder negativ zu nehmen ist, was wiederum
davon abhangt, ob bei der Abstreichung der ,
k> ... kleine GroBen verlorengehen oder hinzu-
treten. Ferner spielen die besonderen Verhaltnisse
Beim Auftreten von Faktoren (k + 1) eine Rolle.
(XXI) Sieht man aber von der Erscheinung der Nicht-
monotoniti t ab, so konvergieren die 4,, gegen
Null. Wenn man annimmt, daB die 4v gegen einen
bestimmten Wert a > 0 konvergierten, so diirfte es
keine Zahl k geben, die bewirkte, daB a - e,, 8o > 0,
beliebig klein - wobei a doch das Minimum der Diffe-
renz zwischen den Zackenenden bei den B. ist - von
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Lattermann: Uber eine Methode zur Berechnung gleichzeitiger Approximationen zweier reeller Zahlen
einer festen Stelle an unterboten werden konne.
Infolge der Irrationalitat von C' and C" ist diese
Annahme ausgeschlossen. Es kann immer wieder
giinstig gelegene 4,, von beliebiger Kleinheit geben,
die dann eine Verbesserung der Approximation
hewirken. Also konnen died, nur gegen Null konvergie-
ren, d. h. es gilt (38) lim A,,-* 0.
v--w
(XXII) Nun noch ein Wort zu 0,, = f(zi ), 0,, _
max (t9,,', t9,,"). Entscheidend fur die Brauchbarkeit
einen B. sind nicht die d,,, sondern die 0,,. Wegen
(30) hangt aber doch 0? von A. ab. Es spielt im ganzen
nicht nur d,, eine Rolle, sondern auch die Lage von d,,,
die durch die b,,', b,." bestimmt wird, and dann kommt
es noch auf das Maximum von b.,C', $,," = b,," C"
an, vgl. (XV).
(XXIII) Es ist weiter die Annahme gemacht, daB die
0? mit den d,, abnahmen. Dies karin sein, es muf
aber nicht der Fall sein. Man kann ein t, wohl immer
ganz, finden, so daB durch Operation mit tk statt k
bzw. mit tk + 1 wiederum die $,, mit den A. ab-
nehmen. Ist es moglich, daB rich einmal kein t linden
l1l3t, das bewirkt, data 0,, mit d,, abnimmt? Diese
Annahme ist nicht moglich. Es ist bewiesen, daB es
immer Approximationen geben mull, die dem Nahe-
rungsgesetz genugen. Nur, wenn (15) and (16) erfullt
sind, sind diese verlangten Approximationen moglich.
Anderenfalls entsteht ein Widerspruch. Das Verfahren
liefert, wie man in XVI his XIX sah, gerade alle
Stellen, die (15) erfiillen. Unter ihnen miissen aber
solche sein, die auch (16) and somit (2) genugen,
sonst wurde ein neuer Widerspruch entstehen. Es
mull also immer ein d = 41 and ein t ? 1 geben,
wodurch mit einem k aus einem B, and einem B,
die B. gefunden werden. Alle anderen Werte sind
schlechter.
(XXIV) Im Fall 1 ist vorausgesetzt, daB mit 42 < 41
auch 02 < 81, d. h.
(59) b2c < b1C
sei, = max b,, = max (b,,', b,,")
v=1,2,3,....
Im Fall 2 kam man zu derselben Sachlage; nur hatte
man hier tk, t > 1, statt k allein benotigt. Es ist be-
wiesen, daB aus d 2 b,,. Wenn dann aus der Multi-
plikation mit k auf Grund des Verfahren d 3 A, so kommen diese and die
sich daraus ergebenden Werte fur das Verfahren nicht
in Betracht. Man kann den Beweis fur
(60)
#y + 1< 6v
mit
4,,+1 2, ganz, so hatte bereits 13
%
destens -
eine Verbesserung der Approximationen
bedeutet. Dies steht aber im Widerspruch zu XXII.
? 5. Die Folgerungen
(XXX) Die hergeleitete Methode zur Berechnung der
gesuchten Approximationen lost ihre Aufgabe, indem
sie Bich fiber die Struktur der Bn Rechenschaft ab-
legt. Nur arlgedeutet seien her drei Fragen, die sich an
die Approximationsaufgabe anschliefen. Das ist
einmal die Frage, welchen kleinsten Wert die Kon-
stante c < 1 im Naherungsgesetz haben kann. Die
hier gefundenen Approximationen sind die besten,
die moglich sind. Sie genugen deshalb dem Naherungs-
gesetz, wenn man in ihm der Konstante c ihren - noch
nicht ermittelten - Minimalwert erteilt. Genugen
nicht alle gegebenen Werte dem Naherungsgesetz
mit dem Minimum von c, so doch eine Teilfolge, die
man durch Aussonderung finden sollte. - Die andere
Frage ist die der Gleichverteilung. Sie findet durch
these Faktorenmethode eine strukturelle Aufklarung4).
') Vgl. auch die Arbeit des Verfassers fiber den eindimensionalen
Fall: ,Eine Methode zur Berechnung von Approximationen
einer reellen Zahl auf geometrischer Grundlage", wo zur
Frage der Gesetzlichkeit des Irrationalen allgemein Stellung
genommen ist. (bliss. Zschr. Hochsch. f. Elektrotechn.
Ilmenau I H. 2S. 85 ... 91).
Die dritte Frage betrifft die bereits erwahnte Dis-
kussion der Werte von t.
(XXXI) AbschlieBend sei auf das von Lettenmeyer in
der Deutschen Mathematik, Jahrgang 3, Heft 1,
S. 104-108 betrachtete Beispiel verwiesen. Hier ist
0,324717, C" = 0,245122 .... Man findet, daB
1 1
4 = 1 ist, also k = 4 = = 3,08 (angenahert).
EsistBo=1,B1 / 1
0 [siehe
Formel (2)1)] aus den Werten Q1, Q2 [siehe (5 a),
5 b)] and der Zeitdifferenz r aus den Gleichungen
(1)
cos 2 }6-r - Q1 + Q2 1,2)
2
die rich in folgender Form schreiben lassen:
(2) 2 }/D ? r = arc cos Q1 + Q2
2
bzw. 2 }/ - D ? r = ar cosh Q1 + Q2.
2
Beide Gleichungen Lassen sich in einem Leiternomo-
gramm mit drei parallelen Tragern fur v, D and
Q1 2 QZ darstellen (Nomogramm 1). Das Vorzeichen
von D richtet sich nach der gegebenen EingangsgroBe
Q1 + Q2 . Es ist positiv fur Werte < 1 and negativ fur
2
Q1 + Q,r,D
Werte > 1. Zusammengehorende Werte 2
liegen, wie das auch bei alien folgenden Nomogrammen
der Fall ist, auf einer Geraden. Da fur die weiteren
Rechnungen -?D in den meisten Fallen als Ein-
gangsgroBe gebraucht wird, ist an die D-Skala noch
eine solche fur fD angelehnt.
Mit Hilfe der Nomogramme 2 a and 2 b last sich aus
den Gleichungen
(3)
sin2r}TD ? tan(C -}/D ?ta)=
and
sinh(2 r}/-D)?coth(C+I-P.t3)=
Q2 - Q1
2
Q2-Q1
2
Die Arbeitsblatter fur these Abhandlung befinden sich am
Sehiul des Heftes vor den DK-Kurzreferaten and konnen
im Bedarfsfalle herausgetrennt werden.
1) Die Hinweise im Text beziehen Bich auf die angezogene
Arbeit.
Fur die trigonometrischen and hyperbolischen Funktionen
werden die nach den neuen DIN-Vorschriften eingefuhrten
Symbole verwendet.
a'vo+2
bzw. ar coth --- fur D > 0
]I-D
Beide Nomogramme sind als N-Typ entworfen. Als
Eiugangsgrol3en sind Q2 2 Q1 and 2r Y f D zu
bilden.
Die Ergebnisskala liefert den Wert C* = C f-? D t8.
Daraus folgt danns)
(4) C=C* f }I f D?t8.
Die Nomogramme 3, 3 a and 3 b gestatten die Bestim-
mung des Koeffizienten It. Er ist durch folgende
Gleichung gegeben (siehe auch Formeln (15 a) and
(15b)):
(5)
bzw.
u*=~t?dv=CD (tan a, - tan a,)
u d v = V - D (coth a1 - coth a,),
in der fur d v = v (t1 - 2 r) -- v (t1 + 2r)
= v(t1) - v(tv)
a?=CT- }/?D? t,,zusetzenist.
Blatt 3 dient der Bestimmung der HilfsgroBen a,,.
Diese last sich auch in der Form
(6) f-? D = a C schreiben.
t
Dies ist aber eine nomographische Grundform [1]
f1(a) = f2(fl) + f3(Y)
g3 (Y)
mit zwei parallelen Tragern f1 (a) D and
f2(1) = T- a.
Per krummlinige dritte Trager spaltet in unserem Falle
in ein C, t-Netz Oder, wenn D and C als parallele
Trager gewahlt werden, in ein a, t-Netz auf.
Die Gleichungen fur die Trager sind, wenn die Grund
form zur Verbesserung der Darstellung noch einer
projektiven Abbildung unterworfen wird, bei der die
Invarianz des Tragers f1 and die Invarianz der Par-
alleliti t der beiden Trager f1 and f2 gefordert wird:
3) Zur Berechnung von C kann auch das Blatt 3 benutzt
werden, Es ist hierbei C = a and C* = C zu setzen,
A
vo+2
]/D
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(7)
51 ~~ 1
xi Y1
1
an
0 0
x
'27721
xs Y2
1
0
a22 0
g
S 3 773 1
X3 Y3
1
0
0 1
(8)
"'3 1 -1?t
"t1 = 0
$2 = a,,
771=a22?~?D
772 = a22 ' 1 ? (+ a)
a22 ? I ? (+ c)
773= 1 - t
Das Nomogramm ist sehr einfach zu zeichnen. Die
Skalen fur VD and a sind linear. Das C,t-Netz wird
aus Geraden gebildet, wie man leicht sieht. Die Kurven
fur t sind Geraden, die parallel zu den beiden anderen
Tragern verlaufen. Eliminieren wir t, so erhalten wir
als Gleichung des dritten Tragers n3 = T- a, 2 ? 1 . C ? $3.
all
Das ist aber eine Geradenschar durch den Nullpunkt.
Aus den Blatt:ern 3 a and 3 b ist nach Ermittlung der a?
der Koeffizient ,u zu bestimmen. Die Formeln (5)
fiir u* =y ? 4 v lassen sich in folgender nomogra-
phischer Grundform schreiben
f._n[l-4- f-rv1
11 lal --
92 0) + 93(7)
die sick im aillgemeinen in einer Geraden and in zwei
krummlinigen Tragern darbietet. Da jedpch wieder
vier Veranderliche abgebildet werden miissen, wird
sich ein Trager in ein Netz aufspalten. Wir schreiben
(5) also in der Form
(10)
u*+0
ID tan al- tan a2
{ 0
u*
bzw. V'- D =
Goth a1 - coth a2
and unterwerfen die Grundform einer projektiven
Verzerrung von der Form
a,1, 0 0
0 a21 0
1 0 1
Die Koordinaten der endgiiltigen Darstellung lauten
a92 u*
2 tan a1 + 1 ' 12 tan a1 + 1
tl = 0, o/1 = a22 VD
ail
all _
43= , 1/3=0
tan a2 + 1,
and entsprechend for D < 0. Es ergeben sich zwei
aufeinander senkrecht stehende gerade Trager fur
V% f D and a 2 and ein Geradennetz fiir u*, a1.
I)ie Geradenschar fiir a1 verlauft parallel zum D-
Trager, fiir u" bildet sie ein Strahlenbiischel mit dem
Nullpunkt als Zentrum.
Blatt 4 dient zur Bestimmung des Koeffizienten 2 aus
der Gleichung
(12)
P
D ? coth a 2/2
-2/2
V D?Lana
=-
Die Gleichungen (12) entsprechen dem bei (6) be-
handelten Normaltyp, wenn das im Zahler stehende
Produkt fur rich berechnet wird. Wir erhalten dann
ein Nomogramm mit zwei parallelen Tragern fur
v and )/D ? tan a and ein ,u, A-Netz.
Das Produkt Y D ? tan a bzw. y/- D coth a lal3t sich
in cinem N-Nomogramm darstellen, dessen Ergebnis-
skala so gelegt ist, daB sie fur das Hauptnomogramm
verwendet werden kann. Das Netz wird wieder durch
parallele Geraden and ein Strahlenbiischel gebildet.
Die Grundform ist einer Verzerrung
all 0 0
a21 a22 0
0 0 1
unterworfen worden. Damit lauten die Gleichungen
fur die Koordinaten der Trager:
(13) 2i = 0,
~2 = a11,
1 -1 -It
1/1=a22v,
1/2 = a22 . 1 ? j, tan a+ a21
a22 1 ' 2 + a21
1-1,u
Das Blatt 5 liefert den letzten der gesuchten Koeffi-
zienten x aus der Gleichung .
A2
(14) D=,u?z- T.
(14) lal3t sich ebenfalls in der Form (6) schreiben, also
(15)
x
Die projektive Umformung
all 0 0
a21 a22 0
0 0 1
gibt die Koordinaten der Trager:
(16)1=0, q1=a22?F7,
22
1/2 = a22 . 1 ? 4 + a21,
-a221?D+a21
113 1 -1?x
Mit Hilfe der Nomogramme 6, 6a and 6b lassen sich
die zuriickgelegten Wege ablesen, nachdem man die
C, D, u, 2 and x bestimmt hat. Die Gleichung fur
die Entfernung lautet
Cos (C - D?t) sinh (C + V'-D- t)
T cos C bzw. T = - sink C
gesetzt ist. Die Gleichung (17) lal3t sich wiederum
durch zwei parallele Skalentrager (x and 2 t) and
ein ,u,T-Netz darstellen.
Die Gleichung fiir die Hilfsgrolie T laBt sich auf
folgende Form bringen:
all
S`3-
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Stammberger: Nomogramme zur Bestimmung der Widerstandskoeffizienten eines bewegten Korpers
(18) tan C = T - cos f t
sin ' - t
Sie ist damit auf dieselbe Normalform zuruckgefuhrt.
Wir erhalten zwei parallele Trager fur C and T and
einen krummlinigen Trager fur }/D ? t. Nach Aus-
fuhrung einer Transformation von der Art
all 0 0
0 a22 0
0 0 a33
erhalten wir als Tragerkoordinaten:
(19) t~ 1= 0, t71=a22?tanC,
all a221 T
b2 = -, ~1 = ,
-
tr3 -
a33 - 1 aS8 sin j/D ? t
-a221 cosfD?t
q3= ass -1? a83sin ID.t .
Der entsprechende Ausdruck fur D < 0 Mat sich in
einer analogen Form
(20) coth C= T -- cosh u/- D t
sinhf-D?t
schreiben
and rich damit in derselben Art darstellen.
An einem durchgerechneten Beispiel soil die Anwen-
dung and der Gebrauch der Tafeln erlautert werden.
Es sei folgende v(t)-Reihe gegeben:
Tabelle I
x m
0
100
200
300
400
v m/s
t s
755
0
706
0,14
660
0,28
616
0,44
574
0,61.
Wir interpolieren (graphisch) auf zeitlich aquidistante
v-Werte
755 I 718
V2 -V3
Q1 =
V1 - V2
Q2 = V3 - V4
V4 - vs
0,2
684
0,3
653
684 - 653 31
718 - 684 34 = 0,912,
653 - 626 27
626 -600 26 - 1,038
0.--0.
z
Q2 - Q1
2
Es liegt also der Diskriminantenfall D > 0 vor.
Den Wert von D lesen wir aus dem Blatt 1 ab. Wir
legen dazu durch den Punkt 0,975 der Q1 + Q2 -
2
Skala and den Punkt 0,1 der T-Skala eine Ablese-
gerade and erhalten im Schnittpunkt mit der D- Skala
den gesuchten Wert D = 1,23 bzw. j/D = 1,11.
Setzen wir zur Kontrolle den gefundenen Wert D =1,11
in (1) ein, so erhalten wir in guter Ubereinstimmung
Q1 Q2 =
2
Zur Berechnung von C bilden wir zunachst das Produkt
2 ? 7, ? j/D = 0,222. Da D > 0, miissen wir mit dem
Nomogramm 2a rechnen. Wir verbinden die Punkte
2,c yD = 0,222 and Q2 2. Q1 = 0,063 and lesen
C* = 0,283 ab. Die Rechnung nach Formel (3) ergibt
Q2 Q1 = sin 0,222 ? tan 0,283 = 0,0638. Um C zu
2
gewinnen, bilden wir t3 ? Y D = 0,3 ? 1,11, addieren
diesen Wert zu C* = 0,283 and erhalten damit
C = 0,616.
Zur Bestimmung von It bilden wir eine Geschwindig-
keitsdifferenz, z. B. J v = v1 - v5 = 718 - 600
= 118 m/s.
Die zugehorigen Zeiten sind t1 = 0,1 s and t5 = 0,5 s.
Aug dern Blatt 3 gewinnen wir zunachst die Hilfs-
grol3en a1 and as, zu diesem Zweck verbinden wir den
Punkt j/D = 1,11 mit dem Punkt des Netzes, der aus'
den Werten t1 = 0,1 and C = 0,616 gebildet wird,
and lesen auf der a-Skala den Wert a1 = 0,50 ab.
Entsprechend finden wir den Wert ab = 0,06. Die
Rechnung ergibt a1 = 0,501 bzw. as = 0,061. Im
Nomogramm 3 a verbinden wir yD mit as = 0,06
auf der a, Skala durch eine Gerade. Diese bestimmt
im Netz im Schnittpunkt mit der Netz-Geraden
a1 =
0,5
den Wert ,u* =It ? d v = 0,540 and damit
0,54
_
118
= 0,0046. Die Rechnung ergibt
nach
Formel (5) ?* = 1,11 (tan 0,505 - tan 0,061) = 0,546.
Fur It erhalt man daraus 0,00463.
Den Koeffizienten A bestimmen wir aus Blatt N 4.
Einen Wert a? (z. B. as = 0,06) der a-Skala verbinden
wir mit dem Wert f+ D = 1,11 and markieren den
Schnittpunkt mit der j/D ? tan a-Skala. Diesen ver-
bindet man mit dem zugeordneten vb = 600.
(Der v-Bereich des Nomogrammes reicht jedoch nicht
aus. Wir konnen ihn aber beliebig erweitern, indem wir
die v-Skala mit einem Proportionalitatsfaktor n and
die ,u-Skala mit 1 multiplizieren. Fur unser Beispiel
n
wahlen wir n = 10. Aug Gleichung (10) ist zu ersehen,
daB these Operation erlaubt ist.)
Im Netz liest man im Schnittpunkt mit der Geraden
It = 0,0046 den Koeffizienten A = - 5,5 ab. Zur Kori-
trolle berechnen wir A aus Gleichung (12).
Wir erhalten
A = 2 (1,11 ? tan 0,06 - 0,0046 ? 600) 5,4.
Der Koeffizient x wird schlieBlich aus den nunmehr
bekannten Grulen D, A, It aus dem Nomogramm 5
bestimmt. Wir verbinden A = - 5,5 and It = 0,0046
and erhalten im Schnittpunkt der Ablesegeraden mit
dem Wert D = 1,23 den Koeffizienten x = 1850.
Die Rechnung ergibt nach (14) x = 1852.
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Damit sind aile Koeffizienten der vorgelegten Diffe-
rentialgleichung x + Ax +,u x2 + x = 0 bestimmt.
Die Nomogramme 6, 6a and 6b zur Bestimmung der
Entfernung sind als Ubersichtsblatter zu werten. Sie
gestatten, miiihelos den Einflul3 einer Anderung der
Koeffizienten auf die Entfernung abzulesen.
Es ist gezeigt worden, daB die nomographische Be-
stimmung der Koeffizienten der vorgelegten Diffe-
rentialgleichuing durchgefiihrt werden kann. An einem
Beispiel wurde die Anwendung der Nomogramme
erlautert. Die erzielte Genauigkeit reicht mindestens
aus, um sich einen ersten Vberblick zu verschaffen.
Es liegen bisher keine Anhaltspunkte fiber die Be-
reiche der Koeffizienten vor. Diese werden sich fur
bestimmte Versuchsgruppen erheblich einengen lassen.
Damit wird auch die erzielte Ablesegenauigkeit
gesteigert.
Literatur
[11 Schwerdt, H., Lehrbuch der Nomographie auf abbildungs-
geometrischer Grundlage; Springer, Berlin 1924.
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Stammberger: Nomogramme zur Bestimmung der Widerstandskoeffizienten eines bewegten Korpers
Hochschule
Widerstandskoeffizienten
fur
Elektrotechnik
eines bewegten Korpers
Zu
N 1 -6
Inst. f. Math. u. Mech.
Auswerteblatt
Versuchsreihe
x
t
zeitlich aquidistante v-Reihe
t? - t,-, =
t
7
v
I
-
Ql = t$ - vl
Q1 + Q2 = _ > 1
vl - "~'2
2 2
VS - y4
Qx = va u6 = = I
Q2 - Q1
2. = 2 = D - 0
D aus N1 Ql 2 Qa .--- z- :FD
2
C aus N 2 a, b 2z D= t3 t3? f-: D=
2 a fur D > 0 Q2-Q1 C*=
2,u D
2 t3 D
2b fiir D< 0
- C
v
a aus N3 d=v1-v,
tl = tv = _
D~ -a. t1 C > al= I ~~D?->t,,,C- - av=
a fiir D>0
it aus N3 )/ f D .---> a a ,u*
b fur D < 0 1'
d';
A aus N4 a3= CD?tan a. _ v3_ It 1 A
-
x aus N5 I
I
-2 +j/D tan a -s +j/-Dcotha
t+ = bzw.
~e ?
- ? t + in T cos (C, - j/D t) sinh (C + j/-D t)
X = - T _ bzw.
? cos E sinh C
t
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j~? t
T
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x
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1. Fakultiit fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 14
Institut fur Werkstoffkunde and zerstorungsfreie Werkstoffprufung. Direktor: Prof. Dr.-Ing. Eugen Hanke
Als Manuskript gedruckt! DK 539.17.002.3
Eingang : 25. 11. 1955
Werkstoffe im Atommeiler
Zusammengestellt nach Veroffentlichungen in in- and auslandischer Fachliteratur
Von Prof. Dr.-Ing. Eugen Hanke
1. Physikalische Grundlagen
1.1 Massendefekt and Atomenergie
Beim Aufbau eines Atomkernes aus Protonen and
Neutronen wird Energie frei. Uberpruft man die
Massen der Kernbauteile, so stellt man feet, daB fur
alle bekannten Atome die Masse der Kerne kleiner
ist ale die Summe der Massen der Elementarteilchen.
Der Massenverlust - Massendefekt genannt -,
multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindig-
keit - ist nach der beruhmten Einsteinschen Relation
(1905) E = m ? c2 das Aquivalent fur die freiwerdende
Energie. Hiermit ist gezeigt, daB Masse eine Energie-
form darstellt; 1 g Masse - unabhangig von der Art
der Materie - ist der Energie von rund 25 GWh
(= 25 Millionen kWh) equivalent. Wenn rich Masse
in Energie umwandelt, sprechen wir von ?Atom
-
energie"[1], [2.1
Bild 1
Kraft zwischen zwei Elementarteilchen in Abhiingigkeit ihres
gegenseitigen Abstandes
a Neutron-Neutron b Proton-Proton
Zwischen den Elementarteilchen eines Kernes, so-
wohl zwischen Proton and Neutron, als auch zwischen
zwei Protonen and zwischen zwei Neutronen, wirken
Behr starke Anziehungskrafte, die ?Kernkrafte" [18].
Obwohl das exakte Kraftgesetz noch unbekannt ist,
weiB man doch, ? daB Kernkrafte weder elektrischer
Natur sind, noch Gravitationskrafte darstellen. Sie
haben kurze Reichweite (= 1,4. 10-18 cm). Im Ab-
stand von wenigen Kerndurchmessern vom Kraft-
zentrum rind sie kaum wirksam. Erst bei geringer
werdendem Abstand steigt die Anziehung Behr stark
an. Bild 1 a veranschaulicht die Anziehungskraft
zwischen zwei Neutronen. Zwischen zwei Protonen
wird der Kernkraft die von der elektrischen Ladung
der Protonen herriihrende and weiterreichende Cou-
lomb-AbstoBung uberlagert (Bild 1 b).
Durch das Zusammenwirken von Kernkraften and
dem Coulombkraftfeld wird die Bindung im Kern
bewirkt. Weiterhin kann dadurch gezeigt werden,
auf welche Art bei Kernreaktionen Energie gewon-
nen wird. Jedes Elementarteilchen leistet einen Bei-
trag zur Bindungsenergie des Kernes. Dieser Beitrag
betragt zwischen zwei benachbarten Kernelementen
2,2 MeV. Ist ein Teilchen von wenig Nachbarn um-
geben, wie dies bei leichten Atomen der Fall ist, so ist
die Bindungsenergie and daher Beim Aufbau dieser
leichten Kerne auch der Energiegewinn gering (Bild 2).
Nimmt durch weitere Anlagerung von Kernbauteilen
die Zahl der Nachbarn um ein Nukleon zu, wird der
Energiegewinn immer groBer. Der Kern wird schlieB-
lich sehr stabil, was bei mittelschweren Kernen der
Fall ist. Bei weiterem Einbau von Nukleonen neh-
men die Kernkrafte zwar weiterhin linear zu, doch
steigt der EinfluB der AbstoBungskraft mehr and mehr,
da das Coulombfeld mit dem Quadrat der Kernladung
wesentlich rancher ansteigt. Von einer bestimmten
GrSBe des Kernes an wird deshalb der Massendefekt
immer kleiner. Bei Behr schweren Kernen ist schlieB-
lich durch weiteren Aufbau keine Energie mehr zu
gewinnen. Die Stabiliti t des Kernes nimmt mehr
and mehr ab, er wird instabil, also radioaktiv. Energie-
gewinn ist jetzt nur durch Kernspaltung moglich.
Bild 2 zeigt die beiden Arten der Gewinnung von
Atomenergie. Links ist der freiwerdende Energie-
betrag beim Aufbau eines schwereren Kernes aus
leichten Bestandteilen dargestellt, einem ProzeB, der
bei der Explosion der Wasserstoffbombe ausgenutzt
wurde and dessen Steuerung fur friedliche Zwecke
noch nicht gelost ist. Diese thermonukleare Reaktion
Bild 2
Mittlere Bindungsenergie E der Kerne (pro Nucleon)
als Funktion des Atomgewichtes A
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tritt durch Erhitzen von Isotopen des Wasserstoffs
auf viele Millionen Grad ein. Bei diesem Vorgang er-
folgt dann das ,Zusammenschmelzen" ihrer Kerne
zu Heliumkernen. Bei der Entstehung jedes Helium-
atoms werden 20 MeV frei. Einem kg erzeugten
Heliums entspricht ein Betrag von 1,5 ? 108 kWh. Die
hohe Temperatur kann bisher nur im Explosionsraum
einer Atombombe erzeugt werden, weswegen dieselbe
auch zur Ziindung der Wasserstoffbombe benutzt
wird. Rechts ist die zweite Moglichkeit gezeigt, aus
der Spaltung eines Kernes Atomenergie zu gewinnen.
Die Spaltung eines schweren Kernes - z. B. des
Uranisotopes 235 - erfolgt nach dem Eindringen
eines Neutrons in den Kern. Dieser platzt in zwei
Teile auseinander (Bild 3), die zu Atomen im mittleren
Spa(produkte
Bild 3
Schematische Darstellung des Spaltvorganges
zur Ableitung des dynamischen Verhaltens des Reaktors
Bereich des periodischen Systems werden. Die Bruch-
stiickkerne einittieren fi-Strahlen, wodurch Neutronen
in Protonen verwandelt werden and rich schlieBlich
ein Verhaltnis Neutronen zu Protonen einstellt, das
einem stabilen Kern entspricht. Hieraus geht hervor,
daB mit der Spaltung eine vielfaltige kiinstliche
Radioaktivitat verbunden ist. Diese stabilep Kerne
weisen - entsprechend Bild 2 - einen viel groBeren
Massendefekit auf als das Uran. Durch den Spalt-
vorgang wird daher ein groBer Betrag an kinetischer
Energie frei. Durch Abbremsung im umgebenden
Medium entsteht Warme, and zwar je kg gespaltenen
Urans 20 Mrd. kcal 20 GWh. Neben diesen beiden
Spaltatomen entstehen einige freie Neutronen, die
zum Teil den Spaltvorgang als Kettenreaktion fort-
setzen.
1.2 Uranspaltung and Kettenreaktion
Entsprechend den groBen Energietonungen dieser
Prozesse ist die Geschwindigkeit der freiwerdenden
Neutronen schr groB. Sie liegt in der GroBenordnung
von 1 MeV [3]. Man nennt diese Neutronen deshalb
auch ?schne.lle" Neutronen. Da sie ungeladen sind,
reagieren sie nicht mit der Atomhnlle, sondern dringen
leicht his zum Kern vor. Von diesem werden sie
entweder gestreut oder eingefangen.
Durch die Streuung wird die Geschwindigkeit der
Neutronen fortlaufend vermindert, his sie schlieBlich
auf die thermische Geschwindigkcit der Molekiile
herabsinkt. Diese langsamen Neutronen nennt man
daher auch ,thermische" Neutronen.
Wird das Neutron eingefangen, so wird es an den Kern
gebunden. Der Ausgleich freiwerdender Energie er-
folgt durch ]Emission von Teilchen (z. B. Elektronen)
oder auch nur durch Abgabe von Gammastrahlung.
Erfolgt der Einfang durch einen instabilen schwersten
Kern, so tritt der Spaltvorgang ein. Es kann nicht
angegeben werden, welcher dieser Vorgange im Einzel-
fall eintritt. Fur jeden Ablauf kann nur statistisch
eine gewisse Wahrscheinlichkeit benannt werden.
Diese wird zahlenmaBig durch die Wirkungsquer-
schnitte (Streuquerschnitt and Einfangquerschnitt)
definiert.
Das wichtigste Spaltmaterial fiir die Gewinnung von
Atomenergie ist Uran. Natiirliches Uran besteht aus
zwei Isotopen, U 238 and U 235. Die spaltbare Sub-
stanz ist das Isotop U 235. Es ist im natiirlichen
Uran nur in sehr geringer Menge vorhanden. Nur
0,7% der Gesamtmenge sind spaltbares U 235,
wahrend 99,3 % aus U 238 bestehen. Jede Spaltung
eines U 235-Keynes liefert im Mittel 2,5 neue schnelle
Neutronen. Davon muB mindestens eines einen
U 235-Kern treffen, damit der Sp<ungsprozeB als
Kettenreaktion fortlaufen kann (Bild 3). Die Fort-
setzung dieses Prozesses ist gefahrdet durch das in
groBen Mengen anwesende U 238. Dieses besitzt einen
groBen Absorptionsquerschnitt fiir schnelle Neutronen.
AuBerdem hat es fur Neutronen von 11 eV Energie
eine ,Resonanzstelle" sehr holier Absorption (Bild4).
Beim Einfang schneller Neutronen durch U 238 ver-
wandelt sich dieses mit einer Verzogerung von rund
2,5 Tagen in Plutonium Pu 239 nach folgender
Reaktion:
U 238 + n . - + U 239 2 /min -+Np 239 2 3 Ta . Pu 239
ge
Vk"+
Moderator uran
Bild 4 (mach Profos [19])
Einfangquerschnitte von U 235 and U 238"fiir versehiedenc
Neutronenges^_hwindigkeiten and Verlangsamung
der Neutronen im Moderator
Pu 239 hat ahnliche Spalteigenschaften wie U 235.
(Diese Reaktion wird im Brutreaktor ausgenutzt.)
Die von U 238 eingefangenen Neutronen sind fiir
den Spaltvorgang verloren. Wird diese Absorption
nicht durch geeignete MaBnahmen vermindert, so
kommt es zur Abbrechung der Reaktionskette and
somit zur Beendigung des Spaltvorganges. Nach
Bild 4 besitzt U 235 aber einen hohen Absorptions-
querschnitt fiir thermische Neutronen. Die Ein-
fangwahrscheinlichkeit fiir diese Neutronen ist sehr
viel groBer als fiir schnelle, da die Zeitdauer der
Begegnung groBer ist. Um die Kettenreaktion in
natnrlichem Uran aufrecht zu erhalten, muB man
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daher die achnellen Neutronen kurz nach ihrer Ent-
stehung abbremsen. Dies geschieht durch Einleiten
derselben in ein Bremsmedium, den sogenannten
,,Moderator". Die Moderatorsubstanz darf nur streuen,
aber keine Neutronen in stbrendem MaBe einfangen.
Hierzu ist es erforderlich, die gesamte Uranmenge
aufzuteilen and z. B. in Form von Staben bekannter
Dicke in bestimmten Abstanden im Moderator zu
verteilen. Auch bei giinstigster Konstruktion treten
Neutronenverluste durch Absorption im U 238 and
durch Austritt aus der Reaktoroberflache aus. Dieser
Neutronenverlust durch die Oberflache k1hn dadurch
relativ verkleinert werden, daB man die Reaktoren-
abmessungen vergrSBert, da die Oberflache langsamer
als das Volumen zunimmt. Unter einer kritischen
GrSBe kann ein Reaktor wegen der Neutronenverluste
nicht arbeiten. Um auch ausgetretene Neutronen
trotzdem zum Teil noch fur den UmwandlungsprozeB
zuruckzugewinnen, versucht man, dieselben durch
Reflektoren dem Reaktor wieder zuzuleiten, was
ebenfalls durch Materialien mit geringem Absorptions-
querschnitt geschieht.
Ein ,kritischer" Reaktor mit Graphit als Moderator
enthalt in einem dicht gepackten Warfel von etwa
6 his 8 m Kantenlange rund 30-40 t Uranmetall and
10 his 20 mal soviel Graphit [3]. Das Uranmetall ist
in Form von vielen hundert 6 m langen Staben von
2 his 3 cm 0 in Abstanden von 20 cm im Graphit
angeordnet. Die Dicke der Uranstabe muB kleiner
sein als die mittlere Weglange der Neutronen. Der
Abstand derselben mul so bemessen sein, daB die
erforderliche Geschwindigkeitsverminderung in der
Moderatorsubstanz mit Sicherheit stattfindet. Diese
verhaltnismaBig grol3en Mengen an naturlichem Uran
sind erforderlich, damit im Atommeiler die Ketten-
reaktion iiberhaupt zustande kommt. Diese Bedin-
gungen sind unabhangig vom Leistungspegel [4]; da-
her muB auch bei Versuchsreaktoren mit geringer
Leistung dasselbe groBe Brennstoffinventar vorhan-
den rein. Beim britischen Atomkraftwerk Calder
Hall wird z. B. der Wert der Brennstoffladung mit
5 Millionen Pfund Sterling angegeben.
Die Spaltsubstanz ist das Isotop U 235. Man ver-
suchte deshalb, natiirliches Uran mit diesem Isotop
anzureichern. Eine Anreicherung auf 1,5-2 % U 235
kann das Brennstoffinventar auf die Halfte reduzieren.
Mit noch hSherer Konzentration von U 235 and bei
Verwendung von schwerem Wasser oder von Beryllium
als Moderator lassen sich Reaktoren bauen, bei denen
man mit einigen Kilogramm reinen U 235 auskommt.
Solche Reaktoren kinnen mit langsamen and schnel-
len Neutronen arbeiten. In letztem Falle fallt die
Moderatorsubstanz weg. Man spricht von schnellen
Reaktoren. Infolge der leichteren Regelbarkeit des
Vorganges sind bislang thermische Reaktoren bevor-
zugt in Anwendung.
2. Anforderung an die Werkstoffe
Zusammenfassend kann gesagt werden, daB die in
einem Atommeiler benutzten Werkstoffe entsprechend
ihrer Zweckbestimmung - der Erstellung der er-
forderlichen Bauelemente - wie folgt einzuteilen Sind:
1. Brennstoff, also Spaltmaterial zur Erzeugung der
Atomenergie,
2. Moderatorsubstanz, die die Abbremsung der Neu-
tronen auf thermische Geschwindigkeit gewahr-
leistet,
3. Reflektormaterial zur Wiedergewinnung der aus
dem Reaktorraum austretenden Neutronen,
4. Konstruktionsteile zum Korrosionsschutz der Brenn-
stoffstabe, zur Vermeidung der Verschlackung der
Moderatorsubstanz and zur Aufnahme des Kiihl-
mittels,
5. Regulierstabe zur Steuerung des wirksamen Neu-
tronenflusses,
6. Kiihlmittel zur Ableitung der im Reaktor erzeugten
W arme,
7. Werkstoffe zum Strahlungsschutz zwecks Ver-
hinderung des Austritts von Neutronen and radio-
aktiver Strahlung.
Vor Behandlung der einzelnen Werkstoffe sollen nach-
stehend die verschiedenen Meilerarten besprochen
werden.
3. Reaktortypen
3.1 Einteilung der Meiler
Die Einteilung der Reaktoren erfolgt nach drei Ge-
sichtspunkten [5], and zwar nach der atomphysikali-
schen Wirkungsweise, nach der baulichen Struktur
and nach der Art der Warmeubertragung. Atom-
physikalisch werden die beiden oben besprochenen
Arten, der thermische and der schnelle Reaktor,
Bild 5 mach Limner u. Schmid [91)
Schema eines heterogenen Reaktors
Sp Spaltmaterial M Moderator K Kiihlmittel R Reflektor
B Bremsstab KM Konstruktionsmaterial Sch Schutzmaterial
unterschieden. Die Einteilung erfolgt hier also nach
der Art der die Spaltung bewirkenden Neutronen.
Nach der baulichen Struktur werden bei den ther-
mischen Reaktoren heterogene and homogene Bau-
arten unterschieden. Im heterogenen Meiler sind
Brennmaterial and Moderatorsubstanz voneinander
raumlich getrennt (Bild 5). Die Uranstabe rind hierbei
im Graphit verteilt. Zusatzlich befinden sich zwischen
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den Staben and der Moderatormasse die die Stabe
umhullenden Ringkanale, durch die der Warmetrager
zirkuliert (Bild 6). Wird schweres Wasser als Mode-
rator benutzt, so befindet sich dieses in cinem Behalter
Bild 6
Uranstabumhiillung
U Uranstabe G Graphit
r/,///
Bild 7 (naeh Traupel (51)
Heterogener Reaktor mit schwerem Wasser als Moderator
A Experimentierfenster B Strahlungsschutz C Behalter
E schweres Wasser G Reflektor I Mel3instrument
R, S Regelstabe U Uranstabe V zum Verstarker
(Bild 7). Gleichzeitig dient das D2O als Warmetrager.
Nachteilig macht sich im heterogenen Reaktor die
,,Vergiftung" der Uranstabe bemerkbar, wie die An-
reicherung an Spaltprodukten bezeichnet wird. Zur
Entgiftung werden die Stabe in bestimmten Zeit-
intervallen aus dem Meiler entfernt and in Saure auf-
gelost. Durch weitere chemische Verfahren werden
die schadlichen Beimengungen entfernt [6] and wird
schlieBlich die Ruckgewinnung des Urans in metal-
lischer Form durchgefiihrt, aus dem dann wieder
neue Brenristabe hergestellt werden.
Im homogenen Reaktor (Bild 8) werden Brennstoff
and Moderatorsubstanz miteinander gemischt. An-
gereicherte Uransalze werden hierbei in D2O gelost.
Bei schnellen, homogenen Reaktoren lost man einige
Kilogramm U 235 in Salzform in leichtem Wasser.
Diese Losungen befinden sich im Reaktor in einem
Zylinder aus Berylliumoxyd, der als Reflektor das
Entweichen der Neutronen verhindert. Bei der Tempe-
ratur des Wassers his etwa 300? C milssen Hochdruck-
gefal3e benutzt werden. Will man den Wirkungsgrad
bei der Umsetzung in Warmeenergie erhohen, benutzt
man als Losungs- oder Suspensionsmittel Metall-
schmelzen, wohei Temperaturen his 600? C moglich
sind.
Bild 8
Homogener Reaktor
E
1 Strahlungsschutz 2 umlaufende Fliissigkeit (Brennstoff in
Losungsmittel) 3 Reflektor 4 Warmeaustauscher
Da hierbei der Brennstoff in fliissiger Form vorliegt,
kann in einem Nebenstrom laufend eine kleine Menge
entgiftet and anschlieBend dem Meiler wieder zugefiihrt
werden. Die ganze Aufbereitung muB wegen der
Radioaktivitat der Substanzen unter hermetischem
Strahlungsschutz ferngesteuert erfolgen. Die ?Ent-
schlackung" ist daher beim homogenen Reaktor
weniger umstandlich als Beim heterogenen.
Blld 8a (nach Lintner u. Schmid 191)
Schema eines homogenen Reaktors
Sp Spaltmaterial M Moderator K Kiihlmittel R Reflektor
KM Konstruktionsmaterial B Bremsstab Sch Schutzmaterial
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Berichtigungen
Stammbsrgsr : Nomogramme - Seite 187
Auswerteblatt N 1-6: Q1= vs-va
v1- Vi
Arbeitsblatt N 3 a: a, erhiilt die gleiche Bezifferung wie a1.
Arbeitablatt N 6 a: Statt Y -D- t muB as heiBen y i) - t
hanks: Werkstoffe im Atommeiler - Seite 204:
Anetelle von ?A" and ?a" im Kopf der Tabelle V ist
?oA" u. ?Q," zu leaeu.
DK-Kurar ferats : Polner, Lothar- EinfluBgr0en -In der letzten
Zeile muB as anstelle von ?statischen" heiBen: ,statistischen"
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Hanke: Werkstoffe im Atommeiler
Schwieriger ist auch beim heterogenen Meiler die
Warmeubertragung. Der Uranstab ist von einer Um-
hullung umgeben (Bild 6), die einmal das Brennmaterial
vor Korrosion schiitzen, zum anderen Mal die Ver-
giftung des Moderators durch die Spaltprodukte ver-
hindern soil. Die Uranstabe befinden sich lose in den
Hiillen. Das Problem dieser Art von Warmenber-
tragung bereitet Schwierigkeiten and scheint noch
wenig erforscht zu sein. Ito Uranstab selbst treten
hohe Warmespannungen auf, die durch die Tempe-
raturdifferenz bedingt sind. Die gesamte Warme
wird durch die Staboberflache abgeleitet, wodurch
dort ein steiler Temperaturgradient entsteht.
Dagegen entsteht im homogenen Reaktor die Warme
gleichmal3ig in der ganzen flussigen Reaktormasse.
Zum Wermeaustausch laBt man entweder den ganzen
Reaktorinhalt dauernd zirkulieren (Bild 8), odei man
leitet das Kfihlmittel durch eine Rohrschlange im
Reaktor (Bild 8a).
3.2 Der Brutvorgang
Obwohl im langsamen, mit natnrlichem Uran arbeiten-
den Reaktor die Neutronengeschwindigkeit abge-
bremst wird, werden doch noch pro Spaltvorgang
0,8 Neutronen von U 238 eingefangen. Es findet hier-
bei die bereits erwahnte Umwandlung des U 238 in
Pu 239 statt. Durch diesen ,Brutvorgang" werden
etwa 2,5 % des naturlichen Urans umgesetzt and
nicht nur die 0,7%. Der natiirliche Kernbrennstoff
U 235 wird in der Kettenreaktion verbraucht, da-
neben wird neuer kiinstlicher Kernbrennstoff aus dem
U 238 erzeugt. Dieser Vorgang hat groBe technische
Bedeutung, denn es wird ein neuer Spaltetoff erzeugt,
der sich chemisch leicht vom Uran trennen laBt. Noch
mehr Bedeutung kame ihm zu, wenn es gelange, die
von den 2,5 Neutronen pro Spaltvorgang noch nicht
verbrauchten Neutronen ebenfalls fur die Umsetzung
Bild 9 (nach Wirtz (31)
Schema eines schnellen Brutreaktors
a Umlaufpumpe b flussiges Kuhlmetall c Wasser
d Wermeaustauscher e Wasserdampf f Betonmantel
zu gewinnen. Dies gelingt in einem schnellen Reaktor
besonderer Bauart, im Brutreaktor (Bild 9). In einem
kugeligen GefaB von etwa 30 cm 0, durch das flussiges
Natrium zirkuliert, sind einige kg fast reinen U 235
eingebracht. Die entstehende Warme wird mit einer
Endtemperatur von 350? C durch das Natrium ab-
gefiihrt. AuBen ist dieser Behalter von einer Hiille
aus U 238 umgeben, das in das spaltbare Plutonium
umgewandelt wird. Der Brutfaktor ist grOBer ale 1,
d. h. daB in der Halle mehr Pu-Atome erzeugt, als
Atome im U 235 verbraucht werden.
Anstelle der Hiille aus U 238 kann auch eine solche
aus natnrlichem Thorium benutzt werden, das durch
Neutronenanlagerung in ebenfalls spaltbares U 233
verwandelt wird. Die dabei stattfindende Reaktion
folgt nachstehender Umsetzung:
Th 232 + n -*Th 233 23 mfl- in -* Pa 233 27 4 T U 233
g?
Diese Brutprozesse sind von hoher volkswirtschaft-
licher Bedeutung, da durch sie praktisch alle Uran-
und Thoriumvorkommen der Erde in Energie uber-
gefuhrt werden konnen.
4. Die Werkstoffe im Meiler
Wie schon erwahnt, sollen die Reaktorwerkstoffe
ihrem Zweck entsprechend geordnet werden. Manche
Stoffe haben dabei such eine doppelte Aufgabe zu
erfiillen. Ein flussiger Bremsstoff kann gleichzeitig
ale Knhlmittel dienen.
4.1 Die Spaltstoffe
4.11 Natiirliches Uran
Ale technisch auswertbare Spaltstoffe kommen nach
unserem bisherigen Wissen Uran, and zwar U 235 and
U 233, and Plutonium in Frage. Uran 235 ist im
naturlichen Uran enthalten (0,7 %), Uran 233 ent-
steht aus Thorium durch Kernumwandlung nach
Neutronenaufnahme. Durch den gleichen Vorgang
entsteht Pu 239 aus Uran 238. Die naturlichen Aus-.
gangsstoffe sind also Uran and Thorium. Aug den
Erzen werden durch geeignete AufschluBverfahren
Uranhalogenide Oder -oxyde hergestellt, aus denen
durch Umsetzen mit Na oder Ca oder durch Reduk-
tion mit Mg oder Al Uranpulver gewonnen wird.
Uran wurde 1780 von Klaproth entdeckt [7]. Es ist
das schwerste aller in der Natur vorkommenden
Elemente. DaB noch vor wenigen Jahren bei den
angewandten Gewinnungsverfahren' nie reins, oxyd-
freies Material entstand, ist daraus zu ersehen, daB
etwa big 1940 der Schmelzpunkt um 500? C hoher
angegeben wurde. Big zu dieser Zeit war auch Uran
nicht sehr gefragt. Damals konnte noch ein Pro-
duzent auf die Frage nach der schwierigsten Phase
der Uranproduktion die Antwort geben: ?Das jet der
Verkauf" [8]. Die Gewinnung des Urans erfolgt aus
Erzen, von denen das bekannteste die Pechblende
ist, die im wesentlichen das Metalloxyd U$ Os enthalt.
Ebenso wird Carnotit and Monazit benutzt.
Auch in anderen Mineralien, z. B. Phosphaten, findet
sich das Uran oft in niedrigen Konzentrationen von
einigen Promille oder weniger. Da these Mineralien
bereits zu anderer Verwertung ?chemischen Behand-
lungen unterworfen werden, jet die dabei noch durch-
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zufiihrende Urangewinnung sehr rationell. So wird
Siidafrika in kurzer Zeit zu einem groBen Uranlieferan-
ten werden, da dort das Uran aus Golderzriickstanden
gewonnen wird [8].
Die Erze werden zur Entfernung von Schwefel and
Arsen gerostet. Das Rostgut wird mit Na2CO3 +
NaNO3 gegliiht and ergibt Natrium-Uranat, aus dem
das Uranylsulfat heiB mit H2SO4 + HNO3 heraus-
gelost wird. Das daraus ausgefallte Carbonat Post sich
mit Soda zum Natrium-Uranyl-Carbonat, aus dessen
Losung durch Neutralisation Natrium-Diuranat oder
beim Kochen mit NH4C1 Ammon-Uranat ausfallt.
In einem anderen Verfahren wird das Erz mit HNO3
behandelt and das gewonnene Uranylnitrat in das
Oxyd U03 iibergefiihrt. Durch Umsetzen der Uran-
halogenide UC14 and UF4 mit Na oder Ca (UF4 + 2 Ca
= U + 2 CaF2) [9], durch Reduktion der Oxyde UO2
oder U308 mit Al, Ca oder Mg, (z. B. U301 + 8 Mg
= 3 U + 8 MgO) oder durch Elektrolyse bei 500 his
900? C von KUF5 and UF5 in Gegenwart einer
Schmelze aus (Erd-)Alkalichloriden wird metallisches
Uran gewonnen. Das Metall f illt meist als mausgraues
Pulver aus, das 99% U enthalt and mitunter pyro-
phores Verhalten zeigt. Uranpulver wird auch aus
Uranhydrid UH3 gewonnen, das sick durch Gliihen
im Vakuum bei 450-480? C zersetzt; Uran wurde
fruher in Form des Oxydes UO2 zur Herstellung von
Halbleitern benutzt. Weiterhin fanden Uranver-
bindungen Anwendung zur Gelbfarbung von Glas and
Email, als Verstarker in der Phototechnik, als Kataly-
sator bei der Ammoniaksynthese and als lichtempfind-
liche Beize in der Woll- and Seidenfarberei. U30s
dient als Schwarzfarbe in der Keramik. Diese An-
wendungsmiiglichkeiten treten heute neben dem Ei:n-
satz des Urans zur Gewinnung von Atomenergie weit
in den Hint.ergrund.
Die Formgebung erfolgt durch GieBen oder durch
Sintern bei 1050? C.
Da Uran bei hohen Temperaturen sehr leicht oxydiert,
mussen bei den Formgebungsverfahren Vorkehrungen
getroffen werden, these Oxydation zu vermeiden. Die
Behandlung muB daher im Vakuum oder unter
Schutzgas erfolgen. Als Tiegelmaterial werden Beryl-
liumoxyd, Zirkonoxyd oder Thoroxyd in der Literatur
angegeben. Reines Uran hat silberweiBes Aussehen.
Es oxydiert an Luft sehr leicht. Es entsteht zunachst
ein gelber Uberzug, der sich in wenigen Tagen zu einem
schwarzen Oxydfilm ausbildet, der das weitere Fort-
schreiten der Oxydation unterbindet.
Der Schmelzpunkt wird von Schulenburg [7] mit
1090 ? 2? C, von Katz and Rabinowitsch [10] mit
1133? C angegeben.
Uran tritt in Abhangigkeit von der Temperatur in
drei Modifikationen auf: unter 660? C die ortho-rhom-
bische Kristallart des a-Urans mit den Gitterkon-
stanten a == 2,8482 AE, b = 5,8565 AE and c =
4,9476 AE, zwischen 660? and 770? C die tetragonale
j-Modifikati.on mit a = 10,52 AE and c = 5,57 AE.
Bei 770? C findet die Gitterumwandlung zur kubisch
raumzentrierten y-Form mit a = 3,43 AE statt. a-
Uran and y-Uran sind duktil and lassen sich deshalb
gut plastisch verformen. Uran kann daher unter
660? C his zur Zimmertemperatur kalt verformt
werden and laBt sich weiterhin oberhalb 770? C gut
warm verformen, wobei selbstverstandlich auch hier
der erforderliche Schutz vor Korrosion gegeben
werden muB. Das spezifische Gewicht betragt von
a-Uran bei 20? C 19,1 g/em3, von y-Uran 18,7 g/em3.
Interessant ist das thermische Ausdehnungsverhalten
des Urans. Es ist abhangig von der Kristallorientierung.
Der thermische Ausdehnungskoeffizient von a-Uran
zwischen 25 and 650? C betragt parallel zur Richtung
[100] 36,7 - 10-6/? C, parallel zu [010] -9,3 - 10-6/?C
and parallel zu [001] 34,2 ? 106 ? C. Dieser Unter-
schied in der Ausdehnungszahl kann bei entsprechen-
der Orientierung zu starken Verformungen des Urans
bei Erwarmung fiihren. Erhebliche Verlangerungen
wurden festgestellt. Sicherlich liegt auch eine elastische
Anisotropie des Urans vor, doch sind hieriiber noch
nicht ausreichende Veroffentlichungen vorhanden.
So gibt W. Schulenburg [7] den Elastizitatsmodul mit
12000 kp/mm2 an, wahrend Katz and Rabinowitsch [10]
hierfiir 21001 kp/mm2 benennen. 'Die Festigkeits-
werte in Abhangigkeit von der Temperatur, wie sie
von Sailer ermittelt wurden, sind in nachstehender Ta-
belle wiedergegeben, die einer Veroffentlichung von
K. Lintner and E. Schmid [9] entnommen ist:
Versuchs- Streckgrenze
tem- (0,2%
hlo;ho?ao
Zug-
foor;..Lo;r
Dehnung
Brinell-Harte
Yyo C"`
Dehnung)
kp/m
kp/mm2
%
20
15,6
63,3
13,5
260
300
12,7
22,5
43,0
252 (200? C)
500
4,2
7,0
57,0
13 (650? C)
35(680? C, fl-U)
Die Kerbschlagzahigkeit liegt in der GroBenordnung
von 2 mkp/cm2. Metallisches Uran wird auch von
kochendem Wasser and Wasserdampf stark angegriffen,
weshalb es im Uranmeiler durch Umhullung mit einem
korrosionsbestandigen Material geschiitzt werden muB.
Im homogenen Reaktor werden Uran and Mode-
rator gleichmaBig miteinander vermischt. Dies ge-
schieht einmal durch Losung von Uransalzen in
D20. Als Salze kommen Uranylsulfat oder -nitrat in
Frage. Ferner wird Uran in geschmolzenem Wismut
gelost. Bei 400? C betragt hierbei die Loslichkeit
0,2 %. Uranverbindungen (U3Bi5, UBi and USn3)
konnen auch in niedrig schmelzende Wismut-Blei-
Zinklegierungen als Suspension eingebracht werden.
Hierbei ist zu beachten, daB die Dichte von Suspension
and Schmelze ahnlich ist.
4.12 Angereichertes Uran
Da die mit natiirlichem Uran arbeitenden Reaktoren
riesige Uran- and Moderatormassen benotigen, ist es
verstandlich, daB man versucht hat, den Gehalt an
U 235 durch Anreicherung zu erhohen oder aber auch
nur mit reinem U 235 zu arbeiten, damit die Wahr-
scheinlichkeit des Einfangens der Neutronen durch
spaltbare Atomkerne genugend groB ist. Die An-
reicherung geschieht durch Isotopentrennung, die in
technischem MaBstab groBe Anlagen erfordert and
sehr teuer ist. Nach Angaben von H. Thirring [4]
haben die drei amerikanischen Anlagen zur Uran-
anreicherung in Oak Ridge, in Paducah and Ports-
mouth die Investierung eines achtmal so groBen
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Kapitals erfordert, als seinerzeit der Bau des Panama-
kanals gekostet hat.
Die Isotopentrennung ist dadurch moglich, daB leichte
and schwere Uranatome im Magnetfeld verschiedene
Ablenkungen erfahren oder aber such, weil beide Uran-
arten etwas voneinander verschiedene Diffusionseigen-
schaften besitzen. Gerade die letzte Eigenschaft kommt
bei den industriellen Urananreicherungsanlagen in An.
wendung. In modernen Gasdiffusionsanlagen [8] dif-
fundiert Uranhexafluorid durch porose Trennungs-
wande, wobei eine partielle Fraktionierung eintritt.
Der ProzeB mull sehr oft wiederholt werden, da infolge
des geringen Massenunterschiedes der beiden Isotopen
bei jeder einzelnen Fraktionierung nur eine auBerst
geringe Anreicherung erfolgt.
Da moglicherweise in der Atomtechnik aus wirtschaft-
lichen Grunden eine Umstellung auf Briiterreaktoren
erfolgen wird, werden in diesen Pu 239 and U 233 in
geniigend groBen Mengen als hochaktives Material
von selbst anfallen. Die Anreicherung an U 235 wird
damn nicht mehr die heutige Bedeutung haben. Zur
Zeit ist U 235 sehr teuer and steht aus militarischen
Grunden nicht ohne weiteres zur Verfugung.
1350? C oder nach dem Schmelzen erhalt man ein silber-
glanzendes Metall, das an der Luft anlauft. Es ist
sehr weich (nach Schulenburg HV = 39 kp/mm2) and
duktil and ist daher leicht kalt zu Blechen and Drah-
ten verformbar. Diese gute Verformbarkeit behiilt
es such bei Sauerstoffaufnahme (bis 10% Th02) bei.
Thorium tritt nur kubisch-flachenzentriert auf and
hat die Gitterkonstante a = 5,08 AE. Von Sailer [9]
werden folgende weitere Kennwerte angegeben:
E = rv 7000 kp/mm2
ab = 24,4 kp/mm2
a, = 19 kp/mm2
Dehnung = 40%.
Dichte = 11,7 g/cm3.
Thermische Ausdehnung = 11,15 ? 10-6/? C
4.14 Plutonium
Plutonium entsteht durch Kernumwandlung nach
Neutronenabsorption aus U 238. Es ist ein Transuran
and wurde in metallischer Form in der uber Nagasaki
abgeworfenen Plutoniumbombe benutzt. Wegen des
starken militarischen Interesses an diesem Metall sind
Versuchsergebnisse fiber seine Eigenschaften lange
Tabelle I
Eigenschaften des Plutoniums [9], [26]
Dichte
g/em?
Umwandlungspunkte
n. Lord n. Jette n,ch Konobe'ew.ki l
Erhitaung AbkChlung
Kristallatruktur
Gitterkonstanten
Warmeausdehnungs-
koeffizient
a 19,737
138? C
1224-2? C
119' C 82? C
rhombisch?
-
-
,1 17 69
230? C
206?3- C
218? C 152? C
?
-
-
y 17,19
3220 C
319?5? C 1
310? C 247? C
orthorhomb.
a1- 3,1603
a2- 5,7624
a,-10,141
8 15.92
477? C
451?4? C
472? C 477? C
kub. fl. zentr.
a - 4,6370
- 30.10-6/? C
1'15,99
-
476?5? C
- -
tetragonal
a1- 4,701
-120. 10-6/? C
a2- 4,489
s 16,48
-
639,5?2? C
- -
kub.raumzentr.
a - 3,638
4.13 Thorium
Thorium wurde 1828 von Berzelius entdeckt. Das
wichtigste Erz fur die technische Thoriumgewinnung
ist Monazit. Es besteht aus Phosphaten der seltenen
Erden and Thoriumsilikat. Hinzu kommen noch
Beimengungen von ThO2 and in geringen Mengen
such von U308. Danebengibt es noch einige Mineralien,
wie Thorianit (80% Th02 mit Beimengungen von
U02 undUO3) and Thorit (ThSiO4), die fur dieThorium-
gewinnung aber von sekundarer Bedeutung sind.
Durch AufschluB mit H2SO4 entsteht eine Sulfat-
lbsung, aus der bei Neutralisation Phosphate des
Thoriums and der seltenen Erden ausfallen. Deren
HC1-Ldsung wird mit Oxalsaure gefallt and Th als
komplexes Carbonat aus dem Niederschlag extrahiert.
Nach der Reinigung durch Umkristallisieren des
Sulfats wird mit NH3 das Hydroxyd gefallt, das dann
zur Herstellung der Thoriumsalze dient.
Die Gewinnung metallischen Thoriums erfolgt durch
Schmelzflulelektrolyse des Chloride ThC14 oder des
Doppelfluorids KThF6. Ebenso kann die Elektrolyse
von Th (OH)4-Losungen in HBF4 oder in H2SiF6
durchgefiihrt werden. Das erhaltene graue Metall-
pulver enthalt 98-99% Th. Nach dem Sintern bei
geheimgehalten worden. Erst im Jahre 1954 wurden
Einzelheiten veroffentlicht.
Samtliche Transurane kommen - mit Ausnahme Be-
ringer Spuren von Plutonium - in der Natur nicht
vor and mussen kiinstlich erzeugt werden. Bekannt
geworden ist die Herstellung des Plutoniums nach
dem Verfahren von Westrum, der es bereits im Jahre
1944 erstmalig gewonnen and untersucht hat. Es
wurde in auBerordentlich geringen Mengen (in der
GroBenordnung von 1 Gamma = 10-6 g durch Re-
duktion des Trifluorids mit metallischem Barium her-
gestellt. Die Umsetzung erfolgt nach der Gleichung:
2 PuF8 + 3 Ba = 2 Pu + 3 BaF2.
Der Reduktionsofen nach Westrum wird zunachst in
einer trockenen Argonatmosphare mit Barium be-
schickt. Anschlielend wird mehrmals mit Argon
durchgespiilt and evakuiert. Mit einer Heizspirale
folgt damn die Erhitzung auf Temperaturen uber
10000 C. Das Barium verdampft and reagiert mit dem
Plutoniumfluorid. Nach dem Abkiihlen kann man aus
der Schlacke einen kleinen, sehr sauberen Plutonium-
Regulus herauspraparieren, der erneut unter reinstem
1) Die in der Tabelle aufgefiihrten Temperaturen geben jewels
die obere Existenzgrenze der betreffenden Modifikation an.
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Argon eingeschmolzen wird. Der Schmelzpunkt des
Plutoniums liegt bei 640? C.
Die Eigenschaften dieses Transurans sind in Tabelle 1
zusammengestellt. Metallisches Plutonium weist his
zum Schmelzpunkt nicht weniger als 6 Modifikationen,
and zwar a-., fi-, y, 8-, 6'- and 6-Plutonium auf, die
sich in ihren physikalischen Eigenschaften zum Teil
ganz erheblich unterscheiden. Die Dichte der einzelnen
Modifikationen ist verschieden. Es treten daher bei
Erwarmung Lind daher auch bei der Warmverformung
erhebliche Volumenanderungen auf. An einem zylin-
drischen Block z. B. beulen sich bei Erwarmung die
Stirnflachen ein and werden konkav. Besonders auf-
fallig ist der grol3e Dichtenunterschied zwischen der
a- and S-Phase. Die 6- and d'-Phase besitzen einen
negativen linearen thermischen Ausdehnungskoeffi-
zienten. Sic ziehen sich also unter Warmeeinwirkung
zusammen, eine Tatsache, die schon bei Uran parallel
zur [010]-Richtung festgestellt wurde.
Geschmolzenes Plutonium greift unter Reduktion fast
alle iiblichen Tiegelmaterialien an. Als bestandig er-
wies sich lediglich durch Sinterverfahren hergestelltes
Berylliumoxyd sowie Kalziumoxyd and in gewissen
Grenzen Quarz.
Metallisches Plutonium sieht silberweiB aus and kor-
rodiert schnell bei hoherem Feuehtigkeits:;ehalt der
Luft. Mit W asserstoff bildet es bereits bei Zimmer-
temperatur das Hydrid PuH2. In Salzsaure and
Phosphorsaure lost es sich leicht, wahrend es von
konzentrierter Schwefelsaure and Salpetersaure in
alien Konzentrationen nicht angegriffen wird. In
diesen Sauren bilden sich offenbar passive Schichten,
die einen weiteren Angriff des Metalls verhindern.
4.2 Baustoffe
We Konstruktionsstoffe dienen zum meehanischen
Aufbau des Reaktors. Je nach Reaktorart werden
diese Baustoffe verschieden beansprucht. Dem In-
genieur sind daher Beschrankungen bei der Auswahl
der Werkstoffe auferlegt. Diese Auswahl ist schwierig,
da die Materialien zum Teil sich widersprechenden
Anforderungen geniigen mussen.
Infolge der grollen Korrosionsanfalligkeit des Urans
ist es notwendig, im thermischen heterogenen Meiler
die Uranstabe zu umhullen. Der Hiillstoff soll die
grollen Volumen- and Formanderungen des Urans
mechanisch aushalten. Er muB daher gut verformbar
sein, um satt auf das Uran aufgebracht zu werden.
Ferner hat er die Aufgabe, auch bei hoheren Tempe-
raturen gegen gasformige and radioaktive Spalt-
produkte hermetischen AbschluB zu gewahrleisten.
Je nach Moderator- and Kiihlsubstanz mussen Reak-
torbaustoffe bei den auftretenden hoheren Tempe-
raturen korrosionsfest gegen Luft and gegen leichtes
and schweres Wasser bzw. gegen deren Dampfe sein.
D2O als Moderatorsubstanz darf nicht verdampfen.
Daher wird der gauze Reaktor unter einen Druck his
40 kp/cm2 gebracht. Hierbei werden an die Warm-
festigkeit des Konstruktionsmaterials erhebliche An-
forderungen gestellt. Werden Metallschmelzen zur
Warmeubertragung benutzt, ist Korrosionsfestigkeit
gegen diese erforderlich.
AuBer den genannten haben die Baustoffe aber noch
erstrangig ai:omphysikalischen Bedingungen zu ge-
ni gen [11]. Die Gegenwart jedes Neutronen absor-
bierenden Fremdstoffes (auBer Regulierstaben) im
Meiler ist schadlich. Jegliches Konstruktionsmaterial
darf daher nur wenig Neutronen absorbieren; schlieB-
lich treten im Reaktor Gamma- and Neutronenstrah-
lungen auf, deren Intensiti t um Grol3enordnungen
hoher ist, als die derjenigen Strahlen, denen bislang
irgendwelche Baustoffe der Technik ausgesetzt waren.
Reaktorbaustoffe mussen daher noch hohe Wider-
standsfahigkeit gegen Strahlungskorrosion besitzen.
Nach dem Einfang von Neutronen werden nati rlich
auch vom Baustoff Strahlen emittiert. Diese diirfen
nur eine geringe Energie and kurze Halbwertzeiten
besitzen.
Als Ma13 fur die Wahrscheinlichkeit des Neutronen-
einfangs dient der Wirkungsquerschnitt. Man ver-
steht hierunter ganz allgemein eine kleine, in cm2
gemessene Flache, deren GrOBe der Wahrscheinlichkeit
entspricht, daB in ihr gerade ein Kern von der be-
treffenden Strahlung getroffen and die Kernreaktion
ausgelost wird [1]. Dieser Wirkungsquerschnitt wird
als ?atomarer Absorptionsquerschnitt" oder ?atomarer
Einfangquerschnitt" aA bezeichnet. Er wirdin 10-24cm2
(= 1 barn) angegeben, and man versteht im besonderen
hierunter die effektive Flache, die der betreffende
Atomkern einem Neutron darbietet [11]. Multipliziert
man diesen Wert mit der Anzahl N der Atome in
1 cm3 des Materials, so erhalt man die Summe der
Absorptionsquerschnitte der in 1 cm3 enthaltenen
Atome. Hierbei ist N = LA e (L = Loschmidtsche
Zahl, e = Dichte, A = Atomgewicht). Dieses Produkt
N - 6A in cm-' wird ,makroskopischer Absorptions-
querschnitt" benannt.
In Tabelle II sind diese Werte fur die wichtigsten
Elemente enthalten.
Aus dieser Tabelle geht hervor, daB Beryllium den
kleinsten Einfangquerschnitt besitzt. Hierauf folgen
Wismut, Magnesium, Blei and Aluminium. Bemerkens-
wert sind ferner die hohen Werte von Bor and Kad-
mium, was fur die Regelorgane von Wichtigkeit ist,
and von Hafnium, das als Verunreinigung im Zirko-
nium auftritt. Bei den nicht au#gefiihrten seltenen
Erden wurden Absorptionsquerschnitte von 40 000
gemessen.
Die Festigkeit der einzelnen Reaktorbaustoffe in
tabellarischer Form zu erfassen, ist unzweckmaBig,
da aus diesen das Verhalten der Werkstoffe bei
hoheren Temperaturen nicht hervorgeht. Dagegen
gibt ein Diagramm, in dem die Festigkeit jedes ein-
zelnen Konstruktionswerkstoffes fiber der Temperatur
aufgetragen ist, sehr gute Aufklarung fiber die Warm-
festigkeit desselben. Bild 10 gibt ein solches Diagramm
wieder [9]. Auf der Ordinate ist die Zugfestigkeit auf-
getragen. Bezuglich der Warmfestigkeit sind hier deut-
lich drei Gruppen von Metallen zu unterscheiden.
In der Gruppe mit hoher Festigkeit sind die Legierun-
gen aus Zirkon and Aluminium, dann die Kupfer-
Nickel-Legierung Monel and der V2A-Stahl enthalten.
Die Gruppe mittlerer Festigkeit umfaBt die reinen
Metalle Titan, Zirkon and Beryllium and die Gruppe
niedriger Festigkeit die Aluminiumlegierungen Dural,
Hydronalium and reines Aluminium. Bei dieser
Gruppe ist auffallend, daB der Festigkeitsabfall beim
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Dural erheblich grSBer ist als bei der durch Misch-
kristallbildung naturfesten Legierung AlMg 7.
Die Warmfestigkeit des Konstruktionsmaterials
schlieBt aber nicht das kernphysikalische Verhalten
der Materialien ein. Gurinsky [13] hat daher fur die
Beurteilung der Eignung einer Legierung als Reaktor-
baustoff durch Division der Festigkeitswerte durch
den makroskopischen Absorptionsquerschnitt einen
Giitefaktor geschaffen, der guten AufschluB (fiber das
Verhalten der Legierungen gibt. Dieser Giitefaktor,
in Abhangigkeit von der Temperatur, ist im Diagramm
des nachsten Bildes (Bild 11) aufgetragen [9]. Der
Berechnung der Giiteziffer fur die Legierungen wurde
folgendes N N. QA zugrunde gelegt: AlCuMg = 0,022,
r#AI
\
AI
Mg \
`
\ `
AINJ!
Prufttmperafur
Blld 10 (nach Lintner u. Schmid [91)
Temperaturabhangigkeit der Zugfestigkeit von verschiedenen
Metallen and Legierungen
A1Mg7 = 0,016, 18/8 Stahl = 0,20, Monelmetall = 0,38.
Die Kurven des Giitefaktors fur den korrosionsbe-
standigen Stahl and die Kupfer-Nickel-Legierung
sind fur den Bereich niedrigerer Temperaturen unter
die Kurven der Aluminiumlegierungen gesunken.
Hieraus ist deutlich die Beeinflussung des Giitefaktors
durch den Absorptionsquerschnitt zu erkennen. Die
technische Folgerung hieraus ist, daB bei niedrigen
Reaktionstemperaturen his etwa 300? C Aluminium
and Aluminiumlegierungen giinstiger sind als Monel,
Titan and 18,8-Stahl; bei Temperaturen fiber 400? C
sind dagegen die letztgenannten Legierungen besser.
Besonders auffallig fist das Verhalten des Zirkons and
seiner Legierung mit Aluminium, die fiber den ganzen
24
ee
22
20
n
s,0
Ir1Al
4,0
10
2,0
ALIV-- -
IOW ?9
40
AT ~\
\
INa/
400 200 300 400 5001C 600
PruftemperOtur
Blld 11 (nach Lintner u. Schmid [9])
Temperaturabhangigkeit des Gutefaktors
Tabelle II
Physikalische Eigenschaften der Baustoffe ([9], [11], [12]):
Atom-
Nummer
Element
Schmelz-
Po C t
Dichte
g/cmi
Atom-
gewicht
an
10-84 cm2
N ? an
cm-'
Harteste y-Strahlen
EMeV ie Halbe a rts-z
4
Be
1280
1,8
9,02
0,0085
0,0011
5
B
2300
2,3
10,82
700,0
97,0
12
Mg
650
1,74
24,32
0,059
0,0026
1,0
9,6 m
13
Al
659
2,7
26,97
0,22
0,013
1,78
2,3 m
22
Ti
1725
4,5
47,90
5,6
0,31
0,32
6 m
24
Cr
1890
7,14
52,01
2,9
0,24
26
Fe
1539
7,9
55,85
2,4
0,21
27
Co
1495
8,9
58,94
35,0
3,2
28
Ni
1455
8,9
58,69
4,5
0,41
29
Cu
1083
8,9
63,57
3,6
0,30
30
Zn
419
7,13
65,38
1,06
0,07
40
Zr
1900
6,5
91,22
0,40
0,018
0,92
65 d
42
Mo
2650
10,2
95,95
2,4
0,16
0,73
67 h
48
Cd
321
8,6
112,41
3500,0
180,0
72
Hf
cv 1700
11,4
178,6
120,0
4,6
82
Pb
327
11,34
207,21
0,17
0,006
83
Bi
271
9,8
209,00
0,032
0,001
92
U
1133
18,7
238,07
2,0
0,095
Stahl
cv 1400
7,92
-
2,9
0,20
18/8
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Temperaturbereich fiber den ebengenannten Werk-
stoffen liegen. Allein auf einsamer Hohe liegt das
Beryllium, das somit auf Grund seiner kernphysikali-
schen Eigenschaften das geeignetste Material als
Reaktorbaustoff ist. Sollte die technologische Gewin-
nung von Zirkon and Beryllium sich noch gi nstiger
gestalten, and das durfte ohne Zweifel in absehbarer
Zeit der Fall sein, da wir bei diesen beiden Werkstof-
fen and bei Titan noch am Anfang der Entwicklung
von Fertigungsverfahren stehen, diirften Beryllium
and Zirkon vorherrschend fur Reaktorbaustoffe an-
gewandt werden.
Allerdings ist auch fur die Auswahl des hier geeignetsten
Werkstoffes nicht allein der Giitefaktor entscheidend,
sondern von. maBgeblichem EinfluB ist auch das
Korrosionsverhalten der Stoffe bei den herrschenden
Reaktionsteraperaturen and den angewandten Mode-
rator- and Kuhlsubstanzen.
Aluminium, fur das eine leistungsfahige and hoch-
entwickelte Technologic bereits besteht, wurde wegen
seiner guten. Kerneigenschaften bisher bevorzugt.
Leider ist es nicht sehr warmfest and besitzt in Luft
and Wasser oberhalb 300? C schlechte Korrosions-
eigenschaften; auch unterhalb 300? C sind in Wasser
die Korrosionseigenschaften nicht besonders gut.
Eigenartigerweise hat sich gezeigt, daB gegen Wasser
bzw. Wasserdampf das Korrosionsverhalten reinsten
Aluminiums noch ungiinstiger ist als das seiner
Legierungen.
Bei Titan widersprechen sich die Veroffentlichungen
fiber sein Korrosionsverhalten. Wahrend einmal an-
gegeben wird, daB es an Luft bis 700? C bestandig
bleibe and oberhalb dieser Temperatur Bruchigkeit
des Metalls an Luft festgestellt wird, ist in anderen
Veroffentlichungen erwahnt, daB es fiber 400? C an
Luft korrosionsunbestandig ist. In Wasser ist dagegen
auch bei hoheren Temperaturen das Korrosions-
verhalten gut. Titan ist des weiteren noch durch ein
besonders hohes Verhaltnis von Zugfestigkeit zu
spezifischem Gewicht ausgezeichnet. Andererseits
ist aber die Neutronenabsorption mehr als doppelt so
groB ale bei Stahl. Titan wird daher wahrscheinlich
nur als Baustoff fur solche Konstruktionsteile in
Betracht kommen, die auBerhalb der reagierenden
Zone liegen. Dort durfte es aber der am besten
geeignete Werkstoff sein.
Zirkon besitzt gute Kerneigenschaften, wenn es auBerst
rein dargestellt wird. Schon geringe Zusatze von
Hafnium vergrollern den Einfangquerschnitt sehr
stark, was sich auch am Giitefaktor stark bemerkbar
macht. Allerdings oxydiert Zirkon an Luft bei
Temperaturen von 300-400? C and mi llte daher
einen Schutziiberzug erhalten. Gegen Wasser ist es
gut korrosionsbestandig. Vor alien Dingen hat es
aber groBeKorrosionsbestandigkeit gegennberNatrium-
und Kaliumschmelzen, auch wenn these iiberhitzt sind,
also bei hoheren Temperaturen. Es kommt daher in
ester Lithe als Hnllmaterial zum Korrosionsschutz
der Uranstabe im Reaktor in Frage. Es durfte auch
fur Kilhlschlangen in solchen Reaktoren geeignet sein,
bei denen die Warme durch flussiges Metall abgefiihrt
wird.
Beryllium besitzt gute Korrosionseigenschaften, so-
wohl an Luft (bis etwa 400? C), als auch in Wasser
(bis 300? C) and brauchbare Eigenschaften bei hoheren
Temperaturen.
Gute Korrosionseigenschaften zeigen aber vor alien
Dingen keramische Werkstoffe. Da Sauerstoff einen
sehr geringen Absorptionsquerschnitt (N - aA = 1,1
10-6) hat, diirften hierfiir allerdings nur die Oxyde
der bislang behandelten Metalle in Frage kommen,
also A12O3, ZrO2, BeO and evtl. MgO. Auch Silizium-
Carbid kann noch erwahnt werden, das auch als
Verbundmaterial Keramik-Metall geeignet sein wird.
Titan ist feinverteilt ein grau-schwarzes Pulver,
kristallisiert ein silberweil3es Metall. Es wird vor-
wiegend aus Ilmenit, einem Eisentitanat, gewonnen.
Das Erz wird chemisch zum Titanchlorid aufge-
schlossen. Die technische Produktion des Titans be-
ruht auf zwei Verfahren [14], [15], entweder der
Reduktion des Chlorides mit Magnesium, Natrium
oder Calcium, sowie in dem Jodid-ProzeB; das reinste,
spanlos verformbare Metall liefert die thermische
Dissoziation von TiJ41 wobei robes Titan in evakuier-
ten Glas- oder Metallgefallen durch kleine Mengen J2
in TiJ4 iibergefiihrt wird. Dieses sublimiert and wird
an einem gluhenden Wolfram- oder Tantalfaden bei
1300? C gespalten, wobei das Metall in schonen
Kristallen aufwachst. Bei der Reduktion des Chlori-
des wird Titantetrachlorid in flussiges Magnesium
(750? C) eingeleitet. Die Temperatur steigt daher
zeitweise his auf 1500? C. Nach dem Weglosen des
iiberschiissigen Magnesiums and seines Chlorides
bleibt Titanschwamm zuriick. Dieser wird auf WalnuB-
groBe gebrochen and aussehlieBlich im Lichtbogen-
ofen, im Vakuum oder einer Edelgasatmosphare auf
Blocke verschmolzen.
Die wichtigsten Zirkonerze sind die Zirkonsande
(Zr04) and Zirkonerde (ZrO2). Der Aufschlull der
Erze ist ahnlich wie bei Titan and fiihrt fiber das
Sulfat zum Oxyd oder durch Schmelzen mit Graphit
im Lichtbogen zu technischem Karbid. Das aus
diesem durch Behandlung mit Chlorgas bequem her-
stellbare Chlorid mull durch Sublimation von Zirkon-
oxyd and durch Reduktion des enthaltenen Eisentri-
chlorides auch von diesem befreit werden. Anschlie-
Bend erfolgt - ahnlich wie beim Titan - die Reduk-
tion mit Magnesium, and es entsteht nach dem Ab-
kiihlen der Zirkonschwamm, der durch Vakuum-
destillation vom Magnesiumchlorid getrennt werden
mull. Per Schwamm wird ebenfalls im Vakuum ver-
schmolzen. Feinverteiltes Metall als grau-schwarzes
Pulver reagiert spontan mit Wasser, wobei verheerende
Explosionen verzeichnet werden konnen.
Beryllium gehort zu den Erdalkali-Metallen, ist stahl-
grau and wird aus Beryll gewonnen. Sein Besitz and
seine Herstellung in Deutschland sind zur Zeit noch
genehmigungspflichtig. Es gibt verschiedene Auf-
schlul3arten [7]. Da die grolltechnische Beryllium-
herstellung sich der Elektrolyse von BeC12, BeF2 oder
BeF (OH) in Mischung mit Erdalkalisalzen bedient,
kommt dem Aufschlul3verfahren mit Chlor and der
reduzierenden Chlorierung die Hauptbedeutung zu.
Je nach Badtemperatur fallt Beryllium als Regulus
oder als Flitter an. Nach Abscheidung einer geniigend
starken Berylliumschicht an der Tiegelwand wird der
Elektrolyt in ein vorgewarmtes zweites GefaB ab-
gehebert, mit BeC12 versetzt and dort weiter elektro-
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lysiert. Man nennt dieses Verfahren ,Pendelelek-
trolyse". Die Formgebung erfolgt durch Druck-
sinterung bei 1100? C unter Vakuum oder Schutzgas
oder durch Verachmelzung in SpezialSfen. Es ist Behr
hart, laBt sich aber gut mechanisch bearbeiten. Das
grolte Problem fur die technologische Weiterbear-
beitung dirfte zur Zeit noch seine geringe Duktilitat
sein. Nachstehend sind in einer Tabelle einige physi-
kalische Eigenschaften der drei Metalle angegeben:
Je groBer das Produkt aus Streuquerschnitt o. and
Energieverlust $ pro ZusammenstoB ist, desto kiirzer
ist die Strecke, Tangs der der Energieverlust erfolgt.
Multipliziert man dieses Produkt a, ? ~ mit der An-
zahl N der Atome pro cm3, so erhalt man das ,Brems-
vermogen" oder die ,Bremskraftzahl" fur Neutronen.
Zur Beurteilung der Bremswirkung einer Moderator-
substanz wahlt man den ?Moderierfaktor" oder das
,,Bremsverhaltnis". Es ist dies der Quotient aus
Schmelzpunkt
18200 C
1845? C
Umwandlungspunkt
880? C
856? C
Gitter
Gitterkonstante
a) h. d. Kp.
k. r. z.
a) a = 2,953 A
a) h, d. Kp.
8) k. r. z.
a) a = 3,238 A
a = 2,2680 A
4.3 Die Bremsstoffe
Arbeiten Reaktoren mit thermischen Neutronen, so
missen die bei den Spaltvorgangen freiwerdenden
schnellen Neutronen von einer geeigneten Substanz,
dem Bremsstoff oder Moderator, abgebremst werden.
Durch den ZusammenstoB mit den Atomkernen des
Bremsstoffes erleiden die Neutronen einen Energie-
und Geschwindigkeitaverlust. Im zentralen elastischen
Stoll tauschen gleiche Massen ihre Geschwindigkeit
aus. Es ware daher am ganstigsten, wenn der Zu-
sammenstoB mit Atomkernen erfolgen kOnnte, die die
gleiche Masse wie das abzubremsende Neutron Mitten.
Die Massenzahl des Moderators mull daher moglichst
nahe an 1 liegen, d. h. also Behr klein rein. Dies geht
auch aus der Formel fur den Energieverlust hervor
- M
Streuquerschnitt o, and Einfangquerschnitt o.,,,
multipliziert mit dem mittleren logarithmischen
Energieverlust ~ je ZusammenstoB, also
Bremsverm6gen B = N N. a. ? e,
Moderierfaktor Mf = N o. ? e = o,
N o., on'
Aus dem Quotienten fur den Moderierfaktor ist er-
sichtlich, daB in ihm gerade die drei Faktoi ea enthalten
rind, deren giinstigste Werte fiir die Eignung eines
Stoffes als Moderator im Atommeiler gefordert wurden.
In der Tabelle IV sind die als Bremssubstanz mog-
lichen Werkstoffe and ihre kernphysikalischen Eigen-
schaften angegeben.
Bei den meisten Reaktortypen wird Graphit oder
schweres Wasser als Moderator benutzt. Beide
Substanzen sollen daher eingehender betrachtet
werden.
Nach dem Spaltvorgang finden zwei wichtige Vor-
gange statt. Die Neutronenenergie wird verringert,
and die Neutronenzahl nimmt ab. Die Energie E
hangt mit dem Bremsvermogen B = N N. o. - $ nach
folgender Differentialgleichung zusammen [16]
-dE=B?E
dx
(1 + M)2
(E = Energie des stoBenden Neutrons, M = Masse des
getroffenenAtomkernes), denn der nbertrageneEnergie-
betrag ist infolge des quadratischen Nenners am
groilten, wenn das getroffene Atom leicht ist. Beim
Wasserstoffkern ist nach obiger Formel
AE= 2 . E,
d. h. also, daB die Halfte der Energie des Neutrons
beim ZusammenstoB mit einem H-Kern an diesen
abgegeben wird.
Weiterhin ist die Moderatorsubstanz am wirksamsten,
je groBer die Zielflache ist, die sie den Neutronen
bietet, d. h. je grOl3er ihr Streuquerschnitt ist. Wie
bekannt, dirfen die Neutronen nicht eingefangen
werden.
Der Bremsstoff mull daher folgenden Forderungen
genugen:
1. Die Masse, also das Atomgewicht, der in Anwendung
kommenden Elemente mull klein sein.
2. Der Streuquerschnitt mull grog sein.
3. Der Absorptionsquerechnitt mull moglichst klein
sein.
Die Losung ergibt:
Eb _B-x,
E =e
a
Hierin bedeutet X1 die Weglange, die zum Abbremsen
eines Neutrons auf thermische Geschwindigkeit er-
forderlich ist. E. ist die unmittelbar nach dem Spalt-
vorgang vorhandene Energie, Eb diejenige des thermi-
schen Neutrons.
Da. E.: Eb = 4 ? 107 ist, berechnet sich fur Graphit
die Weglange X1 = 275 cm, fur D20 dagegen X1 =
97,2 cm. Hieraus geht hervor, daB die Abmessungen
eines Uranmeilers mit Graphit erheblich groBer sein
werden als die eines solchen mit D20.
Die entatehenden Neutronen werden verschiedenartig
verbraucht. Eines der 2,5_ pro Spaltvorgang ent-
stehenden Neutronen dient zur Aufrechterbaltung der
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Tabelle IV
Kernphysikalische Eigenschaften der Bremsstoffe ([9], [11]):
Moderator
A
(g/Mol)
Makroskopischer
Absorptions-
querschnitt cm---1
Naa
Makroskopischer
Streuquerschnitt
cm- i
Na,
Mittlerer loga-
rithmischer
Energieverlust
N a3
Moderierfaktor
as
H,
1,008
0,0018
0,11
1,00
1,11
61
Da
2,02
2,5 ? 10-6
0,018
0,725
0,013
5 200
He
4,00
cv0,0
0,0022
0,425
0,0009
cc
Be
9,01
0,0011
0,76
0,206
0,16
145
C
12,0
0,00036
0,38
0,156
0,060
165
0a
16,0
1,1 ? 10--6
0,021
0,12
0,0025
230
Na
23,0
0,012
0,076
0,083
0,0063
0,53
BeO
25,0
0,00060
0,66
0,173
0,11
183
Be2C
30
0,0011
0,81
0,193
0,16
145
HSO
18,0
0,0011
0,81
0,193
0,16
145
020
20,0
36 ? 10-6
0,35
0,504
0,18
5 000
Polystyrol
(CH)n
17,0
0,013
0,95
0;842
0,80
62
Paraffin
(CH2)n
18,0
0,020
1,36
0,913
1,24
62
Kettenreaktion and wird also von U 235 eingefangen.
Per Anteil betragt demnach:
I
U=2,5=0,4.
0,8 Neutronen werden von U 238 eingefangen and
dienen zur Plutoniumbildung. Ihr Anteil betragt
08
'S 0,32. Dieser Anteil wird beim Betrieb
P 2
des Rcaktors festgestellt. In Abhangigkeit von der
Einfangwahl?scheinlichkeit des Bremsstoffes geht ein
Neutronenanteil E an diesen verloren. Ein Anteil K
stellt den Neutronenverlust nach auBen hin dar. Wird
angenommen, daB im Reaktor mit Bruthiille die
gesamte Plutoniumerzeugung gleich dem Verbrauch
an spaltbarem Material ist, so kann annaherungsweise
gesagt werden U = P + K.
Dieselbe Annahme gilt bei Vorhandensein eines Reflek-
tors. Fur K ergibt sich dann der Wert von 0,08.
0,0010
0,2 P
Bud 12 (nach Ledinegg [16])
Ideeller Einfangquerschnitt der AuBenverluste ok in
Abhangigkeit von der Pu-Erzeugung P
0
o
ozo
\
I
\
\
""
c
7
a
Y
In seiner Veroffentlichung berechnet Ledinegg [16] die
einzelnen Absorptionsquerschnitte and findet fur den
ideellen Einfangquerschnitt der AuBenverluste einen
Wert von ak = 0,000141 cm-1.
Fur die Berechnung von ak gibt er nachstehende
Gleichung an:
P
(U-P-1)ln(U+1)
1/B.lnEb
Wird U = 0,4 gesetzt, lauft also die Kettenreaktion
mit koustanter Intensitat ab, so ergibt sich eine
Abhangigkeit des Wertes ok von der Plutoniumbildung
P. Dieser Zusammenhang ist sowohl fur Graphit als
auch fur D,0 in einem Diagramm wiedergegeben
(Bud 12).
Aus den beiden Kurven geht hervor, daB der ideelle
Einfangquerschnitt der AuBenverluste a, beim Schwer-
wasserreaktor erheblich groBer sein darf als beim
Graphitreaktor. Da der Betrieb eines Reaktors nur
moglich ist, wean der sich in ihm ergebende Wert Gk
kleiner ist als das Maximum der jeweiligen Kurve, ist
der EinfluB des Bremsstoffes klar ersichtlich. Das
Maximum entspricht einem Plutoniumwert von P =
0,26. Soll der Wert 0,32 erreicht werden, muB 6k
kleiner gewahlt werden als der kritische Wert. Dies
ist durch entsprechend grofe Reaktorabmessungen
moglich. Auch hier ist also der D20-Reaktor dem
Graphitmeiler uberlegen.
Bestimmt man wiederum in Abhangigkeit vom
Plutoniumwert den Neutronenverlust K nach auBen,
so ergibt sich die im Bild 13 wiedergegebene Auf-
teilung der nach einer Kettenreaktion freiwerden-
den Neutronen. Eingetragen sind der Anteil U zur
Aufrechterhaltung der Kettenreaktion, der Anteil
der Plutoniumerzeugung P, die Verluste im Brems-
stoff E and die Aul3enverluste K. Das linke Dia-
gramm gilt fur Graphit, das rechte fur D20 als
Moderator. Des weiteren ist der theoretische Betriebs-
bereich H noch engetragen, der dann moglich ist,
wenn K > 0 ist. Dieser Bereich ist bei D20 erheblich
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grocer. Geringerer Bremsweg fur schnelle Neutronen
and zulassiger grouerer ideeller Einfangquerschnitt
der AuBenverluste gestatten eine gedrangtere Ban-
form des Reaktors and geringere Mengen an Spalt-
stoff; der groBere Betriebsbereich erleichtert die
Steuerung, Vorteile also, die die tlberlegenheit des
D20 all Moderator im Warmereaktor deutlich veran-
schaulichen. Es ist verstandlich, daB man hierfiir den
teuren Preis des schweren Wassers von 1000 000, - DM
fur eine Tonne in Kauf nimmt. Ein weiterer Vorteil
ist noch der, daB man durch Entwassern des Meilers
diesen auf einfachste Weise auBer Betrieb setzen kann.
Schweres Walser hat aber such einen konstruktions-
bestimmenden Nachteil. Beim Schwerwasserreaktor
muB man rich mit maBigen Hochsttemperaturen in
der GrOBenordnung von 200? C begniigen. Zuneh-
mende Temperatur bedeutet erhohten Druckanstieg.
Will man daher hohere Temperaturen benutzen, um
das fur den Betrieb von Warmekraftmaschinen er-
forderliche Temperaturgefalle zu erreichen, mull man
hohen Dampfdruck im Reaktor selbst in Kauf nehmen
and grolle Hochdruckkessel benutzen. Das gleiche
gilt naturlich such fur das in seiner Moderierwirkung
ungunstigere leichte Walser. Bei hoheren Tempera-
turen ist daher Graphit geeigneter, da hierbei kein
hoher Druck auftritt, falls sich nicht uberhaupt ein
homogener schneller Reaktor ale besser erweisen wird.
Allerdings behauptete auf einer im Mai 1954 durch-
gefiihrten Konferenz von 500 Fachleuten in Washing-
ton der Vertreter der General Electric Co., dali jenen
beiden Reaktorarten die Zukunft gehore, die ent-
weder siedendes leichtes Wasser als Moderator and
Kuhlmittel oder leichtes Wasser nur ale Kuhlmittel
and Graphit als Bremssubstanz benutzen [171.
Schweres Wasser wird durch Isotopentrennung her-
gestellt, and zwar entweder mittels Fraktionierung
durch Elektrolyse oder durch fraktionierte Destilla-
tion. Dagegen ist Graphit in geniigenden Mengen
vorhanden. Fur Moderatorzwecke mull er aber in
grouter Reinheit hergestelit werden. Vor alien Dingen
mussen Verunreinigungen durch Bor beseitigt werden.
Bor hat hohen Absorptionsquerschnitt. Schon ein
Gehalt von 0,0001% Bor wurde die Wirksamkeit des
Moderators herabsetzen. Besser als Graphit in der
Moderierwirkung sind reines Beryllium, Beryllium-
karbid and Berylliumoxyd. Doch ist die Technik der
Berylliumgewinnung noch nicht so entwickelt, daB
geniigende Mengen zu annehmbarem Preis verfiigbar
sind. Zurzeit beschrankt rich die Anwendung dieser
drei Stoffe zunachet nur auf Reflektoren; sie fir ten
aber such bei den mit Metallschmelzen arbeitenden
Reaktoren als Bremssubstanz in Frage kommen.
Wegen seines geringen Absorptionsquerschnittes hat
Helium den beaten Moderierfaktor. Die in der Tabelle
aufgefuhrten Zahlen beziehen sich auf einen Druck
von 100 at. Bei 10 at wird ein Einfangquerschnitt
von 0,0008. 10-24 cm5 angegeben, was einem Moderier-
faktor von 8300 entspricht.
Auch Kohlenwasserstoffe stellen ihrer chemischen Zu-
sammensetzung nach einen geeigneten Verlangsamer
dar, doch ist deren Beeinflussung durch Korpuskular-
strahlung noch nicht geniigend geklart. Ebenso besteht
hier die Gefahr der Brennbarkeit, so daB geeignete
Schutzmaunahmen getroffen werden milten.
4.4 Reflektorstoffe
Im vorigen Abschnitt wurde der EinfluB des Neu-
tronenverlustes nach aullen auf den Betrieb eines
Reaktors gezeigt. Es ist offensichtlich, daB der
Verringerung dieses Neutronenverlustes groBte Be-
achtung geschenkt werden mull. Diese Aufgabe mull
der Reflektor erfiillen. Reflektorbaustoffe mussen
daher ebenfalls grolle Streuquerschnitte and geringe
Einfangquerschnitte besitzen, so daB grundsatzlich
dieselben Werkstoffe benutzt werden konnen wie fur
Moderatoren. Graphit, Beryllium and seine Verbin-
dungen finden Anwendung. Wie bereits unter den
Baustoffen erwahnt, besitzt Beryllium gute Korro-
sionseigenschaften. An Luft ist1 es his 400? C and in
Wasser his 300? C bestandig.
lnpnsvWf
aopW 4$
I I i +I
0 41 44
p
Bild 13 (nach Led'negg [16])
Aufteilung der nach einer Kettenreaktion freiwerdenden
Neutronen in Abhangigkeit von der Pu-Erzeugung
U Anteil zur Fortfdirung der Kettenreaktion P Anteil der
Pu-Erzeugung K Anteil der Verluste nach auBen
E Anteil der Verluste im Bremsstoff
4.5 Regulierstabe
Zu einem beliebigen Zeitpunkt sollen in einem Meiler
n freie Neutronen fur den Spaltvorgang zur Verfiigung
stehen. Bei jedem Spaltvorgang entstehen etwa 2,5
neue Neutronen, so daB nach der Spaltung 2,5 ? n neue
Neutronen vorhanden sind. Von diesen gehen durch
Plutoniumbildung, durch Einfangvorgange im Mode-
rator and durch Verluste nach auBen eine Anzahl von
Neutronen verloren. Fur den neuen Spaltvorgang
kommen dann nur noch k ? n Neutronen in Frage. k
bezeichnet man als den effektiven Multiplikations-
faktor. Auf das Einzelatom des Spaltstoffes ange-
wandt, bedeutet k die Zahl von Neutronen, die von den
pro Spaltvorgang entstehenden 2,5 Neutronen zur
Fortsetzung der Kettenreaktion beitragen. Diese
ist nur moglich, wenn der Wert von k mindestens eins
betragt. Ist k kleiner als eins, so entstehen nach
jedem SpaltprozeB weniger wirksame Neutronen, der
NeutronenfluB nimmt von Zerfallsserie zu Zerfalls-
serie ab, and die Kettenreaktion bricht ab. Ist dagegen
k grower ale eins, so nimmt die Neutronenzahl mit
jeder Zerfallsserie zu. Die Zunahme erfolgt nach einer
e-Potenz wie folgt [161:
n1 e k-1
no d t
Hierin bedeutet no = Neutronenzahl zur Zeit T = 0,
n1 = Neutronenzahl zur Zeit t1,
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Die Zunahme der Neutronen kann bei Wahl geeigneter.
Bedingungen sehr rasch erfolgen mid zur Katastrophe
fii.hren (Atombombe). Dieser Fall darf natiirlich im
Atommeiler nicht eintreten. In diesem wird theore-
tisch der Beharrungszustand erreicht, wenn k = 1
ist. Spaltstoffverbrauch, Vergiftung desselben durch
Anreicherun, von Spaltprodukten mit hohem Ein-
fangquerschn.itt and die Veranderung des Einfang-
querschnitts bei Temperaturerhohung machen es
erforderlich, den Reaktor so zu gestalten, daB der
Multiplikatiousfaktor etwas groBer als 1 ist.
T=1o
+0
10'~
~AMlil der
geb'*m al
L
-Ti
i
0,OOS 0,01 0,OiS 0,02
Uberschulreakfivifdt dk
Bild 14 (nach Wiesenack [20])
Reaktorperiode T in Abhangi;keit von ltberschul3reaktivitat
kex and Erzeugungszeit der Neutronen
I.
t 100
0.005 0,010
A akfivifpf Q
Bild 15 (nach Profoe [19])
Abhangigkeit des Verlaufes von Leistungsanderungen von der
Grote der Reaktivitat
Zur Kennzeichnung des Reaktionsverhaltens [19] eines
Meilers wird vielfach die Reaktivitat benutzt, die
k-1
aus k abgeleitet wird. Sie ist definiert als e = -k .
Bei rich eben erhaltender Reaktion, also wenn k = 1,
wird9=0.
Die Reaktivitat gibt einen Uberblick iffier den zeit-
lichen Ablauf' der Intensiti t des Spaltvorganges. Fur
die Berechnung der Reaktorperiode [20] wird auch die
VberschuBreaktivitat 4k = k - 1 benutzt. Ist t die
mittlere Lebensdauer der Warmeneutronen, so er-
rechnet sich die Reaktorperiode zu T = dk (sec).
Bei der Kernspaltung entstehen schnelle Neutronen,
deren Lebenszeit einschlieBlich der Bremsung in der
Moderatorsubstanz etwa 10-3 sec and weniger betragt.
Daneben entstehen auch gebremste Neutronen, die
eine langere Lebensdauer von 0,1 sec aufweisen. Be-
tragt die Anderung des Multiplikationsfaktors 1%, wird
also Ak = 0,01, so ergibt sich eine Reaktorperiode von
Tl = 0,001/0,01 = 0,1 sec.
In diesem Falle errechnet sich nach t = 1 sec ein Neu-
tronenfluB von
t 1
01= 00-e "= 00 - e 01 = ~? ? 2.104 Neutronen/sec.
Mit gebremsten Neutronen ergibt sich fur die Reak-
torperiode T2 = 011/0,01 = 10 sec and fiir den Neu-
tronenfluB
1
02 = 0o ? e10 00.1,1 Neutronen/sec.
Hieraus ist ersichtlich, daB bei einer kurzen Reaktor-
periode der NeutronenfluB sekundlich ungeheuer
rasch zunimmt. Bild 14 gibt hieriiber AufschluB. Aus
ihm geht hervor, daB die UberschuBreaktivitat den
Wert 0,01 nicht iibersteigen darf, wenn Reaktor-
periode and FluBanderung in der GroBenordnung
von T2 and 02 liegen sollen. Langere Reaktionsperio-
den and geringe FluBanderungen geben die Moglichkeit,
die Vorgange leichter zu regeln.
Fur das Beispiel des Schwerwasserreaktors in Kjeller
(Norwegen) [19] ist in Bild 15 der Zusammenhang
zwischen Leistungsanderung, Verdopplungszeit and
Reaktivitat gezeigt. Bild 15a veranschaulicht, daB
die Leistungsanderung um so schneller erfolgt, je
groBer die Reaktivitat ist. Aus Bild 15b geht hervor,
daB die Zeitkonstante T sehr empfindlich von der
GroBe der Reaktivitat abhangt. Die Zeitkonstante T
ist die Zeitdauer, nach der die Leistung bei konstanter
Reaktivitat verdoppelt wird. Bei kleinerer Reaktivi-
tat andert sich die Leistung nur sehr langsam, wahrend
bei groBem o der NeutronenfluB sehr rasch anwachsen
kann and die Regelung schwieriger wird. Punkt b
rind Kurve b zeigen die Normalverhaltnisse, die die
leichte Beherrschung des Meilers durch die Regel-
organe gewahrleisten. Die Reaktivitat ist also die
wesentliche KenngroBe, die fiber den Reaktionszu-
stand des Meilers AufschluB gibt. Sie wird entschei-
dend beeinfluBt von der Menge des Spaltstoffes and
von der Wirkung des Reflektors. Da Art and Menge
der Werkstoffe ffir these beiden Reaktorteile and ihre
Anordnung beim Ban des Meilers bestimmt werden,
wird diesem auch eine bestimmte Reaktivitat gegeben,
die sich allerdings mit zunehmender Vergiftung des
Spaltstoffes verringern wird. Um den wirksamen
NeutronenfluB aber trotzdem annahernd konstant zu
halten,muB dieser anfangs geniigend hoch sein and durch
eine Steuerung von auBen vermindert werden konnen.
Merklich wird die Reaktivitat aber auch noch von der
Temperatur des Moderators bestimmt. Temperatur-
anderungen bewirken Dichteanderungen desselben.
Dadurch andert sich auch der Einfangquerschnitt der
Bremssubstanz and damit zusammenhangend der
NeutronenfluB. Eine Temperaturerhohung des Mode-
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rators im norwegischen Schwerwasser-Reaktor um
10? C ergibt eine Reduktion der Reaktivitat um den
Betrag von 0,0025. Dadurch wird aber such der wirk-
same NeutronenfluB gesenkt. Diese Leistungsver-
minderung hat wieder eine Senkung der Temperatur
zur Folge, womit der alte Beharrungszustand er-
reicht wird. Der Meiler steuert sich also gewisser-
maBen von selbst. Es konnte nun der Fall eintreten,
daB durch erhOhte Kiihlmittelzufuhr der Temperatur-
anstieg des Moderators verhindert wird. Dann nahme
allerdings auch der NeutronenfluB fortschreitend zu.
Doch zu einer Explosion des Meilers kann es nicht
fiihren. Die Gestaltung des Reaktors laBt dies nicht
zu. Bei einem bestimmten ha heren NeutronenfluB
wird entweder die Wirkung der erhbhten Kiihlmittel-
zufuhr kompensiert, der Meiler stellt sich somit auf
einen h6heren Leistungspegel ein, oder schlimmsten-
falls konnte die Temperatur in den Spaltstoffstaben
so weit steigen, daB die Hiillen mit dem Spaltstoff
zusammenschmelzen oder eine teilweise Verdampfung
des Brennetoffes stattfindet. Der Meiler wiirde zu-
sammenbrechen, wie dies bei dem kanadischen NRX-
Versuchsreaktor in Chalk River geschehen ist, bei
dem die UranhOllen aus Al hergestellt waren. Es
dauerte 14 Monate, his dieser Reaktor wieder in Be-
trieb genommen werden konnte.
Soweit darf es also nicht kommen. Man mull den er-
hOhten wirksamen NeutronenfluB herabsetzen. Dies
kann nur durch Einbringen von Stoffen geschehen,
die fur thermische Neutronen einen hohen Einfang-
querschnitt haben. Nach Tabelle 1 kommen hierfiir
nur Kadmium oder Bor in Frage. Die Absorptions-
querschnitte dieser Elemente in Abhangigkeit von der
Neutronenenergie zeigt Bild 16 [11]. Bei Kadmium
tritt etwa bei 0,2 eV ein Resonanzmaximum auf.
Thermische Neutronen haben eine Energie von etwa
0,025 eV. Fur Kadmium ergibt sich hierbei ein Ein-
fangquerschnitt von aA = 3500 ? 10-84 cm2 and fiir
Bor aA = 700 ? 10-44 cm2. Vielfach kommen auch
Legierungen mit diesen Elementen zur Anwendung,
z. B. Borstahl. Die Regelorgane bestehen aus Cd-
oder B-Staben, die fiber NeutronenflulmeBgerate [25]
automatisch gesteuert werden and mehr oder weniger
tief in den Kern des Meilers hineinragen.
4.6 Kuhlmittel
Kiihlung im Innern des Meilers ist aus mehreren Griin-
den erforderlich. Die Festigkeitseigenschaften der
Konstruktionsstoffe and die Moderierwirkung der
Bremssubstanz miissen gewahrt and die Einfang-
wahrscheinlichkeit des Spaltstoffes aufrechterhalten
bleiben. Das Kuhlmittel mull daher die bei der Kern-
spaltung freiwerdende Warme abfiihren and dieselbe
bei ihrer technischen Nutzung nach aullen ubertragen.
Es mull daher gute warmetechnische Eigenschaften
aufweisen. Gute Warmeleitfahigkeit and hohe Warme-
ubergangswerte sind neben hoher spe'zifischer Warme
erforderlich. Hoher Siedepunkt and niedriger Dampf-
druck such bei hohen. Temperaturen sind erwunscht.
Aulerdem mull der Kiihlstoff die im Reaktionsraum
notwendigen gunstigen kernphysikalischen Eigen-
schaften besitzen. Arbeitet der Meiler mit langsamen
Neutronen, so sind an das Kuhlmittel dieselben An-
forderungen wie an die Bremssubstanz zu stellen. In
Reaktoren mit schnellen Neutronen mull Einfang-
und Streuquerschnitt m6glichst Bering sein. Die
Eigenschaften der Kiihlstoffe sind der nachstehenden
Tabelle zu entnehmen. Aus ihr ist zu ersehen, daB
die Warmeubergangszahl bei Fliissigkeiten sehr viel
hoher ist als bei Gasen. Zwar konnte man bei letzteren
qs eV 40
Ener94 E
unz
6000
Einfangquerschnitt von Kadmium gegeniiber
langsamen Neutronen
0 pIZ p"4
Energie f
06
C0a
Bild 17 (nach Traupel [5])
Warmeiibertragungseigenschaften I verachiedener
Wirmetrager in Funktion der Dissipation D
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die Stromungsgeschwindigkeiten erhohen, doch er-
halt man dann ungunstige Pumpleistungen. Diese
sind bei fliissigen Metallen am geringsten. Bei Gasen
and bei Wasser muB das ganze System unter Druck
gesetzt werden. In Bild 17 ist nach Traupel [5] die
Warmestromdichte in kW/m2 an der Oberflache im
Zusammenhang mit der Dissipation aufgetragen. Man
versteht hierunter die fur die Umwalzung des Kiihl-
mittels benoi:igte Leistung in Prozenten der Warme-
leistung des .Reaktors. Eine im Verhaltnis zur Gr6Be
des Reaktors annehmbare Leistungsausbeute tritt
erst oberhalb 100 kW/m2 auf. Gase kommen dann
erst bei einem Druck ab 25 kg'cm2 in Frage.
Von den gasformigen Kuhlmitteln ware Wasserstoff
am giinstigsten, doch scheidet er aus atomphysikali-
schen Griinden aus. Luft ist am einfachsten, da hier-
fiir keine Beschaffungskosten auftreten. Luftgekiihlte
Reaktoren arbeiten auch in Oak-Ridge and in Brook-
haven, wobei Kiihlleistungen von 100-200 kW/t
Uran erzielt werden. Der Reaktor ,Beppo" in Har-
well besitzt ebenfalls Luftkiihlung [23]. 18000 m3/min
Luft sind erforderlich. Stickstoff ist chemisch trager.
Der franzbsische Reaktor P 2 (1952) arbeitet mit
Stickstoffkiihlung. Bei einem Druck von 10 atii wird
eine Leistungsdichte von 400 kW/t Uran erzielt. Am
geeignetsten ware Helium. Es ist als Edelgas prak-
tisch chemisch inert and wird nicht radioaktiv. Nach
Sequenz [17] ware es vorteilhaft, Helium ohne Warme-
austauscher als Arbeitsmittel in einer Gasturbine zu
benutzen. Es ist weiterhin giinstig, weil es Uran nicht
angreift [21]. Da in Europa Helium in erforderlichen
Mengen nicht vorhanden ist, mnBte als Kuhlmittel
das nachst schlechtere Gas CO2 benutzt werden.
Gasformige Kuhlmittel benotigen aber wegen der
schlechten W armeubergangszahlen groBe Kuhlflachen
and erfordern daher hohe Pumpleistungen. (S. Tab. V.)
Wasser and schweres Wasser besitzen gnnstige
Warmeubergangszahlen and gute Stromungseigen-
schaften. Leichtes Wasser ist auBerdem iiberall fast
kostenlos verfiigbar. Sein Streuquerschnitt ist groB,
so daB es gleichzeitig als Moderatorsubstanz benutzt
werden kann. Dagegen spricht aber der hohe Ein-
fangquerschnitt fur thermische Neutronen, so daB es
nur in thermischen Reaktoren benutzt werden konnte,
die mit angereichertem Uran arbeiten. In Kraft-
reaktoren muB infolge der hoheren Temperatur dem
auftretenden Dampfdruck Rechnung getragen werden.
Wasser wirkt auf metallischeWerkstoffe korrodierend;
es muB aufbereitet werden. Die Aufbereitungs-
chemikalien diirfen nicht in starkerem MaBe radio-
aktiv werden. Wie bereits erwahnt, halt die General
Electric Co. einen Kraftreaktor mit Wasser als Kuhl-
mittel and somit mit direkter Dampferzeugung als
besonders aussichtsreich. Schweres Wasser muB
wegen seines hohen Preises in einem geschlossenen
Kiihlkreis benutzt werden. Da es auBerdem einen
niedrigen Einfangquerschnitt hat, kommt es auch als
Kuhlmittel in thermischen Reaktoren in Frage, in
denen naturliches Uran als Spaltstoff benutzt wird.
Im Sphwerwasserreaktor in Kjeller wird das D2O
gleichzeitig zur Kiihlung benutzt. Hierfiir ist eine
Wassermenge von 4 1/sec in Umlauf zu bringen [23].
Metallschmelzen besitzen die besten Kiihleigenschaf-
ten [22]. Infolge des hohen Siedepunktes findet bei
hoheren Temperaturen and atmospharischem Druck
keine Verdampfuug statt. Vorkehrungen gegen hohen
Druck sind daher nicht erforderlich. Ihre hohe Warme-
ubergangszahl ermoglicht geringe Kuhlflachen and
somit geringe Pumpleistung. Allerdings besitzen sie
ungunstige Kerneigenschaften, was beim Betrieb mit
schnellen Neutronen aber nur von geringer Bedeutung
ist. Im Clementine-Reaktor in Los Alamos wird so-
Tabelle V
Eigenschaften von Kiihlstoffen ([9], [11]):
L7
3~
~M
e
d m~
N II U)
iii
V]
~"
O
P. "s4
G v
o
.
a
Gase
He
-
-
0,0008
1,5
8300
1
0,091
i. M.
80
7
0,62
1,240
386
5400
35
3,1
1405
Luft
-
-
1,4
8,82
0,82
1
0,66
i. M.
100
7
4,5
0,250
465
11900
35
22,7
1665
Wasser
HaO
0
100
0,602
164
250
1
993
0,9 97
19300
bei 38? C
bei 38? C
bei 38? C
100
1,17
29500
3800
bei 500? C
bei 500? C
D20
3,8
101,4
0,00092
15,3
8250
105
780
1,165
29400
Fliissiges
Na
97,5
883?
0,45
4
0,89
1
885
0,315
74000
0,20
Metall
Na + K
19
822
1,1
3,2
0,225
1
845
0,285
37100
(56?,o Na)
Pb
327,4
1740
0,2
11,0
0,529
1
11340
0,031
1,31
Bi
271,3
1420
0,015
9,0
5,75
1
9800
0,033
1,00
Pb -I- Bi
125
1670
0,56
0,035
37000
(44,5% Pb)
(bei 500? C)
Hg
- 38,8
357
430
5/15
1
13600
0,03
1,07
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gar das ungiinstige Quecksilber als Knhlmittel be-
nutzt. Natrium ist wohl in dieser Hinsicht am meisten
untersucht. Einer der beiden amerikanischen U-Boot-
Reaktoren arbeitet mit flussigem Natrium als Kuhl-
mittel. Flussige Metalle erlauben, Losungen oder
Suspensionen mit dem Spaltstoff zu bilden, wodurch
die kontinuierliche Entfernung der Spaltprodukte
aus den Suspensionen moglich ist.
4.7 Werkstoffe fur den Strahlenschutz
Wenn ein Atommeiler such nicht wie eine Atombombe
explodieren kann, so ist er doch die Quelle gefahr-
licher Strahlen. Trotz Moderator , und Reflektor
werden Neutronen nach auBen gelangen. Ebenso
werden bei den Kernreaktionen Elektronen and
Heliumkerne, also j9- and a-Strahlen frei, and schlieB-
lich entstehen y-Strahlen. Alle these Strahlenarten
uben eine schadigende Wirkung auf den menschlichen
KSrper aus. Dabei ist die relative biologische Wirkung
der einzelnen Strahlungen verschieden stark. Auf dem
internationalen RadiologeukongreB 1950 in London
wurde auf Grund einer 50jahrigen Erfahrung fest-
gelegt, daB die Toleranzdosis fur RSntgen- and Gam-
mastrahlen bei auBerer Einwirkung dieser Strahlen
nur 0,3 RSntgen je Woche betragen darf. Da die
relative biologische Wirkung der anderen Strahlen
hlher ist, muB die Toleranzdosis fur dieselben ent-
sprechend niedriger sein. Bild 18 gibt hierfiir Auf-
schluB. In dieser Zusammenstellung ist such die
naturliche Hintergrundaktivitat aufgefiihrt, die in-
folge standiger Aupstrahlung radioaktiver Stoffe and
infolge der Wirkung kosmischer Huhenstrahlung an
jeder Stelle der Erde herrscht, and der jedermann
standig ausgesetzt ist.
Wiesenack [20] gibt noch an, daB ohne Schadigung
eine einmalige Dosis von 25 rem/Tag, auBerstenfalls
150 rem/Woche ertragen werden. Eine Dosis von
400 r warden 50% aller Menscheu nicht iiberstehen,
and eine Strahlenwirkung von 800 r wurde eine hun-
dertprozentige Sterblichkeit zur Folge haben.
Hurwitz [24] hat fur eine Reaktorbelastung von
1000 MW eine gesattigte Gammaaktivitat von 6 ? 109
Curie errechnet. Entsprechend der Langlebigkeit der
Strahlungen ware bei einer pltitzlichen Beschadigung
der Schutzhiille des Meilers die Strahlungsdosis nach
7 Stunden gleich der einer Atombombe (Bild 19).
Nimmt man an, dall nur 1% der y-Strahlung bei
SMahlenaf
Wi aol
Teleranzdosis
Rontgen-u. tlr
1
100
m
3-Strahlen
I
300
lherm.Neufro
Sdnelle NWfr.
Profonen
C-Sfrahlen
rlicheHin-
naidakfivi-
tot
5
10
10
t0
-
so
'.
w
16
of
1
s-n>
Toleranzdosis nach Empfehlungen der internationalen
Kommission fiir Strahlenschutz auf dem Londoner Radiologen-
KongreB 1950
ungunstiger Witterung entweicht and die radioaktive
Wolke zu Boden gedruckt wird, so wird innerhalb
10 km Umkreis um den Katastrophenherd die Strah-
lungsintensitat groBer sein, als die einmal zu ertragende
Dosis von 25 r. Es ist daher zu verstehen, daB den
I qOx 10 1e s 10~
Zeif
Gamma-.Aktivitat eines 1000 MW-
Kernreaktors, abhangig v. der Zeit
Bild 19
0,1 1 10 km 100
Enffernung
Gamma-Strahlungsbereich
eines
1000 MW-Kernreaktors
RM
Bild 20 (nach Wiesenack [20])
Vereinfachter Schnitt durch den Materials Testing Reactor
Schutzstoffen ebenfalls die gebiihrende Beachtung
geschenkt werden muB and auch geschenkt worden
ist. Bei den his jetzt gebauten Reaktoren sind die
Abmessungen der Abschirmung so bemessen, daB
1/ioo der zulassigen Toleranzdosis nicht iiberschritten
wurde. Diese Intensitat entspricht etwa der natiir-
lichen Hintergrundaktivitat. Sic muBte so niedrig
gewahlt werden, um ein genaues Arbeiten der MeB-
gerate zu gewahrleisten.
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Zur Abschirmung von schnellen Neutronen and von
y-Strahlen siind Werkstoffe mit hohen Massezahlen
geeignet, wie Blei, Wolfram, Barium and Tantal, die
auch schon zur Anwendung gekommen sind. Da bei
der Absorption von Neutronen im Schirmstoff eben-
falls neue Strahlen entstehen, muB eine zweite Schutz-
schicht angeordnet werden. Thermische Neutronen
werden durch Werkstoffe mit hohem Einfangquer-
schnitt absorbiert, die der auBeren Betonschicht bei-
gefiigt werden. Baryt, Stahl and Erze kommen in
Frage, die die Dichte des Betons erhohen.
Bild 20 stelit einen vereinfachten Schnitt durch den
Materials Testing Reactor in Arco, Idaho, dar, der fur
eine Warmel.eitung von 30 MW ausgelegt ist. In
diesem Meiler wird angereichertes Uran als Spaltstoff
and leichtes Wasser als Moderator- and Kiihlsubstanz
benutzt, die innerhalb eines geschlossenen Al-Tanks
a von 1,4 m o von einem inneren Berylliumreflektor
umgeben sind. Nach aul3en folgt nun ein Graphit-
reflektor C. der in der inneren Zone b aus Granulat
von 25 mm Korngrol3e besteht. Als innere Abschir-
mung des gesamten Reaktorkernes dienen zwei je
100 mm dicke Stahlumhullungen d, die in ihrem eben-
falls 100 mm. breiten Zwischenraum von Kihlluft
durchflutet werden, so daB these Umhullung sowohl
zur Absorption von Strahlungen als auch zum Warme-
schutz dient. SchlieBlich ist der gauze Reaktor zum
Schutz gegen y-Strahlen von einer 3,75 m dicken
Barytbetonschicht e umgeben. Bei f wird das Kiihl-
wasser in den Meilerkern eingeleitet, das bei g wieder
austritt. Bei h wird die Knhlluft fur den Graphit-
reflektor and die Stahlumhullung zugefiihrt.
5. Zusammenfassung
Nachdem die physikalischen Grundlagen im Atom-
meiler kurz gestreift and die einzelnen Reaktorarten
beschrieben wurden, erfolgte die Kennzeichnung der
an die Werkstoffe des Meilers gestellten Anforderung.
Die Einteilung erfolgte entsprechend ihrer Verwendung
in den einzelnen Bauelementen.
Werkstoffe der Atomtechnik werden dem Werkstoff-
Fachmaun and dem Technologen in der kommenden
Zeit viele interessante Probleme stellen. Zu den be-
handelten Anforderungen kommt noch die Aufgabe
hinzu, die Materialbeeinflussung durch Strahlung zu
erforschenund eventuell giinstige Eigenschaftsanderun-
gen der Technik nutzbar zu machen.
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[23] Karlik, B., Bauarten and Verwendungsmoglichkeiten
von Reaktoren. E u. M 72 (1955), H. 15/16, S. 407... 412.
[24] Hurwitz, H., Safeguard Considerations for Nuclear Power
Plants. Nucleonics Bd. 12 (1954), S. 57? ? ? 61.
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Jg. 45 (1954), H. 18, S. 742... 743.
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(1955) - Heft 21 - S. 649 ? ? ? 651
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Wissenschaftllche Zeitrchrift der Rochachule fur Elektrotechnik Ihnenau ? 1 (1954/55) Heft 3 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat far Mathematik, Naturwissenechaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 15
Institut far Maschinenkunde, Direktor Prof. Dr.-Ing. Lothar Polner
Als Manuskript gedruckt! DK 531.21/.23:624.041.6/.63
Eingang : 17. 10. 1955
Einfluf3grof3en
Von Prof. Dr.-Ing. Lothar Polner
Einfache EinfluBlinien
Die Festigkeitslehre and die Statik benutzen die
Begriffe EinfluBgroBen and EinfluBlinien in aus-
gedehntem MaBe bei der Bestimmung der Einwirkung
von wandernden Lasten auf Bauwerke. Im Maschinen-
bau Bind wechselnde Krafte mit verschiedenen An-
griffspunkten immer vorhanden, and es ist deshalb
zweckmaBig, die Methoden der EinfluBzahlen auch
bei der Berechnung von Maschinen anzuwenden.
Da sich hierdurch gewisse Vorteile ergeben, ist eine
ausfiihrliche Behandlung der EinfluBzahlen imRahmen
einer besonderen Abhandlung gerechtfertigtl), vor
allem such deshalb, well die EinfluBzahlen der
Denkweise des Konstrukteurs besonders entsprechen.
Stehen physikalische GroBen in 'einem gewissen
Abhangigkeitsverhaltnis zueinander, so spricht der
Mathematiker von einer Funktion zwischen diesen
GroBen. Es konnen auch mehrere GroBen zugleich
in ihrem funktionellenVerhaltnis zueinander betrachtet
werden; die Natur zwingt uns oft dazu. Unser Be-
streben muB es sein, dieses funktionelle Verhaltnis
in eine Formel zu fassen, sei es auf versuchsmaBige
Weise oder auf Grund theoretischer Betrachtung.
Lost man these Formel nach einer wichtigen GroBe
auf, dann muB jede Seite der Gleichung dieselbe
Dimension besitzen. Die alleinstehende GroBe hangs
dann von alien GroBen der anderen Seite ab. Sie ist
die Abhangige. Die andere Seite enthalt neben einer
oder mehreren Unabhangigen in irgendeinem funk-
tionellen Verhaltnis noch Konstanten oder Para-
meter. Eine von Natur aus unabhangige GroBe ist
zum Beispiel die Zeit t. Sie kann aber such bei der
Betrachtung zuriicktreten and spielt dann die Rolle
Bins unabhangigen Parameters.
Wir zeigen die Zusammenhange an einem gezogenen
Stab (Bild 1). Die Formanderung durch die Kraft P
ist
At = EF P [cm].
Im Faktor ; ind die Konstruktionsgrdfen zu-
Eps
sammengefaBt. Er ist die Einflutgrole von P auf At.
Die EinfluBgroBe hat die Dimension cm/kg. Hatte
die Kraft P die Richtung unter dem Winkel q) zur
Stabachse, dann kame zur EinfluBgrolie noch die
Verhaltniszahl cos 9? hinzu. In der EinfluBgroBe sind
dann die Einfiiisse der Kraftrichtung and des Angriffs-
punktes der Kraft mit enthalten. Dies sind die Vektor-
eigenschaften der Kraft P.
1) Dieser Beitrag steilt zugleich eine Erganzung zur Arbeit
,,EinfluB:natrizen' dar. Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn.
Ihnenau (Heft 2, S. 115 . . . 134).
cos 99 ist die Einflufizahl. Bei einer solchen Einflul3-
groBe unterteilt man besser in Hauptwert and Einflul-
zahl (cos 99 oder 1 bei einer Kraft in Stabrichtung).
Lost man nach P auf:
P = E F d 1 [kg],
so nennt man E F die Federgrofie. Sie ist der reziproke
Wert der EinfluBgroBe. Die graphische Darstellung
F,E
Bild 1 EinfluBgroBe far einen einfachen Zugstab
Al Al
Bild 2 EinfluBgrole and FedergroBe im Diagramm
der beiden Gleichungen ergibt Bild 2; man nennt
sie das Federdiagramm. FedergroBe and EinfluBgroBe
erscheinen darin ale Tangenswerte der Winkel a
and 900 - a. Der Flacheninhalt des schraffierten
Dreiecks ist die Feder- oder Formanderungsarbeit
P?dl
A = 2 [cmkg].
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Die Gerade P = f(J 1) ist die Federkennlinie. In der
Form
E [1]
geschrieben and graphisch dargestellt, ergibt sich das
typische Zerreif3diagramm des Werkstoffes (Bild 3).
Sein gerader Teil bis zur Streck- oder 0,2-Grenze
entspricht der Federkennlinie. Der Tangens-Wert
des Winkels a ist der Wert E.
""idealisierte Fortsetzung im
plastlschen Bereich
f=ederkennlinie
elasfischer Bereich, Hooksches Gesetz
E
Bild 3 Idealisiertes Diagramm and Zerreil3diagramm
Gleichgewichtsbedingungen der Statik erhalt man
A = 1 -? T and B = T . Bei diesen EinfluBgroBen
von P auf A and B ist der Hauptwert = 1, wie immer,
wenn der EinfluB auf eine gleichartige GroBe vor-
liegt, so daB die EinfluBgroBe zugleich die EinfluB-
zahl ist. Denkt man sich c veranderlich, dann ist
P = 1 eine wandernde Last and die EinfluBzahl
eine lineare Funktion von der Lage c entlang 1. Sie
wird als Einflufilinie bezeichnet mit der naheren
Bezeichnung A- and B-Linie (Bild 4). P = 1 fiber A
erzeugt dort die Reaktion - 1, ebenso P = 1 iiber
B; dort wird B = - 1 hervorgerufen. Jede Kraft P
ergibt also, in ihrer jeweiligen Lage mit der darunter-
liegenden Ordinate der A- and B-Linie multipliziert,
den Anteil an der Auflagerreaktion A and B. Man
bezeichnet die EinfluBgroBen gewohnlich mit t and
erhalt fiir eine Einzellast A - P ? VA, B = P ? JB.
Bei mehreren Einzelkraften erhalt man entsprechend
die algebraische Summe aller Produkte aus P ? r :
A=EP?kjn,
B=EP?,IB.
Die A- and B-Linie kann man fiber die Stiitzstellen
hinaus verlangern and erhalt dadurch die EinfluB-
groBen fiir Krafte auf einem Kragarm. Dadurch
werden teilweise die Abschnitte negativ (Bild 5).
Zahlenbeispiel 1 (Bild 6)
A =
300.
0,7
+ 200.
0,6
+ 100. 0,3
=
210
+ 120
+ 30
= 360 kg,
B =
300.
0,3
+ 200.
0,4
+ 100.0,7
=
90
+ 80
+ 70
= 240 kg.
Liegen statt der Einzelkrafte Streckenlasten vor,
dann denkt man sich die graphische Darstellung der
Streckenlast in einzelne senkrechte Streifen von der
Breite do zerlegt and die entsprechende Last dieses
Streifens, im Schwerpunkt desselben angreifend, als
Einzellast. Die Gesamtzahl dieser vielen Einzellasten
ergibt, mit der darunterliegenden Einfluf3- Ordinate
multipliziert, den Anteil an der Auflagerreaktion A bzw.
B. Die algebraische Summe wird dann zum Integral
fiber alle Produkte dieser Einzelkrafte mit n (Bild 7):
A = fr (c) p (c) d c.
Unter dem Integralzeichen steht das Produkt zweier
Funktionen (Produkt-Integral). Die formelmaBige
Steht die Kraft senkrecht zur Stabachse (Bild 4),
dann entste:hen an den Auflagerstellen Reaktions-
krafte. Wir suchen die EinfluBgrol3en von P auf A
and B. Man setzt also P = 1, denn auBer der absoluten
GroBe P ist die Lage von P ausschlaggebend. Die
GroBe P = 1 ist ein Einheitsvektor, d. h. ohne Di-
mension. Der Praktiker kann sie aber so behandeln,
als ob sie eine Kraft von 1 kg oder 1 t ware. Mit den
Bild 5 Einflulllinien fiir die Auflagerdrucke bei iiberkragenden
Enden
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Auswertung dieser Integrale ist nicht notwendig;
man kann sofort zahlenmaBig integrieren. Nimmt
man zwei iibereinanderliegende Teilflachen der Be-
lastungeflache and der EinfluBflache als Trapeze an,
P, = 300 kg
P2=200kg
1.160 _
I I
Q3 0.4 0.7
1 1
B = 26 2 (2-40+60) + 260 8 (2-60+40)
14000 + 36000 50000
= = 6 kg,
6
A+ B = 10 000 kg = 200 40 + 60
Bild 7 Anwendung der A and B-Line bei Streckenlasten
Pu[kg/cm]
die man durch ihre Anfangs- and Endordinaten aus-
driickt, dann erhalt man eine sehr einfache Formel,
nachdem man das entsprechende Integral aufgelost
hat: f2 /
A=J I /Pi+- P2 - Pi cl I+ t12 -r/i cldc
\ e2 - el / \ c2 - el /
c2 - cl
= 6 [,11 (2pi + P2) + 12 (2P2 + Pi)].
Die Anwendung des Ergebnisses fur die praktische
Zahlenrechnung ist noch einmal in Bild 8 wieder-
gegeben. Das Schema ist Behr vielseitig zu verwenden
and ergibt genaue Werte, wenn die gegebenen Funk-
tionen linear rind, wie in vielen Fallen bei der An-
wendung in der Festigkeitslehre. Sind die Funktionen
hahere ale vom Grade 1, dann sind die Ergebnisse
angenahert, aber fur die Praxis noch geniigend genau,
wenn man eine ausreichende Anzahl von Streifen wahlt.
Zahlenbeispiel 2 (Bild 7)
A = 1(2 ps } 0) 6 =31 - 3-3 20 = 120 kg,
ps 1 _ 3- 120
B = 1 (0 + pe) 6 6 = 60 kg.
Zahlenbeispiel 3 (Bild 9)
= 160 2 (2-40+56) - 40 1
A (2-60+56)
10 880 - 880 10 000
kg,
4 e
2P, + P2
P, + 2P2
Bild 8 Schema zur zahlenmiiBigen Auswertung eines Pro-
duktintegrals A = c' 6 [7i (2Pi + P2) + 172(2Pa + Pi),
Biegemoment and Querkraft
Eine senkrecht zum Stabe gerichtete Kraft hat ferner
die Wirkung, daB der Stab sich biegt. Bring man,
nachdem er durch Bestimmung der Auflagerreakti-
onen ins Gleichgewicht gebracht worden ist, links von
P = 1 einen Schnitt an, so entstehen zwei Stabteile,
die, da das Ganze im Gleichgewicht ist, einzeln fiir sich
im Gleichgewicht rein miissen. Fehlende Krafte and
Momente miissen in den Schnittufern angebracht
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werden. Zun.achst wird A an den Schnitt parallel
verschoben and durch eine Kraft - A ausgeglichen.
Dadurch tritt keine physikalische Anderung ein. Es
entsteht ein Kraftepaar Ax mit x als Abstand and
eine Kraft A in x. Das Kraftepaar Ax benotigt zum
Erreichen der Gleichgewichtsbedingung EM = 0 ein
weiteres Moment im linken Schnittufer = inneres
Moment M,:
M,,=Ax=x(1
Zur Herstellung des Gleichgewichts im Schnitt be-
notigt man ein weiteres inneres Moment im rechten
Schnittufer, das zusammen mit dem linken Schnitt-
ufer EM = 0 ergibt. Es verhindert den Klaffwinkel
der beiden Schnittufer, der vom auBeren Moment Ax
hervorgerufen wird. Die am Schnitt angebrachten
Krafte A and -A versuchen, die beiden Schnitt-
ufer parallel zu verschieben. Der Werkstoff wehrt sich
dagegen mit der inneren Querkraft Q,, = A. Die
nunmehr im Schnittufer vorhandenen Krafte Q.
and Momente M. ergeben zusammen mit den auBeren
Kraften and Momenten Verschiebungen, die sich zur
,,elastischen Linie" zusammensetzen (Bild 10).
Ein Schnitt rechts von P = 1 ergibt ein inneres
Moment
Mx=B(I-x)= T (t-x)
and cine Querkraft Qx = B.
Die paarweise auftretenden Schnittkrafte and -mo-
mente erfordern eine besondere Vorzeichenregel:
Wird das rechte Schnittufer durch die auBeren Krafte
in Richtung der positiven Ordinatenachse verschoben,
so ist die Querkraft positiv, anderenfalls negativ.
Somit ist Q, = A positiv and Qx = B negativ.
Wird durch die auBeren biegenden Momente der
Stab in Richtung der positiven Ordinatenachse konvex
gebogen, so ist das Moment positiv, anderenfalls
negativ.
Daher sind M.= Ax and M x = B (t - x) positiv.
Die Querkraft ergibt eine Stufenkurve, das Moment
eine geknickte Gerade mit zwei verschiedenen Glei-
chungen
MX=i C \1- Mx=t C (1- ~).
Sic rind fur P = 1 die Einfluf3linien fur das Moment.
I ist der Hauptwert and (1 - Y) bzw. T (1 -
sind die EinfluBzahlen. Diese sind symmetrische
Gleichungen. Die eine entsteht aus der anderen durch
Vertauschen von x mit c and umgekehrt. x and c
sind zwei unabhangige Veranderliche in demselben
Wertebereich. Halt man x konstant, dann erhalt man
den EinfluB einer wandernden Last auf das Moment M,
Ist c konstant, dann erhalt man den Verlauf des
Momentes M. entlang f. Fallt x mit c zusammen,
dann hat man fur beide dieselbe Linie.
Zeichnet man zu P = 1 das Seileck mit SchluB-
linie s, so ist die Senkrechte z zwischen Seileck and
SchluBlinie ein MaB fur das Moment (Bild 10).
Ein Vergleich der entsprechenden Dreiecke ergibt die
Proportion
1-x H'
B([-x)=M,,= H- z.
Das so der Zeichnung entnommene Moment z bedarf
noch der Multiplikation mit dem MaBstab. Man erhalt
mM?M,=H?z mL?mp.
Da das Seileck eine graphische Integration darstellt,
was schon am MaBstab zu erkennen ist, kann man
auch ruckwarts differenzieren. Mit einer horizontalen
SchluBlinie gezeichnet, ergibt sich dieselbe Figur wie
c
A jP4 1.B e/aslische LiMe
mi 4x ~x
Mx Mx Mx Mx
A A
x4 JB ie
x- I
mM = H ML MP-
and
1_
B1_
H=c
moo
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bei der analytischen Herleitung. Bei der Differentiation
der EinfluBlinie ergeben sich nun entsprechend zwei
Mllglichkeiten:
links l
I Y )
c = const.
rechts
T Y 0 X,
C)
arj = - c
ax 1
=B
Im ersten Falle erhalt man die Querkraftlinie, da
A and B fiir P = 1 konstante Grolen sind.
Im zweiten Falle erhalt man die Einflulilinie fur die
Querkraft (Bild 11). In beiden Fallen erhalt man nur
Verhaltniszahlen. Daher ist der Hauptwert der Ein-
fluBgroBe gleich - 1 and + 1. Da die Querkraft mit
+ A beginnt and mit - B endet, kann man mit Hilfe
der Einflulilinie fur die Querkraft auch die Auflager-
driicke berechnen. Bei mehreren Kraften ergibt sich die
Querkraft
Qx=P1t71-I-P2r72+P8?78,
Qx=ZPn,
wobei es such auf die Vorzeichen ankommt. Q. gilt
dann fur das gauze Gebiet zwischen zwei Kraften,
in dem es konstant iet.
Hat man es mit einer Streckenlast zu tun, darn denkt
man Bich wiederum kleine Krafte p (c) ? d c, die als
Q-AI +
ofuerkrafliinie)
x.veronderlich
C.consf.
Bild 11 Die EinfluBlinien fur die Querkraft eines Biegestabee
Einzelkrafte im Schwerpunkt angreifen, mit 1 multi-
pliziert. Anstelle der endlichen Summen tritt dann
das Integral
wobei 17 (x) = n (c) wird (c = Integrationsverander-
liche). Die Stelle x, an der Qx bestimmt wird, teilt
Mx ?P?x4+P2?x2+P3?x3
Bild 12 EinfluBlinie fur das Biegemoment
die EinfluBlinie in ein positives and negatives Gebiet.
Es ist daher das Integral in zwei Teilintegrale zu
zerlegen: rx ft
Q. =- J n (c) P (c) d c+ J n (c) P (c) d c.
tt
Qx=J ,7 - P(c)de,
Bei sofortiger zahlenmalliger Auswertung kann man
das Schema benutzen, wobei die Stelle x immer als
Teilungsabszisse mit auftritt, weil hier die Vorzeichen
wechseln. An der Stelle x wechselt das Vorzeichen fur
das Integral.
Bei der Bestimmung des Biegemoments von mehreren
Einzellasten wird die EinfluBlinie fur die Stelle x
gezeichnet (Bild 12), fur die das Moment gebildet
werden soil. Da zwischen zwei Kraften das Moment
linear verlauft, ist der Momentenverlauf ein Linienzug,
der rich an den Kraftstellen bricht. Will man daher
den gesamten Momentenverlauf bestimmen, so braucht
man nur an den Laststellen die Momente zu be-
stimmen. Dazu mull die EinfluBlinie an jederLaststelle
gezeichnet werden. Man kennzeichnet daher die ij-
Werte mit zwei Indizes, wovon der erste die Momenten-
stelle (MeBstelle) (Bild 13) and der zweite die Laststelle
bezeichnet, and erhalt dann soviel Gleichungen, wie
Laststellen vorhanden sind. Fiir drei Laststellen wird
M1 = P1 7111 + P2 1712 + P3 2713?
M2 = P1 7721 + P27722 + P3 27231
M3=P1?131+P2X732+P3x)33?
Ein solches Gleichungssystem ladt zur Anwendung
von Matrizen ein, wodurch die Rechnung iibersicht-
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212 Pol3ner: Einflul3grol3en
lich and kurs: wird. Die Matrix zu obigem Gleichungs-
system ist die Einflul3matrix
1111 1112 1)13
1121 '122 1)23
1)31 1132 1)33
Bei Streckenlasten entstehen wieder die beiden
Integrale
MX = f 1) (xc) p(c) de + I ii (cx) p(c) de,
wobei hier jedoch nicht die Trennung des positiven
and negativen Teils notwendig ist, sondern fur die
beiden Gebiete zwei verschiedene Gleichungen ij
gelten. Auch schreitet man zweckmal3ig gleich zur
zahlenmaBigen Auswertung mit Hilfe des Schemas.
Die Momentenlinie ist hier kein Streckenzug, sondern
eine Kurve, deren Verlauf fiber C man zweckmal3ig
durch Berechnung einer geniigenden Anzahl von
Punkten erhalt. Beim Wechsel des Vorzeichens der
Querkraft ist wieder das maximale Biegemoment vor-
handen. Seine Lage wird hierdurch genauer erhalten
als durch andere Methoden.
m?=mm
1-X=1-C3
777/7
.erschiedene Gleichungen fur da
elastische Linie
Bild 14 Bei einem mehrfach gestutzten Stab erhalt man fur
jeden Stabteil eine besondere Gleichung fur das Biege-
moment and die elastische Linie
Da man sich bei einer Streckenlast Einzelkrafte von
der GrbBe p d c denken kann, ergibt sic unendlich
viele solcher Krafte, and deshalb erhalt man ein
Gleichungssystem, das unendlich viele Gleichungen
snit unendlich viel Gliedern besitzt. Die EinfluBmatrix
hat also unendlich viele Zeilen and Spalten.Differen-
ziert man das Gleichungssystem partiell nach der
beliebigen Kraft P. = px ? d c, so erhalt man
aM, -
a PX = >>xx,
oder kurz zusammengefal3t
aM
a PX = 1)x
Diese beiden GroBen kann man als Spaltenvektoren
bezeichnen, da sie einspaltige Matrizen darstellen.
Die rechte Seite ist die Momentenlinie fur den Ein-
heitsvektor an der Stelle c = x. Die Zeilen der
Einflul3matrix bezeichnet man als Zeilenvektor. In
ihm Sind die ersten Indizes gleich and die zweiten
variabel. Der Zeilenvektor gilt also fur einen wandern-
den Einheitsvektor and ist daher die EinfluBlinie
fur das Moment. Dies gilt grundsatzlich fur symme-
trische wie fur unsymmetrische Matrizen. Bei den
ersten wird dieser Sachverhalt dadurch verwischt,
indem Spalte and Zeile gleich sind and these Aus-
einanderhaltung unnotig ist. Bei unsymmetrischen
Einflul3matrizen wird sie notwendig.
So erhalt man z. B. fur den einseitig eingespannten
Stab die Gleichung
i= /x\ s c x
f3 2 -
fur die elastische Linie des Einheitsvektors an der
Stelle c. Die Gleichungen fur die elastische Linie
erhalt man fur P = 1 durch dreimalige Integration
(bei Streckenlasten durch viermalige). Dabei ist der
einseitig eingespannte Stab der einzige Fall, bei dem
normal integriert wird and bei dem die Integrations-
konstanten durch die Anfangsbedingungen erhalten
werden konnen. Alle anderen Belastungsfalle sind
Randwertprobleme, d. h. fur die Bestimmung der
Integrationskonstanten sind die Bedingungen am An-
fang and Ende des Stabteiles ausschlaggebend. Dies
kommt daher, weil sich die elastische Linie mathe-
matisch aus zwei oder mehreren Stiicken zusammen-
setzt, von denen jede eine andere Gleichung besitzt.
So wird z. B. ein einfacher Stab auf zwei Stiitzen
an der Laststelle unterteilt (Bild 10), wobei schon die
Momente links and rechts nach verschiedenen Glei-
chungen berechnet werden. Die zweimalige Integration
ergibt daher auch zwei verschiedene Gleichungen fur
die elastische Linie. Die beiden Teile gehen an der
Laststelle tangential ineinander fiber, so daB der
Eindruck entstehen kann, daB fur beide Teile eine
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PoBner: EinfluBgroBen
einzige Gleichung gelten kOnnte. Die Randbedin-
gungen, die den tangentialen Ubergang mit enthalten,
konnen in zwei gleiche Teile geteilt werden. Den ersten
Teil bildet die statische Gruppe, den zweiten die Form-
anderungsgruppe, wenn man von der Differential-
gleichung (E J y")" = 0 ausgeht. Zu bestimmen rind
dann fur jeden Teil vier Integrationskonstanten,
also beim Stab auf zwei Stutzen mit der Last P = 1
im gansen acht. Dazu gehffren acht Gleichungen,
vier fur die statische Gruppe and vier fur die Form-
anderungsgruppe. Wird der * Belastungsfall statisch
unbestimmt, dann enthalt die statische Gruppe so viel
Formanderungsbedingungen, wie der Grad der sta-
tischen Unbestimmtheit ausmacht. Bei einem Stab
auf fiinf Stutzen (Bild 14) mit P = 1 an beliebiger
Stelle erhalt man 5 ? 4 = 20 Integrationskonstanten
fur ffinf verschiedene Gleichungen, wobei acht statische
and 12 Formanderungsbedingungen vorliegen, weil der
Belastungsfall zweifach statisch unbestimmt wird.
Die Auflosung der 20 Gleichungen zur Bestimmung
der 20 Unbekannten ist schon nicht mehr einfach,
obwohl rich manche Vorteile bieten. Daher geht man
zweckmaBig zur Bestimmung der elastischen Linie
mittels EinfluBgrofen vor [1], [2], [3].
Obige Gleichung fur den einseitig eingespannten Stab
ist such gleichzeitig die EinfluBlinie fur die Durch-
biegung, denn wean man x mit c vertauscht, erhalt
man die Gleichung fur die rechte Seite
8 2
"~ 6EJ (Tc l3 Y I cl.
In der ersten ist x < c, and in der zweiten ist x > c
(Gleichung einer Geraden, da das unbelastete Ende
in gerader Form mitgenommen wird).
Leitet man die erste Gleichung partiell nach x ab,
dann gilt sie ale elastische Linie, and man erhalt bei
konstantem c die Neigungslinie
an 11, x c x
ax 2EJ I l2 1 1
Nach c abgeleitet, ergibt sich die EinfluBlinie fur die
Neigung 2 2
tl
ac = 2EJ \r~
Nochmalige partielle Ableitungen ergeben sinngemaB
a2tl I c x
axe EJ [I I
a c~ - 0
Daraus ergibt die erste Gleichung die Momentenlinie
fur den Einheitsvektor.
ag 12 ac'2 = 0 besagt, daB bei einem wandernden Einheits-
vektor an dessen Stelle das Moment Null wird. LABt
man ihn fiber die Stelle x hinausgehen, so entsteht
nach der ersten Gleichung bei x das Moment - (c -x).
In c als Ordinate angetragen, ergibt sich daher ale
EinfluBlinie eine in x beginnende Gerade unter 45?,
wahrend die Momentenlinie fur festes c eine in c be-
ginnende Gerade ebenfalls unter 450 nach der anderen
Seite darstellt (Bild 15).
Die EinfluBmatrix ist daher unsymmetrisch and lautet,
fur 4 Laststellen um eine Nullzeile erweitert,
(c1 - 0)
(c2 - 0)
(cs
- 0)
(C4 - 0)
0
(c2 - c1)
(cs
- C1)
(C4 - C1)
0
0
(C3
c2)
(C4 - e4)
0
0
0
(C4 - ca)
0
0
0
0
Greift an einem Stab ein Moment an, so wird der Stab
gebogen. Die Auflagerkrafte bestimmen rich aus
A=B-M.
Man kann die Aufgabe auch umkehren, indem die
durch M gebildeten Stabteile c and I - c in c ein-
gespannt zu denken sind and these eingespannten
Stabe am freien Ende durch die Krafte A and B
belastet werden. Dann ergeben rich zwei dreieck-
Bild 15 Die EinfluBlinie fur den einseitig eingespannten
Stab im Vergleich zur Momentenlinie
formige Momentenflachen. Die beiden Einspann-
momente bilden zusammen das Moment M. Man denke
sich die Momentenflache mit Hilfe eines Seilecks ge-
zeichnet (Bild 16).
Es ergeben rich sodann folgende Beziehungen:
z A
1 H'
zH-A1=M,
M=ML ?Z?nip ?H=mm -z,
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z1 A
z:1H=A(1-c)= M (- c,
M1=zl? mm=M I \
- I'
/
M2=z2.mm=M
M1 and M, sind die beiden Einspannmomente. Durch
zweifache Integration ergibt sich
x links von c
2
1 x (1 c\ - (1x) Cm
~_---- 1-3 -
kgcm
'
6EJ 1 1
J /)
x rechts von c
_ 12
'l 6EJ (1 -
['(+) 2-I1- ))2J
cm
kgcm
Ein einzelnes Moment M an der Stelle c hat zwei
Wirkungen. Es dreht das Stabelement and verschiebt
es. Obige beiiden Gleichungen gestatten, die Durch-
A= M
biegungen von verschiedenen Einzelmomenten M1,
M2, M3, .... zu berechnen. Sic ergeben eine EinfluB-
matrix, die nicht symmetrisch ist. In dieser Matrix
ist die Spalte die elastische Linie an der betreffenden
Stelle c, die Zeile die EinfluBlinie fur die Stelle x.
Die partiellen Differentiationen dieser Gleichungen
nach x and c liefern die Neigungslinie (Spaltenvektor)
x links von c
2 2
an t l
ax 6EJ131 1) 3\1/, [kgcm '
x rechts von c
/ \ 2
ax 6E J [1 - 3 (T) 3 11 - I) ] [kgcm
and die EinfluBlinie fur die Neigung (Zeilenvektor)
x links von c
a
IIN= a~ = -
EJ (1 T) T
1
kgcm
x rechts von c
a~, 1
h1N c ( x 1) 1
1 k cm
a c EJ I g
Die ersten beiden Gleichungen ergeben den Verlauf
der Tangentenrichtungen, die letzten beiden Glei-
chungen bilden die EinfluBlinie fur die Neigungen.
Hat man nicht einzelne Momente an den Stellen c1,
c., c3 ..., sondern eine sich stetig oder unstetig
andernde Momentenlinie, die von Querkraften her-
riihrt, dann erhalt man die einzelnen Belastungen Mdc
mit der Dimension kgcm2. Das Integral von 11N? Mdc
caber die Stablange ergibt eine Gr6l3e mit der Einheit
kgcm2
kgcm
y=J )IN?Mdc.
A=-e= M
'2'
Bild 16 Bei einem einzelnen Biegemoment erhalt man eine
Einflu[3linie wie beim querbelasteten Stab fur die
Querkraftlinie
0
Trennt man den Faktor E JJ ab and bezeichnet den
Rest einfach mit nix, dann erhalt man
I
_ 1
de.
Y EJ Mlii,
0
Ein Vergleich mit der Formel von Castigliano ergibt
aM
nix = a P ?
x
Man kann also auch die Momentenlinie fur den Ein-
heitsvektor auffassen als EinfluBlinie fur die Tan-
gentenneigungen eines durch ein Einzelmoment Al = 1
belasteten Stabes, die, mit der Momentenflache
multipliziert and integriert, die elastische Linie
ergibt.
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Gegeniberstellung I
Elastische Linie, EinfluBlinie fur Durchbiegung
6EJ 1I1- 1)[1-(1)2-(1 1)2J
Neigungslinie
2
ax 6EJ`1- I)[1-
EinfluBlinie fur die Neigung
3(x)2 -(1 1)2]
1-3(1 - r 1
ac - 6EJ 1 [ 1)21T/21
1
( (1 c2ax 6EJ [1-3(T)2-3- Y)2
negative Momentenlinie
EJ 2 _ =-1 c 1-
aX2 T(
c
r
negative EinfluBlinie fur Moment
2
EJac2l--1T(1 1)
negative Querkraft
EJ as
aX =-(1-T)
negative EinfluBlinie fur Querkraft
a8,, -x
EJacs-1
Elastische Linie and EinfluBlinie fur Durchbiegung
12 x
6EJ 1 [1-3I1 112-\1)2]
Neigungslinie
2 / \2
ax 6EJ[13 (1 C) 3I,)
EinfluBlinie fur Neigung
an 1 x (1 c
ac -- EJ I -T)
negative Momentenlinie
EJa2Vx
a x2 T
negative EinfluBlinie fur Moment
EJ a2n = x
ace T
negative Querkraft
E T as 27 1
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Gegeniiberstellung II
X~
Bild 19
Elastische Linie, EinfluBlinie fur Durchbiegung
13 c r
6EJ T \1
Neigungslinie
a?? ax =
12 c
6EJ 1
-Tlfl-\1/2-\1 T/2,
['-('-T) 2_(C)2J
EinfluBlinie fiir die Neigung
a 27 12 _ (1){13(+)2(1T)J
x2
negative Momentenlinie .
EJ ax = --1 T \1 T/
negative EinfluBlinie fur Moment
EJ a~2 =--1(1- T) i
negative Querkraft
EJa3j? - C
ax3f
negative EinfluBlinie fur Querkraft
E J a3) =
a c3
-c-
Bild 20
Elastische Linie and EinfluBlinie fur Durchbiegung
i _1
6EJ\1 11-3\1/2-\1 )21
Neigungslinie
r (r ll2 2
ax 6 E J f l - 3 \ T / -3\1- T/
EinfluBlinie fur Neigung
a7] C x c
ae=-EJ\1-i11
negative Momentenlinie
a2 77
EJ za~
negative EinfluBlinie fur Moment
negative Querkraft
EJ a3~ - 1
a x3 T
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aac2ax- 6EJ[1-3\1/2-3(1 1121
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Polner: EinfluflgraDen
E_ 2.15.10ekg/cm2
X-C P-1k9 .7 -100 =6
A B x=c
A
r 0 0,2 0,3 0,5 0.6 0.0 1
= I ( I=120 cm I I
Einflulllinie lur Durchbiegung 0
my -OS-10-4 m
Einflulllin1e lur Neigung do
my.=10icm
2
Einllulflinie lur Bieg (moment- E7
mM _10k cm
cm
EinluBlinie slur Querkrolf-a-*E7
mo - 42S
Bild 21 Vierfache Integration odor Differentiation beim quer-
belasteten Biegestab mit Einzelkraft hinsichtlich c.
Das stbrende Minuszeichen bei der EinfluBlinie fur
die Tangentenneigungen erledigt rich dadurch, daB das
auBere Einzelmoment positiv gerechnet wurde. Sein
im Querechnitt auftretendes Gegenmoment von ent-
gegengesetztem Vorzeichen entspricht dem normalen
Biegemoment bei der Biegung durch Querkrafte.
Da durch die Vorzeichenregel (a. Bild 10) das Moment
positiv wurde, jet jetzt jede Biegemomentenflache
negativ zu nehmen, wenn man sie zusammen mit der
EinfluBlinie fur die Neigung integrieren will.
Eine weitere partielle Differentiation nach x and c
ergibt
Momentenlinie
x links von c
a' 1 1 x
axe _ + -E J T
2~
ax' EJ\1t/'
EinfluBlinie
fur das Moment
x links von c
a2 r/ 1 x
acz- + EJ T
x rechts von c
, 77 1 rr
ac'- EJ11- t
Das Ergebnie let, daB Momentenlinie and EinfluB-
linie dieselbe Form habeu, also eine symmetrisohe
E'2;1540skg/cm2
7=1000m4
1 1
0.2 0.3 0.5 0.6 0,8
.
-t--~--- 1 =120 cm
Einflulllinie fi rDurchblegung ry
my =10-6icm
EInflulflinie Air Neigung
my' 0.3310-7 do
cm
EinfluBlinie Air Biegemoment-4E7
m,N-0,25 ka-cm
Bild 22 Die Einflulllinien beim Biegestab mit
Einzelmoment
Matrix ergeben. Vergleicht man die Formelreihe fur
ein Moment M = 1 an der Stelle c mit der Formelreihe
far eine Kraft P = 1 an der Stelle c, dann erhalt man
die gleichen Formeln, nur um eine Integrationsstufe
verschoben.
Die folgende Gegeniiberstellung der Formelreihen
zeigt am beaten die geschilderten Zusammenhange
(Bild 21-24). Die Bilder 25 -28 zeigen die Entstehung
der Kurven aus zwei zusammengehefteten Kurven-
stellen verschiedener Gleichung.
Beispiel 4 (Bild 29):
Die Last 500 kg riihrt von einer rotierenden Scheibe
her. Um die durch die Tangentenneigung hervor-
gerufene Kreiselwirkung auszuschalten, wird dort die
Tangentenneigung = 0 gesetzt and die Kraft X2
mit Hilfe der ersten Zeile?der Matrix berechnet. Mit der
bestimmten Kraft X, stellt man die Durchbiegung
feat. Sie ist bei dem Lager 2 die Toleranz, mit der
bei dem Lager 1 eine horizontale Tangentenneigung
erzielt wird.
1. Matrix fur die Neigung E = 2,15 . 106 kg
z
cm
J= 1020 4
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0 0, 2 0.'3
;
E
lasti
sche Lin
ie
my=0
,5.10-4
1
~
c
m
E
N
eigu
ngslinie
d
m
y
10-6
x
cm
+
Bi
ege
momente
a
nlinie d--
M
,=
cm
10 k
cm
P Q
uerk
raftlinre
d~-
m
o =
0,25 A
dx 3
E =2,15.106 kg/cm2
7= 100cm4
Elastisch
e Linie
7
my=10
-6
cm
Neig
ungslinie L
dx
my
1
=0,3.10-6
cm
Biegemo
mentenli
'
nie -E7
d
x
mM -0,
kg-cm
25
3
Querkraftlinie-E7d
ma -0.5-10-z kg
cm
Bild 23 Vierfache Integration oder Differentiation beim quer- Bild 24 Die elastische Linie usw. Beim querbelasteten Biege-
belasteten Biegestab mit Einzelkraft hinsichtlich x stab mit Biegemoment
3
6EJ i )[2 i i )~-(i
Elastische Linie /'
Einfluflinle furDurchbiegung/
13
6E7 1(1- x)(21 -~l-(1 ~l
3
~ =0
,
0,3 1
Bild 25 Veranschaulichung der Zusammensetzung der elastischen Linie aus zwei versehiedenen Kurvenstiicken
0.5 0
6 0.8 1
E7
E=2.15.106kg/cm2
7=100cm4
0,5 0.6
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I )[
Neigungslinie
d ra 6EJ TL I )2-(I )21
J
Bild 26 Veranschaulichung der Zusanlmensetzung der Neigungslinie aus zwei verschiedenen Kurvenstiicken
n- f2 x 1-3(1 -c\ ( ll
ac - 6EJ T I r)2 - F0
Formel fur die t/'-Werte oberhalb derHauptdiagonalen.
y!'11 77'12
0,18750 0,15104
yl~^1 tl~^2
0,23392 0,14814
LI- (1--1l 1 - 3 ( ll
ac - WE J 1)[
Formel fur die97'-Werte unterhalb der Hauptdiagonalen.
2. Kraft X2:
0=P1''l'll+X2'y)'12
P1.,'11 _ 500 - 0,18750
X2 7712 0,15104
3. Matrix fur die elastische Linie:
a) Hauptwert
T3 1.23. 106
- 620,7 kg
6EJ 6 ? 2,15 ? 106 . 102 = "'111JJy, kg
b) Matrix
Yl = P1 ' ylll + X2 2112
0,07031 0,06886
Y2=P,.7.1+X2.71'2
0,06886 0,09876
13 'l- 6EJ T (1 1)[i-(I)2-(i- ~)2
4. y-Werte
yl = (500.0,0013395.0,07031)
+ (- 620,7 ? 0,0013395 ? 0,06886)
y1 = 0,047090 - 0,057252 = - 0,01016 cm
= 0,1016 mm
Y2 = (500.0,0013395.0,06886)
+ (620,7 ? 0,0013395 ? 0,09876)
y2 = 0,046118 - 0,082111 = - 0,03599 cm
= 0,3599 mm
Gleiche EinfluBlinien
fiir versehiedene Beanspruchungsarten
Gleichungen fur die EinfluBlinie der Querkraft bzw.
fur das Moment lassen noch eine weitere Anwen-
dung beim mehrfach belasteten Zugstab and Beim Ver-
drehuugsmoment zu.
Nach Bild 30 erzeugt eine Kraft P1 in dem beider-
seitig eingespannten Stab eine Zugkraft SO- 1 and
eine Druckkraft S1_1. Es wird E At, = 0. Da zwei
unbekannte Krafte S0_1 and S1_1 auftreten, aber
nur eine Gleichgewichtsbedingung zur Verfugung
steht, ist das Problem einfach statisch unbestimmt.
Zur Ermittlung dienen noch die Formanderungen mit
der Bedingung EA I = 0.
1. EP = 0
= P1 - So_1 - S1_Y = 0
f-0.3
d 6EJ i(1-3(1 )'-(~ )'J ___
i-a3 ;
Bild 27 Veranschaulichung der Zusammensetzung der Ein-
fluBlinie fur die Neigung aus zwei verschiedenen
Kurvenstiicken.
~'-6-x(1- t)r1-3(-E,)'-(l ~)?J
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I\\
Einfluflinien furNeigung
C = 0,1...0,9
Gleichungen:
links von P ---
_- 2 -x2
)
ly (
I
do 6E7 l
rechts von P --- -
d 6E7(1-I)I1-3(I)-
T
0,9
0,8
\ 0,7
a4 a
0.6
ZZ" 04
\
\
Bild 28 Veranschaulichung der Zusammensetzung der EinfluBlinie fair die Neigung bei verschiedenen Messstellen
2. Zdl == 0
S0_1c S1_1(1 - c)
E1F1 E2 F2
E1F1 = E2F2
S0_1c - Sl-1 (1 - c) = 0
In 1. eingesetzt
SO-1 =' S1-1
P1 - S1_1 C - S1_1 = 0
c
S1_, _. Pl 1
C
P1 - S1_1 - P1 T = 0
50-1 P1 11 T/
Fur die Zug- and Druckbeanspruchung ist eine be-
sondere Vorzeichenregel notig. Die abgeleiteten For-
meln geben nur den absoluten Wert wieder. In jedem
Stabteil sind zwei Krafte wirksam zu denken, die
einander gleich, aber entgegengesetzt gerichtet sind
and daher zwei Richtungen aufweisen. Sind sic auf-
einander zu gerichtet (Druck), dann sind sie negativ
anzusehen, anderenfalls positiv. Auf these Weise lal3t
sich der Krafteverlauf als Langskraftflache graphisch
darstellen.
Die Langskraftflache hat dieselbe Form wie die Quer-
kraftflache beim Biegestab. Ist dl das Element der
P, = 500 kg
~ -- 30
E-2.15.106kg /cm2
7 - 102cm4
Bild 29 Skizze zum Zahlenbeispiel 4
Lange eines Stabes, so erhalt man fur eine stetig
veranderliche Stabkraft S (1)
I
f S (l) df
J EF = 0.
0
Bei einer Stufenkurve S (1) erhalt man
S(1)d1 -0,
EF
0
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Po8ner: EinfluOgrolen 221
d. h. man gewinnt den Verlauf der Formanderung
durch graphische Integration. Durch Einsetzen der
Werte fur P. = 1
c
51-1 = I
ergibt die Integration mit der Veranderlichen x
x
1 ( l
EF (1 - T) dx = EF I x
1
EF 1 I x (1 I c )'
c
E F f I dx = E-F I (I - x)
EF1(1 I/ I
Die Formanderungslinie hat daher den Verlauf von
Bild 30, das mit Seileck gewonnen wurde, wobei
man durch Verlegung des Pols eine horizontale
SchluBlinie (Nullinie) erhalt. Eine Differentiation
nach x ergibt die Langskraftflache, nach c die EinfluB-
linie auf die Langskraft:
EF?r?=IY(1-I
EF ? 8x = (1 I /
(Zugkraft)
EFa2 =
rechts `
EFt7=I(1 - C I Y
EF ax I
(Druckkraft)
EF On =1- C
Die Anwendung fur mehrere Langskrafte zeigt das
Beispiel 5 nach Bild 31-34a. Bild 31 zeigt die An-
wendung der EinfluBlinie fur die Langskrafte bei
verschiedenen Axial-Kraften P11 P21 P3. Die SchluB-
linie s in Bild 33 and 34 bestimmt rickwarts die
Nullinie der Langskraftflache. Die Stabkrafte S sind
zwischen zwei Kraftangriffsstellen konstant. Daher
mnssen sie abschnittweise durch Verschieben der
Stelle x bestimmt werden. Hierbei erhalt ' man ein
Gleichungssystem von der Form
S3-1 = P1'7(0-1), 1 + P2 77(0-1),2 +
P3 77(0-1),3
S1-2 = P1 17(1-2), 1 + P2'7(1-2), 2 +
P3 97(1-2), 3
S2-3 = P1 77(2-3),l + P2 77(2-3), 2 +
P3 77(2-3), 3
S3-1 = P1 77(3-1), 1 + P2 27,3-1), 2 + P3 77,3-1.),3
Beispiel (Bild 31-34a):
Bei veranderlichem Querschnitt werden Stabteile
fiir gleichbleibenden Querschnitt im Verhaltnis eines
frei gewahlten Vergleichsquerschnittes verzerrt and
integriert. Die neu erhaltene Schluflinie ergibt die
neue Nullinie der endgiiltigen Langskraftflache Bild 34.
Grundsatzlich mu13 bei veranderlichem Querschnitt
beachtet werden, daB bei Zug (Druck) and bei Ver-
drehung die Stabteile im Verhaltnis zu einem frei-
gewahlten Querschnitt verzerrt werden, wahrend
bei der Biegung eine Verzerrung in Richtung der
Ordinate der Momentenflache im Verhaltnis zu einem
freigewahlten Tragheitsmoment vorgenommen werden
muB, wenn durch Seileck (Mohr) oder graphische
Integration die Neigungslinie and die elastische Lime
gewonnen werden sollen. Bei der einfachen Integration
der Querkraftflache spielt der Unterschied der Trag-
heitsmomente keine Rolle, da man die Momenten-
L dngskraftfl5che
Bild 30 Langskraftflache and Formanderungslinie bei axial
belastetem Stab
flache erhalt, wobei die Unterschiede in der Biege-
steifigkeit ohne Bedeutung sind. Die Verzerrungen
sind immer in der Richtung der Formanderungen
vorzunehmen. Diese gehen bei Zug (Druck) and
Verdrehung in Richtung der Stabachse vor rich, bei
Biegung senkrecht dazu.
Dieselben Verhaltnisse liegen vor, wenn ein beider-
seitig eingespannter Stab durch mehrere verdrehende
Momente an verschiedenen Stellen beansprucht wird.
(Bild 35). Bei einem einzelnen Moment gilt
EM = 0
= M1 - Mt (0-1) - Mt (1-1) = 0
Edg7=0
Mt(o_ 1)c
Mt(1-1) (I-c)
G1 Jp1 G2 Jp2
G1 Jpl = G2 Jp2
Mt (0-1) c - Mt(1-1) (1 - c) = 0
1-c
Mt (0-1) = t(1-1)
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P, P3
P=400 kg
P =300 kg
20
60 -- --I
90
52-3 -+P7/1 -P2112 -P3173'
Bild 31 Die Einflul31inie fur den axial belasteten Stab hat
dieselbe Form wie die bei der Querkraftlinie beim
Biegestab
In 1. eingesetzt, ergibt sick
c
M1=Mt(1-1)
- Mt(1-1)=0
Mt(1-1) = M1
c
M1 - Mt (0_1) - M1 C = 0
c
M, (0-1) M1 1 T)
c
M,: (1-r) = M1 c .
Auch hier hat die Verdrehungsmomentenflache and
die dazugehorige EinfluBlinie dieselbe Form (Bild 35)
wie die Querkraftflache bei der Biegung.
Vorzeichen-Regel: Blickt man in Richtung der Stab-
achse and wird der nachstliegende Querschnitt gegen-
iiber einem beliebigen, als fest angenommenen Quer-
schnitt im Uhrzeigersinn verdreht, so ist das ver-
drehende Moment negativ, sonst positiv.
Die Gleichartigkeit der EinfluBlinien ist mit den
gegebenen Beispielen nosh nicht erschopft. So kann
man viele in diesem Aufsatz angefuhrte Beispiele der
Festigkeitsleh:re auch auf andere Gebiete anwenden,
so z. B. auf die.Berechnung von elektrischen and hydrau-
S0_1 = + 500. 6 - 300 2 + 600 4
S1.2 = - 500 6 - 300 1 + 600 1
S2-3 = - 500 6 + 300 1 + 4 00
S,1-I = - 500 6 + 300 Z - 6 00
Bild 32
LdngskrofINache
P,
\I
_ + 367 kg
=-133 kg
167 kg
=- 233 kg
ML
Formonderungen: A I
mdI- E.F .H.m~mS
Bild 33 Bestimmung der Stabkrafte durch Integration der
Langskraftflache uber die Formanderungslinie
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r ~P,?S11 +
Xkg
Bild 34 Ist der Querschnitt veriinderlich, dann erhiilt man bei der Bestimmung der Stabkrafte durch
Integration eine verzerrte Stabachse
S0_5- 5001 - 300? + 400; -+414,288
14
400
S
--500
-- 85
712
- 300
,-,
1;
,
A +
3
S2-3 --500+1 +300 / + 400 } - +214,288
20 --i
53-,-500/L +300, -400;--185,712
60 -
-120
Fpm'
F_, - I
F-32
F_l-3
I2, Fe-, 1 F'-+ l F.-I --r
F,-2
F2-3
F3 -[
Bild 34a Auch bei der Anwendung der Einflul3linie ist eine Verzerrung der Stababschnitte notwendig
13 -~- l 4
Pe4ookg
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lischen Leitungen. Der vektorielle Charakter der Ein-
fluBzahl kornmt beaonders zum Ausdruck bei den
EinfluBgroBen von Stabwerken.
EinfluBgroBen bei Stabwerken
Beim Williot?Verschiebungsplan erhalt man die neuen
Lagen der Knotenpunkte dadurch, daB man die Krei.s-
bogen fur die Schwenkungen um die Knoten durch
Mtn Mt2 Mt3
V
Lote auf die Stabrichtungen ersetzt. Auf dieser Grund-
lage kann man auch die Verschiebungen berechnen.
Wir untersuchen zunachst, welchen EinfluB ein
einzelner Stab auf die Verschiebung S eines beliebigen
Knotens hat (Bild 36). Man setzt die anderen Stabe
als steif voraus. Dadurch wird nur das d t eines Stabes
wirksam. Da 6 ein Vektor ist, sind fur seine GrOBe
and Lage, die zu suchen sind, zwei Komponenten-
richtungen bestimmend, die frei gewahlt werden
konnen, z. B. U and b. Wir wahlen die U- and b-Achse
rechtwinklig zueinander and erhalten fur die Form-
anderung T f aus den auBeren Kraften and den sich
daraus ergebenden Stabkraften mit Hilfe des Cremona-
plans t
a=
cos a
Fur die Komponenten ergeben sich in der
u-Richtung
U=Bcos#
cos P
cos a
sin j9
cos a
b k
(2-3),1
X2 -3
'U-3
Mt!-3~ Mt, (2-3)1 t2 72-3-)2 t-9'(?-3),3
Bild 35 Bei Torsionsmomenten am eingespannten Stab hat die
EinfluBlinie dieselbe Form wie bei der Bestimmung
der Querkraft der Biegung
Lot auf 1 anstelle des
Kreisbogens um 0
Bild 36 Bestimmung der EinfluBgroBe beim Stabwerk
df b
a
b-Richtung
b=bsinj9
=4t , =4f k .
a a
Die Verschiebung oder auch eine Kraft in Richtung U
and b haben denselben Einheitsvektor U? bzw. V.
Ihr EinfluB auf das Fachwerk ergibt sich je aus einem
Einheitsplan, den man auch EinfluBplan nennen
konnte. Die Komponenten dieser Einheitsvektoren
in den Stabrichtungen sind dann Su and Sb, von
Stab zu Stab noch mit einer Nummer versehen, also
Slu, Sib usw. (gelesen S1 infolge u = 1). Bilden
wir die Momente hinsichtlich eines Drehpunktes (z. B.
U), so daB ein Wert von S bei der Momentbildung
anfallt, so ergibt sich fur die Knotenpunktsbedingung
EM = 0.
u-Richtung b-Richtung
S1 a=1?b Slba=I?k
a a
1 = 1u b 1 = Stb k .
Mit den Verschiebungen skalar multipliziert:
b a k a
u= 4 t1 a - S1 b v= 4 f1 a? S1, k
u=4f1?Slu v=4f1?Sia.
Ist die von den auBeren Kraften erzeugte Stabkraft
Slo, so erhalt man
S11t, . S,o tl V = Stn S,p tl
u=-E1F1; E1 F1
Sind weitere Stabe an der Verschiebung beteiligt,
so erhalt man fur jeden Stab eine solche Gleichung,
wenn man alle anderen als steif voraussetzt. Es
summieren sich dann die Anteile algebraisch, and es
wird (Bild 37)
Su Sot %, S'. Sot
V EF
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Polner: Einflulgrolen 225
Aus den Teilverschiebungen erhiilt man die gesamte
Verschiebung
S = ju' -T V2.
Bei groBeren Fachwerken ermittelt man alle Stab-
krafte mit Hilfe eines Cremonaplans. Es sind daher
drei Krafteplane notwendig, einer fur die gegebenen
auBeren Lasten and zwei Plane fur eine ?Last 1"
in den U- and b - Richtungen. Diese GrSBe ist
im eigentlichen Sinne keine Kraft, sondern der
Einheitsvektor in Richtung U and b. Die dazu ge-
hdrigen ,Stabkriifte" sind daher ebenfalls keine
Krafte. Es sind reine Verhaltniszahlen. Sie geben den
EinfluB der Kraftrichtung and der geometrischen
Gestalt des Fachwerks wieder, and man bezeichnet
sie daher besser als 'EinfluBzahlen. Der Hauptwert
ist r = f and daher die EinfluBgroBe Slu I
EF EF
bzw. SE F f. Mit der zugehorigen Kraft multi-
pliziert, ergibt Bich die Verschiebung wie vorher
(Beispiel Bild 37).
Stellt man sich die Aufgabe, die Verschiebung eine s
Knotens wieder ruckgangig zu machen, so kann man
an ihm eine Kraft anbringen, die durch zwei Kom-
ponenten Xu and Xb vertreten ist. Zu beachten
ist dann, daB, wenn man sich Xu and Xb in Richtung U
and b wirksam denkt, U von P and Xb and b von P
and X? hervorgerufen werden. Da man Xu and Xb
nicht kennt, werden sie als Unbekannte angesehen,
von denen man aber die EinfluBzahlen bestimmen
kann and schon kennt, da es dieselben sind, die fur
die Einheit 1 bei der Bestimmung der Verschiebungen
erhalt en wurden. Die Stabkrafteinfolge einer Knoten-
kraft Xu in Richtung U and Xb in Richtung b konnen
daher geschrieben werden:
Xu Su
Xb Sb.
Xu and Xb sind dann fur alle Stabe konstante Fak-
toren, so daB sie bei der Summierung vor das Summen-
zeichen gesetzt werden kOOnnen.
Es treten daher in den beiden Richtungen u and n
folgende Verschiebungen auf:
Durch die auBeren Kno-
tenlasten P11 P2 ...
So Su f
(u0 E F
Durch die Kraft Xb, die
an der Verschiebung in
Richtung U mit teilnimmt
(negativ zu U?)
Xb Sb Su I
In derselben Weise wirkt
noch Xu mit
_ E XuSu Su f
EF
_ S? Sb f
(v0 -) E F
Durch die Kraft Xu, die
an der Verschiebung in
Richtung b mit teilnimmt
(negativ zu b?)
E XuSu SUY
EF
In derselben Weise wirkt
noch Xb mit
Xb Sb Sb I
EF
Die algebraische Summe in den Richtungen U and b
ist = 0. Man erhalt daher zwei Gleichungen mit den
Unbekannten Xu and Xb
XU Su Suf E, Xb Su Sb I
EF + EF
I
X
S
s
S
f X
S
u
u
b
b
b
b
EF + E EF
f
Setzt man den Hauptwert -f -F = rand Xu bzw. Xb
vor das Summenzeichen, dann wird
XuZSuSur+Xb#SuSbr=uo,
XuESbSu r+XbLSbS.r=v?.
Fur die Summen kann man weitere Abkurzungen
Xu Eu u +
X,;bu+
In Matrizenschreibweise
Xb Zu V
Xb Eb b
XU
(Eu u Eu b\ (X')
~Eb u Eb b
cm
1 (kg)
kg J
`
= U0,
=v?.
(VU
l
Verachieb
ngs-Vektor
durch die gegebene
Last (cm)
Die Elemente der EinfluBmatrix kann man auch in
Matrizen ausdriicken. Es ist:
E'ub=E'Su Sbr,
wobei die S and r sich fiber die Stabe 1, 2, 3, ... des
ganzen Fachwerks erstrecken. Sie kSnnen daher als
Vektoren geschrieben werden:
Stu
~u = S1 03
2
Q1 + Q2 =cosh [2V--D"7]--1
2
10 w ;-100
0,05
0,04
- 0,02
L 0,01
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Hochschule Widerstandskoeffizienten
Elektrotechnik eines bewegten Korpers
Jnst. f. Math. u. Mech. Bestku w g der H isg Min a,
499- AMY ITT11111
N3
DR O
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~~ VAS
a\\1111111117
WWUUIU1II 11111111111111111
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 Hochscbule
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99
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43
e
?1 41i
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Elektrotechnik eines
Jnsl: f. Math. u. Mech. Bestimmung der Konstante? C
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2
C t-f-fl
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fur
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Hochs ch ul a Wide
fur rstandskoeffizienten
Elektrotechnik eines bewegten Korpers
Jnst. f Math. u. Mech.
Bestimmung des Koeffizienten u
Nab
D0
0),
Die GroBe A berechnen wir aus einer der gemessenen
Geschwindigkeiten, etwa aus v (t1) .
Aus der Formeltabelle erhalt man
(16a)/ =-2Itv(t1) -}- 2Dtg(C- [/D t1)
(D > 0)
(16b) )=-21tv(ti)+2V-D(S-tg(C+V-Dti)
(D < 0).
Die Grol3e x schlieBlich erhalt man aus der Glei-
chung
(17)
Damit
4D+),2
sind in den beiden ersten Fallen alle Para-
meterwerte aus den Messungen bestimmt.
Der dritte Fall ist der einfachste. Aus jeder der
beiden Gleichungen (9a) and (9b) 1a13t sich C be-
rechnen; sodann It aus
(18) Ft[v(t1-2T)--v (t1+2T)]
(C+tl-2T)(C~--tl+2T)
darauf l aus
2
(19) 2!tv(ti)+C+
and schlieBlich x
(20)
(I) = 0),
- , (1) = 0)
4u
Damit sind die WiderstandsgroBen A, ,u, x in
jedem Fall aus funf sukzessiven Geschwindigkeiten
bestimmt, eine Bestimmung, die sich immer durch-
fiihren laBt, solange der Bewegungswiderstand sich
aus den drei angegebenen Komponenten mit kon-
stanten Parameterwerten A, P, x zusammensetzt.
Als Beispiel diene etwa die Beobachtung eines aus-
laufenden schnellen Kreisels.
DaB man die Anzahl der Messungen moglichst
steigert and sodann mittelt, ist selbstverstandlich.
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Bogel: Zur Bestimmung der Widerstandskoeffizienten einer bewegten Korpers
3. Jedoch ist es, wenn wir (1) zugrunde legen, un-
zweckmaBig, noch in Momenten zu messen, in
denen die Geschwindigkeit schon stark gesunken
ist. Denn in diesem Falle ist in (1) das Glied,uic2
im Verhaltnis zu den Gliedern k :k and x sehr klein;
berucksichtigt man es trotzdem, so kann seine
Kleinheit zu einer starken Fehlerquelle fur die
Bestimmung aller drei Parameterwerte werden.
Bei langsamen Bewegungen laBt man daher das
quadratische Glied auger acht, wodurch (1) in die
einfache Gleichung
(21) x+?x+x=0
ubergeht, deren Losung unter denselbem Anfangs-
bedingungen, die wir (1) auferlegt haben, durch
(22a)
bzw.
e-fit
x =- + (vo +
(22b) x= I [_xt +(vo+-) (I-e-)t)J
gegeben ist.
Hat man in n zeitlich aquidistanten Momenten t1,
t2, ., tn, wobei
(23) t; +1- ti ='c
sei, die Geschwindigkeiten
(i=1,2,...,n-1)
(24) vi = x (ti) (j = 1, 2,. .. , n)
oder die Wege x (ti) gemessen, so ist die Berech-
nung von vo, x, ~ mit Hilfe von (22a) bzw. (22b)
elementar. Wir geben aber nachfolgend eine
Methode an, die sich auf Rekursionsformeln
stiitzt, and die in analoger Weise vom Verfasser
in einer friiheren Veroffentlichung [2] zur Be-
stimmung derselben Widerstandskoeffizienten durch
Amplitudenmessungen an einem ausschwingenden
harmonischen Schwinger benutzt worden ist. Fur
die Geschwindigkeiten vi erhalten wir aus (22 a) die
Rekursionsformel (vi (25) ~ - + + 11 ) e-%
(i=1,2,...,n-1).
Setzen wir
(26) si = x (t;+1) - x (ti)
so liefert (22 b) die Rekursionsformel fur diese Weg-
differenzen:
(27)
+(si+--v) eT
( i=1,2,...,n-1).
Beide Rekursionsformeln stimmen in ihrer Struktur
vollig iiberein; statt der Konstanten x in (25) tritt
z in (27) auf. Die Methode zur Bestimmung von
x, ),, vo ist daher dieselbe, ob wir Geschwindig-
keitsmessungen oder Wegmessungen auszuwerten
haben. Wir legen im folgenden Wegmessungen,
also die Konstante r zugrunde. Zur Abkiirzung
(28)
Zunachst stellen wir (27) graphisch dar, wobei wir
c, 2, a and s; als bekannt voraussetzen and aus
diesen GroBen die Grol3e s; + 1 konstruieren. Eine
solche Konstruktion ist in Bild 1 enthalten. Sie
besteht aus einem (x, y) - Koordinatensystem, in
welches das Geradenpaar
(28 a)
(28b)
g2:
eingezeichnet ist.
Y=xe-ku-c
Wahlen wir auf gl den Punkt mit der Ordinate si,
so ist nach (28 a) seine Abszisse gleich si + c ; zu
dieser Abszisse gehort aber auf g2 nach (28b) die
Ordinate (si + c) e-~-ti - c, die nach (27) mit si+1
ubereinstimmt. Die Konstruktion laBt sich durch
den eingezeichneten Treppenweg fortsetzen, wo-
durch man aus si alle folgenden Werte si+1, ei+2,
... erhalt. Einen Sinn hat diese Fortsetzung nur
his zu dem Schritt, nach welchem wir einen nicht-
positiven Wert si+r erhalten. Ist si+r< 0, so be-
deutet dies, daB die Bewegung wahrend des be-
trachteten Zeitintervalles, ist aber si+r = 0, daB
sie am Ends dieses Zeitintervalles aufhort.
In Bild 1 ist die Einheit der Abszissen gleich der
Einheit der Ordinaten gewahlt, was in den meisten
Fallen ausreichend sein wird. In manchen Fallen
empfiehlt sich eine affine Darstellung mit ver-
groBerter Ordinateneinheit.
Um Bild 1 zu einer graphischen Bestimmung der
GroBen c and 2 zu benutzen, messen wir es unter
der Voraussetzung zeichnen, daB c and ? unbe-
kannt, dagegen r and die sukzessiven Werte sl
s2 , ..., sn -1 als MeBgroBen bekannt sind.
Zu diesem Zweck wahlen wir eine Abszisseneinheit
and eine Ordinateneinheit and zeichnen eine Ge-
rade als Abszissenachse, wobei wir die Lage des
Nullpunktes vorlaufig offenlassen, and eine be-
liebige Gerade gl mit dem Steigungsfaktor 1.
Auf gl markieren wir die Punkte Pl, P21 ..., pn-1,
deren Ordinaten die Werte Si' s2, ..., sn-1 haben.
Mit Hilfe dieser Punkte erhalten wir den in Bild 2
gezeichneten Treppenweg pl ql P2 q2 . . . Pn-1
qn-1 Pn-
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Die Punkte qt, q2, . . ., q? -I sollen theoretisch
auf einer Geraden liegen; wir zeichnen daher eine
Gerade g2, fiir welche nach Augenmal3 die Summe
der Abweichungen der Punkte q1, q2 , ... , qa_ 1
von g2 moglichst klein wird.
Den Steigungsfaktor dieser Geraden bestimmen
wir durch Messung; er sei m, wobei 0 < m < 1 ist.
Dann ist m = e-~-ti, also
(29) A = - 1 In m.
Die beiden Geraden gl and g2 schneiden sich in
einem Punkt, der nach Bild 1 die Abszisse Null and
die Ordinate - c besitzt. Damit sind A and c be-
stimmt, worauf man x aus x = c erhalt.
T
Literatur
[1] Abel, N. H., Oeuvres completes, Christiana 1839, Bd. II,
S. 231; s. auch: Kamke, E. Differentialgleichungen, Lo-
sungsmethoden and Losungen, Leipzig 1944. Bd. I, S. 298,
Nr. I, 35.
[2] Bogel, K., ,Das Verhalten gedampfter and aufschaukeln-
der freier Schwinger unter der gleichzeitigen Einwirkung
einer konstanten Reibungskraft."
Ingenieur-Archiv XII (4) 1941, 247 ??? 254.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fiir Elektroteohnik Ihnenau ? 1 (1954/55) Heft 2 ? Herausgeber: Der Rektor
I. Fakultiit fur Mathematik, Naturwissenechaften and techn. Grundwissenschaften / Publ. Nr. 7
Institut fiir Mathematik and Mechanik, Direktor Prof. Dr. Karl Biigel
Als Manuskript gedruckt! DK 511.145:511.7
Eingang: 31. 5. 1955
Eine Methode zur Berechnung von Approximationen
einer reellen Zahl auf geometrischer Grundlage *)
Von Dr. phil. Karl Lattermann
? 1. Das Problem
(I) In dieser Arbeit loll eine gegebene irrationale
Zahl Z durch eine unendliche Folge von Brachen
approximiert werden. Die Briiche sollen die Gestalt
(1)
An
Bn
haben, worin A. and B. game Zahlen sind;
B.+1> Bn> 0; n = 1, 2, 3, ... .
Ferner soil das ,Naherungsgesetz"
(2) I B
r Anl < cz
n Bn
erffillt sein, wobei man speziell c =1 setzen darf,
so dab gilt :
(2 a) ~_ - A.1 < 1
Bn Ba
Aug (2) ergibt rich dann
(3)
A.
n
(II) Es geniigt, Y < 1 vorauszusetzen. Weiterhin wird
eine solche Zahl ~ < 1 durch 1- ~ ersetzt, wenn
1
> 2 ist. Dies kann geschehen, weil rich aus einer
Approximation von 1 - Z leicht eine solche far i;
gewinnen laBt. Es soil demnach unter ~ immer eine
irrationale Zahl verstanden werden, die kleiner als 2
ist; danach gilt:
(4)
(III) Die Existenz der gesuchten Approximationen
jet nachgewiesen; ebenso let ein Berechnungsverfahren
bekanat [1]. Dieses Verfahren liefert unter Verwen-
dung von Kettenbriichen Approximationen, die dem
Naherungegeeetz (2) and der Bedingung
(5) IBn+11 < 1~
n=1,2,3, ...
geniigen. Ferner jet bekannt, daB der Exponent 2
auf der rechten Seite in (2) nicht mehr vergroBert
werden kann. In dieser Arbeit wird c = 1 gesetzt,
obgleich bekannt ist, daB c such kleiner als 1 rein
kann, namlich . Eine geometrische Interpretation
5
des Verfahrens hat Lettenmeyer gegeben [2].
(IV) Die vorliegende Arbeit will, in neuer Weise von
geometrischer Basis ausgehend, Approximationen her-
stellen, die (2) and gleichzeitig such (5) geniigen.
Vermittels einer Faktorenentwicklung will sie ein
zahlenmaBiges Berechnungsverfahren ableiten, aus
dem rich die einzelnen Bn sukzessive ergeben. Die
Grande, ein neues Verfahren zu entwickeln, sind
insbesondere folgende: Erstens erhellt die neue Inter-
pretation das geometrische Fundament der Ketten-
briiche. Zweitens ergibt sich Neues in bezug auf die
Gesetzlichkeit der Kettenbriiche durch diesel Be-
rechnungsverfahren. Drittens liegt hier ein Verfahren
vor, daB rich - im Gegensatz zur Kettenbruch-
methode - his zu einem gewissen Grade auf den
zweidimensionalen Fall ubertragen 10t.
? 2. Die geometrischen Grundlagen
(V) Das Naherungsgesetz (2) kann such in folgender
Form geschrieben werden
(6) IZBn - Anl 1, ganz, B. -I < 2 . Die A. rind ganz.
Also mull ~ B. weniger als von A. entfernt sein,
Bn-A,1 < 2 .
(Das Gleichheitszeichen kann wegen der Irrationalitat
von ~ nicht auftreten.) Daher ist A. fur B. > 2 die
nachste bei i; B. gelegene ganze Zahl. Zur Darstellung
dieses Sachverhalts wird das Zeichen < >, gelesen
,,nachstgelegene ganze Zahl von", verwendet. Z. B.
ist = 4 and = 5. Ferner wird fest-
gelegt, dal3 nur solche Approximationen Geltung
haben sollen, far die immer die rechten Seiten in (6)
kleiner als 2 rind; es wird in (6) gesetzt
(7)
Be=1, Bnl< 2
Wegen (4) ist dann Z Bs < 2 . Aug (6) and (7) folgt
1
I~ Be - Asl < 2 ; hieraus ergibt sich AO = 0. Die
Eine bei der Redaktion ebenfalls am 31. Mai 1955 einge-
gangene Arbeit des gleichen Verfassers mit dem Titel
?fiber eine Methode zur Berechnung gleichzeitiger Approxi-
mationen zweier reeller Zahlen" kann aus drucktech-
nischen Grlinden Brat in Heft 3 der Zeitschrift eracheinen.
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86 Lattermann: Eine Methode zur Berechnung von Approximationen einer reellen Zahl auf geometrischer Grundlage
Approximationen mit dem Zahler 0 werden auBer
Betracht gelassen. n wird auf 1, 2, 3, . . . beschrankt.
Dann kann man allgemein schreiben
(8) =An, (n=1, 2, 3, ...).
Diese Beziehungen gelten selbstverstandlich nur fur
Approximationen, die eben (6) and (7) schon genngen.
(8) gibt bei gegebenem Bn die Gestalt der Approxi-
mationen (1), die wegen (3) die gestellte Aufgabe losen.
Y
0,5 1
Funktion. Sie ist aus Tauter Geradenstiicken zu-
sammengesetzt, and zwar aus lauter kongruenten
,,Zacken". Unter einer Zacke soil jeder Teil der Kurve
von einer Nullstelle his zur nachsten verstanden
werden. Das zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Nullstellen der Kurve liegende Stuck der x-Achse
heiBe die ?Lange" der Zacke. Alle Zackenlangen der
Funktion y sind gleich, and zwar betragt die Zacken-
lange, die mit z bezeichnet sei,
(VI) Wegen (8) geht (6) fiber in
(9) B. - 1 < B. 1, n = 1, 2, 3, ... .
Ersetzt man jetzt Bn durch eine reelle Variable x,
so gent (9) in
(10) Cx - < x)1 nie etwa 1,5. (Es werden im ubrigen nur Werte
fur x > 0 benotigt.)
(VII) Nunwerde die Funktion (11) graphisch dargestellt.
Als Zahlenbeispiel diene ~ = j/0,17= 0,41231056... .
Man erhalt Bild 1 auf folgende Weise: In dem
Achsenkreuz, das aus einer waagerechten x-Achse
and einer senkrechten y-Achse gebildet wird, kommt
nur der Quadrant x > 0, y > 0 in Betracht. Stets
1
ist 0 < y (x) < 2 ; im ubrigen ist y (x) eine stetige
(12) z = 1 . (Beweis in ? 2, Absatz IX.)
In
In der Figur ist z = 2,42535.... Wegen Z < 2 ist
Fur x = 0 ist auch y = 0, fur x = ist wieder y = 0,
ebenso fur alle Werte x = mz, wenn in die Reihe
der natiirlichen Zahlen durchlauft. - Die zu y
gehorigen Werte mogen in bestimmten Fallen auch
yn heiBen. Die yn haben noch eine besondere Be-
deutung. Durchlauft x die Folge (r) der nati r-
lichen Zahlen, so durchlaufen die zugehorigen Funk-
tionswerte die Folge (y (r)) . Die Folge (r) be-
sitzt eine Teilfolge (rn) (n = 1, 2, . . .) von der Be-
schaffenheit, daB (10) fur x = rn erfiillt ist. Es werde
gesetzt y(rn) = yn. Die Folge (rn) ist dann mit der
Folge (Bn) identisch. Genugt umgekehrt ein ganz-
zahliger Wert x der Beziehung (10), so ist er ein Bn.
Es gilt also (vgl. (9) )
(13) yn=l;x-1 ...
kleine GroBen verlorengehen oder hinzutreten. Ferner
spielen die besonderen Verhaltnisse Beim Auftreten
von Faktoren (k + 1) eine Rolle.
(XXI) Eine Verbesserung der Approximation tritt
bekanntlich ein, wenn " mit bzw.
multipliziert wird. In jedem anderen Fall ist eine
Verbesserung nicht moglich, abgesehen von den Be-
reicherungswerten. Ware fur ein beliebiges anderes m,,
eine relativ bessere Approximation vorhanden, so
wnrde dies im Widerspruch mit XVI his XIX stehen.
Die bier gefundenen Approximationen sind also die
besten, die es gibt. Da es immer Approximationen
gibt, die dem Naherungsgesetz genngen, trifft dies
fur die bier herausgestellten in erster Linie zu. Es
gilt daher
(50) I R (B., ~) I B?-1 .
(XXII) Es ist 2, 4 2 = 2, da Z = 1, Min () =2.
7
Daraus folgt z. B.
4
B?+11 < <
2
Bn 1< B?>I,
lim B?->- .
(XXIII) Da die Fehler dem Naherungsgesetz genngen,
d. h. - A? I < B? -1 ist and lim B,,--- gilt, so ist
auch hierdurch die Giiltigkeit von (3), d. h. D" ->?
(XXIV) Die Fehler ~ - AB-- I nehmen monoton ab,
vgl. (5). Denn man multipliziert c mit bzw.
and erhalt einen oder zwei neue Werte B?+1 bzw.
Bn+2. Ob es zwei sind, stellt man durch Aussonderung
feat. Ist es nur einer, so f ihrt man mit dem Multipli-
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Lattermann: Eine Methode zur Berechnung von Approximationen einer reellen Zahl auf geometrischer Grundlage 91
zieren fort, sind es zwei, so tut man das gleiche,
sondert aber jetzt wieder aus usw. (Wegen der Lncken
s. oben XIV.)
(XXV) Fur jedes n sind die An and B. teilerfremd.
Enthielten etwa An and B. den gemeinsamen Fak-
tor j9, ganz, j9 > 2, so hatte bereits - , also min-
B.
destens - eine Verbesserung der Approximation
bedeutet. Das steht aber im Widerspruch zu den
obigen Ausfii.hrungen.
? 5. Die Folgerungen
(XXVI) Man sieht, daB das Verfahren unter Ein-
schluB der Bereicherungswerte dieselben Ergebnisse
liefert wie das Berechnungsverfahren vermittels der
Kettenbriiche oder wie das geometrische Verfahren
Lettenmeyers. Es sei dem Leser iiberlassen, sich an
Hand von Beispielen davon zu iiberzeugen.
(XXVII) Dieses Verfahren ist weder rein rechnerisch,
noch rein geometrisch, sondern verbindet beides.
Die Gesetzlichkeit der Kettenbriiche wird durch das
Verfahren geklart. Die Kettenbriiche erhalten eine
neue geometrische Interpretation durch das Ver-
fahren (vgl. Bild 1). Das neue Zahlenverfahren auf
dieser geometrischen Basis zeigt,'daB in den Ketten-
briichen eine tiefere Gesetzlichkeit steckt. Die Teil-
nenner bn sind nicht willkarlich, sondern ?beinahe
periodisch". Dabei wird diese Art Periodizitat gegen-
iiber einer reinen Periodizitat begriindet durch die
vorhandenen Ausfalle (oder Lncken, vgl. XIV) and
die besonderen Verhaltnisse im Falle der Faktoren
k + 1 (bzw. k', vgl. XIX). Diese Abweichungen von
der Periodizitat sind nicht willkiirlich, unbeherrsch-
bar, sondern die angegebene Methode lehrt sie be-
stimmen. Die Nichtmonotonitat des Abnehmens der
yn verdeckte bisher diese Eigenschaften. Die bn haben,
wenn man normale Bn and Bereicherungswerte be-
trachtet, einen verschiedenen Rang. - Irrationalitat
ist zur Rationalitat hoherer Ordnung geworden.
AbschlieBend sei noch ausgefii.hrt: Rationale Zahlen
werden eindeutig durch regelmal3ige (d. h. mit posi-
tiven ganzen Zahlen als Teilnenner) endliche Ketten-
bri the mittels des Euklidischen Algorithmus dar-
gestellt:
(53) Co = [be, b1, b2, .... bn] _
b?+
b,+1
+ 1 [3].
bn .
Es gilt auch die Umkehrung dieses Satzes. Far
irrationale Zahlen gilt derselbe Sachverhalt mit dem
Unterschied, daB die Kettenbruchentwicklung un-
endlich ist. Eine irrationale Zahl ist also eindeutig
durch einen unendlichen Kettenbruch bestimmt and
umgekehrt. Ein Kettenbruch ist bestimmt durch
seine Teilnenner. Weiterhin werden die Approxima-
tionsnenner B. wieder durch die Teilnenner bn des
Kettenbruches bestimmt, and zwar ist
(54) Bn_2 + bn B.-1 = B. fur n > 1 mit
B-1 = 0, B. = 1.
Umgekehrt folgen die Teilnenner bn des Ketten-
bruches aus je 3 aufeinanderfolgenden Approxima-
tionsnennern Bn:
Bn - Bn-2
Diese Bn sind nun aber durch das Formelsystem (22)
his (28) festgelegt. Wenn nur die Formeln (22), (23),
(25) usw. gelten warden, wenn also bei der Bestim-
mung eines neuen Bn zu I nur immer ein Faktor k
hinzutreten warde, dann ware
Ba = 1;
Bl
B2=\-/I
B3 =\< C -/;
B4 =\ k>j.
and die Folge Bn der Approximationsnenner konnte
als ?periodisch" angesprochen werden. Von dieser
Periodizitat gibt es aber Abweichungen: einmal
konnen Faktoren (k + 1) auftreten, wie in (24), (26),
(27), (28) angegeben, andererseits konnen Ausfalle
(Lncken) vorkommen (vgl. XIV), schlieBlich konnen
am Anfang des Verfahrens Bereicherungswerte hinzu-
treten (vgl. XIV). Die B. folgen also nicht periodisch;
es liegt aber eine Gesetzlichkeit in dem Formel-
system, die berechtigt, zu sagen, die Folge der B.
sei ?beinahe periodisch". - Bei den rationalen Zahlen
ist die Dezimalentwicklung periodisch. Bei den irratio-
nalen Zahlen ist auch eine ahnliche Gesetzlichkeit
vorhanden, sie liegt aber tiefer. her folgen sich die
Approximationsnenner B. ?beinahe periodisch". Sie
bestimmen die Kettenbruchteilnenner bn and erst
durch diese die Dezimalentwicklung.
Literatur
[1] Perron, 0., Irrationalzahlen. 2. Aufl., Berlin 1939.
S.128???131.
[2] Lettenmeyer, F., Eine geometrische Entwicklung der Lehre
von den regelmalligen Kettenbriichen. Dtsch. Math. 3 H. 1.
[3] Perron, 0., loc. cit. ?? 29 u. 30, S. 97 ? . . 104.
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Wissenschaftliche Zeiteohrift der Hoelmchule far Elektrotechnik Ilmenan - 1 (1954/55) Heft 2 . Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Pub!. Nr. 8
Institut fiir Physik, mit der Wahrnehmung der Geschiifte des Direktors beauftragt: Dozent Dr. rer. nat. Helmut Winkler
Als Manuskript gedruckt! DK 621.3.078: 517.934: 621.385.8
Eingang: 20. 2. 1955
Uber Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre
and einer Photozelle mit Sekundarelektronenvervielfacher
fur die Verwendung in elektroniscben Analogierechenmaschinen
mit grof3er Arbeitsgeschwindigkeit
Von Dozent Dr. rer. nat. Helmut Winkler
1. trbersicht
Forschungs- and Entwicklungsarbeiten in Physik,
Technik and Wirtschaft erfordern, daB elektrische
Analogierechenmaschinen fur die Bearbeitung von ge-
wohnlichen and partiellen Differentialgleichungen
hoherer Ordnung die Einzellosungen fur beliebige An-
fangsbedingungen mid verschiedene Parameter ale ge-
zeichnete Kurven liefern. Fur die Losung von Pro-
blemen der Regelungstechnik werden bei vermaschten
Regelkreisen, bei denen die Aufstellung der den
ganzen Kreis charakterisierenden Differentialgleichung
schwierig ist oder nichtlineare Regelglieder enthalten
sind, elektrische Analogie-Modelle geschaffen. Diese
mfissen den zu studierenden Vorgang zeittreu nach-
bilden. Die Verwendung von vollelektronisch arbei-
tenden Anlagen wirkt sich bei dem ersten Aufgaben-
kreis als besonders giinstig aus, Beim zweiten jet sie
auf Grund der von den Regelungsaufgaben erhobenen
Forderung auf hochstmogliche Arbeitsgeschwindig-
keit unerlaBlich. Elektronische Rechenelemente wie
Additoren, Multiplikatoren, Vorzeicheninverter and
Integratoren sowie Funktionsempfanger mit der
Braunschen Rohre lassen sich prinzipiell mit ffir die
meisten praktischen Falle ausreichender Genauigkeit
bauen. Die Entwicklung von den dazugehorigen, voll-
elektronisch arbeitenden Funktionstransformatoren
(in der Literatur vielfach auch als Funktionsgeber
bzw. Funktionsgeneratoren bezeichnet), die bestimmte
gegebene mathematische Funktionen y = f1 (x) einer
Variablen x, die wiederum eine beliebige andere Funk-
tion x = f2 (t) einer unabhangigen Variablen t sein
kann, in elektrische Spannungs-Zeit-Funktionen um-
bilden, jet schwierig.
Fur die bei der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
in Gemeinschaftearbeit mit der Universitat Jena [Prof.
Dr. Weinel] in Entwicklung befindliche elektronische
Analogieanlage [1] waren zunachst mit Integrations-
motoren ausgerustete elektromechanische Funktions-
transformatoren vorgesehen. Die Forderung aus
Forechungskreisen nach grdi tmoglicher Arbeitege-
schwindigkeit and giinstiger Anwendung ffir systema-
tieche Probierverfahren and Parameteruntersuchungen
bei Rand- and Eigenwertproblemen gab den AnlaB,
auf vollelektronisch arbeitende Funktionseingabe-
gerate iiberzugehen.
Hierfiir wurden die im folgenden erlauterten zwei Ent-
wicklungswege beschritten, die rich beide der Katho-
denstrahl-Bildabtastrohre and der Photozelle mit
Sekundarelektronenvervielfacher (multiplier) bedie-
nen. Beide Geratetypen arbeiten mit einer Funktions-.
zwischentransformation. In einem Fall wird ein die
Funktion in Sprossen-(Tiefen)schrift tragendes, photo-
graphisch hergestelltes Diapositiv, im anderen Fall
eine photographisch mit der einzugebenden Funktion
in kartesischen Koordinaten berandete Maske in den
Gang der Lichtstrahlen gebracht, die vom Leucht-
schirm der Bildabtastrohre zur Photokathode ver-
laufen. Die beiden Arbeitsprinzipien rind grundsatzlich
verschieden.
2. Der elektronische Funktionstransformator
mit Abtastung einer Diapositiv-Sprossenschwarzung
(Kontrastverfahren)
Das Prinzip des elektrischen Funktionstransformators,
der eine gegebene Funktion y=f1 (x), wobei x=f2 (t)
oder x = a ? t, d. h. zeitproportional sein kann, in
eine mit der Zeit veranderliche Spannung U (t) um-
wandelt and mit konstantem Faktor c verstarkt, zeigt
unter Verwendung der fur mathematische Maschinen
iiblichen Symbole das Bild 1.
y-fP(t)J...
Bild 1 Prinzip des elektrischen Funktionstransformators
Hierbei kann die Funktion y = f1 (x) in kartesischen
oder polaren Koordinaten graphisch vorliegen, wobei
der Polarkoordinatendarstellung in konstruktiver Hin-
sicht der Vorrang einzuraumen ist. Die praktische
Gestaltung des Funktionstransformators erfolgt zwei-
teilig: Der mechanisch-elektrisch-optische Arbeitsteil 1
tastet die Funktion f1 (x) ab, wandelt die Koordinaten
y and x in elektrische Wertepaare (Spannung U and
Zeit t) um and benutzt diese, um fiber die Bildabtast-
rohre photographisch ein Sprossenschriftdia herzu-
stellen. Im optisch-elektrischen Arbeitsteil 2 wird die
in Sprossenschrift transformierte Zwischenfunktion
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Winkler: tber Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre and einer Photozelle mit Sekundarelektronenvervielfacher
94 fur die Verwendung in elektronischen Analogierechenmaschinen mit groler Arbeitsgeschwindigkeit
y = fl (x) in ca. 10_2 ...10 _1 Sekunden optisch
abgetastet and mit einer weiteren elektrisch ein-
gegebenen Funktion x = f2 (t) gekoppelt. Im Aus-
gang erscheint die mit der Funktion y = fl [f2 (x)]
identische elektrische Spannungs-Zeit-Funktion c ? 11(t)
zur Weiterleitung in die rechnenden Baugruppen der
Analogieanlage.
Der 1. Arbeitsteil fur die Zwischentransformation der
graphisch dargestellten Eingangsfunktion y = fl (x)
in eine analoge photographische Schwarzungssprossen-
funktion S = fl (1), wie sie Bild 3 darstellt, geht
davon aus, daB die Wertepaare (x, y) als Argument
and Radiusvektor auf Polarkoordinatenpapier auf-
getragen werden and dieses Kurvenbild auf einem
Teller aufgebracht wird. Dieser wird fiber ein Reibrad-
getriebe mit federbelasteten Hartgummirollen - wie
beim Magnettonbandtransport - von einem Syn-
chronmotor (MSM 130-30) mit einer Drehzahl von
etwa 10 -2 s -1 mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
in Rotation versetzt.
der gleichformigen Drehbewegung des Kurventellers
wird die vorgegebene Funktion y = fl (x) manuell mit
lupenmaBiger VergroBerung oder automatisch mit dem
Kurvenfiihrungsstift abgetastet. Die veranderlichen
Spannungen Uy and U. in ihrer bestimmten gegen-
seitigen Abhangigkeit werden in einem Tangs einer Ge-
raden 1,, mit konstanter Geschwindigkeit wandernden
Leuchtfleck variabler Helligkeit Hy umgewandelt, wo-
bei die beiden Funktionen 11y = f (11X) and Hy = f (l,)
identisch sind. Dieser Vorgang erfolgt in einer
Braunschen Hochvolt-Bildabtastrohre HF 2786, die
allgemein fur Film- and Diaabtastung beim Fern-
sehen verwendet wird. Der von der indirekt geheizten
Oxydkathode emittierte Gluhelektronenstrom wird
durch Anderung der Spannung 11y am Wehnelt-
zylinder (Steuergitter) in seiner Starke geandert. Da-
durch wird eine Helligkeitssteuerung mit hiervon un-
abhangiger Konzentration des Elektronenstrahlbiin-
dels erzielt, wobei die Strahlfokussierung durch eine
magnetische Konzentrationsspule erfolgt. Ein Behr
zum Elektronenstrah/system 8
der 0,7dabtastronre
zum Ab/enksputensystem 10
der B/.Kabtarstr8hre
Prinzip des 1. Arbeitsteiles des elektronischen Funktionstransformators fur Herstellung der Diapositive
mit den Schwarzungsfunktionen (Kontrastverfahren)
1. Synchronmotor (Magnetofonmotor)
2. Reibradgetriebe
3. Kurventeller
4. Kreisringpotentiometer
5. Schleifer fur Ringpotentiometer
6. Stabpotentiometer
7. Schleifer fur Stabpotentiometer, kombiniert
mit Kurvenfi hrungsstift and Lupe
Aus Bild 2, das schematisch die Zwischentransforma-
tion der Funktion y = fl (x) in S = fl (1) darstellt,
ist ersichtlich, daB die jeweilige Tellerdrehung x pro-
portional einer von einem tellerfesten Schleifer an
einem gehausefesten Kreisringpotentiometer abge-
griffenen Spannung U. ist. Oberhalb des Kurven-
tellers ist in dessen Radialrichtung ein lineares Stab-
potentiometer gehausefest montiert, wobei der ver-
schiebbare Mittelabgriffschleifer mit einem Kurven-
fiihrungsstift and einer Lupe verbunden ist. Die an
diesem Stabpotentiometer abgegriffene Spannung 11y
ist proportional der Radialkoordinate y. Bei geeigneter
Wahl der an den beiden Potentiometerenden liegenden
konstanten Spannungen sind dann die Funktionen
y = f, (x) and 11y = ft (11X) gleichwertig. Wahrend
8. Elektronenstrahlsystem
9. Magnetische Linse fur Fokussierung
10. Ablenkungsspulensystem
11. Leuchtschirm
12. Optik (Tessar 1: 3,5/50)
13. Photographische Kassette mit,,Agfa-Elektronen-
platte"
scharfer Leuchtfleck bestimmter Helligkeit Hy erscheint
mit einer Nachleuchtzeit von ca. 105 sec auf dem
fluoreszierenden Bildschirm, dessen GriiBe 80 X 60 mm
betragt. Das Elektronenstrahlbiindel and mithin
der fokussierte Leuchtfleck wird elektromagnetisch
unter Einwirkung der sich konstant andernden Span-
nung U, Tangs einer Geraden mit einer Ablenkempfind-
lichkeit von 0,5 A/80 mm bei einer Anodenspannung
von 10 kV ausgelenkt. Auf ein zweites, senkrecht
hierzu angeordnetes elektromagnetisches Auslenk-
system wird eine konstante Kippfrequenz gegeben, um
statt eines wandernden Leuchtpunktes eine parallel zu
sich selbst wandernde Leuchtgerade mit der ver-
anderlichen Streifenhelligkeit Hy zu erhalten. Dadurch
ergibt sich eine nacheinander belichtete Bildschirm-
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Winkler: Ober Funktionstransformatoren mit Bildabtastrdhre and einer Photozelle mit Sekundirelektronenvervielfacher
fur die Verwendung in elektronischen Analogierechenmaschinen mit groller Arbeitageschwindigkeit 95
flache von 80 x 10 mm, die von einem Tessar-Photo-
objektiv (1:3,5; f = 50 mm) auf eine Elektronenplatte
(Agfa - Rapid mit Schwarzungsfaktor y = 1,2) abge-
bildet wird (Bild 3).
Bild 3 Diapositiv mit der Schwarzungsfunktion S = fl (lx)
in Sprossenscitrift
Die beschriebene Arbeitsweise des Arbeitsteiles 1 des
Funktionstransformators, dargestellt in Bild 2, ist mit
zwei grundsatzlichen Ungenauigkeiten behaftet, die
jedoch durch entsprechende Verstarkervorschaltung
mit Regelrohren in der Spannungszufuhrung Uy hin-
reichend kompensierbar sind. Einerseits ist die am
Wehneltzylinder angelegte Spannung nicht genau
proportional der Leuchtfleckhelligkeit, and zweitens
Bild 4, Prinzip des 2. Arbeitsteiles des elektronischen Funktionstransformators
fur Umwandlung der Dia-Schwarzungskurve in zeitabhangige elektrische
Spannungsanderungen (Kontrastverfahren)
1. Elektronenstrahlsystem 4 L h h
der Aufgabenstellung entsprechende Schaltung der
elektronischen Rechner eingefiihrt and die Ldsung
photographisch demFunktionsempfanger entnommen.)
Der 2. Arbeitsteil besteht im wesentlichen aus der
gleichen Bildabtastrdhre HF 2786 and einer Photozelle
mit Sekundarelektronenvervielfacher HF 2740. Die
Arbeitsweise ist folgende:
In der Bildabtastrdhre HF 2786 werden einem ma-
gnetischen (x-)Ablenkungssystem Kippschwingungen
zugefiihrt, deren Spannungsanderung in Sonderfallen
zeitproportional oder allgemein entsprechend der ein-
gegebenen Funktionen U = f2 (t) erfolgen kann. Der
Zeilenkipp bewirkt dann, daB der auf dem Fluoreszenz-
schirm erzeugte Leuchtfleck periodisch fangs einer
Geraden in x-Richtung mit variabler Geschwindigkeit
bewegt wird. Im Gegensatz zur Anwendung der
gleichen Rdhre in dem beschriebenen Arbeitsteil 1
fiir die Funktionszwischentransformation wird hier
statt der Helligkeitssteuerung eine Liniensteuerung be-
wirkt, d. h. bei gleichbleibender Strahlintensitat, also
konstanter Bildmodulationsspannung am Wehnelt-
zylinder and konstanter Heizungs- and Anoden-
spannung, wird der Strahl mit bestimmter Geschwin-
digkeit ~b = d d t t) = dU I fiber den Leuchtschirm t bewegt. Durch eine weitere/ Kippschwingung (Bild-
kipp) mit zeitproportionalem Spannungsanstieg, der
2. Magnetische Linse fiir Fokussierung 5. Optik (Tessar 1: 3,5/50) 3. Ablenkspulenayatem S7. Kondensor
. Photokathode
6. Diapositiv mit Sprossenschrift 9. Sekundarverstarker (12-stufig)
muB die Schwarzungskurve des Photoplattenmaterials
S = In J - t and die y-Funktion berucksichtigt werden.
(Standige Benutzung von in seinen Eigenschaften
gleichbleibendem Photo-Elektronenpapier ist Voraus.
setzung.)
Der 2. Arbeitsteil fur die Abtastung der in Helligkeits-
kontrasten von einem Diapositiv getragenen Funktion
S = fl (lx), d. h. y = fl (x), and deren Transforma-
tion in eine Spannungs-Zeit-Funktion U (t) = fl [f2 (t)]
bei zusatzlicher elektrischer Eingabe einer bestimm-
ten weiteren Funktion x = f2 (t) ", U = f2 (t) 'St
schematisch in Bild 4 dargestellt. (Im Endeffekt
wird U (t) schlieBlich zur weiteren Bearbeitung inner-
halb der elektronischen Analogierechenmaschine in die
auf das zum ersten Ablenkspulensystem senkrecht
angeordnete (y-)Ablenkspulenpaar wirkt, wird die
geschwindigkeitsgesteuerte Zeile mehrfach ubereinan-
der geschrieben, damit zur Erhdhung der Genauigkeit
eine automatische Mittelwertbildung in der Gesamt-
anordnung erzielt and ein Einbrennen des Elektronen-
strahls auf dem Schirm verhindert wird.
Die x-Ablenkungsspannung muB dann zeitpropor-
tional, d. h. die Leuchtfleckgeschwindigkeit Tangs jeder
Zeile konstant sein, wenn der Funktionstransformator
beispielsweise fur die Eingabe von h (t) bei der Ldsung
d2
der Gleichung dt2 + U f U + g (U) + h (t) = 0 be-
(d dt )
nutzt wird. Bei Verwendung fur die Funktionseingaben
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Winkler: Ober Funktionstransformatoren mit Bildabtastrahre and einer Photozelle mit Sekundfrelektronenvervielfacher
96 fur die Verwendung in elektronischen Analogierechenmaschinen mit groBer Arbeitsgeschwindigkeit
f (?) and g (U) muB hingegen die Linien-
steuerung entsprechend den Veranderungen aU bzw.
2
U (t), d. h. mit den Geschwindigkeiten b = dtu bzw.
dU
b = dt erfolgen.
Der wandernde Leuchtfleck von konstanter Helligkeit
wird durch ein photographisches Objektiv (Tessar
1:3,5; f = 50 mm) auf die die Schwarzungstonung
S = f1(l.) als Dia tragende photographische Elektronen-
platte scharf abgebildet, and je nach Schwarzung
(Lichtdurchlassigkeit) der Platte am Auftreffpunkt
Wenn die Arbeitsteile 1 and 2 des elektronischen Funk-
tionsgenerators nach dem Kontrastverfahren in ihrer
Wirkungsweise auch getrennt beschrieben wurden, so
stellen sie doch praktisch in der konstruktiven Ge-
staltung eine Baugruppe mit nur einer Bildabtastrohre
dar, die wahlweise fur die Herstellung der Dias mit
den Schwarzungsfunktionen oder deren Abtastungen
Anwendung findet (Bild 5).
3. Der elektronische Funktionstransformator mit
Maskenabtastung
Die Electric Analogue Computers des California In-
stitute of Technology [2] arbeiteten zum Teil mit
Funktionstransformatoren, deren Prinzip 1947 My-
nall [3] angegeben hat. In Anwhnung hieran wird im
Bild 5 Schematische Darstellung des elektronischen Funktionstransformators nach dem Kontrastverfahren
Schaltstellungen: 1 Photoaufnahme (Helligkeitssteuerung), 2 Diaabtastung (Liniensteuerung)
wird dort ein bestimmter Lichtenergieanteil durch-
gelassen. Das punktweise nacheinander abgetastete
Dia gibt schlieBlich fiber einen Kondensor seine Photo-
nenenergie auf die Photokathode einer Photozelle mit
Sekundarelektronenvervielfacher, wobei die optische
Justierung so erfolgt, daB standig gleichzeitig der
halbe Kathodendurchmesser bestrahlt wird. Fur
diesen Verwendungszweck giinstig erweist sich die
Rohre HF 2740 mit einer Lichtempfindlichkeit von
etwa 60 - 70 ,uA/Lm and einem eingebauten 12-
stufigen Verstarkersystem mit einem Verstarkungs-
faktor von etwa 105 and einer Bandbreite von 107 Hz.
(Die kleinste Lichtstromanzeige betragt ca. 10-11 Lm,
der Leistungsbedarf etwa 1 W.)
Die ausgehenden Stromstarkeschwankungen i (t) wer-
den schlieBlich fiber einen Konstantanwiderstand in
Spannungsschwankungen U (t) proportional f1 [f2 (t)]
umgewandelt. Auf these Weise wird letzten Endes die
urspriinglich in Polarkoordinaten eingegebene Funktion
y = fl (x) (Bild 1) fiber die analoge Schwarzungsfunk-
tion S = fl (l,) auf dem Dia (Bild 3) in eine analoge
Spannungsfunktion c ? U (t) = fl [f2 (t)] umgewandelt,
wobei 1x bzw. x entsprechend der Aufgabenstellung in
einer bestimmten, nicht proportionalen Zeitabhangig-
keit I = f2 (t) bzw. X = f2 (t) variiert werden kann.
folgenden die Arbeitsweise and der technische Aufbau
eines in Bild 6 schematisch dargestellten zweiten Typs
eines elektronischen Funktionstransformators be-
schrieben.
Hierbei ist der elektronische Verstarkerrechner so
gebaut, daB der Leuchtfleck in Richtung der x-Achse
lungs der oberen Kante des 80 X 60 mm groBen
Leuchtschirmbildes abgelenkt wird, sofern die Ka-
thode der Photozelle mit Sekundarelektronenverviel-
facher HF 2740 kein Licht von der Bildabtastrahre
HF 2786 fiber das optische System empfangt. Wird
hingegen die Photozellenkathode belichtet, so be-
wegt sich der Leuchtfleck lungs der unteren Bild-
kante in x-Richtung. Die vor dem unteren Teil des
Bildabtastrahrenleuchtschirmes achsenorientiert mon-
tierte, lichtundurchlassige Maske - ihr oberer Rand
entspricht der Funktion y = f1 (x) in kartesischen
Koordinaten - bewirkt, daB der Leuchtfleck lungs
der Maskenkurve haftend wandert, wobei die die
x-Ablenkung verursachende Spannung sich zeit-
proportional oder nach einer bestimmten Spannungs-
Zeit-Funktion x = f2 (t) undern kann. An dem ma-
gnetischen y - Ablenkungssystem stellt sich dann je-
weilig die Spannung U ti y = f2 [fl (t)] ein, die von
dem betreffenden Ordinatenwert y der Kurve dik-
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Winkler: 'Ober Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre and einer Photozelle mit Sekundarelektronenvervielfacher
fiir die Verwendung in elektronischen Aualogierechenmaechinen mit groler Arbeitsgeschwindigkeit 97
Bild 6 Schematiache Darstellung der Maskenabtastung beim elektronischen Funktionstransformator
1. Kathodenaufbau mit Steuerstopfblende, Schutzring and
Anodenzylinder
2. Runder Planleuchtschirm fair BildgroBe 80 x 60 mm
3. Lichtundurchlassige Maake wit der Funktion y = f (x) alb
Berandung
4. Magn. Fokussierungslinse
Eingang:
it. A.ffl
? Ausgany:
&'o= c?f, Cf W]
Bild 7 Scbematische Darstellung des elektronischen Funktionstranaformators mit Maskenabtastung
Schaltatellungen: 1 Photoaufnahme der Maake, 2 Maskenabtastung
5. Magn. x-Ablenkungsystem
6. Magn. y-Ablenkungsystem
7. Elektronenstrahl
8. Photokathode
9. Sekundarverstarker (12-stufig)
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Winkler: Ober Funktionstransformatoren mit Bildabtastrohre and einer Photozelle mit Sekundarelektronenvervielfacher
98 fur die Verwendung in elektronischen Analogierechenmaschinen mit groBer Arbeitsgeschwindigkeit
tiert wird. Sic wird zur weiteren Bearbeitung den
rechnenden Baugruppen der Analogierechenmaschi-
nen zugefuhrt. Zur Erreichung einer moglichst hohen
Genauigkeit bei der elektronischen Funktionstrans-
formation muB der Leuchtfleck sehr klein and von
konstanter Helligkeit sein. AuBerdem muB er mit der
Kurvenmaske optisch in eine Ebene gebracht werden.
Die Ablenkcharakteristik der Bildabtastrohre laBt
sich dadurch beriicksichtigen, daB man die Masken-
kurve vorher durch den Leuchtfleck selbst schreiben
laBt, wobei die die Funktion y = fl (x) definierenden
Spannungen an das magnetische y-Ablenkspulen-
system and gleichmaBig veranderliche Spannungen
fur die unabhangige Variable x an das zweite magne-
tische x-Ablenkspulensystem gelegt werden (Bild 7).
Als Hilfsmittel benutzt man hierfiir den mechanisch-
elektrischen 1. Arbeitsteil des nach dem Kontrast-
verfahren arbeitenden Funktionsgeneratortyps (Bild 2).
Bei starken Kurvensteigungen treten Fehler durch
Nachlauf der Spannungsanderungen hinter den Ordi-
natenanderungen auf, die durch eine optimale Ver-
kleinerung des y-MaBstabes auf ein Minimum herab-
gedriickt werden konnen. Bei Kipp-Perioden, die sehr
groB gegendber den Nachlaufzeiten sind, ist dieser
Fehler praktisch ohne EinfluB auf das Endergebnis.
Da die Arbeit des elektronischen Verstarkerrechners
von zeitlichen Anderungen der Leuchtfleckhelligkeit,
des HohenmaBes der Kurve and der Ruhestellung
beeindruckt wird, entstehen Fehler, die schwierig and
nur teilweise kompensierbar sind.
4. Genauigkeitsvergleich der beiden Bildabtastsysteme.
Zusammenschaltung der elektronischen Funktions-
transformatoren mit elektronischen Funktions-
empfangern
Der elektronische Funktionsempfanger [1] hat den
Zweck, eine elektrisch eingegebene Funktion U (t)
als Spannungs-Zeit-Bild sichtbar zu machen. Seine
Arbeitsweise and sein technischer Aufbau entsprechen
dem Kathodenstrahloszillographen mit Photoein-
richtung. Als Empfangsrohre wird zunachst der Typ
LK 23/ lb mit einer Bildflache von 13 X 18 cm and
einer Ablenkempfindlichkeit von 0,5 A fur 18 cm Aus-
lenkung bei 10 kV Anodenspannung verwendet. Die
Energieversorgung einschl. der Hochspannungser-
zeugung (10 kV) erfolgt gemeinsam fur samtliche
Baugruppen der Analogieanlage, d. h. fur die Funk-
tionstransformatoren, Funktionsempfiinger and die
elektronischen Universalrechner.
Funktionstransformator and Funktionsempfanger wer-
den fur Genauigkeitsuntersuchungen zunachst ohne
Zwischenschaltung von Rechenaggregaten unmittel-
bar miteinander elektrisch verbunden, so daB die ur-
spriinglich graphisch eingegebene, abgetastete Funk-
tion wieder als photographisches Bild im Ausgang
zuruckgewonnen wird.
Die bisherigen Arbeiten (Vorversuche and theore-
tische Entwicklung) lassen hierbei eine Genauigkeit
von ca. 3-50;00 bei beiden Typen erwarten. Im ein-
zelnen ergibt die hinsichtlich der erzielbaren Genauig-
keiten angestellte Gegenuberstellung der beiden Ab-
tastprinzipien, der ,Kontrastabtastung" and der
elektronischen ,Nachsteuerung einer Maskenrand-
kurve", folgendes Bild: Die mechanisch-elektrische
Funktionszwischentransformation ist fur beide Ver-
fahren die gleiche. Beim Prinzip 1 mussen die durch die
Helligkeitssteuerung bedingten Fehler and die Schwar-
zungskurve des Photoplattenmaterials elektrisch kom-
pensiert werden; der elektrische Teil hat einen relativ
groBeren Umfang. Beim Prinzip 2 ist ciii gewisses
Pendeln des Leuchtfleckes um die Maskenrandkurve
unvermeidlich, der Verstarkeraufbau ist kompli-
zierter in der Kompensation. Ein Einbrennen des
Elektrodenstrahles ist hierbei wesentlich eher moglich
als bei Prinzip 1, da dort der Strahl nach jeder ge-
schriebenen Zeile auf die nachste gekippt wird. Die
groBere Abtastgenauigkeit wird mit Prinzip 1 er-
reicht, dafiir ist der Aussteuerbereich fur die ab-
hangige Variable y beim Prinzip 2 groBer. Eine gute
Stabilisierung der Netzschwankungen ist bei beiden
Transformatorentypen unerlaBlich, beim Prinzip 1
hinsichtlich genauer Leuchtfleckhelligkeiten and kon-
stanter Photozellenanodenspannungen, beim Prinzip 2
im wesentlichen hinsichtlich des y-Ablenkspannungs-
verstarkers. Die x-Ablenkungsspannungsverstarker
mussen bei beiden Typen in gleichem Mal3e spannungs-
konstant sein. Wesentlich ist fur das Arbeitsprinzip 1,
daB Elektronenphotoplattenmaterial mit einer standig
gleichbleibenden Schwarzungseharakteristik verfugbar
ist.
Erst die endgiiltige Erprobung beider Typen von
Funktionstransformatoren kann erweisen, welchem
Prinzip der Vorrang zu geben ist. Hieriiber wird an
gleicher Stelle nach AbschluB der Arbeiten berichtet
werden.
5. Zusammenfassung
Funktionstransformatoren mit Kathodenstrahl-Bild-
abtastrohre and Photozelle mit Sekundarelektronen-
vervielfacher ermoglichen, mathematische Funktionen
von der Form y = fl [f2(x)] in periodische elektrische
Spannungs-Zeit-Funktionen U = e ? fl [f2 (t)] zu trans-
formieren. Hierbei werden Diapositive mit kur-
venanaloger Sprossenschwarzung (,,Kontrastverfah-
ren") oder Kurvenmasken (,,Maskenverfahren") elek-
trisch hergestellt and abgetastet. Das Grundprinzip
ahnelt der Diaabtastung beim Bildfunk, Filmfern-
sehen and Tonfilm. Durch Verwendung dieser Funk-
tionstransformatoren bei Analogiemaschinen ist deren
vollelektronische Arbeitsweise mit einer hohen Arbeits-
geschwindigkeit von ca. 2 ? 10-2 Sekunden pro
Einzellosung moglich. Die fur die meisten prak-
tischen Falle ausreichende Genauigkeit von ca.
3 ... 50/00, Wahrung der Anschaulichkeit, bequeme
Bedienung and der ausschlieBliche Einsatz von im
Handel erhaltlichen elektrotechnischen Bauelementen
rind weitere charakteristische Merkmale dieser Funk-
tionstransformatorentypen. Sic stellen ein unentbehr-
liches Hilfsmittel bei speziellen Forschungs- and Ent-
wicklungsarbeiten der Physik, Technik and Wirtschaft
dar.
Literatur
[1] Winkles, H., Uber eine elektronische Analogiemaschine
zur Losung von Differentialgleichungen hoherer Ordnung
and zur Untersuchung von Problemen der Regelungs-
technik. Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechn. Ilmenau 1
(1954/55) H. 1 S. 15 ??? 27.
[2] Mc Cann, G. 1)., The California Institute of Technology
Electric Analog Computer. Math. Tables a. o. Aids to
Computation, III (1949) S. 501 ??? 513.
[3] Mynall, D. J., Electrical Analog Computing. Electronic
Engineering (Aug. 1947) S. 259 ??? 262.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hochschule fur Elektrotechnik Ihnenau ? 1 (1954/55) Heft 2 ? Herausgeber: Der Rektor
I. Fakultat fur Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 9
Institut fur Betriebswissenschaften and Normung, Direktor Prof. Dr. habil. Max Beck
Als Manuskript gedruckt! DK 658.27:657.47:657.26
Eingang: 1. 2. 1955
Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern
Von Prof. Dr. habil. Max Beck
Einleitung
Mit der Entwicklung moderner Produktionsprozesse
erfolgt die wissenschaftliche Durchdringung der fur
den Betriebsablauf wichtigen Bedingungen. Die Kla-
rung der Beschaffenheit der Erzeugnisse weist auf die
Kostengestaltung hin. Erst ihre Kenntnis erm6glicht
eine Leistungssteigerung.
Die Erfassung betrieblicher Zusammenhange bildet die
Voraussetzung einer wirtschaftlichen Einsatzes and
einer Berechnung aller zu Vergleichen zu benutzenden
Werte.
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit rind Eignungs-
und Wertziffern entwickelt worden, welche es ge-
statten, eine Rechnung durchzufiihren, durch die die
Kosten and ihre Abhangigkeiten bestimmt and nach-
gepruft werden k6nnen.
1. Zweck der Untersuchung
Der Betrieb ist eine Variante des Zustandsverlaufs.
Die Veranderlichkeit lost sich in einer Konstanz der
GesetzmiiBigkeit der Zusammenhange. Die eigentliche
Bedeutung dieser Konstanten zeigt rich in der Ver-
mehrung betrieblicher Erfolgsgestaltung durch:
1. Produktionsverbesserung,
2. Pro duktionssteigerung,
3. Verminderung der Kosten.
Die aus der Anwendung eines der drei Mittel hervor-
gehenden Erfolgsresultate wirken rich eindeutig unter
der Voraussetzung aus, dal keine Verschleierung
durch irgendwelche andere Erscheinungen, die in ent-
gegengesetzter Richtung auftreten k6nnen, voran-
gegangen ist.
Kosten sind ein Komplex von Faktoren; jede einzelne
Maschine and jeder Arbeiter tragt dazu bei, sie zu er-
h6hen oder zu senken, den Erfolg letzten Endes zu
verschlechtern oder zu verbessern.
Je umfangreicher and verwickelter ein Betrieb wird,
um so schwieriger wird eine empirische Betriebs-
fuhrung. Alle LebensauBerungen des Betriebes mussen
klar and offensichtlich sein. Es ist erforderlich, daB die
getroffenen organisatorischen MaBnahmen auf ihre
Wirkung hin prufbar rind, um einerseits ihre Richtig-
keit festzustellen, andererseits rechtzeitig die not-
wendigen Vorkehrungen treffen zu k6nnen.
Eine Ermittlung des Erfolges post festum reicht nicht
aus, da weder die Vergangenheit geandert werden
kann, noch die Schlusse, die aus den Fehlern der ver-
gangenen Periode zu ziehen waren, ohne weiteres auf
die kunftigen Zeiten mit veranderten Verhaltnissen
angewendet werden k6nnen. Die Elemente des Pro-
duktionsprozesses sind eng miteinander verknupft and
vielfach miteinander verschlungen, so daB nicht ohne
weiteres festzustellen ist, welcher Zustand eines jeden
einzelnen Elementes zu einem Optimum des End-
ergebnisses fiihrt.
Eingebaute Kontrollen sind Mittel, die das Gedeihen
and Verfallen des Betriebes rascher erkennen lassen;
sie geniigen jedoch nicht, bestmogliche Leistungen
zu erzielen. Eine der wichtigsten Betriebsaufgaben ist
die trberwachung der Gesamtkosten mit dem Endziel,
die Kosten einer bestimmtenBetriebsleistung m6glichst
genau and richtig zu ermitteln. Um das Ziel einer hohen
Rentabilitat durch Betriebsverbesserungen zu er-
reichen, die durch die Kostenermittlung angeregt wird,
mull letztere so durchgefiihrt werden, daB kein Zerr-
bild entsteht, welcher in den meisten Fallen zu einer
unrichtigen Beurteilung der Sachlage and zur An-
ordnung falscher MaBnahmen fiihrt. Erforderlich zu
einer solchen Berechnung sind:
die Kenntnis der Wertziffern der einzelnen
Stoffe,
die Kenntnis der Verbrauchsmengen and
die Zusammenfassung der Kosten.
2. Erklarung des Begriffes der Wert- and Eignungs-
ziffern - Die Bildung der Wertziffern
Bei allen auf dem Markt erhaltlichen oder verkauf-
lichen Stoffen ist die Wertziffer ohne weiteres bekannt;
sie ist gleich dem Marktpreis. Der Preis, der fur Holz,
Kohle usw. fur die Betriebskraft einzusetzen ist, ist
also gleich dem Marktpreis am Tage der Fertigstellung.
Die rechnerische Ermittlung fur Dampf erfolgt dann
in der Dampfbilanz:
s Erzeugung Verbrauch
kcal des Kondensats .. kcal
kcal Kesselkohlen ... kcal
kcal evtl. verwen-
deter Neben-
produkte
(Gas etc.) ... kcal
kcal evtl. verwen-
deter Abfall-
produkte ... kcal
Kesselwirkungagrad
.... % = Sa.... kcal=.. kcal
Krafterzeugung ... kcal
Werkstatt A ... kcal
Werkstatt B ... kcal
Sa ... kcal I Sa ... kcal
Als bekannt vorausgesetzt werden folgende Werte:
a) der untere Heizwert der verwendeten Kohle,
b) der untere Heizwert der eventuell verwendeten Neben-
produkte Gas usw. and der Abfallstoffe,
c) der Warmebedarf der Dampfmaschine, Turbine usw.,
d) der Warmebedarf der einzelnen Werkstatten A his X (er-
mittelt durch Dampfinesser oder Kondensatmessungen
hinter den Verbrauchsstellen),
e) der Warmebedarf der Dampfproben,
f) der Warmeinhalt des Abdampfes bzw. des Kondensats.
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Beck: Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern
Der Kohlenverbrauch im Betrieb ist
gramm 1 festzustellen:
0,5 101 5 2.0 25 .10 3 , 5
Millionen Maschinens/unden pro Vierleljahr
Bild 11)
Wie aus obenstehendem Diagramm ersichtlich ist,
weisen die Sommer- and Wintervierteljahre betracht-
lich schwankenden Kohlenverbrauch auf. Im dritten
Vierteljahr zeigt sich der geringste Kohlenverbrauch
and im ersten der hochsie.
Die auf- and abgehende Bewegung der Kurven der
einzelnen untersuchten Jahre 1 his 7 verlauft.mehr
oder weniger parallel fur die vier Vierteljahre. Aus
diesen Kurven laBt sich u. a. ableiten, dab sich die
Planung fur den Kohlenverbrauch wie folgt aufstellen
d
3
Flexible Planung
Kohlenverbrauch in t pro
Vierleljahr
7
1. Vierleljahr
/4
---- 2. Vierleljahr
2
- - - 3. Vierleljahr
- - - 4.Vierte1jahr
Unlersuchle
Jahre 1
-7 6
j6 3
/
1
/
/
3
2
}7
11
x
3
5
/r
5~52
5h-534
1
Sommer-Vierteljahre: 250 t + 0,800 kg/
Maschinenstunde (Hilfslinie I),
Winter-Vierteljahre: 1300 t + 0,800 kg/
Maschinenstunde (Hilfslinie II).
Die Mengen sind nach Tagespreisen zu bewerten. Die
Entfernung von den Gewinnungsstellen der Brennstoffe
ist fur ihren Warmepreis (= Preis fur 10000 kcal eines
Brennstoffes bezogen auf die Verbrauchsstelle), also
Brennstoffpreis/kg X 10000
Heizwert von groBter Bedeutung.
Preis von 1000 kg Kohle
Der Dampfpreis ist = and die
Verdampfungsziffer
Verdampfungsziffer ist
Kohlenheizwert X Kesselwirkungsgrad
Erzeugungswarme
Die Beziehungen zwischen Dampfpreis D, Kesselhaus-
kosten K, Kesselwirkungsgrad and Erzeugungs-
warme [iD - iw] zeigt nachstehendes Diagramm2).
- Dcmp/preis in DM/f Brhi bsdomp/
2
Aus der Temperatur and dem Druck von Speise-
wasser and Dampf ist die Erzeugungswarme zu be-
stimmen. Der Kesselwirkungsgrad wird aus dem Ver-
haltnis der in Dampf erzeugten Warmemenge and der
der Kohle errechnet. Von den Kesselhauskosten aus-
gehend, sind dann die Dampfkosten aus dem Dia-
gramm leicht ablesbar.
Fur Stoffe, die im eigenen Betrieb als Nebenerzeugnisse
hergestellt werden and nicht als Abfallprodukte an-
fallen, laBt sich die Wertziffer ebenfalls bilden, so z. B.
fur Dampf wie auch fur Gas. Die Wertziffer entsteht
aus den Selbstkosten, die zur Herstellung dieser Stoffe
erforderlich sind; fur Gas kommen z. B. die Kosten
fur Kohle, Koks, Dampf, Strom, LShne, Instand-
haltung and Abschreibung der Gasanlage in Frage.
Schwierigkeiten in der Wertzifferbildung entstelien
erst bei den Abfallprodukten des Betriebes, die im
allgemeinen nicht veraulert werden konnen, fiir die
also auch kein Marktpreis existiert. In erster Lime ist
das der Fall bei Koksgas u. a., Ahfallholz and dem
Dampf aus Abhitzekesseln.
Eine Verrechnung der genannten Stoffe nach Kilo-
kalorien, die willkurlich mit dem Warmepreis der
Rohkohle bewertet werden, ist ungerechtfertigt.
In der Regel werden these Stoffe nicht abgesetzt,
aber sie ersetzen andere Stoffe, die im Betrieb nicht
vorhanden sind. Das MaB der Eignung, andere Stoffe
zu ersetzen, ist fur die Bewertung bestimmend. Die
Wertziffer ist gleichbedeutend mit dem Marktpreis
als Verrechnungspreis.
Die Eignungsziffer ergibt sich aus der Relation des
moglichen Kaufpreises fur einen bestimmten Stoff
(Einstandspreis) mit bestimmtem Verwendungszweck
zu einem anderen, ohne dabei gegenuber dem ersten
Stoff weder Vorteil noch Nachteil zu erleiden. Sie ist
eine Verhaltniszahl, die sich mit jedem Zweck andern
kann.
Fiir? Brennstoffe, deren Wert- and Eignungsziffern
nachstehend untersucht werden sollen, wird als Ver-
gleichszahl die Kohle benutzt. Als Einheit dient dabei
eine Kilokalorie (1 kcal). Die Wertziffer von Gas
z. B., das im Betrieb als Nebenprodukt erzeugt wird,
1) Entnommen aus Beck, Max: Kosten der Betriebskraft.
Wiesbaden 1954. Statt WE ist kcal zu lesen.
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Beck: Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern
ergibt sick aus den Selbstkosten. Die Eignungsziffer
wurde besagen, welcher Kohienwarmepreis z. B. fur
die Gaseinheit eines Ofens aufgebracht werden mug,
wenn dieser denselben Erfolg wie bei Kohlenfeuerung
erzielen soil.
Unter Erfolg jet nicht der Warmeeffekt, sondern der
wirtschaftliche Erfolg zu verstehen. AuBer dem Ver-
haltnis der thermischen Wirkungsgrade, das den
Warmeeffekt kennzeichnen wurde, sind die Kosten in
Betracht zu ziehen. In welcher Weise sic zu beriick-
sichtigen sind, wird bei der Errechnung der Eignungs-
ziffern zu untersuchen sein.
Die Eignungsziffer stellt unmittelbar den wirtschaft-
lichen Effekt fur irgendeinen Stoff bei einer be-
stimmten Verwendung dar. Ein im Betrieb erzeugtes
Gas z. B. zeigt, daB Eignungs- and Wertziffern ver-
schiedene Begriffe sind and daB fur ein and dasselbe
Gas, das also auch nur eine Wertziffer hat, die Eig-
nungsziffern untereinander verschieden sein konnen.
Erreicht - infolge der Selbstkosten - die Wertziffer
fur eine Gas-Kilokalorie das 1,8fache der Kohlen-
Kilokalorie, so kann z. B. die Eignungsziffer fur einen
bestimmten Ofen bei Verwendung diesel Gases gleich
2 werden. Andererseits wurde ein mit demselben Gas
geheizter Kessel vielleicht die Eignungsziffer 1,2 er-
geben. Mithin eignete sich das Gas fur den Betrieb,
denn es ersetzt durch eine Gas-kcal 2 Kohlen-kcal,
wahrend der Preis nur der 1,5fache ist. Der Kessel
dagegen ersetzt durch eine Gas-kcal nur 1,2 Kohlen-
kcal, trotzdem muBte er mit 1,5fachem Preis belastet
werden. Er arbeitet also unwirtschaftlicher als bei
Kohlenbetrieb.
Die Eignungsziffer kann fur Anlagen derselben Bauart
and Bedienungsweise verschieden gestaltet sein. Wer-
den z. B. infolge Errichtung von Neuanlagen noch
betriebsfahige altere Anlagen stillgelegt and damit
wertlos, so ware die Neuanlage mit den etwa nocli
fehlenden Abschreibungen der aiteren Anlage zu be-
lasten, um eine exakte Berechnung durchfiihren zu
kOnnen. Ihre Eignungsziffer wird dadurch gedriickt.
Die Berechnung der Eignungsziffer laBt Bich fur jede
bestehende Anlage durchfiihren, deren Anlagekosten
and Betriebsziffern bekannt sind, wenn gleichzeitig
die Ergebnisse einer entsprechenden Anlage fur den
Betrieb mit dem Vergleichsstoff feststehen. So sind
z. B. such fur das im Betrieb erzeugte Koksgas u. A.
sowie Abhitzedampf die Eignungsziffern als gegeben
zu betrachten.
Fur die Wertziffernbildung dient folgender Grundsatz:
Die Wertziffer folgt der Eignungsziffer desjenigen
Verwendungszweckes, fur den das z. B. im Betrieb
erzeugte Gas unter alien Umstanden voile Ausnutzung
finden kann, z. B. bei Dampfkesseln. Zugrunde zu
legen ist die Eignungsziffer des jeweiligen Betriebs-
zustandes.
Von dem Augenblick an, wo fur neu zu bauende Gas-
oder Dampfzentralen oder vielleicht noch unbekannte
andere Zwecke, z. B. Stickstoffgewinnung, die Eig-.
nungeziffer hither liegen wurde als die fur die beste-
hende Kesselfeuerung, ist deren Eignungsziffer zu be-
nutzen.
Sind gegebenenfalls keine gasgefeuerten Kessel vor-
handen, sondern nur Gasmaschinen, so kommt deren
Eignungsziffer von vornherein in Betracht, voraus-
gesetzt, daB sic den GasiiberschuB volt ausniitzen
konnen. Es ware also laufend, etwa jahrlich, die Eig-
nungsziffer der bestehenden Dampfanlage zu berech-
nen. Diese Eignungsziffer wurde, als Kurve in Ab-
hangigkeit von der Zeit dargestellt, mit zunehmender
Veraltung der Anlage infolge Verschlechterung der
Wirkungsgrade and Erhohung der Instandhaltungs-
kosten in den meisten Fallen einen abfallenden Linien-
zug bilden.
Weiterhin ware laufend die Eignungsziffer der neu zu
bauenden Anlage zu berechnen. Diese wurde in der
Regel auf Grund der wachsenden Entwertung der
alten Anlage eine aufsteigende Kurve ergeben. Ins-
besondere konnten Neuerungsmethoden and Erfin-
dungen diese Eignungsziffern sprungweise in die Hdhe
setzen. Der Schnittpunkt der beiden Kurven gibt den
Zeitpunkt an, von dem ab die alte Anlage unrentabler
arbeitet als eine neue. Die Wertziffer ist nach dem
eben aufgestellten Grundsatz stets aus der obenliegen-
den Eignungskurve zu bilden, d. h., das Gas wird
nach dem jeweils erreichbaren H6chstwert bewertet,
bei dem es unter allen Umstanden verwertet werden
kann.
Nur bei Einfiihrung dieser Wertziffern bietet die
Kostenrechnung die MBglichkeit, den Zeitpunkt fur
AuBerbetriebsetzung veralteter Maschinen usw. nicht
nach dem Gefiihl, sondern mit mathematischer Sicher-
heit zu bestimmen.
Eine Errechnung des Preises des im Betrieb erzeugten
Koksgases etwa aus den Selbstkosten der Kokerei ist
unmoglich, denn es ware denkbar, daB rich die Kokerei
ohne Verwendung des Koksgases allein aus dem gewon-
nenen Teer and Koks rentierte. Der Gaspreis wurde
dann gleich Null oder sogar negativ sein.
Fur eine abgesondert liegende Kokerei wurde Bich der
Gaspreis aus den zwei MSglichkeiten ergeben, ent-
weder eine Ferngasleitung zu bauen oder die Kessel
selbst mit dem Gas zu beheizen. Die hShere von beiden
Eignungsziffern ware wieder maBgebend fur die Wert-
zifferbildung unter der Voraussetzung, daB wirklich
alley Gas mittels einer Ferngasleitung abgesetzt werden
konnte. Zwangslaufig wurde die Rechnung ergeben,
daB eine Kokerei mit guten Absatzbedingungen fur ihr
Gas rentabler arbeiten mull, als eine andere, die keine
Absatzmoglichkeiten hat. Dieses giinstige Arbeiten
muB aber auch in der Kostenerrechnung der Kokerei
zum Ausdruck kommen, and es wurde nur zum Aus-
druck kommen bei Einfiihrung der Wertziffer.
3. Wertzifferbildung der Abhitze bei Dampferzeugung -
Die Verrechnung der Abhitze
Es leuchtet ohne weiteres ein, daB der Abhitzedampf,
soiange kohlengefeuerte Kessel in Betrieb stehen, mit
dem Dampfwert dieser Kessel anzusetzen ist, denn jede
Tonne Dampf, die im Abhitzekessel erzeugt wird, kann
im kohlengefeuerten Kessel weniger erzeugt werden.
Ist eine Neuanlage eines Abhitzekessels beabsichtigt,
bei dessen Inbetriebnahme ein bereits vorhandener
Kohlenkessel iiberfliissig, also wertlos wurde, so wird
die Abhitzeanlage hierdurch finanziell belastet, sie
arbeitet ungiinstiger. Der Wert, der dem Lieferanten
der Abhitze gutzuschreiben ware, wurde gleich sein
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102 Beck: Entwicklung von Eignungs- and Wertziffern
dem Produkt aus Dampfpreis and Erzeugung, ver-
inindert um die Kosten der Abhitzeanlage fur Ab-
schreibung, Bedienung, Instandhaltung usw., wobei
beziiglich Abschreibung auch die Kosten fur den in-
folge Aufstellung des Abhitzekessels stillgelegten
kohlengefeuerten Kessel aufzubringen waren.
Es wurde eingangs erwahnt, daB die Wertziffer fur
die Nebenprodukte sich finden lassen miBte, indem
mittels der Nebenprodukte Dampf oder Elektrizitat
erzeugt wird, die iiberall verwendbar sind. Da der
Preis fur die Herstellung mittels Kohle bekannt ist,
lieBe sich ruckwartsgehend auch der Preis fur das
Nebenprodukt Gas, das der Betrieb erzeugt, bestim-
men. Per Wert der Gase and der fur Kessel verwend-
baren Abhitze geht aus der Verwendungsmoglichkeit
der Gase usw. bei der Herstellung von Stoffen hervor,
die stets Abnehmer finden.
4. Berechnung der Eignungsziffern
Es soil jetzt, unter Anwendung der aufgestellten
Grundsatze, das Rechenschema zur Bildung der Eig-
nungs- and damit auch der Wertziffern entwickelt
werden.
Aufstellung der Rechenformel zur Ermittlung
der Eignungsziffern
Zur Vereinfachung der Rechnung werden folgende
Bezeichnungen eingefiihrt :
K = Gesamtkosten zur Herstellung der Erzeugungs-
einheit,
P = Preis in der Einheitswahrung fur 1 kcal im
Brennstoff,
W = Verbrauch an kcal, bezogen auf die Erzeugungs-
einheit (z. B. fur 1 kg Dampf),
L = Lohnkosten in der Einheitswahrung, bezogen auf
die Erzeugungseinheit,
J = Instandhaltungskosten in der Einheitswahrung,
bezogen auf die Erzeugungseinheit,
A = Abschreibungskosten in der Einheitswahrung,
bezogen auf die Erzeugungseinheit.
Die Werte, welche sich auf Kohle beziehen, erhalten
den Index k. Per Index fur den Stoff, dessen Eignungs-
ziffer ermittelt werden soil, sei X.
Die Gesamtkosten zur Herstellung der Erzeugungs-
einheit bei Verwendung von Kohle betragen dann
1) Kk=Pk? Wk+ Lk+ Jk+Ak,
bei Verwendung des Brennstoffes x
2) Kx=P,? W.+ L,,+ JA+ A,,.
Es wird gesetzt L + J + A = G (= Gemeinkosten).
Die Eignungsziffer wird dann dargestellt durch das
Preisverhaltnis
3)
E = Pk
Nach der Definition sollen bei Einsetzung des Preises
Px die Kosten fur die Erzeugungseinheit gleich sein.
Es mu8 also sein
Kk = Kx oder
4) P. ? W. + G. = Pk ? Wk + G.
Hieraus folgt durch Umformung
5) P. = Pk ' Wk + Gk- Gx oder
W.
P. Wk + Pk
6 EPk Wx
Fur W,--~0 wird E-* x.
Fur Gk = G. wird E _WW-x , d. h. die Eignungsziffer
verhalt sich bei gleichen Gemeinkosten wie die thermi-
schen Wirkungsgrade. Tritt infolge der Verwendung
des x- Stoffes eine Produktionssteigerung ein, so wird
das Glied G. automatisch kleiner, die Eignungsziffer
steigt somit. Die Gleichung gibt auch in diesem Falle
unmittelbar den EinfluB einer Produktionssteigerung
wieder.
Erforderlich ist jetzt die Ermittlung der einzelnen
Werte. Pk ist aus den Kosten der Kohle ohne weiteres
als bekannt anzusehen.
Kosten / kg Kohlen
unt. Heizwert
Wk and W. sind durch Versuche zu ermitteln. Die
Gemeinkosten G setzen sich aus den 3 Werten L, j
and A zusammen.
Es ist
Lohne wahrend eines Monats
L= Erzeugung wahrend eines Monats.
Wegen der unvermeidlichen Stillstande, z. B. an
Feiertagen, ware es falsch, etwa nur den Tagesdurch-
schnitt zu benutzen. Stillstande, z. B. infolge Reini-
gung von Gaskanalen, and die damit verbundenen
Verluste waren also mit einzuschlieBen.
Ebenso ist
_ monatl. Instandsetzungskosten
J Erzeugung.
Fur die Instandhaltungskosten ist es zweckmaBig,
den Durchschnitt eines Zeitraumes (z. B. den Jahres-
durchschnitt umgerechnet auf einen Monat) zu nehmen,
innerhalb dessen die Nachrechnung der Eignungsziffer
erfolgt.
Schwierigkeiten bietet die richtige Ermittlung des
Wertes A, der einen wichtigen Faktor der Kosten
bildet. Es bedarf hierzu einer Klarung des Begriffes
der Abschreibung.
Die Festlegung des Wertes der Anlageguter erfolgt
nach dem Erfordernis der Sicherung ihrer Reproduk-
tion der Kapazitat. Es werden nicht Werte, sondern
die Arbeitsmittel reproduziert. Im gleichenZeitpunkt,
in dem die Maschine durch eine neue ersetzt werden
muB, sollen die Abschreibungen den hierzu erforder-
lichen Betrag erreicht haben.
Die Eignungsziffer ist nicht von dem Gesamtbetrag
der Abschreibungen, sondern von den jahrlichen Ab-
schreibungsquoten abhangig. Soll die Eignungsziffer
eine eindeutige Zahl sein, so ist auch eine eindeutige
Festlegung der jahrlichen AbschreibungsgroBen nicht
zu umgehen.
.Die Grundsatze, nach denen die Festlegung der Ab-
schreibungen zu erfolgen hat, sollen daher im folgen-
den untersucht werden.
Zum besseren Verstandnis wird die graphische Dar-
stellung benutzt (Bild 3). Als Abszisse werden die
Jahre aufgetragen, als Ordinate die gesamten Kosten
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fur die Erzeugung ausschlieBlich der Abschreibung.
Entsprechend der Abnutzung der Anlagen werden
diese Kosten eine steigende Kurve darstellen. Fur
einen bestimmten Fall sei es die Kurve a. Auf diese
Kurve werden die Abschreibungswerte aufgetragen.
Sie werden durch die Kurve b dargestellt. Es wird zu-
nachst angenommen, dal die Abschreibung nicht
nach festen Grundsatzen, also such nicht zum kon-
stanten Betrag, sondern nach der jeweiligen Betriebs-
lage erfolgt. Die schraffierte Flache zwischen den
beiden Kurven a and b stellt den gesamten Ab-
schreibungswert dar. Die Abschreibung ist in dem
Zeitpunkt beendigt, wo diese Flache gleich dem An-
schaffungswert ist.
Weiterhin wird von der Abszisse an der Wert der Er-
zeugung aufgetragen. Er wird gleich Null (= 0) in
dem Punkte 0, in dem die Anlage infolge ihrer Ab-
nutzung produktionsunfahig wird. Die Ordinaten-
sti cke zwischen den Kurven c and b stellen den je-
weiligen Erfolg dar. Der Schnitt der beiden Kurven
a and c ergibt den Punkt C, von dem ab die Anlage
mit Verlust arbeitet. Die einzige von den Kurven, die
willkurlich geandert werden kann, ist die Kurve b.
Die Kurve c wird in den meisten Fallen innerhalb des
Bereiches, der praktisch in Frage kommt, annehernd
horizontal verlaufen, da z. B. bei Kesseln die Dampf-
erzeugung im Laufe der Jahre nicht wesentlich nach-
lassen wird.
Dadurch wird such die Kurve b, die zu c equidistant
verlaufen soll, ebenfalls eine horizontale Gerade. Es
besteht somit die Milglichkeit, bei alleiniger Kenntnis
der Kurve a and der Anlagekosten die Abschreibungs-
kurve einzuzeichnen (Bild 4). Ist mit einer Senkung
g
4 Q
t
f
III III/I~ In+n~l
I
der Produktion zu rechnen, so 1413t sich such fur
diesen Fall eine angenaherte LSsung dadurch er-
reichen, daB nicht mehr die Gesamtbetriebskosten
aufgetragen werden, sondern die Betriebskosten pro
Erzeugungseinheit. Sinkt die Produktion, so steigt da-
durch die Kurve a um so starker. Wieder wird das
Mall der Abschreibung dadurch gefunden, daB eine
Horizontale b so gezogen wird, daB die Flache zwischen
a and b den Anlagekosten entspricht (Bild 5).
Aus der Errechnung der Eignungsziffern mull die
Wirtschaftlichkeit der Maschine hervorgehen. Soll fur
eine bestimmte Kesselanlage die Eignungsziffer be-
stimmt werden, so geht die Ermittlung des Wertes
folgendermallen vor rich:
Zunachst wird die Kurve a soweit als moglich er-
mittelt, d. h. es sind die augenblicklichen LShne, die
Instandhaltungskosten and die der vorhergehenden
Jahre seit der Inbetriebsetzung festzustellen. Sind die
vorhergehenden Werte nicht vorhanden, so wird der
Punkt A dadurch gefunden, daB die Instandhaltungs-
kosten bei Inbetriebsetzung einer neuen Anlage etwa
aus den augenblicklichen Kosten abziiglich Reparatur-
kosten sowie aus der Erzeugung and deren Wirkungs-
grad ermittelt werden.
Die augenblicklichen Kosten pro Erzeugungseinheit
ergeben Punkt X (Bild 6). Durch die erhaltenen Punkte
wird die Kurve a gelegt. Sind nur die Punkte A and X
zu ermitteln, so ware sie etwa nach unten gekrnmmt
zu ziehen. Fur ahnliche Zwecke wird der Verlauf der
Kurve a ein ahnlicher sein. Liegen also andere a-
Kurven vor, so konnten diese zur Vervollstandigung
der Kurve benutzt werden.
Weiterhin wird die Abschreibungsflache aus den An-
lagekosten, dividiert durch die mittlere Erzeugung,
errechnet. Als mittlere Erzeugung ist das voraussicht-
liche Mittel zwischen Inbetriebsetzung and AuBer-
betriebsetzung zu wahlen. Ein Fehler bei der Wahl
diesel Mittels wird in der Endrechnung in der zweiten
Ordnung erscheinen, macht rich also nur bei sehr
starker Abnahme der Erzeugung bemerkbar. Die
Kurve a mull so weit extrapoliert werden, z. B. durch
Aufzeichnung im logarithmischen MaBstab, daB durch
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eine Horizontale b die Abschreibungsflache von der
Kurve a abgetrennt werden kann. Der Schnittpunkt
von a and b ergibt den Punkt B. Das ist der Zeitpunkt,
an dem die Anlage abgeschrieben ist. Das Flachen-
stuck XBD stellt den Wert der Anlage zum Zeitpunkt
X dar, die Strecke DX ist die augenblicklich anzu-
setzende Abschreibungssumme, die fur die Bildung der
Eignungsziffer einzusetzen ist.
Soil nun gepriift werden, ob zum Zeitpunkt X die An-
lage zu erneuern ist, so ist fur die Neuanlage die Kurve
a vorzukalkulieren. Gegeben waren fur die Vorkalku-
lation der Punkt A, d. h. die Betriebskosten der neuen
Anlage pro Erzeugungseinheit find die Abschreibungs-
flache, die gleich dem Neubeschaffungswert, vermehrt
um das noch nicht abgeschriebene Flacheustiick DBX
der alten Anlage ist.
Die einzige Schwierigkeit besteht nun im Zeichnen der
Kurve a. Wenn samtliche Unterlagen zu einer Voraus-
bestimmung der Kurve a fehlen, so ist die voraus-
sichtliche Lebensdauer, also das Abszissenstiick A' B',
abzuschatzen and aus der Abschreibungsflache and
dieser Abszissenlange, unter Zugrundelegung einer
moglichst wahrscheinlichen Kurve fur a, die Ordinaten-
hohe von B zu erreichen. Wird fur a keine Parabel,
sondern eine Gerade eingezeichnet, so wurde
A' E' = 2. Abschreibungsflache sein.
E' B'
Durch E' ware nun die Abschreibungshorizontale b'
zu ziehen. Liegt these fiber b, so wurde das besagen,
daB der Erfolg pro Erzeugungseinheit kleiner ist als bei
der alten Anlage. Die Zahl ist zu multiplizieren mit der
voraussichtlichen Erzeugung der Neuanlage and zu
dividieren durch die Anlageinvestition der Neuanlage.
Diese Zahl, verglichen mit derselben Zahl der alten
Anlage, wird entscheiden, ob die Neuanlage im Punkt
X gerechtfertigt ist.
Ist die Neuanlage der alten in alien Punkten, also
auch in den Anlagekosten gleich, so wird die Linie b'
stets fiber b fallen, solange die alte Anlage nicht ganz
abgeschrieben ist; mit zunehmendem Vorriicken des
Punktes X wird der Zwischenraum zwischen b and b'
immer geringer, im Zeitpunkt B fallen beide Geraden
zusammen; b' hat damit den tiefstmoglichen Stand
erreicht.
Bei Weiterarbeiten der alten Aniage fiber B hinaus
wurde sich der Erfolg infolge des Ansteigens von a
standig mindern; die Anlage wurde von dieseni Zeit-
punkt an giinstiger arbeiten, ein Beweis, daB die Art
der gewahlten Abschreibung richtig war.
Der in die Formel der Eignungsziffer einzusetzende
Abschreibungswert ist durch die vorliegende Erbrte-
rung eindeutig gekennzeichnet. Es ist die Strecke
zwischen a and b im Punkt X, d. h. im Jahr der Er-
rechnung der Ziffer.
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Wissenschaftliche Zeitschrift der Hoehsehule fur Elektrotechnik Ilmenau ? 1 (1954/55 Heft 2 ? Herausgeber: Der Rektor
1. Fakultat far Mathematik, Naturwissenschaften and technische Grundwissenschaften / Publ. Nr. 10
Institut fur Werkstoffkunde and zerstorungsfreie Werkstoffpriifung;
mit der Wahrnehmung der Geschafte des Direktors beauftragt: Dr.-Ing. Eugen Hanke
Als Manuskript gedruckt! DK 621.785.162
Eingang: 18. 5. 1955
Spontane Rekristallisation
Von Dr.-Ing. Eugen Hanke
1. Allgemeine Betrachtungen
Kaltverformtes Gefnge befindet sich in einem meta-
stabilen Zwangszustand htherer Energie. Es ist be-
strebt, durch Ubergang in einen Zustand niedrigerer
Energie den EnergieuberschuB abzugeben. Dieser
Vorgang wird neben der teilweisen oder vollkommenen
Anderung der einzelnen physikalischen and techno-
logischen Eigenschaften metallischer Werkstoffe von
einer Umkornung des Gefiiges begleitet and daher
allgemein ale Rekristallisation bezeichnet. Bei den
meisten Metallen findet these Gefiigeanderung erst
nach Uberschreitung einer bestimmten Temperatur
in wirtschaftlich tragbaren Zeiten statt. Es ergibt
sich so die MBglichkeit, durch eine entsprechend
gefuhrte Warmebehandlung bei metallischen Werk-
stoffen nach Kaltverformung nicht nur die GrSBe and
in vielen Fallen such die Textur der neugebildeten
Kristallite in weiten Grenzen zu andern, sondern man
ist durch die ganz oder teilweise eintretende Wieder-
erlangung der durch die Kaltbearbeitung veranderten
mechanischen and physikalischen Eigenschaften im-
stande, dieselben weitgehend zu beeinflussen. Hat
man die Bedeutung dieser Warmebehandlung er-
kannt, so ist es leicht zu verstehen, daB den Re-
kristallisationserscheinungen sowohl vom praktischen
als auch vom wissenschaftlichen Standpunkt aus
zahlreiche ausfuhrliche Untersuchungen gewidmet
wurden.
Als man schon sehr bald als Ergebnis dieser For-
schungsarbeit das Weiterwachsen der neu entstan-
denen Kristalle nach ihrer gegenseitigen Beriihrung
festgestellt hatte, entdeckte man schlieBlich, daB die
GrOBe des Rekristallisationskornes bei gleicher Gliih-
temperatur vom Grad der vorausgegangenen Kalt-
verformung abhangt (Bild 1). Bei Beringer Verfor-
mung trat starke Grobkornbildung ein, wahrend bei
hoher Querschnittsverminderung feines Gefnge fest-
gestellt wurde. An diesem Ergebnis anderte rich auch
bei h5heren Temperaturen nichts, was aus dem fib-
lichen raumlichen Rekristallisationsschaubild zu er-
sehen ist (Bild 2 and Bild 3).
Als Erklarung hierfur nimmt man an, wie dies z. B.
auch Stager [1] tut, daB in beiden Fallen die Korn-
neubildung fiber eine Keimbildung and ein Keim-
wachstum vor rich geht. Eine Hypothese besagt, daB
die Keimbildung von den Zentren maximaler Ver-
formung ausgeht, daB rich also zuerst die energie-
reichsten Atomverhakungen auflosen. Hierdurch wer.
den such umliegende Gitterteilchen entspannt, and
die Keimwirkung kommt zustande. Die Zahl der
Keime ist dabei folglich um so groBer, je hasher der
Verformungsgrad ist. Die Ausdehnungsmoglichkeit
his zur Beriihrung mit dem Nachbarkristall ist
kleiner, and es massen rich daher viele kleine
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Bild 1
Redrgrad in 4
Bild 2
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Bild 3 Al Mg 9 Muffelofen 10 min
(n. H. Borchers u. H. J. Mikulla)
.c,
.49,
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Kristalle bilden. Bei geringer Verformung ist die
Keimzahl gering, so daB das rekristallisierte Korn
grob sein muB.
Carpenter and Elam [2] fanden bei metallographi-
schen, Bungardt and Of3wald [3] bei metallographi-
schen and rontgenographischen Untersuchungen, daB
bei niedrigen Verformungsgraden nur eine stetige Ver-
schiebung der Korngrenzen stattfindet, daB also be-
stehende Korner ohne Keimbildung weiterwachsen,
wahrend bei hoheren Verformungsgraden Rekristalli-
sation fiber Keimbildung erfolgt. Man glaubt so, zwei
Arten von Rekristallisation unterscheiden zu milssen.
Nach Masing [4] erscheint es sicher, daB die Korn-
grenzenwanderung nach schwachen Verformungen
einerseits and die Kornvergrol3erung in stark ver-
formten Metallen in den spateren Stadien der Re-
kristallisation andererseits verwandte oder gleiche
Erscheinungen sind. Folgende Erklarung macht dies
leicht verstandlich: Das kaltverformte Material be-
findet sich in einem Zwangszustand, der allerdings
im Metallgitter raumlich verschieden ist. Es werden
Maxima and Minima freier Energie auftreten. Dieser
Zustand sei im Bild 4 schematisch dargestellt.
Rou mokoordino%
Bild 4 Energie-Schema (n. Masing)
Zwischen den Maxima der freien Energie a, b, c, d, e
befinden sich die raumlich groberen Gebiete wahr-
scheinlich nur elastischer Verspannung. Die Abszissen-
parallele ran stellt die idealisierte Nullinie des vollig
ausgegluhten and spannungsfreien Zustandes dar.
Durch die Rekristallisationsglilhung werden die
Spitzen der freien Energie abgebaut; der Zustand
strebt der Nullinie zu, ohne daB diese allerdings je
durch einen Rekristallisationsvorgang erreicht wird.
Fir eine verhaltnismaBig weit fortgeschrittene Re-
kristallisation kann etwa die Energie der Kurve pqrs
angenommen werden; die Maxima q and r liegen an
den Korngrenzen, deren Verschiebung nur dadurch
zustande kommen kann, daB ein bestandigeres Kristall-
gebilde auf Kosten eines weniger bestandigen wachst.
Der zwischen q and r liegende Kristallit wird daher
auf Kosten des weniger bestandigen Nachbarn links
von q wachsen.
2. Gliihen mit hoher Erhitzungsgeschwindigkeit
2.1 Untersuchungen an Leichtmetall-Legierungen
Wie aus Bild 3 hervorgeht, geben die iiblichen Re-
kristallisationsdiagramme keine Auskunft fiber den
Einflul3 der Gliihdauer (Zeit) and der Erhitzungs-
geschwindigkeit. Da diese beiden Parameter bisher
keine Beriicksichtigung fanden, ist es verstandlich,
daB auch heute noch verschiedene Ansichten fiber den
Rekristallisationsablauf vorhanden sind. Es ist wohl
das Verdienst von Rohrig [5] and Fuf3 [6], als erste
erkannt zu haben, daB der Unterschied zwischen den
von E. Rassow and L. Velde [7] aufgestellten Re-
kristallisationsschaubildern fiir Aluminium and dem
von V. Fuf3 spater ermittelten Schaubild auf ver-
schiedene Erhitzungsgeschwindigkeiten zuriickzufuh-
ren ist. Um den EinfluB dieser Erhitzungsgeschwin-
digkeit auf die Rekristallisation zu ergriinden, haben
H. Borchers and seine Mitarbeiter verschiedene um-
fangreiche Untersuchungen durchgefuhrt. Gestutzt
auf die Tatsache, daB trotz gleichen Gesamtverfor-
mungsgrades die einzelnen Teilchen eines Kristall-
haufwerkes verschieden stark verformt sind and ihr
Betrag an freier potentieller Energie daher ebenfalls
verschieden groB ist, nehmen H. Borchers and H. J.
Mikulla [8] an, daB his zurn Eintritt einer Keim-
bildung durch die Warmebehandlung verschiedene
Betrage an kinetischer Energie zuzufiihren sind. Sie
erklaren das Zusammenwirken von potentieller and
kinetischer Energie bei der Rekristallisation durch
folgende Formulierung: Die Summe aus potentieller
and kinetischer Energie eines gestorten Kristall-
teilchens mull einen fiir den Werkstoff bestimmten
Wert erreichen, um die Neubildung eines Kristalles
einleiten zu konnen. Das Energieschema des vorigen
Bildes mag daher dahingehend erganzt werden
(Bild 5), daB die Linie uv den Mindestaufwand an
erforderlicher Energie zur Einleitung des Rekristalli-
sationsvorganges angibt. Aus dem Schaubild geht
Raumkoordinaie
Bild 5 Energie-Schema
hervor, daB dieser Vorgang bei geringer kinetischer
Energie nur an den Stellen der Maxima potentieller
Energie einsetzen kann. Bei der iiblichen Rekristalli-
sationsgliihung werden daher nur an diesen Stellen
neue Keime gebildet. Die Umkornung kann bei ge-
ringem Verformungsgrad lediglich an relativ wenigen
Stellen einsetzen and mull zur Bildung groberen
Kornes fiihren. Handelt es sich hierbei, and das diirfte
wohl immer der Fall sein, um ein Material, das vorher
schon einmal verformt and einem Rekristallisations-
vorgang unterworfen war, so wird ein groller Teil der
aufgewandten kinetischen Energie dazu benutzt, den
alten Kornwachstumsvorgang fortzusetzen. Der nicht
verbrauchte Restbetrag an Energie reicht dann aber
nicht mehr aus, eine Keimbildung zu bewirken. Diese
wiederholt experimentell festgestellte Tatsache fiihrte
bei vielen Autoren zu der Annahme eines Rekristalli-
sationsvorganges ohne Keimbildung and zur Unter-
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scheidung von zwei Arten von Rekristallisation, and
zwar der ublichen, bestehend aus Keimbildung and
Kornwachstum bei hohem Verformungsgrad, and
einem Vorgang ohne Keimbildung - lediglich durch
Verschiebung der Korngrenzen ablaufend - bei ge-
ringer Verformung. In Wirklichkeit handelt es sich
aber, wie noch gezeigt wird, bei der letztgenannten
Erscheinug um die Fortsetzung des Kornwachstums
eines friiheren Rekristallisationsvorganges.
Fiihrt man nun in sehr kurzer Zeit and unter Anwen-
dung Behr hoher Temperaturen einen sehr grollen
Betrag an kinetischer Energie zu (Line xy in Bild 5),
so wird in dem Summenwert aus potentieller and
kinetischer Energie letztere sehr stark uberwiegen.
Es wird nun such in Gebieten geringer potentieller
Energie, also in den Minima der Abbildungen 4 and 5,
Keimbildung eintreten. Im Gegensatz zum ublichen
Gliihverfahren wird jetzt spontan eine grol3e Anzahl
von Keimen entstehen, was im primaren Rekristalli-
sationsvorgang zu einem aus vielen kleinen Kristallen
bestehenden Gefiige, also zu geringer Korngrofe,
fuhren wird. Da nach hohen Verformungsgraden ein
feines primares Rekristallisationsgeffige iiblich ist,
wird dem Gluhvorgang mit erhOhter Erhitzungsge-
schwindigkeit gerade im kritischen Gebiet niedriger
Verformung eine grolere Bedeutung beizumessen sein.
Sollte diese 13berlegung richtig sein, so mull es auf
diese Art gelingen, die starke Abhangigkeit der Korn-
grSBe vom Verformungsgrad gerade im kritischen
Gebiet abzuschwachen and fiber alle Verformungs-
grade ein in der KorngroBe gleichmiBigeres Gefiige
zu erreichen.
H. Borchers and Mitarbeiter haben auf Grund dieser
tJberlegungen an verschiedenen Legierungen Re-
kristallisationsuntersuchungen mit geringer and mit
hoher Erhitzungsgeschwindigkeit durchgeffihrt. Nach
Glahungen im Muffelofen ergab sich das bekannte
Rekristallisationsschaubild (Bild 3), aus dem hervor-
geht, da13 das grobste Korn bei der h8chsten Gliih-
temperatur auftritt. Dies gilt natfirlich auch ganz
besonders fur das KorngroBenmaximum im kritischen
Gebiet. H. Borchers and W. Roth [9] fanden dagegen
an einer heterogenisierten Al-Mg-Legierung nach
Glfihung im Salzbad, also bei hoher Erhitzungsge-
schwindigkeit, daB das auftretende Maximum der
KorngroBe bei den Gliihzeiteu his 10 sec bei der
hllchsten benutzten ltekristallisationstemperatur von
500? C liegt, wahrend es bei den Gliihzeiten von 30
and 60 sec bei 4500 and nach langerer Gluhdauer bei
400? auftritt. Mit zunehmender Gluhdauer erfahrt
also das KorngroBenmaximum eine Verschiebung zu
niedrigeren Temperaturen. Dasselbe Verhalten stellen
H. Borchers and H. J. Mikulla [8] bei der Unter-
suchung des gleichen Materials, jetzt allerdings im
homogenen Ausgangszustand, feat. Auch hier findet
eine Verschiebung des Maximums mit zunehmender
Gluhdauer statt. Allerdings tritt dieselbe spater ein
als im heterogenen Material, wodurch der verzogernde
EirifluB des sich in Lssung befindlichen hSheren
Magnesiumgehaltes auf die Rekristallisation in Er-
scheinung tritt. Bei 60 sec tritt grobstes Korn bei
450? C ein and bleibt bei dieser Temperatur his zu
einer Gluhdauer von 1800 sec (Bild 6). Bei einer Gliih-
zeit von 3600 sec liegt das Korngrolenmaximum bei
400? C (Bild 7). Hier trat uberhaupt das grabste Korn
aller Versuchsreihen auf.
Bei Rekristallisationsuntersuchungen an einer Mg-
Mn-Legierung von H. Borchers and H. Wrede [10]
wurde eine solche Verschiebung des KorngrBBen-
maximums in Abhangigkeit von der Gluhdauer nicht
gefunden. Mit Ausnahme der Gluhdauer von 10 sec
trat das grobste Korn immer bei der hbchsten Gliih-
temperatur auf. her wurde aber eine andere wichtige
Erkenntnis gewonnen. Aus den einzelnen Rekristallisa-
tionsschaubildern geht hervor, dal im kritischen
O M M N M A 1~
Yah-5a9.a0 ins
Bild 6 Al Mg 9 Salzbad 30 min
(n. H. Borchers u. H. J. Mikulla)
Bild 7 Al Mg 9 Salzbad 60 min
(n. H. Borchers u. H. J. Mikulla)
Gebiet kein grobes Korn entstand. Die auftretende
Korngrolle war fiber alien Verformungsgraden ziem-
lich gleichmallig. Damit war festgestellt, dal bei dieser
Legierung bei Glfihung im Salzbad der EinfluB des
Verformungsgrades nur gering ist.
In diesem Zusammenhange sei auch noch auf eine
Veroffentlichung von E. Mohr [11] fiber Rekristalli-
sationsversuche mit einer technschen Al-Cu-Mg-
Legierung bei stollweiser Gluhbehandlung hinge-
wiesen, in der er erwahnt, daB das his 1945 gefertigte
,,tiefziehfahige" Konstruktionsblech im eigentlichen
Sinne kein Tiefziehblech, sondern ein sogenanntes
,,grobkornfreies" Blech war, das bei den vielfach
erforderlichen Zwischengluhungen nach Kaltverfor-
mung keine Grobkornanfiilligkeit zeigen durfte. Das
moderne, den heutigen Anforderungen entsprechende
Tiefziehblech mull dagegen in einem oder in nur
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wertigen Z6gen ntiiglichst olute Zwiscltengliihuug gilt
Iiefziehf:ihig sein. Er stellt daher die Forderung,
(;liihiifen zu erstellttt, die eine bessere Glciclnnal3ig-
kcil der einzeluen Gl0ltehargen gew:ihrleisten and
gleiehzeitig den Wirkungsgrad der Gliihofen erh8hen.
Fr versucht, diese Forderung lurch Stot3gliihen von
AI-Cu-Mg-Lcgierungen zu erfiillen, wobci er sich auf
tie Arioiten von 11. Borchers uud lessen Mitarbeitcrn
Bill 8
Zeit in Minutes
skim. AV it, diese, ninuut er an. dal3 die kcirnbildung
vin spontaner and von der Zeit. unabhangiger Aorgaug
ist, welcher sofort in dent Augenblick eintritt, wean
potentielle roil kinetische Energie dell fiir den Werk-
stuff erforderlichen Wert crreicht Lanett. Hierbei nruB
dic kinetisclit Eucrgie iiiogliclist schnell den eut-
sprechemleit Wert errtichen, da sich sorest zu leicht
andere Vorg:inge der kcirnbildung vorlagern konnen
and das l+;rgebuis verfiilsclit, it. Bei dicser ?spontanen"
Rekristallisation wird der bei (;liihungen mit klciner
h;rhitzungsgeschwiudigkeit auftretende EinfluB vor-
heriger Krislallerholung ausgesclialtet, wodurch dic
unverfiilschten Rekristallisationserseheinuugen crmit-
telt werden. Mohr unterscheidet daher eine ?spon-
tane" mid vine ?verdeckte" Rekristallisation, wohei
letztore bei Gliihungen init iiblicher Erltitzinigsge-
sehwindigkeil eintritt. Fr fiiIirte seine \ ersuelte an
ciner techuisehen Al-(:u-Mg-Legierung nail 3,43 Cu
and 0,59 "? Mg lurch, wohei er alter (cider uur clam
einzigen W alzgrad von 38 "? angewandt hat. Er bc-
niitzi Tentperaturen von 400, 450, 520, 600 and
700? C and untersucht die Probe uach einer jeweiligen
Gliihzeitahstufung von 15 sec.
Die volt ihm durchgefiilirlen Langzeitversuche zeigen,
daB die Festigkeitswerte ureist den Delnutngswertert
vorauseilen and daB das Festigkeitsmininuuu tticlrt
mit dcm Dchnungsnraxinnttn zusamureufallt. Auf
diese Eigentiimlichkeit fiihrt er aueh dic vieien
Scliwicrigkeiten bei der riclttigen Abstiurutuug betrieb-
licher Gliiliungcn zuriick.
An den eiuzelneu Festigkeitskurven bei StolBgliihung
stellt er eiu Minimum fur Streckgrenze und Bruch-
festigkeit (Bild 8) Pest, das sick zunachst mit Ab-
nalune der Muffeltenrperatur von 700 auf 600 and
520? C zu tieferen Wertett verschiebt, um dams bei
weitererl'entperaturabnahnieauf450und400?(: wieder
anzusteigen. Die L rsache fiir das \\ andertt dieser
Kurveiunininta sucht er in uuurittelbar an die Re-
kristallisation anschliel3enden LOsungsvorgiingen. I)as
bei der spontanen Rekristallisation auftretende un-
gestorte Miniutuut wird durclt Liisungsvorgiinge schnell
uberdeckt,und dieFestigkeitsteigt wieder. Mit sinkentler
Temperatur wird die gegeniibcr der Hekristallisations-
tetnperatur nut wcnig hiiherc l.iislichkeitstentperatur
nicht so schnell errcieht.
Die kurven verlaufen
triiger. I ata dabei die Mi-
nima bei biiheren Wertert
lieges, diirftt' im vorzei-
tigen Abbau poterttieller
I';ncrgie irn Kristallerho-
Itutgsgebiet infolge we-
niger schnellen Errei-
chensder Rekristallisati-
oustenrperatnr ill] Gliih-
guI Zil suchenstill. Ilier
ist also zweifcllos der
spoutauen Rekristallisa-
tiondie I\ristallerholung
vorausgeeilt uud hat \er-
luste potetttieller I':ner-
gie herbeigefiihrt, w:ih-
rettd bei hohenTempera-
turen die Kristallerho-
lung nieht zur kuswir-
kung gelangi, da in die-
sent Falle die Rekristalli-
sation schneller einsetzt.
2.2 l'ntersuchungen an Ms 72
Nachdern die Ergebuisse von H. Borchers den Eiuflull
honer Erhitzungsgeschwindigkeitcn auf den Re-
kristallisationsablauf gerade irn kritischen Verfor-
ntungsgebiet an Leiclitmetallen gezeigt hahen, er-
schinn es bedeutungsvoll, altnliclre Untersuchuugen
an Ms 72 durchzufiihreu [12]. Z,ur Erzielung dicser
hohen Erhitzungsgcschwindigkc'iten wurdett Salz-
bader beuutzt, and ztcar irn Tenrpcrat.urgehiet his
6000 C due Misehung von 50'',, KNO.t iutd 5O"('
NaN0, and ltei Temperaturen zwischen 600 uud
900? C die von L. Graf [131 angegebeue Z.usaurruen-
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seizing you 75'',, Natriumbichrotltat Na0Cr.0O7 mid
25 kaliuunbichrontat K_Cr?07. I)ic Glfihzeiten fiir
jeden Verforutungsgrad mid alle Gliihtetliperaturcu
lageu zwisehen 1 tntd 64 sec. Ebenso wurde je soils
title I, augzeitgliihung von 1011 mill. Dauer durch-
geffihrt. I)er Bekristallisatiotlsablaut wurdc mikro-
skopisch. rfintgenographisclt turd durch Bestimtnuttg
tnechartischer Festigkoitswerte verfolgt, wobei int
folgeuden tine Gegcn-
nberstelluug der Flrgeh-
nisse bci holu?tu uud hei
niedrigent Verforntutlgs-
gradgegehettwerdeusoll.
In dell hoiden nachsten
1lildern (Bald 9 uttd 10)
set gezeigt, wit sicJ1 der
verforutteLustand vote
rekrist allisierte a rut
Routgenbild unterschei-
det. I)urch dit Hach der
plastischen Verforutwtg
ini Material vorhandeuen
Spatuuutgetl fiudet etto
Verbreiterutlg der iuter-
fereuzliuien in radialer
Kichtuug statt, mit zu-
uehuunder Verfonnung
verschwitdet die van-
Arkel-Aufspaltung, and
es eutstehcu stark
verse IIW 0111111(10 Inter-
fereuzkrcise. Beim Fiu-
setzeu der 11tkristall isatto it elit stehcit ttcue, cutspaunte
Kristallite, die sick ion Roiitgenbild durch diskrete
Schwiirzungsputlkte imterhallt der verschwommenen
Kreise hcmerkhar tltachcu. Gleichzeitig tlimmt mit zu-
nehmeuder Glfihdauer die I, iuietverbreiteruug al), utid
die Arkelaufspaltuugwird stedersichtltar.Bei80?/t,Ver-
fortnung and 9(111? (; Gliiliteniperatur treten bci 2 sec
Glfihdauer die ersten ueuen I'unkte auf, die all Zahl and
(;rof3c his 64 sec zuuehttleu. Nach dieser Glfihzeit ist das
verfonnte (;efiige restlos anfgebraucht, die prinr)_ . l ~~-T~'~_~-(I - l
(TT
0 3 it ist.
Wir wollen If(') (x)I abschiitzen. Sei, wenn x im Intervall iv liegt, o. B. d. A. x c
falls vertauschen wir av and bv. Dann ist
1
Ix-av1 Ix - bvf
Sei nun it < 1. Dann gilt
f(1)(x)
- tl,(x; av, bv)
(n) 9
G, (x av)aa(x - bv)'
Ixavla? Ix - bv11t
furxEi,=' It >I.
(av.
av ? by
2
Wir vcrgroB(-,rn die rechte Seite abermals, wenn wir I x - by I durch I x - avI ersetzen and im Nenner der
cinzelnen Sumuianden
An`p
Ix - avla?Ix - bvld
Hoch so viele Faktoren I x - avI anbringen, daB dieser Faktor gerade 3n mal auftritt. Dann erhalten wir
schlieBlich
1 A (n)
If(n) I ` e (z-av)a In
x Ix - av1n
=0
wobei die Zahl A (n) nur von n abhangt. Es gilt
?1
fiirxEivC~af? It
fur xE~\sf,
lim = 0.
gn
r- r
Also laBt sick zu jedem e 0 and n eine Zahl r(n) finden, so daB
ist. Wenn M so groB gewahlt wird, daB die Langen aller Intervalle ivC bei It ? M kleiner als r(n)
sind, dann ist
I.f(nl(Z) I A(n) ? e fur xEivC ` f., ft ? M
0 fur xE~a\ f,
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Bogel: tlber die Darstellbarkeit einer Funktion durch ihre Taylorreihe im Reellen
< A (n) ? E fur alle x E ~ s.
Also konvergieren auch alle Reihen ~' f 1n) (x) gleichmaBig fur alle x E `l. Aus der gleichmaBigen Konver-
genz von Eff; (x) folgt aber, daB f (x) differenzierbar ist and daB
.f (x) _ Ef (x)
gilt. Durch vollstandige Induktion erschlieBt man nun die Existenz aller Ableitungen von f (x) :
f (") (x) = yf(x) fur alle x E a.
a=o
Wir entwickeln f(x) in eine Taylorreihe, wobei wir als Entwicklungszentrum einen der Randpunkte
eines ii, wahlen; es verschwinden dann alle Koeffizienten.
g(x) sei eine andere beliebig oft in `I differenzierbare Funktion, deren Taylorreihe
9(n)xo) (x _ xo)n (3)
n=0
zum gleichen Entwicklungszentrum xo uberall in `I konvergiert and dort g(x) auch darstellt. Die Funktion
F(x) =.f(x) + g(x)
ist dann fur alle x E a beliebig oft differenzierbar and besitzt die uberall inI konvergente Taylorreihe (3).
Diese stellt f(x) ersichtlicj- nur in den Punkten der abgeschlossenen Menge ~a\u, dagegen nicht in der
offenen Menge It dar.
Bemerkung 1: Sci jetzt 11 unbeschrankt, dann haben wir zwei Falle zu unterscheiden:
a) In jeder Umgebung des unendlich fernen Punktes liegen Punkte, die zu `1\ U gehoren. Dann bemerkt man
sofort, daB fur diesen Fall der eben durchgefiihrte Beweis richtig bleibt.
b) Jeder Punkt x mit x > X gehore zu U. Die obere Grenze der Menge a\U sei der Punkt A. Dann setzen wir
G,fa)(x)
f, (x) fur x < A
F(x) = g(x) + ?=o
e (x_ ~)2
and wir haben eine Funktion konstruiert, die dem Satz genugt.
Bemerkung 2: An Stelle der Funktion (2) kann natiirlich jede andere beliebig oft differenzierbare
Funktion f (x) treten, wenn sic nur der Forderung, bei x =a and x = b von unendlicher Ordnung and
sonst nirgends zu verschwinden, genugt, and wenn man darauf achtet, daB mit Verkleinerung des
Intervalles (a, b) das Maximum von If(,) (x) I in (a, b) starker als die Intervallange gegen Null strebt.
Man erkennt hieraus vielleicht noch deutlicher als an dem Beispiel (1) den groBen Unterschied zwischen der
reellen and der komplexen Taylorentwicklung, der eben letzten Endes auf dem groBen Unterschied
zwischen den beiden Differenzierbarkeitsbegriffen beruht.
(Eingang: 11. 3. 1957)
Berichtigung zu Heft 3/1956
In der Arbeit Dr. Berg ?Bemerkungen zum Interpolations-
problem" mul3 es im Literaturzitat auf Seite 155, rechte Spalte,
3. Zeile unter Formel (2), sowie auf Seite 157, linke Spalte,
4. Zeile unter Formel (6) richtig heil3en: (vergl. (1) Seite 3 and
nicht Seite 157. Auf der 1. Seite der DK-Kurzreferate, rechte
Spalte unten, Berg, Lothar: ? Vber das asymptotische Verhal-
ten der Laplace-Transformation', letzte Zeile des Kleindrucks
mul3 ein q)(B) statt dem y,18) stehen.
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Institut far Mathematik, Direktor: Prof. Dr. rer. nat. Karl Bogel
Herleitung asymptotischer Ausdriicke fur Integrale
and Reihen')
Von Dipl.-Math. Dr. rer. nat. Lothar Berg, Oberassistent am Institut far Mathematik
Herrn Prof. Dr. rer. nat. Karl B o g e 1 anlal3lich der Vollendung seines 70. Lebensjahres
in Ehrerbietung gewidmet
Als Manuskript gedruckt. DK 517.63:517.52
Einleitung (? 1)
Bereits vor etwa 200 Jahren hat Laplace das Problem
untersucht, ein in der Praxis haufig auftretendes
Integral der Form
b
(1) G(s) = f esh(t)-I(9) dt
far grol3e s abzuschatzen. Unter den Voraussetzungen
h' (a) = 0, h" (a) 0 besitzt die Funktion h (t) an
der Stelle t = a ein Maximum, so daB fur hinreichend
groBe s der Hauptbestandteil des Integrals von der
Umgebung der Stelle t = a herriihrt. Laplace gibt
(in der heutigen Schreibweise) die asymptotische
Gleichung
eah(a)-f(a) 00)
G(s) f2sh"(a)
an, die sich unter einigen Zusatzvoraussetzungen
streng beweisen lal3t. Eine solche asymptotische Dar-
stellung liefert fur den komplizierten Integralausdruck
einen einfachen Naherungswert, and dieser Wert ist
prozentual um so genauer, je groBer das Argument s
ist. Daher sind die asymptotischen Darstellungen
gerade fur die Anwendungen von groBer Bedeutung.
Sie ermoglichen aber dariiber hinaus auch das Studium
von Funktionen in der Umgebung solcher Singulari-
taten, bei denen die sonst iiblichen Darstellungen
versagen.
Gehen wir nicht von dem Maximum der Funktion h (t),
sondern vom Maximum des gesamten Integranden
aus, so kommen wir zu einer weitgehend allgemeinen
asymptotischen Gleichung, die nicht auf einen so
speziellen Typ von Integranden wie in (1) beschrankt
ist and die das Kernstiick der Arbeit ist. Dadurch
sind wir dann insbesondere in der Lage, such anders-
artige Singularitatentypen zu erfassen, als sie bisher
in der Literatur behandelt worden sind.
I. Integrale im Reellen (? 2-6)
Fur hinreichend groBe s mogen das Integral
Auferdem moge eine Funktion w (s) mit x (s) - tt Z
co (s) > 0 existieren, so daft erstens
w2 (s) 92 [s, x (s)] -~ oo far s -+ o0
strebt, zweitens
g2[s,$(s)] - g2[s,x(s)]
fur jedes i(s) mit I ~ (s) - x(s) I < w (s) gilt and drittens
die Integrale
x (a) - w (a)
}/ g2 [s, x (s)] l e_s(a,1)+8[a.x(e)] dt,
fg2 [s, x (s)] f e-s(a,')+s[a,x(a)] dt
x(a)+w(a)
fur s-* oo gegen Null streben. Dann gilt fur das
Integral (2)
(3) G(s) -
/ - 2 7 r g2[s,x(s)]
(s-* oo).
Zum B e w e i s dieses Hauptsatzes brauchen wir die
Behauptung (3) nur auf Grund der Taylorschen Formel
g (s, t) = g Is, x (s)] + 2 92 (s, $o) [t - x (s)]2 mit
1$0 - x (s) I < o )(s) and unter Beachtung unserer
Voraussetzungen in der Form
x (a) + w (a)
r gz [s, x (s)] f e z e. (a,eo) [t-x(a)]' dt ~)l2n
a' (a) - w (a)
zu schreiben. Die Richtigkeit dieser Beziehung folgt
dann namlich unmittelbar aus der Gleichung
wenn wir darausdie asymptotischen Gleichungen
+w Yg
f
4. J e 2 du
-w(ae)
u"
e 2 du =)l2n ,
(2) G(s) = f e-e(a.) dt,
0
die (stetigen) partiellen Ableitungen
2
gt(s, t) = at g `S, t'
' g2(s, t) _ 3 2 g (S, t)
(t >
ti z 0)
and eine Losung der Gleichung gt [s, x (s)] existieren. Alle
vorkommenden GroBen sollen zunachst reell sein.
1) Kurze Zusammenfassung der am 15. 10. 1956 einge-
reichten Habilitationsschrift des Verfassers.
x(a)-w(,)
herleiten and uns bei dem Zwischenwert ~o von der
Abhangigkeit von t befreien.
Mitunter ist es zweckmaBiger, an Stelle von x = x (y)
die Umkehrfunktion y - y(x) einzufiihren, sofern sich
namlich die Gleichung g, (y, x) = 0 leicht nach y
auflosen laBt. Unter entsprechenden Voraussetzungen
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Berg: Herleitung asymptotischer Ausdrucke fur Integrale and Reihen
gilt dann statt (3), wenn wir Hoch annehmen, daB
y (x) --* oo strebt fur x--* oo,
(3')
G[y(x)] ' 2~
e-g[Y(x),x] (x->- oo).
Machen wir fiber die Gestalt von g(s, t) spezielle
Annahmen, so lassen sich fiir die Voraussetzungen
unseres Satzes einfache hinreichende Bedingungen
angeben. Speziell in dem Fall
(4) g (s, t) =.f (t) - p (s) h (t),
in dem der Fall (1) enthalten ist, gilt die Formel (3')
unter den Voraussetzungen
p' (s) > 0, h' (t)
h (t)_0
h' (t)
and
(5) x292[y(x), x]--oo,
so daB wir g2[y(x), x] ::> 0 fur x > t0 annehmen
konnen, sowie
fg2[y(x)' x] eg[y(x),x]+e[Y(x)]s(t,) -->0 fiir
sofern aufierdem noch das Integral
(~o
dt
0
,fii.r ein gewoisses s0 existiert and die Bedingung
92 [y (x), x -f - 0)x] ,., 92 [y (x), x]
fur jedes wx mit wx = o(x) erfiillt ist.
Per Fall (4) ist noch insofern allgemeiner als der
Fall (1), als die Funktion h(t) in unserem Fall kein
endliches Maximum zu besitzen braucht. Dies ist
beispielsweise bei der Mellin- Transformation der Fall,
fur die es bisher in der Literatur kaum asymptotische
Darstellungen gab. Setzen wir dabei speziell
g(s,t)=ata-slnt-x(t)
mit a > 0, a - 0, so gilt, falls Z (t) fiir t > t1 zweimal
stetig differenzierbar ist, unter der Voraussetzung
x(v) (t) - o (ta--v), v = 0, 1, 2
and ureter der Existenz von
f ex(`) ts- dt
0
die asymptotische Gleichung
(6)
e- a"+x(t) tY(x) dt '27
a xa
Ir
mit y(x) = aaxa - xZ'(x).
Wollen wir jetzt wieder y statt x als unabhangige Ver-
iinderliche einfiihren, so brauchen wir glOcklicherweise
fiir die Funktion x(y) nicht eine explizite, sondern
nur cine gewisse asymptotische Darstellung zu kennen,
die man sick leicht beschaffen kann. Setzen wir noch
zusatzlich
x' (t) = o (ty-1), a > 0
a - a
voraus, so gilt x = y + 0 ()1y1a+?r) and daher fur
Vaa
a = a = 1 and y == s - 1 nach einigen Umformungen
~e-'t'-l ex(') dt ---F(s) ex(') im Falle
and unter Beachtung der scharferen Darstellung
x - y + yx'(.Y) + o(y2x-1 + 1)
2
e 'tl-1 ex(') dt ,,, F(s) ex(')+ 2 z'(') im Falle 3
0
Diese Formel scheint bisher nicht bekannt zu sein.
In analoger Weise lassen sich auch andere spezielle
Formeln fir die Mellin-Transformation aufstellen
sowie auch Formeln fir die Laplace-Transformation,
wenn wir von der asymptotischen Gleichung
(8)
1 1
[e_Y(0)t() dt 1 e
0
1
-it y (x) = 2 x - x' x) ausgehen. Die Voraussetzun-
gen, unter denen (8) gilt, erhalt man, wenn man die
oben fiir die Funktion (4) angegebenen Voraus-
s
setzungen auf die spezielle Funktion g(s, t) = +
t
+ x ( ) + 2 In t umschreibt.
II. Reihen im Reellen (? 7-- 10)
Mit Hilfe der Eulerschen Summenformel kann man
von den Satzen fiber Integrale unmittelbar zu cut-
sprechenden Satzen fiir Reihen iibergehen. Unter
vollig analogen Voraussetzungen wie bei der Formel (3)
ergibt sich dann die asymptotische Gleichung
(9) ,' e-g(s,v) ,.
v=o
21S1 -(S)]
zu der allerdings noch die Zusatzvoraussetzung ueu
hinzutritt, daB 92 IS, x (s)] -* 0 streben muB fiir s co.
Ist these Bedingung nicht erfiillt - wie im Falle
g2 Is, x (s)] -* k, wobei k eine positive Konstante ist -
so liegen bei den Reihen ganz neuartige Verhaltnissc
vor. Es tritt dann namlich der periodische Vorfaktor
2
Tk (x) e
auf, so daB sick dann statt (9) die Formel
e-g(',v) ," Tk[x(s)] e-9L'%.x(s)] (S-?oo)
v=o
ergibt.
Wie im vorhergehenden Abschnitt kann man auch bei
den Reihen fiir den Fall (4) die aligemeinen Voraus-
setzungen durch einfachere ersetzen. Als Spezialfall
von (4) sind insbesondere die Potenzreihen von Be-
deutung, fiir die sich die Beziehung
(10)
sv / 2;t Sx
ew(v) V ,p? (x) ew(')
v=o
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im Falle y,"(x)-*.0, x2tV"(x)-* CO, 1p'(x)-*.(>0
W" (x + cox) - y," (x) fur jedes wx mit
herleiten lal3t bzw.
and
a)? = o (x)
ew(v) - Tk(x) ew(x)
v=0
im Falle y," (x)--a k > 0 mit Ins = ip' (x).
Insbesondere ergibt sich fur die ganzen Funktionen
von endlicher Ordnung, welche die Bedingungen
1 d (yp(x)1 , 1
TY (x ex dx I\ x ) pox
erfiillen, die asymptotische Darstellung
0o sv xs d
r 2n[~x a dx x
ew(v)
V-0
mit In s = y,' (x), and man kann auch in alien diesen
Formeln durch geeignete Zusatzvoraussetzungen zu
der unabhangigen Variablen s zuriickkehren.
Unter unseren Voraussetzungen laf3t sich auch leicht
die sogenannte asymptotische Halbierung
fe-g(??9dt ~e-9(1?0)dt f e-0?4dt
0 x (s) 0
beweisen, and Entsprechendes gilt auch fur die
Reihen im Falle g2-- 0.
III. Integrale im Komplexen (? 11-13)
Die Formel (3') gilt unter einigen weiteren Zusatz-
voraussetzungen auch fur komplexwertige Integranden.
Insbesondere mull dann eine dritte stetige partielle
Ableitung g3(s, t) von g(s, t) nach t existieren, and fur
hinreichend grol3e x mull
arg 92 [y (x), x] I 0) (35)
1=1
gemacht wird. Dabei sci n der Index der Aufgabe.
Dann muD V(z) als Losung der Differentialgleichung
aV-A'"V_0 A'_ k (z-t)vtA (36)
bestimmt werden and der Randbedingung
k
Re 17 (t - ti)-" V (t) = Y (t)
!-1 L
(37)
geniigen. Der Index n' dieser Randwertaufgabe wird
durch die Beziehung
definiert. Ist nun n negativ oder it
Zvi = - 2 n + 2 m, so folgt
Dabei bezeichnet m - 1 wiederum den Zusammen-
hang des Gebietes T. Ein solches Problem hat aber
stets 2 n' - m +- 1 = m 4- 1 linear unabhiingige Lo-
sungen. Die Losung der urspriinglichen Aufgabe
erhalten wir durch die Beziehung (35), womit auch
unser Satz bewiesen ist.
Literatur
[1] Vekua, J. N., Systeme von Differentialgleichungen erster
Ordnung vom elliptischen Typus. Math. Forschungs-
berichte, Deutscher Verlag der Wissenschaften 1956.
[2] Muschelischwili, N. J., Singulare Integralgleichungen.
Moskau-Leningrad 1946.
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Institut ffir Mathematik, Direktor: Prof. Dr. rer. nat. Karl Bogel
Noch einmal:
Ein Nomogramm ,Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen'l
Von Assistent Albert Stammberger
In Heft 3/1956 der vorliegenden Zeitschrift veroffent-
lichte Herr A. Latwesen ein Nomogramm fiber obigen
Gegenstand.
Es ist +bi=A+Bi
Diese Determinanten stimmen in den ersten beiden
Zeilen vollkommen uberein and unterscheiden sich
in der dritten Zeile, abgesehen davon, daB A and B
zu vertauschen sind, nur durch ein Vorzeichen. Das
bedeutet aber, daB die beiden Leitertafeln ffir A and B
iiberlagert werden konnen. Die beiden geradlinigen
Durch zweirnaliges Quadrieren erhalt man folgende
biquadratischc Gleichungen
(I) A4 -- aA2 - 42 = 0 bzw.
2
B4 -{- aB2 - 4 = 0 ffir A and B.
Diese unterscheiden sick nur durch das Vorzeichen
von a, d. h. aber, daB man lediglieh durch Wechsel
des Vorzeichens von a den Wert B anstatt A gewinnt.
Der Versuch einer nomographischen Losung dieser
Gleichungen fiihrt auf die Darstellung einer quadra-
tischen Gleichung der Form x2 + p x + q = 0, fur
die zum ersten Male d'Ocagne cin Nomogramm an-
gegeben hat').
Diese Grunddarstellung einer quadratischen Glei-
chung liegt der angefiihrten Veroffentlichung zugrunde.
Sie liefert jedoch wegen der quadratischen b-Skala
noch kein befriedigendes Ergebnis. Diese Schwierig-
keit wurde durch Anderung der Einheit der b-Skala
zu Ibsen versucht. Der auf diese Weise entstandene
vierfach bezifferte b-Leiter hatte aber wiederum
vier Trager ffir A bzw. B zur Folge. Die so notwendig
gewordenen Fallunterscheidungen (siehe Gebrauchs-
anweisung) dfirften den Gebrauch des Nomogramms in
der Praxis sehr erschweren and Fehlablesungen
nicht auf ein MindestmaB beschranken.
Es soil daher eine Darstellung angegeben werden, die
diese Nachteile nicht aufweist and bei gleicher Ablese-
genauigkeit die gesuchten Werte A and B mit nur
einer Ablesegeraden liefert.
Die oben angefiihrten biquadratischen Ausdrdeke
lassen sich in Form Soreauscher Determinanten
schreiben, and man erhalt:
x1 Y1 1
0 a 1
1 b2/4 1
1 A4 1 + A2
0 a 1
1 b2/4 I
I -B4 1+B2
1) d'Ocagne, M., Calcul graphique et Nomographie, 3. Aufl.,
Doin, Paris 1924, S. 274.
Siehe auch Luckey, P., Nomographie, 3. Aufl., Teubner
Leipzig, 1937, S. 63.
X2 y2
x3 Y,
Trager fur a and b stimmen iiberdies in der Be-
zifferung uberein. Die Trager ffir A and ffir B setzen
sich zu einem vollstandigen Kegelschnitt (1 - x3)2 -
- y3 ? x = 0) zusammen, wobei keine l,Jberschneidung
der Bezifferung auftritt. Jedoch erst eine projektive
Transformation folgender Art
1
1
1
Y1
Y2
all 0 0
0 a22 0
asl 0 a33
brings eine brauchbare Darstellung (siehe Blatt
EI-11-a am Ende des Heftes). Die Tragerkoordinaten
lauten dann folgendermaBen:
~1=0
$3
all
b2
ass 4 + a,1
all
ass A4 + a1
a22 A2
13 - - a33A4 + a31
Der Kegelschnitt lautet in
a22
rll =ass a
all
a33 B4 + ail
- a22 B2
a33 B4 + a31
a.3a 33 ? 21 + rt2 _ a1_)2= 1 .
4 -- 1\\S
2 31
Bei geeigneter Wahl der a,k erhalten wir eine Ellipse.
Dies ist offenbar der Fall, wenn a31 and a:31 gleiches
Vorzeichen haben.
Fur die a;k der Transformationsdeterminate wurden
folgende Werte gewahlt: all = 300; a22 = 10;
a31 = 1; a33 = 0,01.
Der Kegelschnitt des gemeinsamen Tragers ffir A
and B ist dann folgende Ellipse:
- 150)2 = 1.
502 + ($3
Fur den Gebrauch des Nomogrammes ist lediglich
folgendes zu beachten: Fizr yea -?b i = A ? Bi gilt:
1. Die durch a and b festgelegte Gerade liefert in den
Schnittpunkten mit der Ellipse die Werte A and B.
Das Vorzeichen von B wird durch das Vorzeichen
von b bestimmt.
2. Hierzu sind gegebenenfalls die Ausgangswerte a
and b durch Multiplikation mit 10" so umzuformen,
daB a groBenordnungsmaBig zwischen 4 and 500
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14 Stammberger: Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen
liegt. Dabei lait sick bei schlechten Ableseverhalt- ebene liegenden Wurzeln bekommt man durch
nissen lurch geeignetes Multiplizieren die Ablese- Umkehren der Vorzeichen, also
genauigkeit fiir A bzw. B steigern (Beispiel 6).
a bi -- A + BiA -T Bi
3. Das Nornogramm liefert in jedem Fall die in der
recliten Halbehene liegenden Wurzeln (sielie Skizze Als Beispiele seien u. a. auch die der angefiihrten
auf Noniogrammblatt). Die in der Iinken Halb- Veroffentlichung gewahlt (Beispiele 2--5).
Beispiel 2:
Beispiel 4:
Ueispiel 5:
1149 910 i. = 1110 (14,9 911) = 1'10 (7,32 H 6,22 i)
- 23,15 d- 19,67i
)'-- 1,49 + 2,885 i = 1/10-t (- 14,9 + 28,85 i)
1110--' (-- 2,965 H- 4,861) = 0,937 H- 1,541
1'14900 -- 91001 - j103(14,9-9,11)
1'1000 (4,022 - 1,13 i) - 127,2 - 35,7 1
3725 -- 721,25 i -_ 1'100 (- 37,25 -- 7,2121
=10(--0,59--6,131) =5,9-61,31
1', 5250 -- 212 i _ f102 (52,50 -- 2,1 i)
Da iii dieser Form ungiinstig fur A u. B, lesser:
1'=-103 (5,25 -{ 0,212 i = 1-1000 (2,29 .1 ? ? ? 1)
(gute Ableseverltaltnisse fiir A) = 72,42 -{- ? ? ?
und
=1/io (525 -+ 21,21) =1'10 (... 4 0,491)
(gate Ablesemoglichkeiten fur B)
= 72,42 H- 1,55 i
Nachtrag: Wahlt man a31 2 ; a33 - 2 . a= , dann erhalt man als Trager der A, B-Teilung folgenden
Kreis 11:' + (Es a11)2 -- 1. .
Diese Darstellung scheint bei giinstiger Bezifferung der Trager geeignet, das Nomogramm mit dem ellip-
tischen Trager in der Weise zu erganzen, daB es auch noch sehr genaue Ablesungen ohne Umformungeu
fiir solche extremen Falle gestattet, bei denen jenes versagt, z. B. fur kleine Werte von A and B.
(Eingang: 18. 3. 1957)
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Halbleitermaterialien
Von Prof. Dr. techn. D. A. Petrow,
Institut fur Metallurgie der Akademie der Wissenschaften der UdSSR, Moskau
Das zwanzigste Jahrhundert ist reich an iiberraschen-
den Entdeckungen, die das vortreffliche Resultat der
Arbeit des menschlichen Geistes and des mensch-
lichen Schaffens sind. Eine solche Errungenschaft
der letzten Zeit ist die Entdeckung neuer Moglich-
keiten in der Elektronik and Radiotechnik als Folge
der Entwicklung von kristallinen Halbleiter-Gleich-
richtern and Transistoren.
Die Bedeutung der Materialbeschaffenheit in der
Halbleitertechnik wurde nicht von Anfang an er-
kannt. Ursprunglich versuchte man, fertige Halb-
leitermaterialien in der Natur zu suchen (z. B. Gale-
nit, das in den dreiBiger Jahren in den Detektor-
empfangern Anwendung fand). Hierbei verwendete
man Stoffe, die zufallig unter die Hand kamen.
Daraus ergab sich die Vorstellung, daB die Eigen-
schaften der Halbleiter nicht kontrollierbar seien.
Es zeigte sich, daB die aul3erordentliche Unbestan-
digkeit der elektrischen Eigenschaften eine cha-
rakteristische Besonderheit der Halbleitermateri-
alien im Gegensatz zu den Metallen and Nicht-
leitern war and daB in Verbindung damit die
elektrische Leitfahigkeit der Halbleitermaterialien
kaum als eine Konstante des Materials betrachtet
werden kann.
Den Wendepunkt in der Geschichte der Halbleiter-
technik bildeten die Arbeiten mit Germanium and
Silizium. Hierbei handelte es sich nicht etwa urn die
Entdeckung neuer Stoffe. Beide Elemente wurden
aims ihren Verbindungen schon im vorigen Jahrhundert
hergestellt, and zwar Germanium durch Winkler in
Deutschland, Silizium durch den schwedischen Che-
miker Berzelius. Nur als diese Stoffe in unglaublich
hoher Reinheit hergestellt wurden, entdeckte man an
ihnen neue, ungeahnte Moglichkeiten, die fur viele
Jahre in voraus die Richtung der Arbeiten beziiglich
der Halbleiterstoffe bestimmten.
Die Anforderungen an die Reinheit des Germaniums
waren am Anfang phantastisch. Seine Reinheit be-
rechnete man durch den Gehalt von Beimengungen von
einem Atom auf eine oder sogar 10 Milliarden Atome
des Grundstoffes. In der Sprache der Metallurgen
bedeutet dies 99,9 999 999 his 99,99 999 999 %. Spater
wurde es klar, daB die sogenannten Defekte in der
Struktur des Halbleiters praktisch dadurch beseitigt
werden, daB man ihn als Monokristall herstellt and
verwendet. Die Grenzen der Kristallite rufen un-
kontrollierbare Anderungen der Elektronenstromun-
gen im Halbleiter hervor. Storungen in der Bewegung
der Elektronen konnen auch durch andere Unvoll-
kommenheiten im Kristall verursacht werden,
z. B. durch vakante Platze im Gitter, mechanische
Spannungen im Kristall and durch aus verschiedenen
Griinden hervorgerufene Storungen der periodischen
Verteilung der Atome im Gitter.
1.
Die extreme hohe Reinheit der Materialien and der
monokristalline Zustand sind charakteristische Zuge
der heutigen Halbleiter and bestimmen im hochsten
MaBe die Erfolge and das Entwicklungstempo auf
diesern Gebiete.
Die hohe Reinheit der Halbleitermaterialien ist des-
halb notwendig, da die Moglichkeit, ihre Eigen-
schaften zu kontrollieren, nur dann vorhanden ist,
wenn der sogenannte Eigenleitungswiderstand bei
normalen Arbeitstemperaturen erreicht wird, d. h.
erst dann, wenn die Beimengungen, die sogar bei
hohem Reinheitsgrad noch im Halbleiter zuruck-
bleiben, keinen erheblichen EinfluB auf die elek-
trischen and die Arbeits-Charakteristiken mehr haben
konnen. Dem Eigenleitungswiderstande des Ger-
maniums bei Zimmertemperatur (47 Ohm cm) ent-
spricht eine Konzentration der Ladungstrager von
2,5 ? 1013 cm -3, dem Eigenleitungswiderstande des
Siliziums (63600 Ohm cm) --- 6,8 ? 1010 cm -3. Die
Beimengungen gewinnen dann an EinfluB, wenn sie
diese Konzentration erreichen bzw. iiberschreiten.
Es ist bekannt, daB die Arbeit des Halbleitergleich-
richters oder des Transistors auf der Moglichkeit be-
ruht, im Kristall des Halbleiters zwei aneinander-
grenzende Gebiete mit verschiedenen Leitungstypen
zu bilden. Die Grenze dieser zwei Gebiete, der Uber-
gang von der Defektelektronen- zur Elektronen-
leitung (p-n-Ubergang), ist der wesentliche Teil
des Halbleiterelementes, sein sogenanntes ,Arbeits-
pferdchen".
Die Schaffung eines solchen Uberganges ist nur durch
die Einfuhrung von Beimengungen in den Halbleiter
moglich, Weil das Germanium (oder Silizium) nur
einen einzigen Leitungstyp, den Eigenleitungsvor-
gang, besitzt.
Hieraus ergibt sich das Problem der Legierung des
gereinigten Halbleiters durch absichtliche, dosierte
Einfuhrung von Beimengunge.n, urn die gewnnschten
elektrischen Eigenschaften zu erhalteu.
Die auf diesem Gebiete ausgearbeiteten Legierungen
stellen ein ungewohnliches Objekt im Vergleich zu den
Metall-Legierungen dar, bei denen die gewunschten
Eigenschaften durch das Einfiihren von Legierungs-
zusatzen in der Quantitat von einigen Prozent bzw.
Promille erreicht wird. Die elektrischen Eigenschaf-
ten der Halbleiter jedoch sind gegen die kleinsten
Anderungen des Gehaltes der Beimengungen aul3er-
ordentlich empfindlich. So z. B. entspricht dern
spezifischen Widerstande des Germaniums von 20 his
30 Ohm cm, der durch die Einfuhrung von nur ein-
einhalb zehnmillionstel Prozent Antimon in reines
Germanium erreicht werden kann, eine Gleichrichter-
Sperrspannung von 400 his 500 Volt. Bei einer un-
gefahr 100fachen Herabsetzung des spezifischen
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Widerstandes des Germaniums, d. h. hei einer Ein-
fuhrung von Antimon in einer Quantitat von 150
zehnmillionstel Prozent an Stolle der fri heren ein-
einhalb zehnmillionstel Prozent verkleinert sich die
(leiehrichtersperrsparrnung his auf 6-8 Volt.
Die Einfuhrung von Beimengungen in die Halbleiter
fordert deshalb eine genaueste Dosierungsteehnik and
die strengste Beaclitung der technologischen Vor-
schriften beim Zuchten der Einkristalle.
Nicht alle Beimengungen verhalten sick im Ger-
manium (oder im Silizium) gleichartig. Einige Ele-
urcnte, wie Gallium, Indium, Antimon, ergeben gun-
stige Bedingungen fiir die elektronischen Prozesse im
Germanium, andere, wie z. B. Kupfer oder Nickel,
verschlechtern katastrophal seine wichtigsten elek-
trischen Eigenschaften. So geniigt eine Konzentra-
tiou des Nickels Vol, 1012 em-3 oder eine Konzen-
tratiou des Kupfers von 1013 em 3, um die Lebens-
dauer der Minoritatstrager des Germaniums 10- his
100fach herabzusetzen (Bild 1). Die gezeigten Kon-
zentrationen lieges dabei auBerhalb des Einflusses
an(* den spezifischen Widerstand des Germaniums.
Spezifischer Widerstand Ohm cm
104 1 2 4 1 0 1 0 40 40 10 10 4 2 1 04
n-
Nickel zugeselzf
ON o e el u.
Kupfer zu
10"25107'2510"2
510"1
S 10'2 5 10 16
f/ektronen - Konzentrcfion
BUd 1 Der Einflu13 von Nickel and Kupfer auf die Lebens-
dauer der Minoritatstrager im Germanium.
hurve 1 : / Nor Sb oder In als Schmelzzusatz.
hurve 2: () Ni and Sb oder In als Schmelzzusatz.
Kurve 3: ? Cu clad Sb oder In als Schmelzzusatz.
Anscheinend verhalten sick Eisen, Kobalt and Mangan
JILL Germanium gleichartig.
Diese schadlichen Beimengungen sind im Germanium
and Silizium selbst dann zu spi ren, wens sic als Bei-
mengungen der in sic eingefuhrten ni tzlichen Zu-
siitze auftreten, sozusagen als Beimengungen der Bei-
mengungen. Wahrscheinlich kann man durch die An-
w-esenheit von Kupfer oder ahnlichen Beimengungen
im Antimon die Tatsache erklaren, daB die Lebens-
dauer der Minoritatstrager von der Reinheit des ein-
gefuhrten Antimons abhangt.
Man bemerkte z. B., dad bei der Einfuhrung von
gewohnlichem Antimon, um Germanium mit einem
spezifischen Widerstande von 1 Ohm cm zu erhalten,
sick die Diffusionslange von 2 his 2,5 mm beim hoch-
ohmigen Ausgangs-Germanium his auf 0,3 his 0,4 mm
fur das legierte verkleinerte. Die Einfuhrung von
reinerem Antimon sicherte eine Diffusionslange von
1,2 mm beim gleichen spezifischen Widerstande von
1 Ohm cm. In Zusammenhang damit trio die wichtige
Frage fiber der Reinheit der in die Halbleiter einzu-
fi hrenden Legierungsbeimengungen auf. Dies ist
keine nebensachliche Frage; vielmehr kann der Er-
folg vieler Arbeiten fiber das Studium des Einflusses
der Beimengungen durch diesen Faktor bestimmt
werden. Da das Antimon selbst keine Rekombina-
tionszentren in das Germanium einfuhrt, so kann man
bei genugender Reinheit beider Elemente, des Ger-
maniums and des Antimons, erwarten, daB bei einer
Herabsetzung des spezifischen Widerstandes durch
Antimon sogar his zu hundertstel odor tausendstel
Ohm crn die Diffusionslange auf einem genugend hohen
Niveau bewahrt werden kann.
Auf these Weise erklart man die geradezu gegensiitz-
lichen Einflusse der Beimengungen. verschiedener
Gruppen - z. B. des Kupfers and Antimons - auf
die Eigenschaften des Germaniums. Die erstere Bei-
mengung (Kupfer) verschlechtert betrachtlich die
Lebensdauer der Minoritatstrager, selbst wean sie in
Menges eingefuhrt wird, die nosh nicht irnstande
sind, den spezifischen Widerstand des Germaniums we-
sentlich zu andern. Die zweite Beintengung (Antimon)
dagegen dndert praktisch die Lebensdauer der.Mino-
ritatstrager nicht, selbst wens sic in solchen Menges
beigegeben wird, die den spezifischen Widerstand des
Germaniums his auf cis zelintel odor liundertstcl
Ohm cm herabsetzen.
Das Problem des Einflusses der Beimengungen ist
eng mit dent Studium ihrer Loslichkeit in festem Zu-
stande in den Halbleitern verbunden, weil dies die
quantitative Seite eroffnet and erlaubt, den Mecha-
nismus des Einflusses einzelner Beimengungen timid
1076
8
6
5
4
8
6
5
4
3
2
10"
x
O
0
VIJ
?-1
4-i
-4
x-5
fuleklikum
Srhmelzpunkf
des German.
Temperalur ?C
Bild 2 Loslichkeit von Kupfer in Germanium nach Angaben
von [1]:
1 Direkte Messung des elektrischen Widerstandes.
2 = Messung in Richtung des p-n-Bberganges.
3 = Messung der Diffusion.
4 = radioaktive Messung (Gleichgewicht)
5 = radioaktive Messung (Diffusion).
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ihrer Wechselwirkung untereinander and mit dem
Halbleiter tiefer zu verstehen and einzuschatzen.
Es gibt einige Arbeiten, die diese Fragen beriihren.
Insbesondere kann man auf zwei Abhandlungen
([1], [2]) hinweisen, die der Loslichkeit des Kupfers
in Germanium and des Lithiums in Silizium gewidmet
rind. In beiden Arbeiten wird gezeigt, daB bei erhohter
Temperatur die Loslichkeit anfangs wachst, ein
Maximum erreicht - im Falle des Kupfers im Ger-
manium bei 875 ? C (Bild 2) and im Falle des Lithiums
im Silizium bei 540 ? C (Bild 3) -, um dann bei noch
ht heren Temperaturen zu fallen.
100 190 W 4007006007001009001AX01100l100
Bild 3 Loslichkeit von Lithium in Silizium nach Angaben
von [2].
Wenn man diese Resultate in Form eines Zustands-
diagramms ausdriickt, z. B. fur das Kupfer in Ger-
manium, so bekommt man ein einigermaBen merk-
wiirdiges, in jedem Falle aber ungewohnliches Re-
sultat (Bild 4) fiir den Verlauf der Soliduslinie.
C?
1000
900
800
700
600
500
10 ?'10l0l10'IO11610'10?10'10` of
Ge Cu
Bild 4 Zustandsdiagramni Ge-Cu unter Verwertung der
Daten des Bildes 3.
Germanium geht mit Kupfer die Verbindung GeCu3
ein (siehe Ge-Seite des Diagramms). Mit dieser Ver-
bindung bildet Ge das Eutektikum Ge + GeCu3 mit
62 % Cu-Gehalt and einem Schmelzpunkt von 650 ? C.
Auf these Tatsachen wird in der besprochenen Arbeit
nicht hingewiesen.
Die Losungskurve, die in der Arbeit angefiihrt wird,
erscheint als solche nur im Temperaturbereich von 500
bis 650 ? C. Weiter geht sie in die Soliduslinie i1ber,
auf der das Ge mit der flussigen Phase in Berii.hrung
kommt, was beim Studium der Loslichkeit nicht in
Betracht gezogen wurde. Deshalb konnen der un-
gewohnliche Verlauf der Soliduslinie (in Form einer
z
zuriickkehrenden Kurve) and gleichzeitig die Metho-
dik der Autoren, die bei der Untersuchung der Los-
lichkeit angewandt wurde, angezweifelt werden.
Das Studium der Loslichkeit and die Natur des Ein-
flusses and des Zustandes der Beimengungen in den
Halbleitern ist eines der vordringlichsten, wenn nicht
das zentrale Problem der Metallurgic and Physik der
Halbleiter. Ihrer Bedeutung Hach ist diese Aufgabe
gleichwertig dem Problem der Legierung des Stahls
oder des Aluminiums in der Metallurgic der Metalle.
Jede Arbeit auf diesem Gebiete muB nachdriicklich
unterstiitzt werden and ist von Nutzen. Solange man
nicht verhaltnismaBig reine Materialien besaB, wurden
fiber diese Fragen im allgemeinen nur wenige Ar-
beiten durchgefuhrt. Gegenwartig muB diesem Pro-
blem eine besondere Aufmerksamkeit zugewendet
werden.
Nicht unbemerkt sei, daB his zurn heutigen Tage nur
Studien des individuellen Verhaltens e i n e r Bei-
mengung durchgefuhrt wurden, wahrend im wirk-
lichen Halbleiter immer gleichzeitig einige, oft sogar
sehr viele Beimengungen vorhanden sind.
Die Erforschung des gemeinsamen Einflusses der Bei-
mengungen in den Halbleitern ist die Aufgabe der
nachsten Zukunft.
II.
Lassen sic uns kurz mit den Methoden befassen,
deren sich gegenwartig die Metallurgic der Halbleiter
zur Losung von vielen and wichtigen Aufgaben be-
dient, die ihr von der modernen Halbleitertechnik ge-
stellt werden, vor allem mit der Frage der Gewinnung
von Stoffen extremer Reinheit.
Besondere Aufmerksamkeit lenken in letzter Zeit die
Prozesse auf rich, bei denen reine Metalle mit Hilfe
der thermischen Dissoziation ihrer fluchtigen Be-
standteile dargestellt werden. Eine breite Anwendung
fand insbesondere diese Methode zur Gewinnung von
reinem Titan, Zirkonium, Hafnium, Thor, Vanadium,
Chroin and anderen Metallen aus ihren Jodidver-
bindungen.
Die Methode der thermischen Dissoziation beruht dar-
auf, daB sich jede beliebige chemische Verbindung
bei Erhitzung his zu mehr oder weniger hohen Tempe-
raturen zersetzt bzw. in die Ausgangselemente disso-
ziert.
Besonders leicht dissozieren in die Ausgangselemente
die Verbindungen der Metalle mit Jod. Der ProzeB
wird im Hochvakuum in einem Glaskolben oder Me-
tallgefaB durchgefuhrt, das mit dem rohen (unreinen)
Metalle entlang der GefaBwande gefullt wird. Der
Kolben oder das GlasgefaB wird auf die notwendige
Temperatur - im Falle der Darstellung von reinem
Titan z. B. his zu 200' C - gebracht and durch Ab-
pumpen im Vakuum entgast. Jod verbindet sich mit
dem Metall, indem es TiJ4 bildet. In das GefaB wird
ein Gliihdraht eingefiihrt, der durch elektrischen
Strom auf 1300 his 1400? C erhitzt wird. Die TiJ4-
Dampfe zersetzen sich am Gli hdraht, indem sic Ti
abscheiden and Jodatome freigeben.
Das erhaltene Titan wird so von den Beimengungen
gereinigt, wird plastisch and eignet sich zum Schmie-
den and anderen mechanischen Bearbeitungen.
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Mit grol3em Erfolge kann eine ahnliche Methode zur
1)arstellung von reinem Silizium angewandt werden.
In diesem Falle warden die Prozesse der Synthese
der Jodverbindungen and ihrer thermischen Disso-
ziation getrennt. In einer besonderen Anlage wird
die Synthese SiJ4 durchgefuhrt, indent man Jod-
dampfe uber his zu 700 his 800' C erhitztes Silizium
fiihrt. In einer anderen Anlage findet die thermische
Dissoziation fiber einem Tantalfaden bei 1100 his
12000 C statt. Die Teilung der Prozesse der Synthese
and Zersetzung erlaubt, die wichtige Raffinieriings-
operation des SiJ4 mit Hilfe von fraktionierter Destil-
Iat.ion in Rektifikationskolonnen durchzufiihren.
Entschcidend bei diesem technologischen Schema
ist die fraktionierte Destillation, bei der das erste
Destillat oder die Fraktion, angereichert mit fliich-
tigen Beimengungen, and der Ruckstand im Destil-
lationskolben, angereichert mit schwer fluchtigen Bei-
mengungen, fur die weiteren Operationen nicht ver-
,%w-endet werden.
Die mittlere Fraktion, in bedeutendem MaBe von
diesen and jenen Beimengungen befreit, tritt zur
zweiten Destillation din. Die Operationen werden
oft wiederholt, and als Resultat erhalt man ein hoch-
gradig gereinigtes Produkt. Das gereinigte Tetrajodid
wird dann zersetzt. Von der Stufe der Reinigung bei
der Rektifikation hangs die Reinheit des gewonnenen
Siliziums ab.
Es ist auch die Anwendung der thermischen Disso-
ziation von Brom- sowie von Chlorverbindungen zur
Gewinnung von reinen Stoffen moglich. So z. B.
wurde reines Bor (99,7%) durch die thermische Zer-
setzung von BBr.;-Dampfen fiber Tantalfaden ge-
wonnen. Unlangst wurde auch die Methode der ther-
inischen Zersetzung des Siliziumtetrachlorids fiber
dem Tantalfaden in Gegenwart von Wasserstoff be-
schrieben. Mit Hilfe dieser Methode wurde Silizium
mit einem spezifischen Widerstand von 100 his
300 Ohm cm gewonnen. Nach einer weiteren Be-
arbeitung des gewonnenen Siliziums gelang es, den
spezifischen Widerstand his auf 3000 Ohm cm zu
bringen. Das letztere Verfahren muD ubrigens als Kom-
biuation der thermischen Zersetzung des Tetrachlo-
rids mit der reduzierenden Wirkung des Wasserstoffes
angesehen werden.
Beim Silizium kann auch die thermische Zersetzung
der Silane, d. It. der Verbindungen des Siliziums mit
Wasserstoff, angewandt werden. Das einfachste Silan,
SiH4, zersetzt sich praktisch ganzlich unter Bildung
von elementarem Silizium and Wasserstoff schon bei
400' C. Die Explosionsgefahr dieses Stoffes ist his
zum heutigen Tage anscheinend das groBte Hinder-
nis fur die technische Anwendung dieser Methode.
Es verdienen auch die Reduktionsmethoden der Dar-
stellung von Stoffen ,halbleitertechnischer" Rein-
heit, d. It. die Prozesse der Abscheidung von Me-
talled aus ihren Verbindungen (Oxyden, Halogenen
u. a. in.) durch andere aktivere Metalle sowie durch
Wasserstoff bei erhohten Temperaturen unsere Auf-
merksamkeit.
Zur Gewinnung des reinen Siliziums reduziert man
das Siliziumtetrachlorid durch Zink in der dampf-
formigen Phase.
Offensichtlich milssen in diesen Fallen (genauso wie
bei der Methode der thermischen Zersetzung) sehr
reine Stoffe zur Reaktion gehracht werden.
Germaniumoxyd erhalt man, wie bekannt, durch die
Hydrolyse des durch mehrfache Destillation gereinig-
ten Germaniumtetrachlorids. Der Wasserstoff and
das zur Reduktion des Germaniums aus Germanium-
oxyd erforderliche Zink werden sorgfaltig gereinigt.
Das Siliziumtetrachlorid muB ebenso vor der Reduk-
tion einer sorgfaltigen Rektifikation unterworfen
werden, wenn man ein reines Produkt erhalten will.
Die Gewinnung reinen Siliziums durch die Reduk-
tionsmethode des SiC14 mit Zink ist ein produktiver
technologischer ProzeB. Grenzen der moglichen Reini-
gung des Siliziums mit Hilfe dieser Methode hestehen
anscheinend nicht. Der Reinheitsgrad wird haupt-
sachlich durch den Grad der Reinigung des SiC14 and
des Zn hestimnrt.
Bei der Durchfiihrung aller oben besprochenen Me-
thoden zur Gewinnung von hochreinen Stoffen ist
eine Reihe von Problemen zu Iosen. Neben der Not-
wendigkeit, in die Reaktion nur vorher sorgfaltig ge-
reinigte Stoffe einzufiihren, ist der Schutz der Aus-
gangsstoffe and der gewonnenen Materialien vor der
Einwirkung der Luft and der in ihr enthaltenen sus-
pendierten Verunreinigungen and Staubteilchen cin
wichtiges Problem. Der wirksamste Schutz ist der
absolute LuftabschluB der ganzen Apparatur, die bei
der Gewinnung der vorlaufigen and der endgultigen
Materialien verwendet wird.
Das nachstwichtige Problem stellt die Materialfrage der
Arbeitsapparatur sowie aller Gefal3e dar, in die die
Zwischenprodukte oder die endgultigen Stoffe im Laufe
der Reaktion and bei alien vorhergehenden and folgen-
den Operationen eingefuhrt werden. Fur das Ger-
manium and das Silizium ist anscheinend Quarz das
einzig verwendbare Material. Aus Quarz stellt man
das ganze chemische Gerat, die Rektifikationskolon-
nen, die Apparatus fur die Synthese and Zersetzung,
Schmelztiegel u. a. m. her. Alle Sauren and das Wasser
miissen selbstverstandlich vorher sorgfaltig destilliert
werden, um Verunreinigungen bei der technischen
Produktion zu verhiiten.
Hiermit sind bei weitem nicht alle Probleme erschopft,
die man bei der Gewinnung hochreiner Stoffe zu
Iosen hat. Zur Entwicklung and weiteren Vervoll-
standigung der oben aufgezahlten Methoden and auf
der Suche nach neuen Verfahren werden in breiter
Front heute Arbeiten durchgefuhrt, die mit der Ge-
winnung hochreiner Stoffe in der Halbleitermetal-
lurgie in Verbindung stehen.
III.
Fur die Herstellung von Halbleiterbauelementen ver-
wendet man jetzt fast uberall Monokristalle.
Der hohe Vollkommenheitsgrad der Monokristalle ge-
wahrleistet die Moglichkeit, das Verhalten des Stromes
im Kristall zu beherrschen, ahnlich wie ein hohes
Vakuum es gestattet, die Bewegung der Elektronen
in Elektronenrohren zu steuern.
Auf Grund der Erfahrung der Arbeiten vieler Jahre
fand man es am zweckdienlichsten, fur die Herstellung
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von Monokristallhalbleitern die Methode der Kristalli-
sation anzuwenden. Hauptsachlich sind dies die Me-
thoden des Ziehens des Monokristalles aus der Schmelze
nach Czochralsky and des Zonenschmelzverfahrens
oder, richtiger gesagt, der zonalen Umkristallisierung.
Germanium and Silizium sowie viele andere Halb-
leiter dehnen sich bei ihrer Kristallisation wie Wasser
aus. Wenn geschmolzenes Germanium im Quarz-
tiegel kristallisiert, so wird der Tiegel zerstort. Ein
solches Los trifft, vie bekannt, im Winter jedes Ge-
faB, in dem aus Vergel3lichkeit oder Nachlassigkeit zu-
r6ckgelassenes Wasser gefriert. Bei seiner Ausdehnung
wahrend der Kristallisation erfahrt das Germanium
einen bedeutenden Druck seitens der Gefaf3wande.
Die dabei auftretende Spannung verzerrt seine regel-
mal3ige Kristallstruktur and ruft verschiedene Fehler
in seinem Gitter hervor.
Der Ziehprozel3 nach Czochralsky selbst ist geniigend
bekannt. Ich werde mich daher nur kurz damit be-
fassen.
Nach dem Abpumpen des Arbeitsraumes der Anlage
(Bild 5) bis zu einem Vakuum von 10-5 mm wird der
Stoff imTiegel langsam bis zum vollstandigen Schmelzen
erhitzt and so lange auf Schmelztemperatur gehalten,
his das Temperaturgleichgewicht erreicht wird.
zum Zugmechvnismus
ffdgec bas
Bild 5 Prinzip einer Anlage zum Ziehen von Monokristallen
nach Czochralsky.
Sodann wird durch langsames Senken des Stabes
der Impfkristall in die Schmelze eingefiihrt, der die
gewunschte kristallographische Orientierung vorgibt.
Die Impfung halt man in der Schmelze, his sic
schmilzt and sich mit der Schmelze vereinigt. So-
bald dies erreicht ist, beginnt man langsam die
Impfung zu heben. Sic zieht ein fliissiges Saulchen
Schmelze nach sich (Bild 6), das infolge der Ober-
flachenspannung an ihr haftet. In das Gebiet niedriger
Temperaturen an der Oberflache des Tiegels ge-
langend, erstarrt die Schmelze, indem sic die Struk-
tur der Impfung fortsetzt.
2?
5chmelze
Die Ziehgeschwindigkeit kann in den Grenzen von
einigen Zehntel his zu einigen Millimetern pro Minute
variieren. Den Durchmesser des aufgezogenen Mono-
kristalles kann man nach Wunsch andern, indem
man die Temperatur ein wenig herabsetzt oder erhoht.
Bei Herabsetzung der Temperatur der Schmelze ver-
breitet sich die Kristallisation gegen die Wande des
Tiegels, and der Durchmesser des Kristalles vergrol3ert
sick. Durch Erhohung der Schmelztemperatur ver-
kiirzt sich die Kristallisationsfront, and der Durch-
messer des Kristalles verkleinert sich.
Dort, wo fiber die gesamte Lange des Monokristalles
hinweg ein streng konstanter Durchmesser erforder-
lich ist, muf3 die Temperatur in den Grenzen einiger
zehnte] Grade eingehalten werden.
Der maximale Durchmesser der nach der Czochralsky-
Methode gezogenen Monokristalle ist praktisch un-
begrenzt, ebenso ihre Lange. In Bild 7 wird die
Photographic eines Germa-
niummonokristalles mit einem
Durchmesser von 40 mm ge-
zeigt. Man kann Germanium-
monokristalle mit einem
Durchmesser von 100 mm
and mehr erzielen.
Die Gewinnung von Silizium-
monokristallen ist eine viel
kompliziertere Aufgabe. Der
Schmelzpunkt des Siliziums
(1420 ? C) ist um ungefahr
500 ? hoher als der des Ger-
maniums (9400 C). Dadurch
wachst die Gefahr der Ver-
unreinigung des geschmol-
zenen Stoffes mit den Ver-
dampfungsprodukten des Er-
hitzerstoffes, der erhitzten
Wande, der Metallteile der
Anlagen, die sich im Arbeits-
raum befinden usw. Es tritt
das ernste Problem des Ma-
terials des Schmelztiegels fur
das Silizium auf. Bisher ist
noch kein Stoff gefunden wor-
Bild 7 Photographic
eines Ge-Monokristalles
(mit Impfstock).
den, der nicht mit dem geschmolzenen Silizium
reagierte. Das geeignetste Material, das heutzutage
angewendet wird, ist der Quarz. Trotzdem reagiert
auch Quarz mit Silizium, indem er mit ihm fluchtige
Monoxyde bildet:
S'02 + Si 2 SiO.
Diese Tatsache ergibt eine Reihe von Unannehm-
lichkeiten. Die Hauptursache hierfiir besteht darin,
daB infolge des fortwahrenden Auswaschens der
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Tiegelwande die Beimengungen, die im Quarz ent-
lralten sind, in das Silizium ubergehen and es ver-
unreinigen. Deshalb ist es notig, besonders reine
Quarzsorten zu verwenden. Zweitens werden die in
der Bildungssphare sich verfliichtigenden Silizium-
monoxyde an den Tiegelwanden, am Stab and am
wachsenden Kristall ausgefallt, von wo sic in den
Tiegel fallen konnen, so daB die Moglichkeit der Bi1-
dung freinder Kristallisationszentren in der Schmelze
gegeben ist.
In Zusammenhang damit entstehen zusatzliche Pro-
bleme der Beseitigung dieser Unzulanglichkeiten, die
beim Zichen von Germaniummonokristallen nicht
auftreten, da diese weder mit Quarz noch mit Gra-
phit, cinem Stoffe, der vollauf zum Schmelzen des
Bild 8 Photographie von
Silizium-Monokristallen.
Germaniums geeignet ist, rea-
gieren.
Auch eine Reihe weiterer
Schwierigkeiten, die beim
Ziehen von Germanium-
monokristallen nicht auftreten
oder leicht beseitigt werden
konnen, machen das Problem
des Ziichtens von Silizium-
monokristallen bedeutend
komplizierter.
Diese Schwierigkeiten bei der
Gewinnung der Siliziummono-
kristalle and der grol3e Ar-
beitsaufwand zur Gewinnung
des reinen Ausgangssiliziums
sind der Grund dafir, daB,
was auf den ersten Blick para-
dox erscheint, heute reine
Siliziummonokristalle zweiein-
halhmal teurer als Germanium-
monokristalle and zweimal
teurer als Gold sind.
In Bild 8 ist cine Photographic der Monokristalle des
Siliziums gezeigt.
Im Normalfalle des Ziehens der Monokristalle nach
der Methode von Czochralsky erhalt man Mono-
kristalle mit gesetzmaf3ig ungleichem spezifischen
Widerstand in ihrer Langsrichtung (Bild 9). Ge-
wohnlich ist er im oberen Teil des Monokristalls,
1.5
0 2.5 SO linen
Bild 9 Verlauf des spezifischen Widerstandes in Abhangig-
keit von der Lange des Germanium-Monokristalles.
der zuerst gezogen wird, groBer, and im unteren
Teil, der gegen Ende aus der Schmelze gezogen
wird, kleiner. GemiiB der Verteilung des spezifischen
Widerstandes ist der obere Teil des Monokristalles
armer an Verunreinigungen als der untere. Der
Grund dieser Erscheinung ist derselbe wie beim Auf-
treten der innerkristallinen Steigerung in den Mono-
kristallen der Metallegierungen (Stahl, Duraluminiunr,
Bronze usw.), die durch die ungleichma(3ige Ver-
teilung der Bestandteile der Legierung in den (,in-
zehren Kristallen des Monokristalles wahrend der
Erstarrung hcrvorgerufeu wird.
Bild 10 Mikrophotographie des Schliffes einer Aluininiurn-
Legierung mit 4% Kupfer, auf der ein Kristallit
(Korn) mit Eindrucken zur Messung der Mikroharte
zu sehen ist. Die Harte 1st im Zentrunr des Kornes
gering and steigt zum Rande hin an.
In Bild 10 ist die Mikrophotographie des Schliffes
ciner Aluminiumlegierung mit 4.01 Kupfer gezeigi,
auf der ein Kristallit (Korn) der Legierung mit
Eindrucken zur Messrurg der Mikrohiirte zu sehen
ist. Wenn man aus einem solchen Korn einen
schmalen Streifen in der Richtung des Radius ab-
schneidet, d. h. vom Zentrum des Kornes gegen die
Peripherie, so zeigt rich im verkleinerten MaBsi ab ein(,
Struktur, die der Verteilung der Beimengungen im
monokristallinen Germaniummonokristall analog ist,
der aus der Schmelze nacli der Czochrul.skv-Methode
gezogen wurde.
Der Grund der genannten Erscheiurnrgen ist die rrrr-
gleiche Loslichkeit im flussigen and fester Stoffe.
Sic ist gewohnlich gro(3cr in der fliissigen als in der
fester Phase.
Der Unterschied der Loslichkeit der Beimengungen
in der Flussigkeit and in den Kristallen, die sich aus
ihr bilden, erklart die bekanntc Tatsache, daB das auf
der Oberflache der Meere schwimrnende Eis SiiB-
wasser ergibt, wahrend es selhst sich aus Salzwasser
bildet.
Beim Ziehen des Monokristalls aus der Schmelze
(Bild 6) werden die Beimengungen durch den wachsen-
den Kristall in die Schmelze verdrangt, wohei sic diese
allmahlich immer starker verunreinigen. Solange die
Schmelze verhaltnismalig rein ist, erhalt man auch
den in ihr wachsenden Kristall verhaltnismiiBig rein.
Mit dem Wachsen des Kristalls verunreinigt sich
die Schmelze durch die bei der Kristallisation ver-
drangten Beimengungen. Dadurch steigt der Ver-
unreinigungsgehalt des wachsenden Kristalls all-
mahlich an. Bei einer geringen Loslichkeit der Bei-
mengungen im Kristalle werden die Verunreini-
gungen praktisch vollkommen in den unteren Teil des
Kristalls verdriingt.
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Der ProzeB der Verdrangung der Beimengungen
hangs von der Geschwindigkeit des Aufziehens des
Monokristalls ab.
Bei grol3en Geschwindigkeiten gelingt es den ab-
gedrangten Beimengungen nicht, sich rechtzeitig
in der Schmelze zu verteilen, and sie werden mecha-
nisch in Form von d innsten Schichten angereicher-
ter Beimengungen vom Kristall mitgenommen. Mit
der Herabsetzung der Ziehgeschwindigkeit werden
Bedingungen geschaffen, die die maximale Ver-
drangung der Beimengungen durch den wachsenden
Kristall begiinstigen. Der ProzeB der Verdrangung
der Beimengungen kann bedeutend erleichtert werden,
wenn man bei der Extraktion des Kristalls die Schmelze
intensiv riihrt.
Im Jahre 1950 wurde von Lichtman and Masslenikow
ein originelles Verfahren zurn Zii.chten von Zinn-
1 1 3 .
0
Bild 12 Prinzip der Monokristallerzeugung nach der Methode
der zonalen Umkristallisation: 1 = kristallisierte
feste Phase, 2 = Schmelzzone, 3 = Bewegungs-
richtung der Schmelzzone.
monokristallen mit Hilfe einer ortlichen Schmelzung
des Kristalls (Bild 12) and einer weiteren allmahlichen
Versehiebung der geschmolzenen Zone entlang seinen
Grenzen unter Anwendung eines ziehenden Mecha-
nismus ausgearbeitet. In den USA wurde diesel Ver-
fahren zum ersten Male von Pfann
angewandt, urn Metalle von ihren Bei-
mengungen zu befreien.
Befassen wir uns mit der Beurteilung
dieser Methode. Im Verlaufe der
Schmelzzonenverschiebung geht hinter
dieser die Kristallisation des Metalles
vor sick. Vor der Zone schmilzt das
Metall fortwahrend and nahrt die
Zone. Der Vorgang ist im Prinzip
dem Prozesse des Ziehens des
Monokristalls aus der Schmelze ahn-
lich. Der Unterschied besteht nur
darin, daB im Falle der zonalen Um-
kristallisierung die Schmelze fort-
wahrend durch neue Materialstiicke
aufgefullt wird, die vor der Zone
schmelzen, wahrend im Falle des Auf-
ziehens das gauze Material gleichzeitig
im Tiegel schmilzt. Das Prinzip der
Reinigung der Materialien von Bei-
mengungen bei der zonalen Umkristalli-
sierung ist das gleiche wic bei der
Methode des Aufziehens.
Trotzdem darf man nicht denken, daB
Bild 11 Verlauf des Kupfergehaltes im Stab, gezogen aus einer Schmelze
von Aluminium mit 4% Kupfer, in Abhangigkeit von der Zieh-
geschwindigkeit in Millimetern pro Minute: den Kurven 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 entsprechen die Geschwindigkeiten 6, 3, 2, 1, 0.5, 0.3, 0.17,
0.06 nun/min. Die Kurve 9 erhalt man nach Rechnung.
I)er EinfluB der Ziebgeschwindigkeit des Mono-
kristalles auf die Verteilung der Beimengungen in
ihm ist in Bild 11 am Beispiele des Aluminiums ge-
zeigt, das in der Schmelze 4% Kupfer enthalt.
Bci Geschwindigkeiten von einigen Millimetern pro
Minute ist der Gehalt an Kupfer der ganzen Lange des
Monokristalles entlang etwa gleich dem Cu-Gehalt des
Ausgangsmaterials (4 %). Bei Geschwindigkeiten von
0,06 Millimeter pro Minute enthalt der obere Ted des
Kristalls nur 0,6 % Kupfer, der untere aber his zu
30 00 Kupfer.
Diese Erscheinung der ungleichmaf3igen Verteilung
der Beimengungen beim Ziehen des Kristalls aus
der Schmelze wurde, wie bekannt, dazu verwendet,
um cin neues Verfahren zur Reinigung der Stoffe von
ihrcn Verunreinigungen auszuarbeiten.
Es wurde festgestellt, daB nicht nur im Falle des
Germaniums, sondern auch bei alien anderen unter-
suchten Halbleitern and bei alien Metallen eine er-
staunliche Reinigungswirkung erzielt wird, wenn man
zu diesem Zwecke die verhaltnismaBig seit langem
ausgearbeiteten Verfahren in der Technik der Ge-
winnung von Monokristallen anwendet.
die Verfahren universell sind. Im Falle einer gleich-
maBigen Losung der Beimengung in der fliissigen
and festen Phase versagt die Anwendung dieser
Verfahren zur Reinigung von Stoffen.
Unter normalen Bedingungen erhalt man beim Ziehen
von Monokristallen nach Czochralsky, wie bereits
gesagt, eine gesetzmaf3ig ungleichformig verteilte
Konzentration der Beimengungen langs des Mono-
kristalles and folglich ungleichmaBige Eigenschaften
(Bild 9). Die ungleichmaBige Verteilung des spezi-
fischen Widerstandes fiber die Lange des Mono-
kristalls kann auf zweierlei Art behoben werden. Die
erste Moglichkeit besteht in einer programmaBigen
Anderung der Ziehgeschwindigkeit. Es wurde be-
reits ausgefiihrt, daB der Kristall um so mehr Bei-
mengungen mit rich nimmt, je groBer die Zieh-
geschwindigkeit ist. Deshalb vergroBert man am
Anfange, wenn der Kristall reiner ist, die Ge-
schwindigkeit, wahrend man sie spaterhin herab-
setzt and so durch die Verlangeamung der Ge-
schwindigkeit die groBe Konzentration von Bei-
mengungen in der Schmelze am Ende des Prozesses
kompensiert.
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Man kann auch Monokristalle von konstanter Zu-
sammensetzung gewinnen, wean man in die Schmelze
fortwahrend in geniigender Menge einen Stoff von
der Zusammensetzung des extrahierten Monokristalles
eirfiihrt. Dies kann sowohi durch Zufugen von Stoffen
in festem als auch in geschrnolzenem Zustande ver-
w irklieht werden.
Bild 14 Photographic eines Monokristalls aus Aluminium-
antimonid.
Bild 13 Prinzip derl Herstellung eines Monokristalls mit
uber die ganze Lange konstanter Zusammensetzung.
Praktisclt wird dies durchgefiihrt, indem man in die
Schmelze cinen Barren von der Zusammensetzung
des aufzuzichenden Monokristalls einfiihrt (Bild13).
You dem Barren wird nur die notwendige Zusammen-
setzung verlangt; er muB nicht monokristallin sein.
Ein wesentlicher Bestandteil des Halbleiterbau-
elenientes ist, wie schon gesagt, der p-n-Ubergang,
der die Grenze von zwei Gebieten mit verschiedenen
Lei t fii higkeitstypen im Monokristall darstellt.
In der letzten Zeit sind interessante Arbeiten zur
Gewinnung von p-u-Ubergangen unnu ttelbar beim
Ziehen des Monokristalls durchgefiihrt worden. Hier-
bei wird die Tatsache beniitzt, daB verschieden-
artige Beimengungen vom wachsenden Kristall in
verschiedenem Grade bei verschiedenen Extraktions-
geschwwindigkeiten mitgenommen werden. In diesem
Falle ist cin automatischer Mechanismus erforderlich,
der f ihig ist, das zyklisch vorgesehene Programm der
Geschwindigkeitsanderungen zu wiederholen.
IV.
Die Arbeiten fiber das Germanium and Silizium haben
cinen sehr starker EinfluB auf die Richtung alter
weiteren Arbeiten iiber Stoffe fur die Halbleiter-
technik ausgehbt.
Es wurde chic Reilie neuer Stoffe mit kristalliner
Struktur -- ahnlich der Struktur des Germaniums
and des Siliziums - entdeckt. Dies sind in erster
Reihe die chemischen Verbindungen der Elemente
der dritten Gruppe des periodischen Systems (Alu-
minium, Gallium, Indium) mit den Elementen der
fiinften Gruppe (Phosphor, Arsen and Antimon).
Unter diesen Verbindungen zog in letzter Zeit nicht
oboe (:rand das Aluminiumantimonid die Aufinerk-
samkeit auf sich (AISb), das eine weite Verwendung
in Banelementen, die bei hoher Temperatur des um-
gebenden Mediums arbeiten, finden and in dieser Hin-
sicht das Silizium iibertreffen konnte.
Anfangs hegte man hinsichtlich dieses Materials die
Befurchtung, daB seine Unbestandigkeit gegen Kor-
rosion an der Luft das starkste Hindernis seiner Ver-
wendung sein konnte. Aber die Erfolge der letzten
Zeit, die mit diesem Material bei der Ausarbeitung
von Verfahren zur Gewinnung seiner Monokristalle
erreicht wurden, zerstreuten these Beffirchtungen.
In Bild 14 ist die Photographic eines AISb-Mono-
kristalls gezeigt.
Hinsichtlich dieses Materials wurde in der auslan-
dischen Presse die Meinung geauBert, daB es das Si-
lizium in den Sonnenbatterien ubertreffen konnte,
weil der maximale theoretische Wirkungsgrad dieser
Batterien in der Umgebung der Ionisierungsenergic
von 1,5 his 1,6 eV liegt, was fast der Breite der ver-
botenen Zone der Verbindung AISb entspricht. Die
Illustration dazu ist in Bild 15 gezeigt. Es erwies sich,
daB die Uberlegenheit dieses Stoffes fiber das Silizium
auch in dem Falle zutrifft, daB die Lebensdauer der
Minoritatstrager sogar einige Male kleiner ist als im
Silizium.
Nd=Na=1019 /CM 3
IO 17
1015
0.5 10 13 20
fire//P o'er verbo/enen Zone
Bild 15 Die Abhangigkeit des Wirkungsgrades der Un-
wandlung der Sonnenenergie in elektrische Energie
von der Breite des verbotenen Bandes des Halb-
leiters and der Konzentration der Ladungstrager.
Nach anderen Daten [4] (Bild 16) ist die maximale
Energiedichte der verwertbaren Sonnenenergie an-
nahernd gleich fur das Silizium and das Aluminium-
antimonid and liegt bei 24 mW/em2. Dieses Material
kann fur die Schaffung einer Energiequelle fur cinen
kiinstlichen Erdtrabanten von Interesse sein, dessen
Lancierung man in vielen Landern in der nachsten
.3 .9 13 17 11 1.5 E
Ge Sr fireile der vetbo%nen Zone
Bild 16 Die Abhangigkeit der Sonnenenergiedichte, die sich
in elektrische Energie umwandeln la(3t, von der
Breite der verbotenen Zone E (in eV) des Halbleiters.
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Zeit zu verwirklichen glaubt. Von Interesse unter
den Halbleitern dieser Klasse AIU/Bv ist das
Indiumphosphid (In P). Diese Verbindung vereinigt
in sich die Vorteile des Germaniums (hohe Beweglich-
keit : 3400 em2/sec fur Elektronen and 650 em2/sec
fiir die Defektelektronen, verhaltnismaBig niedriger
Schmelzpunkt von 10500 C) and die Vorteile des
Siliziums (hohe Arbeitstemperatur E = 1,25 eV, hohe
Sperrspannung). Die bei dieser Verbindung erhaltene
Diffusionslange ist 0,4 mm. Diese Tatsache zeigt die
Moglichkeit auf, diesen Stoff zur Herstellung von
Transistoren zu verwenden.
Von Interesse ist das Indiumantimonid (InSb) fur die
Verwendung bei Photoelementen im infraroten Spek-
tralgebiet. Diese Verbindung ist von alien Verbin-
dungen der Klasse AIIt/Bv am ehesten zur Unter-
suchung geeignet, weil sie eine verhaltnismaBig ein-
fache Herstellungstechnologie besitzt. Als passendes
Versuchsobjekt auf dem Gebiete der Halbleiter ist
es dem Aluminium ahnlich, das beim Studium der
Metallegierungen das beliebteste Versuchsobjekt dar-
steilt. Der Schmelzpunkt dieser Verbindung ist
523 ? C. Den Stoff gewinnt man verhaltnismaBig
leicht als Monokristall. Er ist genugend bestandig im
geschmolzenem Zustande and dissoziiert in die Aus-
gangselemente nur bei hoheren Temperaturen.
Diesem Material sind besonders viele Arbeiten ge-
widmet. Welker [5] weist darauf hin, daB die Ver-
bindung InSb die auBerordentliche Fahigkeit der
Selbstregulierung der stochiometrischen Zusammen-
setzung besitzt. Er meint, daB diese Tatsache deshalb
von grofer Bedeutung ist, weil sic das herrschende
Vorurteil aufhebt, daB der Ubergang von den Halb-
leiterelementen zu den Halbleiterverbindungen cin
zusatzliches Element der Unordnung im Gitter (in-
folge der gegenseitigen Substitution der In- and Sb-
Atome) hervorrufen konnte and infolgedessen techno-
logische Schwierigkeiten beim Sicherstellen der
stochiometrischen Zusammensetzung zur Foige hatte.
Es wurde bei der Untersuchung dieser Verbindung [6]
bewiesen, daB bei Einfiihrung sowohl von In als auch
Sb in verschiedene Proben von InSb in der GroBen-
ordnung von ungefahr 0,6 %, d. h. bei einem ver-
haltnismaBig groBen Uberschusse jedes der Elemente,
die InSb-Proben, unabhangig oh sic p- oder n-Typen
waren, den ursprunglichen Leitungstyp beibehalten
haben.
Hieraus and aus den Angaben Welkers folgt an-
scheinend, daB sich In and Sb praktisch im festen
InSb nicht losen; dieselben Beziehungen zwischen
Elementen and Verbindungen wurden von Mirga-
lowskaja fur die Verbindung AlSb [7] gefunden, was
bewies, daB weder ein Uberschuf von Al noch von Sb
den Leitungstyp des AlSb andert, unanhangig davon,
ob das Ausgangs-A1Sb ein p- oder n-Typus war.
Als Donatoren treten in den Verbindungen AIII/Bv,
wie Welker schon in seiner ersten Arbeit gezeigt hat.
Se and Te auf [8], als Akzeptoren In and Cd. Die Ele-
mente der IV. Gruppe, z. B. Pb, konnen sowohl Dona-
toren als auch Akzeptoren in AIII/Bv sein, je nach-
dem, welches der zwei Atome der Verbindung durch
das Atom der IV. Gruppe substituiert wird.
So substituiert offensichtlich das Pb das In in InSb
and tritt folglich als Donator-Element auf, and im
AlSb substituiert es das Sb and tritt als Akzeptor auf.
Eine weite Verbreitung als neue Halbleitermaterialien
konnen die festen Losungen der Mehrelemente-Halb-
leiter, z. B. die festen Losungen des Germaniums and
des Siliziums finden.
oC
i4
Ge 40 10 700 of % 5
Bild 17 Zustandsdiagramm Ge - Si.
Diese beiden Elemente bilden eine unendliche An-
zahl von festen Losungen, d. h. sie mischen sich in
allen Atom-Verhaltnissen (Bild 17). Fur diese festen
Losungen ist die Anderung der Breite der verbotenen
Zone in Abhangigkeit von ihrer Zusammensetzung
(Bild 18) gemessen worden. Es wurde gefunden, daB
sie verhaltnismaBig steil ansteigt, his sie. bei einem
Gehalte von 20 % Si im Germanium 1,0 eV - an
Stelle von 0,72 eV des reinen Germaniums - er-
reicht. Dies weist auf die Moglichkeit der Erhohung
der Arbeitstemperatur des Germaniums durch hinzu-
legiertes Silizium hin.
ev
1.2
1.1
10
0 20 40 60 80 1090t%51'
Bild 18 Die Veranderung derjBreite der verbotenen Zone
in Abhangigkeit von der Zusammensetzung der
festen Losung Ge-Si.
Der elektrische Widerstand fur das eigenleitende Ger-
manium steigt his zu einem Gehalt von 20 % Si auch
verhaltnismaBig steil an (Bild 19). Bei 20 % Si be-
tragt er -' 10000 Ohm em, bei 7 % Si 2000 Ohm cm,
bei 4 % Si 300 Ohm cm.
19 p Ohm cm
6.0
5.0
4.0
3.0
2..0
10
1.000.000
100.000
70.000
1.000
100
10
Bild 19 Die Veranderung des spezifischen Eigenleitungs-
widerstandes der festen Losung Ge-Si in Abhangig-
keit von der Zusammensetzung.
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\Vie bekannt, kann beim Gleichrichter aus Silizium
eine im auBersten Falle zehnmal hohere Sperrspan-
nung (his 4000-5000 V) als Beim Germanium er-
zielt werden. Anscheinend gibt es Gri.inde, eine be-
deutende Verbesserung dieser Cliarakteristik fur das
mit Si legierte Germanium im Vergleich mit dem
reinen Germanium zu erwarten.
Leider ist das Problem der Gewinnung and der Zu-
sammensetzung gleichartiger Monokristalle der festen
Losungen Ge-Si ziemlich kompliziert and einstweilen
Hoch ungelost.
Reines Germanium and Silizium erstarren bei einer
genau definierten Temperatur. Feste Losungen von
Ge-Si erstarren in einem breiten Temperaturintervall
(Bild 17). So liegt fiir eine Legierung des Ge mit 20 %
Si die Anfangstemperatur bei 1130? C and die End-
temperatur der Kristallisation bei 1000' C. Man hat
also cin Kris tallisationsintervall von 130? C.
Entsprecliend dem ausgedehnten Kristallisations-
intervall unterscheideat sich die Zusammensetzungen
der fliissigen Schmelze and der rich aus ihr abscheiden-
den Kristalle wesentlich voneinander. Fur die Legie-
rung von 20 % Si enthalten die ersten Kristalle der
sich abscheidenden festen Losung 52 %, Si. Der Unter-
schied in der Zusamtnensetzung der flussigen and
festen Phase erreicht hier 32 %. Bei allmahlicher Kri-
stallisation andern sick die Zusammensetzungen der
festen and fliissigen Phase. Deshalb ist die gewohn-
liche Methode des Zichens von Monokristallen von
Ge-Si nach Czochralsky oder die Methode der Zonen-
sehmelzung keineswegs anwendbar.
Bei langsamenZieltgeschwindigkciten (Bild 20) kann
der obero Teil des Monokristalles his zu 52 % Si ent-
halten, wahrend der unterc Teil seiner Zusammen-
setzung nacli fast reines Germanium ist.
m
0
02
0.4
06
08
1
10 20 90 40 .50x, %
Bild 20 Verlauf des Siliziumgehaltes in einem Stabe, der aus
einer Germaniumschmelze mit 20% Siliziumgehalt
mit geringer Ziehgeschwindigkeit gezogen wurde.
Es ist entweder die Anwendung der Methode der
danernden Speisung der Schmelze mit einer Le-
gicrung derselben Zusamtnensetzung wie der auf-
zuziehende Monokristall oder die Erforschung neuer
Methoden des Ziichtens von Monokristallen der festen
Losung notig. Die Frage der Gewinnung von gleieh-
artigen Monokristallen fester Losungen ist von all-
gemeiner Bedeutung, veil nicht nur die Anwendung
von festen Losungen des Ge-Si von Interesse ist,
sondern auch die der festen Losungen der Verbin-
dungen At"/B` untereinander.
Die neuer im Germanium entdeckten Moglichkeiten
konnen hei einem solchen ?alten" Halbleiterstoffe,
wie Selen, verwendet werden. Die Gewinnung des
letzteren in hochreinem Zustand konnen diesen an-
scheinend in die Geschichte cingegangenen Stoff auf
die gleiche Stufe mit Germanium and Silizium stellen.
Das heutzutage angewandte Selen enthalt his zu
20 oder mehr im Spektrum nachgewiesene Bei-
mengungen. Scin Verunreingigungsgrad ist 10-1 bis
10-2 %. Die Sperrspannung der Selengleichrichter
bei einer solchen Reinheit des Selens betragt 12 his
48 Volt. Bei einer nur zehnfachen Reinigung des
Selens, d. h. bei einem Gehalt an Beimengungen von
10-2 his 10-s %, kanu man die Sperrspannung his
auf 60 Volt erhohen. Bei einer Reinheit des Selens his
10-4 his 10-5% erwartet man eine Sperrspannung
von 200 Volt, die bei noch grol3erer Reinheit weiter
ansteigt.
Ein iihnliches Problem tritt beim Kupfer aid', das beini
Kupferoxydulgleichriehter verwendet wird. Als das
am ehesten geeignete Kupfer filr die Kupferoxydul-
gleichriehter gilt heutzutage das Chilekupfer and in
der Sowjetunion das Kischtimkupfer. Anscheinend
fehlen in diesen Kupferarten die Beimengungen oder
sie rind darin in solch kleinen Mengen enthalten, daB
sic die Charakteristiken der Kupferoxydulgleichriehter
nicht beeinflussen. Die Gewinnung von hochreinem
Kupfer kann neue Moglichkeiten auf dem Gebiete der
Verwendung von Kupferoxvdulgleichrichtern ergeben.
Bei der Verwendung des Titans auf der Basis von
Titandioxyd fur Gleichrichter tritt das gleiche Pro-
blem eines hochreinen Titans auf.
Neue Aussichten in der Halbleitertechnik bringt die
Gewinnung cines iiberreinen Bors, welches chemisch
dem Silizium ahnlich ist. Dem Problem neuer Stoffe
in der Halbleiterteehnik niuB eine besondere Aufinerk-
samkeit gewidmet werden. Hieraus wird die Technik
ihre Reserven schopfen, and hier wird man neue Mog-
lichkeiten ihrer Entwicklung finden.
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Titan and Titanlegierungen
Von Dr. U. Zwicker, Metallgesellschaft A.-G., Frankfurt/M.
Eigenschaften des reinen Titans
Wic bei fast alien Vbergangsmetallen ist auch bei
Titan der Begriff ?rein" sehr dehnbar. Das reinste
Titan wird fiber das Jodidverfahren hergestellt.
Infolge seines sehr teucren Herstellungsprozesses wird
dieses Material technisch nur selten verwendet. Es
zeichnet sich durch eine grol3e Zahigkeit aus, die his
zu Temperaturen in der Nahe des absoluten Null-
punktes erhalten bleibt. Durch seine niedrige Zug-
festigkeit von 25 his 30 kg/mm2 bei einer Streckgrenze
von 10 his 20 kg/mm2 and seine Dehnung von 60 his
70 % bei einer Einschniirung von 70 his 90 % kann
dieses reinste Titan his zu fiber 90% kaltverformt
werden. Die mechanischen Eigenschaften sind prak-
tisch unabhangig von der Korngrof3e, der Form oder
der Warmebehandlung.
1)as Titan technischer Reinheit wird fiber den Kroll-
prozeB durch Reduktion von TiC14 mit Magnesium
oder nach dem Degussaverfahren oder einem ahn-
lichen ReduktionsprozeB durch Reduktion mit Na-
trium hergestelit. Seine mechanischen Eigenschaften
richten sick in erster Linie nach den wahrend der
Schwammherstellung eingebrachten Verunreinigungen
an Stickstoff, Sauerstoff and Eisen. Zunehmende
Anteile dieser Verunreinigungen machen sich in einer
Steigerung der Harte bemerkbar. Die Hartepriifung
des umgeschmolzenen Schwammes stellt deshalb eine
Prufung fiir die Reinheit des Titans dar. Bei besten
Schwanunsorten erreicht these sogenannte Umschmelz-
hart.e zur Zeit Werte von etwa 100 kg/mm2.
l)ie Harte and Zugfestigkeit nehmen durch einen
zunehmenden Prozentsatz an Sauerstoff bzw. Stick-
stoff zu, Dchnung and Sclrlagzahigkeit dagegen
nehmen ab. Bei gleichen Gehalten liegt bei Stickstoff
die Harte wesentlich hoher als bei Sauerstoff. Dem-
entsprechend ist stickstoffhaltiges Material sproder
als sauerstoffhaltiges. Diese Eigenschaften spiegeln
sich auch in den verschiedenen handelsiiblichen Titan-
sorten wieder.
Durch cine Verformung nimrnt - wie auch bei anderen
Metallen -- die Harte zu. Mit zunehmender Verformung
filth die Dehnung ab and steigt die Zugfestigkeit an.
Man mull deshalb bei technisch reinem Titan den
Zustand des Materials kennen, um es in die ent-
sprechende Giiteklasse einstufen zu konnen. Die
Eingliederung erfolgt in den einzelnen Landern unter-
schiedlich, so daB sich die Grcnzen in vielen Fallen
i berschneiden.
Durch Gliihen bei Ternperaturen fiber 400? C beginnt
das verformte Titan zu rekristallisieren, wobei die
incchanischen Eigenschaften wieder auf die Aus-
gangswerte zuriickgehen. Eine Giuhung von etwa
1 Std. bei 600? C genfigt, um die durch die Verformung
hervorgerufene Verfestigung des Materials wieder
aufzuheben.
Neben der Zugfestigkeit, Streckgrenze and Dehnung
interessiert auch das Dauerstandverhalten bei erhohter
Temperatur. Nach einer Zeit von 1000 Std. beginnt
bei etwa 250? C der Steilabfall der Belastungskurve.
Diese Temperatur ist demnach die obere Grenztem-
peratur fiir eine Verwendung reinen Titans.
Die Dauerwechselfestigkeit von Titan iiblicher Rein-
heit liegt bei etwa 65, % der Zugfestigkeit. Dieser
Wert liegt hoher als bei Stahl, bei dem man durch-
schnittlich mit 50 % der Zugfestigkeit rechnet. Bei
gekerbten Proben fallt die Dauerwechselfestigkeit auf
etwa 38 % der Zugfestigkeit ab. Durch tiefe Tem-
peraturen wird sie nur wenig verandert.
W asserstoffversprodung
Die Produktion von Titan and Titanlegierungen wurde
vor einigen Jahren durch Wasserstoffversprij dung
ungiinstig beeinfluBt. Auf diesem Gebiet erfolgten
inzwischen sehr viele Untersuchungen, so daB man
die Wasserstoffkrankheit des Titans jetzt sehr genau
kenut and auch zu verhindern weiB.
Bereits fiinf Tausendstel Prozent Wasserstoff setzen
die Kerbschlagzahigkeit des Jodid-Titans auf etwa
ein Drittel des Wertes von wasserstofffreiemMaterial
herab. Bei Titan i1blicher Reinheit wird die Kerb-
schlagzahigkeit infolge des von vornherein niedrigeren
Wertes durch die gleichen Gehalte nur urn etwa die
Halfte herabgesetzt. Infolge der Stickstoff-, Sauerstoff-
und Eisenanteile im reinen Titan liegt die Kerbschlag-
zahigkeit bei diesem Material wesentlich niedriger als
bei Jodid-Titan. Durch ein his zwei Hundertstel
Gewichtsprozente Wasserstoff fallt jedoch in allen
Fallen die Kerbschlagzahigkeit auf geringe Werte
herab.
Die versprodende Wirkung des Wasserstoffes ist auf
einen sehr starken Riickgang der Loslichkeit von
Titanhydrid im Titan zwischen 300? and 100? C
zuriickzufiihren. Die Ausscheidung des Wasserstoffes
erfolgt in Form von Titanhydridplatten, die die Ver-
sprodung verursachen. Bei Legierungen, die neben
der a- noch die #-Phase enthalten, tritt in vielen
Fallen bei hoheren Gehalten an Wasserstoff ein starker
Abfall der Zeitstandfestigkeit gekerbter Proben auf,
der sehr lastig werden kann.
Titanlegierungen
Bei den verschiedenen Titanlegierungen kann nach
dem Abschrecken oder Abkiihlen entweder a-, /3- oder
a + j3-Titanmischkristall im Gleichgewicht oder in
einer Ubergangsform zwischen j3 and a vorliegen,
ferner kann noch die Phase a2 bei Legierungen mit
hoherem Al-Gehalt auftreten.
a-Titanlegierungen
Ein a-Mischkristall bildet sich, wenn beim Zusetzen
eines anderen Elementes der a-j3-Umwandlungspunkt
des Titans erhoht wird. Das technisch wichtigste
System ist das System Ti-Al. Schreckt man aus dem
a-Gebiet ab, so findet man polygonale Korner des
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a-Mischkristalls. Verfahrt man im f3-Gebiet in der-
selben Weise, so wandelt sich infolge der hohen
Umwandlungstemperatur das f3-Gefuge in a' um, and
es bilden sick stark gezackte and ausgefranste Korn-
grenzen, die in vielen Fallen Zwillinge ethalten.
Schreckt man aus dem a-a-Gebiet ab, so findet man
isothermes a and umgewandeltes (3. Aluminium-
reichere Legierungen konnen weitere Phasen auf-
weisen. Legierungen von 5 his etwa 12 % Al ent-
halten neben der a-Phase eine zweite Phase (a2), die
ebenfalls hexagonal ist, aber eine Uberstruktur in der
Weise besitzt, da13 die a-Achse verdoppelt ist. Eine
weitere Phase e hat ein tetragonales Gitter. Die
a2-Phase fiihrt neben dem Al zu einer Hartung and
Versprodung der Legierungen. Bei den Legierungen
TiAI 6 and TiAI 6V4 begiinstigt sic das Kriechver-
halten bei hoherer Temperatur.
19-Titanlegierungen
Bei sehr hohen Zusatzen, insbesondere an Schwer-
metallen, kann der a-fl-Umwandlungspunkt des Titans
so weit herabgesetzt werden, daB er unter der Raum-
temperatur liegt. Die fl-Phase ist in diesem Fall stabil.
Die f3-Legierungen haben bisher noch keine groBe
technische Bedeutung erlangt, da sic spezifisch schwer
sind and fur viele Verwendungszwecke, bei denen
hauptsachlich ein niedriges spezifisches Gewicht
erforderlich ist, ausscheiden. Als korrosionsfeste Le-
gierung ist die Zusainmensetzung TiMo30 wichtig, da
sic gegen Salzsaure fast alley Konzentrationen and
auch gegeniiber Schwcfelsaure holier Konzentration
hestandig ist.
a-fl-Titanlegierungen
Die wichtigsten Legierungen des Titans sind die
a-f3-Legierungen. Diese Legierungen lassen sich am
besten an Hand cinfacher Zweistoffsysteme erlautern
and auf die technischen Legierungen iibertragen.
Setzt man zu reinem Titan beispielsweise Vanadium.
zu, so f illt die Umwandlungstemperatur mit zuneh-
mendem Gehalt an V so weit ab, his schliel3lich die
Raumtemperatur erreicht wird. Schreckt man nun
Legierungen mit geringeni Gehalt an V aus dem
f1-Gehiet ab, so wandeln sich diese Legierungen in-
folge der hohen Umwandlungstemperatur noch in
a urn. Diese Umwandlung ist, ahnlich wic bei Stahl,
nine Art Umklappvorgang, and es hildet sich ein
martensitahnliches Gefuge, das aus einem i1ber-
s5ttigten a-Mischkristall besteht. Die Harte dieses
Martensites ist im Gegensatz zu der des Stahles
verhaltnismaBig niedrig. Bei hoheren Gehalten an V
werden die Martensitnadeln beim Abschrecken aus
dem /3-Gebiet immer seltener, bis schlieBlich nur
Hoch das polygonale fl-Korn gefunden wird. In man-
chen Fallen weist dieses Korn eine Substruktur auf,
die Harte steigt sehr stark an, his sic bei Gehalten
von etwa 15 % V je nach Probenabmessungen ein
Maximum erreicht. Bei noch hoheren V-Anteilen
fallt die Hartc wieder ab, die Substruktur im poly-
gonalen Korn verschwindet.
Bei anderen Zusatzen, wie z. B. Mangan, Eisen,
Chrom and ahnlichen Metallen, wird die (3-Phase nur
his zu einer eutektoiden Temperatur stabilisiert. Bei
dieser Temperatur zerfallt sic in den a-Titanmisch-
kristall and in eine intermetallische Phase.
Die Ubergangsphase, die sich bei der Umwandlung
von /3 in a bei Temperaturen von etwa 600? C and
darunter bildet, wurde von Frost and Mitarbeiter mit
co-Phase bezeichnet. Ahnlich wic hei der Zwischen-
phase, die im System Cu-Al sick aus dem ubersattigten
Al-Mischkristall bei tiefen Temperaturen ausscheidet,
fiihrt auch diese Phase zu einem starken Harteanstieg.
Kinetik der f-e)-a-Umwandlung
Fdr die a-f -Legierungen, wie z. B. TiCr5Al 3, TiMn7
and andere, spielt die (3-co-a-Umwandlung neben der
Ausscheidung einer intermetallischen Phase - z. B.
TiCr2 - cine groBe Rolle. Die Umwandlungskinetik
derartiger Legierungen IaBt sich sehr anschaulich
an Hand eines isothermen ZTU-Diagramms darlegen,
wie es schematisch in Bild 1 wiedergegeben ist. Man
ersieht aus dem Diagramm, daB bei der Temperatur T1
T
d-Beginn
fnde
T
w-Begin
s
w-
fnde
T3
/1 +
T3
Ti
'
t
Log. Aus(agerungszer
Bild 1 Isotherines ZTU (Zeit-Temperatur-Umwandlungs)-
Diagramrn einer u-/3-Titanlegicrung (schematisch).
sick a direkt aus /3 ausscheidet. Wird deshalb einc
Legierung aus dem f3-Gebiet rasch auf die Aus-
lagerungstemperatur T1 abgekiihlt, bei dieser Tem-
peratur isotherm ausgelagert and nach verschiedenen
Auslagerungszeiten abgeschreckt, so findet man
zunachst eine mittlere Harte, die durch die marten-
sitische Bildung von a' and durch Rest-fl, das sick
teilweise in co umgewandelt hat, bedingt ist. Bei
Beginn der a-Ausscheidung nimmt der Anteil an /3 ab,
and die Harte wird erniedrigt. Bei der Temperatur T2
entsteht - bevor sich a ausscheidet - die Ubergangs-
phase co, die einen sehr starken Harteanstieg ver-
ursacht. Nach der w-Bildung setzt die a-Bildung ein,
and die Harte alit wieder rasch ab. Lagert man
isotherm bei der Temperatur T3 aus, so erfolgt keine
Bildung der a-Phase, sondern es bildet sich nur die
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0 -39
1 J
d-mnde
d +~
w-B
eginn
W-mil
d
log. Auslogerungszeit
Abkuhlungsgeschwind/gkeit
Bild 2 Kontinuierliches ZTU-Diagramm einer a-a-Titan-
legierung (schematisch).
(,)-Phase. Die HArte steigt stark an, ohne wieder
abzufallen.
Dementsprechend zeigt die Hartekurve bei verschieden
raschen Abknhlungsgeschwindigkeiten aus dem j3-
Gebiet bei einem kontinuierlichen ZTU-Diagramm
(Bild 2) ein Hartemaximum. Dieses Hartemaximum
tritt dann auf, wenn bei der Abkuhlung der Beginn
der a-Ausscheidung noch nicht erreicht, aber sehr
viel co gebildet wird.
Dic a-Ausscheidung erfolgt bei Legierungen, die eine
intermetallische Phase enthalten, vor der Ausschei-
dung dieser Phase. Sic zeigt sich in einem Abfall der
Harte and des Widerstandes. Ein darauf folgendes
Harte- and Widerstandsmaximum kann seine Ursache
d Ausscheidung Anfang '1
w-A s eidung l . ~~~ AuJE
tt~
w Il
d
in der beginnenden Ausscheidung einer intermetal-
lischen Phase aus dem iibersattigten a-Mischkristall
haben. Der allmahliche tJbergang des ubersattigten
a-Mischkristalls in den stabilen a-Mischkristall and
die intermetallische Phase erfolgt dann wieder unter
erneutem Abfall der Harte and des Widerstandes.
Der rontgenographische Befund zeigt die ausgeschie-
denen Phasen erst an, wenn bereits grol3ere Anteile
vorhanden sind.
Technische Titanlegierungen
Aus der Fiille der technischen Titanlegierungen, die
bereits auf dem Markt sind oder waren, sollen nur
zwei Legierungen genauer beschrieben werden, da
an Hand dieser beiden Legierungen das Grundsatz-
liche der Warmebehandlung erlautert werden kann.
Fur die Legierung TiCr5A1 3 gilt bei kontinuierlicher
Abkuhlungsgeschwindigkeit das in Bild 3 wieder-
gegebene Zeit-Temperatur-Umwandlungsschaubild.
Bei sehr rascher Abschreckung 1-2 mm dicker
Proben von 8 mm 0 kann man fast reinen Martensit
(a) in der j9-Grundmasse erhalten (Bild 4). Mit ab-
nehmender Abkuhlungsgeschwindigkeit nimmt die
Bildung der martensitahnlichen a'-Phase ab, die der
co-Phase zunachst zu, darn ab, his die Bildung des
a + j3-Gleichgewichts erreicht wird. Zur Ausscheidung
der TiCr2-Phase sind sehr langsame Abkuhlungs-
bedingungen, die nur durch Ofenabkiihlung erreicht
werden konnen, notwendig.
"E Phosengrenze/3k1-/3At/ri'Crz
M
d Zer/all
Af
%
all
~ ~~~ w-Auc\~'du\ ~,~ Ier A scud 9a1P~fo/
Probeabmessungen
-?-?- 8 mm -F I mm long
8 mm +120 mm long
-- - - - - - 13 mm +120 mm long
log. Zeit in min.
Bild 3 Kontinuierliches ZTU-Diagramm fur die Legierung TiCr5A1 3.
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Die mechanischen Eigenschaften werden durch die
verschiedenartige Gefiigeumbildung stark beeinfluBt.
Das iiberwiegend martensitische Gefiige weist eine
mittlere Dehnung bei mittlerer Festigkeit, niederer
Streckgrenze and kleinem E-Modul auf. w-Anteile er-
hohen die Festigkeit, reduzieren aber die Kerbschlag-
zahigkeit, Dehnung and Einschniirung. Ein a + /'-
Gefuge weist niedrigere Festigkeit bei hoher Dehnung
auf'.
Diese Betrachtungen gelteu nor fiir Probmt, die aus
deco /3-Gebiet mit verschiedener Geschwindigkeit
abgekiihlt warden. Will man aber bei groBeren Teilen
sicher die hope Harte der co-Phase oder die Zahigkeit
des a + /3-Gleichgewichtes erreichen, so kann man die
Abki hlung durch Halter im entsprechenden Gebiet
des ZTU-Diagramms durch die geeigneten Umwand-
lungsgebiete fiihren and die Legicrung auf die ge-
forderten mechanischen Eigenschaften bringen. Lange
Auslagerungszeiten sind in den Temperaturbereichen
erforderlich, bei denen die Ausscheidung von a aus
Stunden dauert. Will man hohc Festigkeit erzielen,
so kann man dies erreichen, indem man das Teil
iuc Gebiet der o)-Bildung isotherm auslagert, z. B.
2-3 min in cinem Bleibad von 500? C.
Unterschreitet man bei der Gliihtemperatur die
/3 (a -{- (3)-Grenze, so andert sick die Konzentration der
/3-Phase entsprechend dem Verlauf der Konoden des
a ? /3-Gleichgewichtes. Die /3-Phase wird reicher
an Chrom and dadurch stabiler; die Umwandlungs-
vorgange verlaufen deshalb trager. An Hand von
.uslagerungskurven kann man dies leicht veran-
schaulichen.
Wahrend sick bei Raumtemperatur and bei Tem-
peraturen his zu ctwa 300? C die intermetallische
Phase TiCr2, die bei den bisherigen Betrachtungen
vernachlassigt werden konnte, nicht bemerkbar
macht. kann sic sick bei hoheren Temperaturen, bei
auBerge wohnlicli langen Zeiten oder bei einer zusatz-
lichen mechanischen Beanspruchung ausseheiden and
zur Versprodung fi hren. Bei Raumtemperatur zeigen
hei 500? C 500 and 1000 Stunden lang ausgelagerte
Proben Versprodungserscheinungen.
Bei der zweiten Legicrung tritt neben der /3-, a- and
coo- auch die a2-Phase auf. Es handelt sick urn die
Legicrung TiAI 6V4. Bild 5 gibt ein schematisches
Zeit-Temperatur-Umw andlungsschaubild dieser Le-
gierung wieder. Die Umwandlungszeiten fiir die a-
Ausscheidung sind sehr kurz and daher schwer zu
bestimmen. Die Martensittemperatur ist Koch and
diirfte bei etwa 900? C liegen. Aus diesem Diagramm
gent hervor, daB bei allen interessierenden Abschreck-
geschwindigkciten die a-/3-Umwandlung eingesetzt
to' to? 10T lo'
-s tog Zeit in Minuten
Bild 5 Kontinuierliches ZTU - Diagramin der Legierung
TiAI6V4 (schematisch).
hat. Man kann durch groBere Abschreckgeschwiudig-
keit diese Urnwandlung nur teilweisc unterdriicken.
Bei Abschrecktemperaturen fiber 950? C fallt die
Dehnung auf geringe Werte ab, ohne daB eine wesent-
liche Erhohung der Harte and Zugfestigkeit statt-
gefunden hat. Die bei etwa 600? C einsetzende /3-e. -
Umwandlung hat auch bei sehr hohen Abschreck-
geschwindigkeiten aus dem /3-Gebiet nur noch geringe
Anteile der /3-Phase zur Verfiigung. Eine aus diesern
Gebiet in Wasser abgeschreckte Probe mit 8 mm
Durchmesser and 120 mm Lange ist deshalb nur
wenig harter als nach Luftabkiihlung.
Da sich bei der Legierung TiAI 6V4 keine intermetalli-
sche Phase im Gleichgewicht befindet and auch bei
rascher Abkiihlung aus dern /3-Gebiet der Anteil der
o)-Phase gering bleibt, ist sic nicht so empfindlich
gegen Seigerungen and Versprodungserscheinungen
wie die Legierung TiCr5A1 3. Sic laf3t sich daher
gut schweiBen. Zur Erzielung einwandfrcier, zaher
Schweil3nahte ist cs aber unerlaBlich, diese einer
Warmebehandlung - zurnindest einem Nachwarmen
- zu unterziehen.
Anwendung von Titan and Titanlegierungen
Die Verwendung des Titans erfolgt hauptsachlich
dort, wo hochfeste Teile, die gleichzeitig spezifisch
leicht sind, gebraucht werden, also im Flugzeugbau.
Im Turbinenbau werden Teile mit guter Kriech-
festigkeit bei erhohter Temperatur benotigt. Die
iibrigen Anwendungsgebiete umfassen hauptsachlich
die chemische Industrie, da das Titan gegen ver-
schiedene Agenzien sehr bestandig ist and z. B.
das noch teuerere Tanta] in manchen Fallen ersetzen
kann.
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Versuche zur Metallklebtechnik
Von Prof. Dr.-Ing. habil. A. Matting, Direktor des Instituts fur Werkstoffkunde
der Technischen Hochschule Hannover
Zur Entwicklung der Metallklebtechnik - Die Spannungs-
verteilung and Ursachen des Klebbruches - Schalkraft
and Kantenschutz - Betriebsfestigkeitsuntersuchungen -
Die Oberflachenvorbereitung als geometrisches Problem -
Einwirkungsversuch auf die Kohasion - Zukiinftige
Forschungsvorhaben.
1. Einfuhrung
Die folgenden Ausfilhrungen stellen einen Beitrag
zur Metallklebtechnik dar, die uns in Deutschland in
den letzten Jahren viel beschaftigt hat. Wir konnen
bereits auf eine gewisse Tradition zurfickblicken,
obwohl noch vieles unerprobt and unerforscht ist.
Man darf es als bemerkenswert bezeichnen, daB sick
die Metallklebtechnik - trotz mancher Bedenken -
verhaltnismaBig schnell in die Praxis einzufuhren
beginnt and damit eine Lucke zwischen den uns
noch besser gelaufigen Fiigeverfahren zu schlieBen
vermag.
Die Anfange des Metallklebens liegen erst rund 10 his
20 Jahre zurhick. In der Zwischenzeit ist es gelungen,
aus rein empirischen Erkenntnissen herauskommend,
zu wichtigen Aussagen zu gelangen and die EinfluB-
groBen zu bestimmen, mit denen wir hier zu rechnen
haben.
Den Ausgang der Klebtechnik stellte zweifellos das
Holz dar. Der Versuch lag nahe, auch die Metalle
glrichartig zu verbinden, zumal das Kleben von Holz,
durch die Entwicklung der Kunststoffe begiinstigt,
mit groBer Zuverlassigkeit ausgefuhrt werden kann,
wovon der Flugzeugbau einen eindeutigen Beweis
erbringt. Bei den hier extrem hohen Beanspruchungen
lassen sich nur Verbindungsverfahren hoher Leistungs-
fiihigkeit einsetzen. In diesem Zusammenhang sind
die de Havilland-Flugzeuge zu erwahnen, die - sowohl
Aufklarer wie Bomber - eine Reihe geklebter Ver-
bindungen aufweisen. Inzwischen gelang eine weitere
Verbesserung der Klebstoffe, and man hat auf dieser
Kunststoff basis weiter versucht, den Werkstoff Metall
bzw. die Werkatoffe Metall and Holz durch Kleben
miteinander zu verbinden. Eine Reihe grundsatzlicher
Patente stammt aus dem Jahre 1944, woran die kurze
Anlaufzeit zu erkennen ist. Man hat zunachst durch
Kleben wichtige Verbindungen zwischen Holz and
Metall herzustellen vermocht and damit Gewichts-
ersparnisse his zu 20 % erzielt. Gleichzeitig gelangen
Festigkeitssteigerungen his zu 65 % gegenuber den
bisherigen Verfahren. Als erstes Spitzenerzeugnis ist
bier wohl das propellerbetriebene Flugzeug vom Typ
de Havilland ?Hornet" zu betrachten, das aus dieser
Entwicklung bereits 1945 weitgehend Nutzen gezogen
hat.
In Deutschland ist die Metallklebtechnik erst mehr
oder weniger zielbewul3t nach dem Kriege auf-
gegriffen worden, and es ist nicht zu leugnen, daB das
Ausland in dieser Beziehung einen Vorsprung auf-
zuweisen hat. Wir haben die Verpflichtung, uns mit
grbBter Aufmcrksamkeit ebenfalls dieser Frage zu-
zuwenden, auf deren Bedeutung hingewiesen wurde.
Der Augenblick ist gi nstig, weil der Flugzeugbau in
unserem Lande gerade erst wieder anzulaufen be-
ginnt. - Anzuerkennen ist, daB inzwischen eine
systematische Durchforschung des gesamten Gebietes
eingesetzt hat and schon zu Erprobungen von Kon-
struktionselementen in geklebter Form ubergegangen
wurde. Wir Sind bereits fiber das Tasten hinaus in die
in Frage kommenden Probleme cingedrungen and
schicken uns unter Beriicksichtigung unserer tech-
nischen Gegebenheiten an, uns ebenfalls maBgebend
in dieses Gebiet einzuarbeiten.
Der derzeitige Umfang solcher Metallverklebungen
erstreckt sich noch vorwiegend, unseren Verhaltnissen
entsprechend, auf den allgemeinen Metallbau. Ver-
steifungen and Verbindungen von mehr oder weniger
untergeordneter Bedeutung werden davon erfaBt,
deren Betriebssicherheit feststeht. Diesen Bemuhungen
liegt der Gedanke zugrunde, dadurch zu einer kon-
struktiven Klebung von ausreichender Zuverlassigkeit
zu gelangen. Dazu sind weitere Versuche unerlaBlich.
Zunachst soil fiber die statische Beanspruchbarkeit
von Metallklebverbindungen gesprochen and sollen
die Griinde aufgezeigt werden, die zum Klehbruch
zu filhren vermogen.
H. Statisches Verhalten des geklebten Stones
Die Zugfestigkeit des KlebstoBes ist durch die Zug-
festigkeit des Klebstoffes hedingt. Wir wissen, daB
die Festigkeit des Klebstoffes eine GroBenordnung
unter derjenigen des zu verklebenden Metalles liege.
Das ist der Grund, warum der StumpfstoB noch eine
Ausnahme bildet, wie er fur die SchweiBnaht ohne
weiteres in Anspruch genommen werden kann, and
hier im Regelfalle die Uberlapptnaht vorherrscht. Sie
kann zwar erheblich abgewandelt werden, and wir
finden einschnittige oder zweischnittige Nahte mit
unterschiedlichen Uberlappungslangen, Schaftungen
and Steckverbindungen, was gegenfiber dem Stumpf-
stoB einen anders gearteten Spannungsverlauf be-
wirkt and meist verwickeltere Verhaltnisse schafft,
als sie vom StumpfstoB her gelaufig sind.
Wesentlich fur eine klebgerechte Anwendung der
Uberlapptnaht ist die Kenntnis der zu erwartenden
Spannungsverteilung. Bild 1 kennzeichnet these in
einem geklebten Blech. Nach den Enden zu ist ein
linearer Spannungsabfall eingezeichnet, dessen ab-
Bild 1 Spannungsverteilung bei Vberlappung and Schiftung.
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klingenden Verlauf der Kurvenzug widerspiegelt.
Gleichzeitig wurden die Kraftrichtungen im einfach
iiberlappten and im geschafteten StoB wiedergegeben
[1]. Die Annalime eines linearen Spannungsabfalls im
Bleclt ist nicht exakt. Die gestrichelte Kurve gibt
semen angenaherten Verlauf besser wieder. Was die
Spanuungsverteilung fiber die Lange and Breite in
der Klebnaht selbst anbetrifft, wie sie durch Rechnung
and Versuch in Klebstoffschichten unterschiedlicher
Stol3formen ermittelt worden ist, so ergibt sich diese
aus Bild 2. Dieser Darstellung [2] ist zu entnehmen,
daB der StumpfstoB hier noch keine praktische Be-
dentung besitzt, die Doppeliiberlappung ein branch-
Gro/le der Sponnungs-
b
doppe/le
Ober/ogerung
c
einfache
Uberlagerung
d
gesrhaflele
Nohl
e
obgeselrle
Nahl
,oi~ Bregespaonurxgen
Bild 2 Spannungsverteilung in versehieden angeordneten
Klebniihten.
hares Verbindnngselement, die Einfachiiberlappung
eine haufig angewendete Form darstellt, die geschaftete
Verbindung eine genugende Blechdicke voraussetzt, wo-
gegen der abgesetzten Naht nur eine mehr oder weniger
theoretische Bedeutung zukommt. Bei der Betrachtung
des Spannungsverlaufes innerhalb der einzelnen StoB-
formnen haben wir es dann mit relativ einfachen Ver-
hiiltnissen zu tun, wenn praktisch nur Schubkrafte
auftreten; sie komplizieren sich jedoch bei einer
Uberlagerung unterschiedlicher Spannungsarten. Zu-
siitzliche Zug- and Biegespannungen schaffen ein
koniplexes Spannungsgebilde. In dieser Hinsicht
lieges in der geschafteten Naht die einfachsten Be-
dingungen vor. Die hinzutretende Zugspannung an
den Winders nimmt keinen erheblichen Betrag an.
Beziiglieh der haufig bevorzugten einfachen Uber-
lappung gilt, daB hier ein zusatzliches Biegemoment
auftritt, das Zugspannungen bewirkt, die sich am
b
Bild 3 Modellversuch zur Spannungsverteilung in der Kleb-
schicht.
Ende der Naht als Schalkrafte auswirken, eine Be-
anspruchungsart, die ausdri cklich als Schwachstelle
jeder Metall-Klebverbindung anzusehen ist.
Dieser Fall and die hierbei auftretenden Krafte, wie
sie soeben schematisch-graphisch dargestellt wurden,
lassen sich auch experimentell betrachten (Bild 3).
Oben ist die unbelastete, unten die belastete Klebnaht
(durch eine Heftnaht in Schaumgummiplatten dar-
gestellt) wiedergegeben [3]. Die Schragstellung der
Heftklammern an den Enden laBt erkennen, daB hier
die groBten Spannungen auftreten and damit der
Klebbruch eingeleitet werden kann, wie er durch
Spannungsanhaufungen am auslaufenden Nahtende
zu erklaren ist. Da diese Erkenntnisse von grund-
satzlicher Bedeutung waren, lag der Versuch nape,
die negative Wirkung derartiger Schwachstellen zu
mildern. Die Grol3e der Schalkrafte ist, wie noch einmal
festgehalten werden soil, durch die Hohe der Deh-
nungen in den Uberlappungsenden gegeben and
abhangig vom Werkstoff sowie den geometrischen
Abmessungen des StoBes, u. a. der Blechdicke. Der
10 20 30 40 30kg/mm260
he/o//feSfigke// 0Z
Bild 4 Zusammenhang zwischen Bindefestigkeit and Metall-
festigkeit.
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I)arsItilitug these[ \crhiillnisse in auderer Weise
dime Bild 1, das tincr Arheit writ Litz entstauunt [2].
Is liil3t die Ahhiingigkt'it der spezifischen Biude-
lostigkeit yore der Nlctallfestigkeii erkenntu. f)iese
Rczithung Iehrt : je Itiiher die Nlctallfestigkeit ist, fill]
so hither liege die spezil'isehe Biudekraft, die anderer-
seils mil zimeluntndt'r I3lecitdicke, hedingt durch die
Sp:utnnngsttrhiiltuisse. altflint fitI. Sehliel3lieh trgiht
sieli [flit ztuodlinendt'r t Ittliappung t'hcnfxlls tine
1hnahntt der sptzifischt'u Biudtfestigktit, d. It. der
crtragharen Spaunt[tigen. Nicht nor die Bruclifestig-
kcit des \\ t'rkstoffs ist ItierItti von Bedeittitng, auch
seine Strtckgrcnze geltt in diese Relation tin. flit-
Bild 5 Klebstoffreste am liherlappungst'nde.
Kinflnl3 aitftlie Iliihc der Iliudcfestigkeit is[ sinngcutiiB
der glciche. I)er Jlechanisnnts des Klebbruches ttird
durch Deluuutgeru ant Prohent'ude ausgehist. and das
Ausst'hcn der Klebfliiche Hach teem Bruch, lredingt
dureh die Art der \ erteilung der Klehutittelrestt' alit'
derv alit' Ahscht'ruug heansprnchten Bruchflachen,
besliitigt dies (gild 5). Die Fndt'n bt'deuten die kri-
Iischen Slt'lltn der hltl)vtrhinditug. Dort ist sic
durch Iliiufttng der Spanunngsspitztu gefiiltrdei. Da-
ntit vtirtl der KIchhritclt tingeltitet [6].
l':s lag daher nahe. A erfahrt'n ausfindig ztt ntacheil,
die die SchiilfestiAcit eiuer Klelhuaht ill eiuer tin-
dtuligen Lahlenangahe uuiderspit'geln. Ili Bild 6 ist
tine orrichtuug zit seheu, die fiir diesen Fall 'ttt-
ttickcll ttordeo is[ [41. Durch diese N ersitchsanorduoug
soll der Schiiltorgang nachgealnut vterdtn, tint die
SchiiIfestigkeit von Klebverhindungen zit erntitteln.
Sic lag zuniichst t1.1-11altuisntiif3ig h icdrig ill der
(;riifienorduuug yore I kg/cut Probenlo-eite. N ersuche
init neuen Kleberii hahen tint Sttigernng ion 50 his
]Of) ?;, ergebell.
III. Die Klebnaht bei Dauerheanspruchung
Die Klehnaht unterliegt jcdoclt niclit nur eiuer sta-
Iischen Btlastuug, aitch ilir N t'rlialten bei I)auer-
beanspruchuug tear aufzitk!iiren. Aus diesem Griurtie
%tareit hesser NN older-Bilder, auf-
zustellen lint detn Ergthnis. dal3 - iihnlicit tit bt'i
den Kuuststofftn selhst bci eiuer Lastsltielzalil -,on
100 a
b= a
b< a
a
1
d
\
/ 2
C
l~ ~\a~
b
3
I?b ~ d
b
a
a ',
Umlaufende
Gleichf. umlaufende
Schwingende
.Kurbelschleife
Kurbelschleife
Kurbelschleife
b
4
C d
b
5
4t,
~- 6
~d/" a
,c
ai
Schwingende
Koppeischleife
Gleichf. umlaufende
Koppelschleife
b
Umlaufende
Koppelschleife
OA
c
7
b
a
-~ 8
4ab
9
?
a
d
a ~
Schubschwinge
Gleichschenklige
Schubkurbel
Schubkurbel
ci
10
b cam
- 11
a b
C
-12
a A b-
/
j
Schubkurbel
Gleichschenklige
Schubschwinge.
Schubkurbel
Bild 16 Kombinationsmoglichkeiten fur Gelenkgetriebe mit 3 Gelenken and 1 Schubgelenk.
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Bock: Entwicklungssystematik an Getrieben
dentzufolge auch eine brauchbare Grundlage fur die
Festlegung der Benennungen and einwandfreien Be-
griffsdefinitionen. Solche Leitblatter mit den wichtig-
sten Kombinationsiibersichten bestehen schon fiir
verschiedene Grundgetriebe ([4], [S]). Sie sollen weiter
vervollstandigt werden.
Dariiber hinaus konnen durch die Wissenschaft die
Aufbauelemente fiir gewisse zusammengesetzte Auf-
gaben der Getriebetechnik bereitgestellt werden, die
in den verschiedenen Gebieten der Technik immer
wieder auftreten, Z. B. die Erzeugung einer Schalt-
bewegung, die Aufgabe der HubvergroBerung oder
die stufenlose Anderung der Drehzahl. Die Ent-
wicklungssystematik verlangt, daB fiir jede Aufgabe
zuerst das ?Grundprinzip" oder der ,Wesenskern"
herausgeschalt wird.
Wie schon erwahnt, soil dieses Grundprinzip zwei Be-
standteile enthalten:
1. den Kern der Aufgabe,
2. die notwendigen and hinreichenden Gegebenheiten
fiir die Lbsungsmoglichkeiten.
Wollen wir z. B. das Grundprinzip aller Schalt-
getriebe herausschalen, so konnen wir einmal den
umgekehrten Weg einschlagen, indem wir einige be-
kannte Schaltgetriebe auf ihre gemeinsamen Grund-
lagen untersuchen. In Bild 17-19 sind nur drei Arten
dargestellt, an denen sich aber auch schon die Ge-
gebenheiten zeigen lassen.
Bei dem Malteserkreuz-Getriebe ist eine ,schwingende
Kurbelschleife" verwendet, also eines der aus der
Schubkurbelkette abgeleiteten Grundgetriebe, wie
wir sie in Bild 16 kennenlernten.
Der Stillstand kommt dadurch zustande, daB der
Kurbelzapfen in der Endlage der Schwinge auBer Ein-
griff geht. Man konnte also annehmen, daB dieses
Auflereingriffgehen eine Gegebenheit ware. Bei anderen
Bild 18 Dreirad-Gelenk-Getriebe als Schaltgetriebe.
Schaltgetrieben, z. B. bei Zahnradkurbelgetrieben
(Bild 18) ist das aber nicht der Fall. Wir miissen des-
halb nach einem anderen, hoherstehenden Begriff
suchen and finden, daB bei alien bekannten Schalt-
getrieben ?eine Bewegung zeitweise unwirksam ge-
macht" wird. Das trifft z. B. auch bei dem Kurven-
schaltgetriebe (Bild 19) zu. Schlieflich finden wir
noch heraus, daB der Stillstand des Abtriebgliedes
irgendwie gesichert werden mull and daB das nur
durch eine Elementenpaarung geschehen kann, an
der das Abtriebsglied beteiligt ist.
Bild 19 Kurvenschaltgetriebe.
Danach ist das Grundprinzip aller Schalt-
getriebe etwa so zu formulieren:
1. Kern der Aufgabe
Erzeugung einer fortschreitenden Beweguug mit
Ruhepausen,
2. Gegebenheiten:
a) ein Grundgetriebe (Gelenk-, Kurven-, Rader-
getriebe usw.),
b) zeitweiliges Unwirksammachen der Bewegung
an irgendeiner Stelle dieses Grundgetriebes,
c) Sicherung des Stillstandes durch Paarung mit
dem Abtriebsglied.
Diese drei Gegebenheiten sind notwendig, aber auch
hinreichend zum Aufbau eines Schaltgetriebes. Wenn
man sie kennt, kann man die Losungselemente auf
breitester Basis zusammenstellen.
Die aus der Fiille der bestehenden Losungen fiir
Schaltgetriebe ausgewahlten Bilder 20-24 zeigen
in anschaulicher Weise, daB das oben formulierte
Grundprinzip den Keim aller Losungen fiir Schalt-
getriebe enthalt. Das Grundprinzip besitzt aber noch
zwei weitere Eigenschaften:
Es ordnet erstens die Losungen zu einem System and
ist zweitens f ihig, etwa noch vorhandene Liicken
in diesem System aufzuzeigen [6].
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In der Getriebelehre selbst brings das Gruudprinzip
and seine systematische Auswertung eine Verfeine-
rung des Reuleauxschen Systems, indern es eine Unter-
gliederung der Getriebearten nach beliebig vielen
Merkmalen and ein systematisches Kombinieren der
Grundgetriebe zu zusammengesetzten Getrieben er-
m6glicht.
Bid 21 Schaltgetriebe aus schwingender Kurbelschleife mit
Zugorgan (als Stoff-Transport einer Nahmaschine)
Die Erarbeitung dieser Grundprinzipien ist durchaus
nicht so einfach, wie es hinterher aussieht. Die im
Grundprinzip niedergelegten Erkenntnisse erscheinen
vielleicht vielen als Selbstverstandlichkeiten, sind
aber in Wirklichkeit durch scharfstes logisches Denken
enstandene fruchtbringende Formulierungen.
Abtrieb,
Bild 22 Zahnstangen-Schaltgetriebe mit Parallelkurbel-An-
trieb.
Fiir immer wiederkehrende Anfgaben der Getriebe-
technik kiinnen solche von der Wissenschaft er-
arbeitete Grundprinzipien dem Konstrukteur als
Grundlagen fiir seine schbpferische Arbeit dienen,
wie iiberhaupt das Grundprinzip die Keimform and
damit wichtigste Grundlage fiir jede Entwicklungs-
aufgabe darstellt.
Bild 23 Kurvenschaltgetriebe als Filmgreiferwerk.
Bild 24 Schraubenrad-Schaltgetriebe. Steuerbewegung durch
Trommel-Kure e.
Auch die Studierenden werden durch das Aufsuclten
des Grundprinzipes zu einem Eindringen in die tiefe-
ren Zusammenhange gezwungen, weshalb solche
Formulierungen auch als ein wesentlich erzieherisches
Moment anzusehen sind.
7. SchluBbemerkung
Wenn wir versucht haben, in der Entwicklungs-
systematik einen Arbeitsstil zu schaffen, der dem
schbpferisch tatigen Ingenieur die Arbeit erleichtern
soil, so liegt es nahe, diesen Arheitsstil an unseren Er-
ziehungsstatten, den Hochschulen and Ingenieur-
schulen weiterzuentwickeln and unseren Studieren-
den als Grundlage einer rationellen geistigen Arbeit
mitzugeben, nicht nur auf dem Gebiet der Getriebe-
lehre, sondern fur die Gesamtheit des sehipferiseheu
Ingenieurschaffens.
Literaturverzeichnis
[1] Bischoff, W. u. F. Hansen, Rationelles Konstruicreu.
VEB Verlag Technik, Berlin 1953.
[2] Beyer, Rudolf, Kinematische Getriebesynthese. Springer-
Verlag 1953.
[3] Lichtenheldt, W., Konstruktionstafeln fiir Gelenkgetriebe.
VDJ-Berichte, Bd. 5, VDI-Verlag 1955.
[4] Bock, A., Ein Konstruktionsleitblatt fiir Kurvengetriebe.
Feingeratetechn. 1955, S. 450.
[5] Bock, A., Ein Leitblatt zum systematischen Aufbau von
Zahnradgetrieben. Feingeratetechn. 1956, S. 131.
[6] Bock, A., Der systematische Aufbau der Schaltgetriebe.
Maschinenbautechn. 1955, S. 60???62 and 116--.125.
(Eingang : 10. 11. 1956)
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Institut fur Normung and Standardisierung, Direktor: Prof. Dr. rer. pol. habil. Max Beck
Probleme der Erfolgsbeetimmung bei der Einfidhrung
von Standards
Das Verstehen aus dem Ganzen des Zusammenhangs,
die Erfahrung and das Aufnehmen neuer Beobach-
tungen, das denkende Erkennen ermoglichen die
Einsicht in die Differenzierung geistiger Strukturen,
in die gewordenen Entwicklungsstufen. Ohne die
objektiven Erfahrungsgrundlagen gibt es kein gel-
tendes Wissen. Das Mogliche, die Idee, grundet Bich
auf das Wirkliche, die Konstruktion. Sie vollzieht eine
Aktivitat, die die Idee selbst von sich her zur Sicht-
barkeit bring. Nur das schopferische Vermogen kann
mit Hilfe von Erfahrungswissen Neues verwirklichen.
Es ist das Konstruieren and Fertigen, ein Ordnen in
Funktion and Form.
Die Konstruktion als Verwirklichung einer Aufgabe
ist urn so begrundeter, je breiter die Erfahrungsbasis
ist. Vollige Sicherheit and Reife der Konstruktion
konnen niemals erreicht werden, weil die Erfahrung
grundsatzlich unbegrenzt ist and jederzeit das bereits
Bekannte abgeandert, verbessert oder durch Neues,
bisher Unbekanntes, ersetzt werden kann. ,In magnis
et voluisse sat est."
Fertigungsreife Formgebung mul3 planmal3ig ent-
stehen. Sic muB einfach and richer, fertigungsgunstig,
klar geordnet and durchgearbeitet sein. Mal3stabe
der formenden Kraft sind die Normen, die Standards,
durch die allgemein verbindliche Prinzipien geschaffen
werden. Sic konnen sick auf die Leistungsvollbringung
oder auf die Leistung selbst beziehen. Ihre fort-
laufende Entwicklung bedeutet nichts anderes als
Rationalisierung, die in der Vereinfachung des Er-
zeugnisses and in den Fertigungsmethoden deutlich
siclitbar wird.
Vom Beginn seiner Aufgabe an muB rich der Kon-
strukteur mit den Standardbestimmungen von Di-
mensionen and der Werkstoffgute, den einheitlichen
and auswechselbaren Bausteinen auseinandersetzen.
Wiirde er erst den EntwicklungsabschluB abwarten,
dann waren Urnstellungen bereits vorgenommener
Investitionen notig, die sich begreiflicherweise kaum
durchsetzen liel3en. Die Standardisierung bedeutet
zwar, sich aus gewohnten, hergebrachten Zusammen-
hangen zu Risen, aber der lebendige Gedanke wird
keineswegs durch sic beschrankt. Standardisierte,
klare Formen beengen nicht. In der Verbindung von
Dimensionen, die durch gegenseitige Beziehungen
Bowie Verknupfungen definiert sind, and Werkstoff-
angaben liegt wohl eine unabdingbare Forderung,
aber sic beeintrachtigt die Entwicklung nicht. Die
Standardisierung ist keine statische Erscheinung. Sic
ist dem standigen FluB der Fertigungsentwicklung
angepaBt. Sie grenzt nur den Spielraum ein, in dem
der Konstrukteur seine Entscheidungen fallt and
Zahlen and MaBe wahlt, durch welche dieKonstruktion
ein Standardprodukt wird.
Die Standardisierung hat unersetzliche Vorteile, indem
sic die Zuruckfiihrung der Fertigung auf einfache
Prozesse ermoglicht, die ihr groBe Sicherheit geben.
Im Verstehen der Standards ergreift das konstruktive
Denken zugleich jenes BewuBtsein freier Wieder-
holbarkeit, von dem es immer begleitet ist. Die
Standards mit ihren Gesetzlichkeiten, mit den Eigen-
schaften der Klarheit and Deutlichkeit, bilden das
umfassende Gefuge, das die Bestimmtheit and
Festigkeit der Konstruktion schon im voraus hat.
Wenn im WerdensprozeB die urspriinglich fehlende
Reife der Konstruktion durch Verbesserungsvorschlage
nachgeholt werden sot], so wiirde dies einen Umweg
zurn Ausgangspunkt der Entwicklung der Idee, der
Konstruktion, bedeuten. Beseitigte Fehler ergeben
zwar fehlerlose Konstruktionen, aber selten einheit-
liche and klare Konstruktionsformen. Unvollkommene
Arbeiten des Konstruktionsbiiros spiegeln sick oft
in mal3iger Anwendung von Standards wider. Der
Konstrukteur hat erkannt, daB er auf Eigenmachtig-
keiten verzichten muB, wenn er zur Symmetric in der
Fertigung vordringen will.
Wirtschaftlichkeit ist ein Grundsatz des Handelns,
ist Anwendung des rationalen Prinzips unter dem
Gesichtspunkt der Leistungsgestaltung. Rationell
arbeiten heift vernunftgemaB arbeiten. Jeder fort-
schrittliche Konstrukteur wird Mal3nahmen zur Er-
reichung hochster Wirtschaftlichkeit begriiBen, die
das Vollbringen der Leistung mit den geringsten
Kosten ermdglichen. Die Standardisierung fugt sich
den gesetzten Zwecken. Sic fiihrt zur Wirtschaft-
lichkeit and zur durchdringenden Organisierung des
Betriebes. Dieser Zweckzusammenhang lenkt den
Blick schlieBlich zu den Normen, den Standards aller
Art, als letztem and konsequentestem Ausdruck dieses
Denkens.
Mein Vortrag behandelt das Problem der Erfolgs-
bestimmung bei der Einfuhrung von Standards; er
ist also betriebswirtschaftlich orientiert. Die vom
gesamtwirtschaftlichen Standpunkt aus weit wesent-
lichere Frage, wie Bich die Standardisierung auf die
GrOBe der gesamten Produktion, die Erhaltung and
Vermehrung des Volksvermogens and die Ein-
kommensverteilung auswirkt, in welchem MaBe ferner
die Verwendung der Standards zu einer giinstigen
Aufspaltung des Marktes in mehr oder weniger fiktive
Spezialqualitaten beitragt, kann an dieser Stelle nicht
erbrtert werden. Das hat seinen Grund darin, daB eine
Analyse dieser schwierigen Frage in jedem Falle
unmoglich ist, wenn nicht vorher die Vorgange im
Einzelbetrieb hinreichend geklart sind. Der erste
Schritt, der zu tun ist, muB deshalb notwendig in
einer Analyse des Standardproblems vom betriebs-
wirtschaftlichen Standpunkt aus bestehen. In dieser
Richtung soli hier ein Versuch unternommen werden.
Es wird sich zeigen, daB das Problem Schwierigkeiten
genug bietet and zunachst nur auf Grund einer Reihe
von vereinfachenden Voraussetzungen angreifbar ist.
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Beck: Probleme der Erfolgsbestimmung bei der Einfuhrung von Standards
Die Auswirkung der Standardisierung im Betrieb
auf Matcrialhedarf, Lagerhaltung, lustandhaltung,
Vereinfachung der Konstruktion, die Wandlung der
finanziellen Struktur durch Einfuhrung der Standards,
die Probleme der Rentabilitiit bei der Verbendung von
Standards sowie der aufgewaudten Fertigungskosten,
also die wirtschaftliehen Kernfragen der Standardi-
sierung, sind nicht oltne weiteres zu behandeln. Hier
macht sich oft der EinfluB des gesamtwirtschaftlichen
Geltungshereichs beinerkhar.
Die Erfolge der Standardisierung setzen allmahlich
cin. Sic sind selbst in einer langeren Periode schwer zu
erfassen. Ihre Wirkungsdauer ist anhaltend. Ein
klarer Uberblick, eine Vereinfachung in der Fertigung
and Kostensenkungen verschiedenster Art durch die
Standardisierung sind in jedem Betrieb deutlich
spiirbar, aber nielit ohne weiteres in Zahlen aus-
zudrucken, die den Erfolg unmittelbar in Geldwerten
angeben.
Der Erfolg der Standardisierung ist komplexer Natur.
Es geniigt keinesfalls anzugeben, die Standard-
verwendung senke die Kosten etwa um 3 oder 10 b/o.
Diese Angabe wurde noch nichts besagen, wo nun
eigentlich die Kostendegression liegt, ob sie haupt-
sachlich in den Material-, Herstellungs-, Verwaltungs-
oder Vertriebskosten zu finden ist. Es mnssen zunachst
Erfolgsziffern herausgearbeitet werden. Teilerfolge
der Standardisierung treten beispielsweise in Er-
scheinung, wenn die durch sic hervorgerufene Ver-
einfachung die Moglichkeit grof3erer Massenherstellung
bietet. Wird durch die Standardisierung eine Speziali-
sierung des Fertigungsprogramms angestrebt, so ist
die durch die Massenherstellung hedingte Vermin-
derung des Leistungsaufwandes nicht ohne Anderung
der Produktionsbedingungen and des Kostenverlaufes
moglich. Durch die Einstellung der Gesamtwirtschaft
auf Standardprodukte tritt aber eine Ausweitung des
Marktes ein and sichert dem Betrieb einen erhohten
Absatz seiner Produkte. Durch zielhewuBte Verfolgung
konstruktiver and organisatoriseher Maf3nahmen laBt
sich auch auf dem Gebiet der Einzelfertigung eine
wirksame Ersparnis an Zeit and Kraften erreichen.
Der Erfolg der Standardisierung liegt durchaus nicht
allein in der Sortenverringerung, sondern er wirkt
sich in grundlegenden Anderungen der Verfahren and
Ergebnisse aus.
Die wirtschaftliche Verwertung der Werkstoffe ist
erst durch die Nutzanwendung der Standardgroien
ermoglicht worden. Ihre wirtschaftliche Bedeutung
gewinnt die Standardisierung auf dem Wege uber die
Typung, durch die Art and Leistung festgesetzt
werden. Sic tritt deshalb in Verbindung mit der
Typung der Teile auf. Die Typung stellt immer einen
Fortschritt der Betriebstechnik dar. Ob and wieweit
durch sic die Wirtschaft and die Kultur fortschreiten,
hangt auch vom EinfluB des Verbrauchers ab. Ihr
Erfolg kann nicht von dem der Standardisierung
isoliert werden. Es lassen sich ohne weiteres betrieb-
liche Abrechnungen anstellen, aus denen ersichtlich
ist, daB Erfolge im Einkauf, durch vereinfachte
Lagerhaltung, in der Fertigung usw. erzielt werden.
Die durch die Standardisierung bedingten Los-
vergroBerungen haben Kostensenkungen im Gefolge,
die tinter der Voraussetzung ineBbar sind, daB die
Kostenzusammensetzung eines jeden Herstell-
verfahrens bekannt ist. Dies bietet bei den heutigen
Abrechnungsmethoden keine Schwierigkeiten meltr.
Nicht erfaBt werden in der Betriebsabrechnung die
Kostenersparnisse, die nicht unmittelbar mit der
Anderung der LosgroBe zusammenhdngen, wie z. B.
die Gehalteranteile, die ohne Standardisierung fur
stets zu wiederholende Konstruktion von Normal-
teilen aufgebracht werden muf3ten. Nicht erfaBt
werden auch die Raum- and Lohnersparnisse fur
Lager, Einkauf, erhohte Betriebssicherheit usw. Erst
innerbetriebliche Vergleiche der Betriebsabrechnungen
mit den vor der Standardisierung bestehenden geben
ein besseres Bild der Erfolgskontrolle der Standardi-
sierung. Fur weitere Betriebsuntersuchungen wird
eine prazise Feststellung der hier in Betracht kom-
menden Kostenfaktoren anzustreben sein. Die Stan-
darderfolgskontrolle setzt Abrechnungsverfahren vor-
aus, die auch bei gemischter Fertigung die Kosten der
Standardteilerzeugung getrennt erfassen konnen.
Dabei taucht auch die Frage auf, wieweit die auf3erhalb
der Fertigung liegenden Kostenteile, wie z. B. die Ver-
triebskosten, in das Kostengefiille hineingezogen
werden.
Der wirtschaftliche Nutzen der Standardisierung liegt
insbesondere auf seiten des Verbrauchers. Hierbei
spielt die Bezichung der Kongruenz eine wichtige
Rolle. Durch Anpassung bezieht der Verbraucher die
Standards in sein eigenes Leben ein. Allmahliche Ge-
wohnheit umkleidet die Standardisierung mit dem
Mantel der Vertrautheit. Die Entdeckung der Be-
standigkeit der Standardprodukte fand einen giin-
stigen Widerhall.
Die Beziehungen der Standardisierung zum Vertrieb
verlangen Beachtung, weil die Abs atzwirt sc haft als
Mittler zwischen Fertigung and Verbraucher einen
mal3gebenden EinfluB auf die Ausbreitung der
Standards in der Wirtschaft hat. Grundsatzlich ist
der Wirkungszusammenhang der Standardisierung
mit einer Ausweitung des Marktes fur den Absatz
von Massenprodukten gleichzusetzen. Einen besonders
starken EinfluB auf den Vertrieb hat die Festlegung
der Giiteeigenschaften and der Beschaffenheit des
Standardproduktes, die gleichzeitig mit einer Fest-
legung der MaBe verknupft wird. Sic wirkt sich als
Standard einer Konstruktionsqualit at aus and fiihrt
zu einem tech nisch-okonomischen Optimum.
Im Verein mit der Standarderfolgskontrolle ist der
EinfluB der Organisation and der Arbeitsvorgange
des Betriebes nicht unbeachtet zu lassen. Aus diesem
Grund sind alle zahlenmaBigen Angaben fiber Erfolg
der Standardisierung kritisch daraufhin zu iiberpriifen,
ob nicht etwa andere MaBnahmen auBer der Stan-
dardisierung an dem Erfolg gefuhrt haben. Die
Schwierigkeit liegt hier in dem Problem der richtigen
Zurechnung. Ohne dessen Losung ist es kaum moglich,
die wahren Ergebnisse an finden. AuBerdem bleibt
noch die Moglichkeit hestehen, daB trotz Erfiillung
der Bedingungen, die sich auf Grund der Einsichten
der Standardisierungswirkung bestimmen lassen, die
Absichten der Standardisierung Burch andere Ur-
sachen durchkreuzt werden.
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Beck: Probleme der Erfolgsbestimniung bei der Einfuhrung von Standards
Von erheblichem Einflul3 auf den betrieblichen
Erfolg der Standardisierung ist das kollektive Zu-
sammenarbeiten zwischen Standardisierungsstellen,
den Betrieben and Verbrauchern. Nach Einigung fiber
Umfang and Termin der Standardeinfuhrung kann der
Betrieb ohne Risiko sein Fertigungsverfahren andern
and gegebenenfalls im Interesse der Abnehmer die
Selbstkosten senken. Solange es sich urn reine Vber-
legungen handelt, ist die zahlenmaBige Festlegung der
Standardisierungswirkung in weit hoherem Grade
unbekannt als die der zugehorigen Kosten fur die
Einfuhrung der Standards im Betrieb. Von den
Kosten der Standardisierung sind die der Aufstellung
der Standards am einfachsten zu erfassen; aber die
Kosten fur langjahrige Versuche der mitarbeitenden
Betriebe and anderer Institutionen fur die Aus-
arbeitung der Normen sind, abgesehen von der ver-
waltungsmaBigen Arbeit, nicht ohne weiteres zu
veranschlagen.
Der Versuch, die zahlenmaBige Bestimmung der
Erfolge der Standardisierung auf den gesamtwirtschaft-
lichen Geltungsbereich auszudehnen, verursacht er-
hebliche Schwierigkeiten. Die durch sie hervor-
gerufenen Veranderungen gehen in einer langeren
Periode vor sick. Sie unterliegen einer Streuung, deren
Grol3enordnung von der Verschiedenartigkeit der
Beschaffenheit and Eigenschaften des Standard-
produktes, die das Absatzfeld bedingen, abhangig ist,
so dal3 eine statistische Erfassung der Erfolge nicht
ohne weiteres moglich ist. Hier konnen auch nicht
Bedingungen and Ablauf eines einzelnen Vorganges
verfolgt werden, sondern der sich selbst uberlassene
Prozel3 der Standardisierungswirkung mul3te als
Gauzes beobachtet werden. Das Bemuhen, Anhalts-
punkte in der Gesamtwirtschaft zu ermitteln, die
Nutzen aus der Standardisierung ziehen, and ge-
gebenenfalls festzustellen, in welchem Mal3e dieser
Nutzen indirekt dem herstellenden Betriebe zugute
kommt, f illt in das Gebiet der statistischen Schatzungs-
methoden. Auch hier muB man recht vorsichtig sein,
wenn man den Standardisierungserfolg unbedingt in
Geldwerten ausdrucken will. Fur die Auffindung der
Beziehungen waren die induktiv-statistischen and die
deduktiven Wege gangbar.
Es lassen sick keine Griinde vorbringen, die zwingend
fur oder wider eine der beiden Methoden sprachen.
Die wirklichen Ursachen, die den Erfolg zeitigen,
lassen sich auf Grund unmittelbarer Beobachtung in
der Gesamtwirtschaft nicht exakt erfassen. Es besteht
keine Moglichkeit, direkt in Geldwerten anzugeben,
wie groB der Erfolg der Standardisierung in der
Gesamtwirtschaft ist and inwieweit er durch die
verschiedensten Einfliisse, die ebenfalls nicht un-
mittelbar beobachtet werden konnen, teilweise kom-
pensiert wird. Weil solche Einsichten fehlen, muBte
zu den besprochenen Schatzungsmethoden gegriffen
werden.
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lt.7punau
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BOG FT, L, KARL, and
Rlt.tl A'1N(;, G('IVTEI?
BERG, LOTIIAR
S(:IIMII)T, JIOLFGANG
S7'AM,IIBERGER, ALBERT
I'FT RO IT , 1). A.
/.Ill(:Kl:'K, l`.
1I ITTl,'VG, ,1.
I'OIILM.I,NN, REI!J.4R
POSSNER, LOTIIAR
SC111!NEMANN, R.
1. Fakultdt fiir Mathematik, 1Vaturicissenschaften and technische Grundu'issenschafte,,
Uber die Darstellbarkeit einer Funktion durch ihre Taviorreihen im Reellen
Herleitung asymptotischer Ausdriicke fiir lntegrale and Reihen . . . . 5
Einige Satze fiber die Riemann-Hilbert sche Randwertaufgabe . . . . . 9
Noch eininal: Ein Nomogramm ?Quadratwurzel aus komplexen Zahlen" 13
*Halbleitermaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
*Titan- and Titanlegierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
*Versuche zur Metallklebtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
*Oberflachenbehandlung durch Ultraschall ureter besonderer Beriicksich-
iigung der Ultraschall-Reinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
*Berechnung der Stabbiegung mit Matrizen (Vektorentransformation) . . . 43
H. Fakultdt fiir Starkstromtechnik
*Die Durchschlagspannung von dicken Isolicrschichten im inhomogenen
Feld ............................... 53
III. Fakultdt fur Schu?achstromtechnik
* Uber den Ausbreitungsmechanismus ultrakurzer Wellen hinter dem Horizont 59
*Anwendungsgrenzen der Uberreichweitentechnik im drahtlosen Nach-
richtenwesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Die Spriinge des Formierungsgradienten bei der anodischen Oxydschicht-
bildung von Aluminium and Tantal in w5l3rigen Elektrolyten . . . . . 65
IV. Fakultdt fiir Feinmechanik and Optik
*Ent\vicklungssystematik an Getrieben . . . . . . . . . . . . . . . 69
V. Fakultdt fiir Technologie
*Probleme der Erfolgsbestimmung bei der Einfuhrung von Standards . 79
?) Bei den mit Sternchen gekennzeichneten Beitragen handelt es sich um Vortrage, die anlaBlich des I. Internationalen
Kolloquiums an der Hochschule fiir Elektrotechnik Ilmenau vom 5. bis 10. November 1956 gehalten wurden.
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Ilerausgeber: Der Rektor der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Schriftleitung: Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau, Abt. Wissensebaftliebe Publikationen, Ilmenau, Str. d. Jungen Techniker 21 Ruf: 3070/79 Ilausapp.: 302
Selbstverlag der Hochschule fur Elektrotechnik Ilmenau
Lizenz: Veriiffentlicht ureter Lizenznummer 4232 des Amtes fur Literatur and Verlagswesen der Dcutschen Demokratisehen Republik
Satz and Druck: Druckerei ?Magnus Poser" Jena. 57/259/3005
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